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1. VECTORES
Prof Umanzor

2. OBJETIVO: Diferenciar entre magnitudes escalares y
vectoriales

3. Introducción
•La física es una disciplina que se
caracteriza por MEDIR magnitudes y
expresar las relaciones entre las variables
medidas.
¿Qué es medir?

5. ¿Y qué entendemos por magnitud?

7. Al medir podemos encontrarnos con 2 tipos de
magnitudes...
Algunas que solo basta para comprenderlas un
número y unidad de medida.
Magnitudes en que necesitamos, además
de N° y unidad de medida, indicar sentido
y dirección (¿hacia dónde?, ¿en qué
sentido?
MAGNITUDES ESCALARES MAGNITUDES VECTORIALES

8. Actividad 1: Clasifique las siguientes
magnitudes como escalares o vectoriales
• Masa (1 kg)
• Tiempo: 15 s
• V=50 km/h al norte
• Longitud: 20 cm
• Desplazamiento: 10 km al este:
• Temperatura: 20°C
• Peso: 50N dirigidos al centro de la tierra

9. Actividad 1: Clasifique las siguientes
magnitudes como escalares o vectoriales
• Masa (1 kg) escalar
• Tiempo: 15 s escalar
• V=50 km/h al norte vectorial
• Longitud: 20 cm escalar
• Desplazamiento: 10 km al este: vectorial
• Temperatura: 20°C

10. PROFUNDIZEMOS

11. Magnitudes Escalares
• Cantidades físicas que para especificarse completamente
basta con dar un número y su unidad correspondiente.
• Se manejan mediante las operaciones ordinarias de la
aritmética: suma, resta, multiplicación y división.
Cantidad física Unidades Cantidad física Unidades
Tiempo 30 s Volumen 10 cm3
Masa 20 kg Gravedad 9.81 m/s2
Distancia, longitud,
profundidad, altura.
50 m Presión 760
mmHg
Temperatura 300
C Densidad 1 Kg/m3
Rapidez m/s Carga 5x10-6
Coulomb

12. Magnitudes Vectoriales
• Cantidades físicas que para especificarse completamente hay que
proporcionar:
• un número (4);
• una unidad (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb);
• una dirección (horizontal, vertical, inclinada);
• un sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje x negativo)
Se representan gráficamente mediante flechas dirigidas (vectores).
• Se manejan mediante operaciones especiales:
• Suma y resta vectorial
• Producto punto o producto escalar
• Producto cruz o producto vectorial

13. Cantidades Vectoriales
Cantidad Magnitud Unidad Dirección Sentido
Desplazamiento 5 m Horizontal Hacia la izquierda
Fuerza 10 Newton 300
al N del E
Peso
15 Newton Vertical Hacia el centro de
la Tierra
Aceleración
9.81 m/s2
Vertical Hacia el centro de
la Tierra
Campo Eléctrico 12 N/C Radial Saliendo
Velocidad
11 Km/hr 600
A partir del eje x+
en sentido de las
manecillas del reloj

14. Elementos de un
vector
Magnitud: está representado por
el tamaño del vector, y hace
referencia a la intensidad de la
magnitud ( número)

15. ¿Cómo representar un
vector?
Dirección: corresponde a la
inclinación de la recta, y representa
al ángulo entre ella y un eje
horizontal imaginario. También
pueden usarse los ejes cartesianos,
en cuyo caso el vector se registra
como un “par ordenado”.

16. ¿Cómo representar un
vector?
Sentido: hacia donde se orienta el
vector, está indicado por la punta
de la flecha. (signo positivo que
por lo general no se coloca, o un
signo negativo). Ejem:
Ojo: No corresponde comparar el sentido de
dos vectores que no tienen la misma
dirección, de modo que se habla solamente de
vectores con el mismo sentido o con sentido
opuesto.

18. Propiedades de los vectores:
2 vectores son iguales SOLO si
tienen la misma magnitud
dirección y sentido.
Vector opuesto (o negativo): Posee
la misma magnitud y dirección que
otro vector, pero el sentido es
opuesto.
Vector Nulo: Sin magnitud. EjM: O
(0,0) (Origen del sistema
cartesiano.

19. Actividad: Determine que vectores son:
1: iguales entre Sí
2: Opuestos
3: Vector de mayor magnitud
4: Vectores con igual dirección
5: Vectores con el mismo
sentido
6: vectores con el mismo
módulo

20. Representación de un
vector
• Representación gráfica.
• En este caso dibujaríamos la
flecha correspondiente en el
plano cartesiano.
• Mediante “Par ordenado”
En este caso anotaríamos sus
componentes como un par del tipo
(X, Y) con cada magnitud requerido
y una letra mayúscula que lo
representa.
Ejem: A (0, 5)
• Con vector unitario: Haríamos
algo similar, pero agregando los
vectores unitarios que
corresponden a cada eje.
X=i Y=J, Z=k (ver sigte imagen)
Ejem: A= 0i +5J

21. ˆ
i
Vectores unitarios en el plano
y
ˆ
j
x
ˆ
i
Vector unitario en la dirección del eje x+
Vector unitario en la dirección del eje y+

22. Actividad: Represente gráficamente los
siguientes vectores.
• A: 3i
• B: 5J
• C: 3i + 5J
• D: (3, 4)
• E: Un desplazamiento de 10 cm de
una hormiga hacia el norte.

