Vectores teoria y ejercicios.2 BGU

VECTORES
Por: Marcos Guerrero.
1Ing. Marcos Guerrero

CANTIDADES FÍSICAS.
Es aquella que está definida por un número que la mide y una
unidad de medición.
¿Qué es una cantidad Física?
Cantidades vectoriales ( o vectores)
Existen dos tipos de
cantidades físicas
Cantidad escalares (o escalares)
¿Cuántos tipos de cantidades Físicas
existen?

CANTIDADES ESCALARES.
Es una cantidad física que posee un número que las mide y una unidad de medición.
número + unidad
mide medición
Ejemplos:
La masa 20 kg
La distancia 45 m
El volumen 15 m3
El tiempo 2 s
La rapidez 30 m.s-1
¿Qué es una cantidad escalar?:

CANTIDADES VECTORIALES.
número + unidad + dirección
magnitud o módulo o norma
Es una cantidad física que a más de tener un número que las mide y una
unidad de medición, posee dirección.
El desplazamiento 6m, en el eje x (+)
La velocidad 25m.s-1, Sur
La aceleración 5m.s-2, 180°
Fuerza 6,0N, Noreste
Campo eléctrico 200 N.C-1, 45.0° SE
¿Qué es una cantidad vectorial?:
Ejemplos:

Ing. Marcos Guerrero 5
PREGUNTAS CONCEPTUALES.
¿Cuál es la diferencia entre una cantidad
escalar y una cantidad vectorial?:

Indique, ¿cuál de las siguientes alternativas no es una
cantidad vectorial?
A. Velocidad
B. Desplazamiento
C. Posición
D. Rapidez
E. Pienso que existen más de uno que no son cantidades
vectoriales.

Indique, ¿cuál de las siguientes alternatrivas es una cantidad
vectorial?
A. Masa
B. Temperatura
C. Aceleración
D. Tiempo
E. Pienso que mas de uno es una cantidad vectorial

¿Cuáles de los siguientes alternativas tiene solo cantidades
vectoriales?
A. Fuerza, volumen, altura, velocidad, edad.
B. Densidad, aceleración, crecimiento de una persona.
C. Temperatura, luz, campo eléctrico, sonido.
D. Las manecillas del reloj, área, distancia recorrida.
E. Al menos una de las alternativas anteriores contiene por lo
menos una cantidad vectorial.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA
DE UN VECTOR
Dirección
• Flecha
• Ángulo
Punto de aplicación
(donde nace el vector)
Magnitud o módulo o norma
(tamaño del vector según la cantidad física)

Línea de referencia( se la utiliza para
medir un ángulo)

Adicionalmente, todo vector posee una línea imaginaria llamada
línea de acción.
¿Qué está permitido hacer con el vector con respecto a la línea
de acción?

Todo vector se lo puede mover sobre la línea de acción o paralela a la línea de
acción y no se altera su magnitud y dirección
RESPUESTA:

SIMBOLOGÍA.
Vector.
Magnitud, módulo o norma.
a

A

a A
a

A

Otra nomenclatura de vector
A
B

AB
La magnitud de un vector es
SIEMPRE MAYOR O IGUAL A
CERO NUNCA NEGATIVA.

Existen 3 maneras de representar un vector:
O
NF 305 

o o
mb 6020 

Representación de un vector en coordenadas rectangulares (también llamado
coordenadas cartesianas)
)5,3( mm 
Representación de un vector en coordenadas cardinales
NEm o
405
Representación de un vector en coordenadas polares

Explique ¿cómo se determina por lo general la dirección
de un vector cuando se trabaja en coordenadas polares?
El eje x(+) es la línea de referencia.
El ángulo se lo puede leer a favor del
movimiento de las manecillas del
reloj (ángulo negativo) y en contra
del movimiento de las manecillas del
reloj (ángulo positivo).

ORIENTACIÓN VECTORIAL EN
2 DIMENSIONES.

Plano de orientación vectorial.
N
S
EO
NE=E del N
SE=E del S
NO=O del N
SO=O del S
N del E
S del E
N del O
S del O

Explique ¿cómo se determina la dirección de un vector
cuando se trabaja con coordenadas cardinales?
La línea de referencia se la puede
tomar ya sea con respecto al eje
vertical o con respecto al eje
horizontal

USANDO ESCALAS PARA
DIBUJAR UN VECTOR.
Para dibujar un vector necesita una regla y un graduador.

MULTIPLICACIÓN DE UN
ESCALAR POR UN VECTOR.
Vector = escalar x vector
akb


Primero suponemos que k es un número sin unidades para poder comparar
los vectores y .
a

b

Con respecto a k puede haber 7 casos:
0-1 1
k
1k
1k
01  k
0k 1k
10  k 1k
a


CASO 1: 1k
Si tomamos k=-2, entonces .ab

2
Conclusión:
ab


Los vectores y tienen direcciones opuestas (contrarias).a

b

a

b


CASO 2: 1k
Si tomamos k=-1, entonces .ab


Conclusión:
ab


Los vectores y tienen direcciones opuestas.a

b

Vector negativo.
Un vector es negativo si tiene la misma magnitud y
dirección a opuesta a otro vector.
a

b


CASO 3: 01  k
Conclusión:
ab


Los vectores y tienen direcciones opuestas.a

b

Si tomamos ; entonces .ab

2
1

2
1
k
a

b


CASO 4: 0k
Si tomamos k=0, entonces .0

b
Conclusión:
ab


Vector cero o vector nulo.
Un vector que tiene una magnitud de cero e infinita direcciones.
Se lo representa con un punto, en donde se encuentra su punto de
aplicación y la flecha.
a

b


CASO 5: 10  k
Conclusión:
ab


Los vectores y tienen la misma dirección.a

b


2
1

2
1
k
a

b


CASO 6: 1k
Conclusión:
ab



b


1k
Vectores iguales.
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la
misma dirección.
a

b


CASO 7: 1k
Conclusión:
ab



b


22k
a

b

Animación

CONCLUSIÓN.
¿Qué ocurre si el escalar k tiene unidades, se podrá comparar las
magnitudes de los vectores y ?a

b

Cuando el escalar es negativo los vectores y tienen direcciones
opuestas. En cambio, cuando el escalar es positivo los vectores y
tienen la misma dirección
a

b

a

b

No se pueden comparar porque ambos vectores son diferentes cantidades
físicas.
Ejemplo:
gmW


Peso (N) Masa (kg) Aceleración de la gravedad (m/s2)
Ambos vectores tienen la
misma dirección pero
representan cantidades
físicas diferentes.

OPERACIONES ENTRE
VECTORES.
Suma y resta entre vectores:
los vectores deben ser de la
misma cantidad física.
Multiplicación: los
vectores pueden ser
de igual o de
diferentes cantidades
físicas.
vectorvectorvector 
Producto cruz o producto vectorial:
Producto punto o producto escalar:
vectorvectorescalar 

SUMA Y RESTA ENTRE
VECTORES

MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN
DE PROBLEMAS EN LOS QUE SE
INVOLUCRA LA SUMA Y RESTA
ENTRE VECTORES.

Métodos gráficos
Método del paralelogramo.
Método del triángulo.
Método del polígono cerrado.
Métodos analíticos
Método del paralelogramo.
Pitágoras y funciones trigonométricas básicas.
Ley seno y ley del coseno.
Método de las componentes. 32Ing. Marcos Guerrero

MÉTODOS GRÁFICOS.

MÉTODO DEL
PARALELOGRAMO.
Se lo utiliza cuando se tiene suma o resta entre 2 vectores.
El método para suma de 2 vectores consiste en:
•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.
•Trazar paralelas a los 2 vectores formando un paralelogramo.
•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la
unión de los 2 vectores y termina en la intersección de las 2
paralelas .

Ejercicio 1:
Solución:
Cuando se pide la resultante de 2 o más vectores, se asume que es la suma
de todos los vectores que están en el gráfico.
Sean los vectores y que se muestran a continuación
en la siguiente gráfica. Dibujar el vector resultante.
A

B

A

B


Ejercicio 2:
A

B

BAR


Primero disfrazamos la resta de suma, es decir .)( BAR


Segundo graficamos el vector .B


B


Sean los vectores y del ejercicio 1. Dibujar el
vector .
A

B

BAR


Solución:
B


Ejercicio 3:
)( BAR


B


Segundo graficamos el vector .A


A

Sean los vectores y del ejercicio 1. Dibujar el
vector .
A

B

ABR


Primero disfrazamos la resta de suma, es decir .)( ABR


A


Solución:
A


Comparando los gráficos de los ejercicios 2 y 3 podemos decir que la
resta de vectores no es conmutativa.
A


B

ABR


A


B

ABR


)( BAR


B


A

Propiedad anticonmutativa de la resta: .ABBA


Conclusión:
ABBA


ABBA



¿Se podría utilizar el método del paralelogramo cuando se tiene 3 o
más vectores?

MÉTODO DEL
TRIÁNGULO.
Se lo utiliza cuando se tiene resta entre 2 vectores.
El método consiste en:
•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.
•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la
flecha del segundo vector de la operación y termina en la
flecha del primer vector de la operación.