23. Operaciones con vectores: Suma
• Métodos gráficos
Método del paralelogramo
Método del polígono
• Método analítico

24. Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se
realiza de la siguiente manera:
 Se unen los orígenes de los dos vectores.
 A partir de sus puntas o terminaciones se trazan
paralelas a cada uno de ellos formando una
paralelogramo.
 La diagonal de dicho paralelogramo es el vector
suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente
ejemplo:
Método del Paralelogramo

25. ejemplo:
Método del Paralelogramo
A
B
A
B
Resultante

26. Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta
del primero. Si son mas de dos vectores, unir el origen
del tercer vector con la punta del segundo y así
sucesivamente, el vector resultante es el que va desde
el origen del primero hasta la punta del último.
A
B
B
R
e
s
u
l
t
a
n
t
e
C
A
C
D
D
Método del Polígono

27. Ley conmutativa de la suma:
 Al sumar dos o mas vectores se obtiene el mismo
resultado, no importa el orden en que se sumen. Del
ejemplo anterior:
A
B
C
D
B
A
C
D
R
e
s
u
l
t
a
n
t
e
R
e
s
u
l
t
a
n
t
e
C
D
A
B
Propiedades de la Suma Vectorial

28. Ley asociativa de la suma:
 Al sumar dos o mas vectores, algunos o todos se
pueden asociar para obtener semi-resultantes, las
cuales se suman a su vez para obtener el vector
resultante. Del ejemplo anterior:
Propiedades de la Suma Vectorial
A
B
B
R
e
s
u
l
t
a
n
t
e
C
A
C
D
D
A +
D
C + B

29. Multiplicación de un vector por un escalar
 Al multiplicar un vector por un escalar, se obtiene un
nuevo vector ( B ) que es k veces mayor, k veces
menor o bien igual que el vector que le dio origen,
todo depende del escalar. Ejemplo:
Propiedades de la Suma Vectorial
F
B = 2 F
k = 2
k = 1/2
W = 1/2 F = F/
2

30. Se define la resta de vectores como:
A - B = A + ( - B ) = R
Para restar un vector B al vector A, se procede igual que
en la suma con la única salvedad de que se toma el
negativo del vector B. Ejemplo
A
B
A
+ ( - B ) = R
A
- B
Resta de Vectores

31. Se define la resta de vectores como:
A - B = A + ( - B ) = R
Para restar un vector B al vector A, se procede igual que
en la suma con la única salvedad de que se toma el
negativo del vector B. Ejemplo
Resta de Vectores …
A
B A
– B = A
+ ( - B ) = R
A
- B
B – A
= - (A
- B ) = - R
- A
B

32. Método analítico
 Se realiza “componente a componente” del par ordenado.
 Es válido para todo lo anterior: suma, resta y multiplicación
 Revisaremos un ejemplo

33. Suma de Vectores: método de vectores unitarios
Sumar los siguientes vectores:
A = 4 i + 5 j
B = 6 i + 2 j
5 10
5
10
x +
y +
Dibujar los vectores y sumarlos
Solución
C = A + B = (4 i + 5 j ) + (6 i + 2 j )
= 4 i + 6 i + 5 j + 2 j
= (4 + 6) i + (5 + 2) j
=10 i + 7 j
ó más sencillo
A = 4 i + 5 j +
B = 6 i + 2 j
R = 10 i + 7 j
R = |R| = √100+49 = √149 = 12.2 u

34. Determínese la resultante de los
siguientes vectores

4u
A

3u
B

R


A

 B

CASO 1: VECTORES
CON IGUAL
DIRECCCIÓN Y
SENTIDO.
SE SUMAN LAS
MAGNITUDES

35. +
A

B

8u 4u =
R


4u
CASO 2: VECTORES CON LA
MISMA DIRECCIÓN, PERO
DIFERENTE SENTIDO
(OPUESTOS)
RESTAMOS SUS
MAGNITUDES!

36. Observamos que, cuando los vectores
están en la misma dirección podemos
determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en
la misma dirección ? , ¿ podremos
determinar directamente su magnitud ?

37. 4u
3
u
A

B

R

 A

 B

La magnitud en este caso no puede determinarse
directamente , por lo que debemos tratar de
buscar otra forma de determinarla

38. CASO 3: VECTORES PERPENDICULARES.
• Para determinar la magnitud del
vector resultante en este caso
(vectores “oblicuos”)
emplearemos el teorema de
Pitágoras.
Así: A= Ax +Ay
A=
A= A= 9 + 16
A= 25
A=5. El vector A mide 5u.

39. Nota: Si conocemos las coordenadas cartesianas de un vector
podemos determinar su magnitud empleando un método similar.
•Ejem:
•A: (3, 4)
•¿Cuál es la longitud del
vector?
A=
A= A= 9 + 16
A= 25
A=5. El vector A
mide 5u.

40. Actividad: La siguiente imagen representa varias fuerzas actuando
sobre un cuerpo.
• 1. Sume F1 y F2, determinando la
magnitud del vector resultante.
• 2. Sume F2 y F3 mediante alguno de los
métodos gráficos empleados.
• 3. Determine la magnitud del vector
resultante de la suma de F2 y F3.
• 4. Reste F2 con F3 representando el
vector resultando por método gráfico
F1
F2
F3
5. Determine la magnitud del vector
resultando de 4.
6. Reste F1 y F3, determinando la
magnitud del vector resultante.