Ejercicio 1: Sean los vectores y que se muestran a
continuación. Dibujar el vector .
A

B

BAR


A

B

Solución:
A

B

BAR


Primer vector de la
operación
Segundo vector de
la operación
BAR



Ejercicio 2: Sean los vectores y que se muestran a
continuación. Dibujar el vector .
A

B

ABR


A

B

Solución:
A

B

ABR


Primer vector de la
operación
Segundo vector de
la operación
ABR



Comparando los gráficos de los ejercicios 1 y 2 podemos decir que la
resta de vectores no es conmutativa.
A

B

BAR


A

B

ABR


Comparando con el método del paralelogramo.
A


B

ABR


)( BAR


B


A


MÉTODO DEL POLÍGONO
CERRADO.
Se lo utiliza cuando se tiene 2 o más vectores.
•Colocar el primero vector de la operación.
•Colocar el segundo vector de la operación de tal
manera que su punto de aplicación coincida con la
flecha del primer vector de la operación.
•Colocar el tercer vector de la operación de tal
manera que su punto de aplicación coincida con la
flecha del segundo vector de la operación y así
sucesivamente………..
•El vector resultante se inicia en el punto de
aplicación del primer vector y termina en la flecha
del último vector de la operación.
Animación.
Se lo utiliza en las operaciones de suma y resta entre vectores.

Animación.
Conclusión:
ABBA

Propiedad conmutativa de la suma de vectores:

Animación.
Conclusión:
)()( CBACBA

Propiedad asociativa de la suma de vectores:
BmAmBAm

 )(
Propiedad distributiva de la suma y resta de vectores:

¿Pueden 2 vectores de diferente magnitud sumar cero?
A. Si.
B. No.
¿Pueden 3 vectores de igual magnitud sumar cero?
A. Si.
B. No.

  
A B and C, ,
A C
Pink Blue Green Yellow
Purple: None of these!
B
Tres vectores son mostrados a continuación.
   
S A B C  
A) B) C) D)
E) Ninguna es correcta
¿Cuál alternativa representa mejor el vector

Para cada una de las siguientes afirmaciones indique V si es
verdadero o F si es falso y justifique su respuesta en caso de
ser falso.
1. La magnitud de un vector puede ser positiva, negativa o
cero.
2. El mínimo número de vectores de igual magnitud para que
su resultante sea cero es 3.
3. La magnitud de la suma de los 2 vectores es igual a la
magnitud de la resta de los 2 vectores siempre que los 2
vectores sean perpendiculares entre sí. .

4. Las cantidades escalares pueden ser positivas, negativas o
cero.
5. Son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento y
la velocidad.
6. Son ejemplos de cantidades escalares la temperatura y la
presión.
7. Si la ecuación escalar de 2 vectores es C=A+B y su
ecuación vectorial es ,entonces el ángulo entre
los vectores y es 00.
CBA


A

B


MÉTODOS ANALÍTICOS.

MÉTODO DEL
PARALELOGRAMO.
B

A


Sean los vectores y que se muestran a continuación,
y θ el ángulo que forma el vector con una línea de
referencia.
A

B

A

Se lo puede utilizar entre 2 vectores.
Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

Primero grafiquemos el vector resultante.
B

A


BAR



Observemos que θ es el ángulo entre los vectores y ,
además Φ es el ángulo entre los vectores y .
A

B

B

R


Si suponemos que conocemos la magnitud de los vectores y ,
como también el ángulo entre ellos, entonces podemos determinar
la magnitud del vector resultante y el ángulo entre los vectores
y mediante las ecuaciones:
A

B

B
 R

R


ABCosBAR 2222




ACosB
ASen
Tan



EJERCICIO.

Las funciones trigonométricas básicas se las aplica en ángulos agudos
que se encuentran en el interior de un triángulo rectángulo.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES Y PITÁGORAS.
Las 3 más importantes son:
hipotenusa
opuesto
Sen 
hipotenusa
adyacente
Cos 
adyacente
opuesto
Tan 

Sen a
c
Cos b
c
Tan
a
b
Sen
b
c
Cos a
c
Tan b
a
a
b
c
 y  son ángulos agudos


TEOREMA DE PITÁGORAS.
“La hipotenusa al cuadrado es
igual a la suma del cuadrado de
los catetos”.
222
bac 

¿Cómo utilizar las funciones trigonométricas básicas y el teorema
de Pitágoras en vectores?
Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la
operación de suma y resta entre vectores.
A

B

BAR


A

B

C
 B

A
 BAR


0

 CBAR 67Ing. Marcos Guerrero

EJERCICIO.

LEY DEL COSENO.
La ley deL Coseno permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para
resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que
quieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas
de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de
90°.

 
 AB
CSuponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo  ,
entonces para determinar el lado C con la ecuación:
ABCosBAC 2222

La ley del Coseno dice así:
“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo
que forman”

 
 AB
C
Suponiendo que se conoce los lados B y C, así como también el ángulo  ,
entonces para determinar el lado A con la ecuación:
BCCosCBA 2222


 
 AB
C
Suponiendo que se conoce los lados A y C, así como también el ángulo  ,
entonces para determinar el lado B con la ecuación:
ACCosCAB 2222


¿Cómo utilizar la ley del coseno en vectores?
A

B

BAR


A

B

C

0

 CBAR
B

A
 BAR



EJERCICIO.

La ley del Seno es una relación de 3 igualdades que siempre se cumplen
entre los lados y sus ángulos opuestos en un triángulo cualquiera, y que es
útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los
triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o
de 90°.
LEY DEL SENO.

 
 AB
C
 Sen
C
Sen
B
Sen
A

La ley de los Senos dice así:
“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales
a los senos de los ángulos opuestos”.

 
 AB
C
Suponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo  ,
entonces para determinar el ángulo  con la ecuación:
 Sen
B
Sen
A


¿Cómo utilizar la ley del seno en vectores?
A

B

BAR


A

B

C

0

 CBAR
B

A
 BAR



EJERCICIO.

MÉTODO DE LAS
COMPONENTES.

DIBUJANDO LAS
COMPONENTES DE UN
VECTOR.
Imaginemos que tenemos un vector en el primer cuadrante.a

X
Y
0
a

xa

ya

Del gráfico podemos
observar que:
yx aaa


y son llamados
componentes ortogonales del vector
o proyecciones del vector a lo largo
de los ejes x e y respectivamente.
xa

ya

a
 a

Animación

Imaginemos que tenemos un vector en el segundo
cuadrante.
a

X
Y
0
a

xa

ya


Imaginemos que tenemos un vector en el tercer cuadrante.a

X
Y
0
a

xa

ya


Imaginemos que tenemos un vector en el cuarto cuadrante.a

X
Y
0
a

xa

ya


Imaginemos que tenemos un vector en el eje x(+).a

X
Y
0 xaa


Como el vector se encuentra en el eje x la componente del
vector en el eje y es .
a

a

0

ya

Imaginemos que tenemos un vector en el eje y(-).a

X
Y
0
yaa


Como el vector se encuentra en el eje y la componente del
vector en el eje x es .
a

a

0

xa

MAGNITUDES DE LAS
COMPONENTES DE UN
VECTOR.
Para determinar las magnitudes de las componentes de un vector a lo
largo de los ejes x e y respectivamente, se necesita la magnitud del vector
y el ángulo que forma el vector con el eje horizontal o vertical.
X
Y
0
a

xa

ya


Utilizando las funciones
trigonométricas Coseno y Seno
para el ángulo θ tenemos:
 aSena
a
a
Sen y
y

 aCosa
a
a
Cos x
x

Imaginemos que tenemos el ángulo θ y la magnitud del vector a


X
Y
0
a

xa

ya


Ahora imaginemos que tenemos el ángulo  y la magnitud del
vector a

Utilizando las funciones
trigonométricas Coseno y Seno
para el ángulo  tenemos:
 aSena
a
a
Sen x
x

 aCosa
a
a
Cos y
y


SIGNO DE LAS
COMPONENTES DE UN
VECTOR.
X
Y
0
)(xa

)(ya

Cuadrante I
)(xa

)(ya

Cuadrante II
)(xa

)(ya

Cuadrante III
)(xa

)(ya

Cuadrante IV

MAGNITUD DE UN VECTOR.
Y
X
0
a

xa

ya

Imaginemos que conocemos las componentes y del
vector .a
 ya

xa

Podemos utilizar el teorema de
Pitágoras para determinar la
magnitud del vector ,
entonces tenemos:
a

22
yx aaa 

DIRECCIÓN DE UN VECTOR.
Recordemos que la dirección de un vector se lo mide con respecto al eje
x(+). Si la dirección se la mide a favor del movimiento de las manecillas
del reloj el ángulo es negativo, pero si la dirección se la mide en contra
del movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es positivo.

Para determinar la dirección de un vector, imaginemos que conocemos
las componentes y del vector .a

ya

xa

Utilizando la siguiente función
trigonométrica tenemos:
x
y
a
a
Tan 
Cada vez que se utilice esta ecuación
debemos tener presente que el ángulo θ
es el que forma el vector con el eje
horizontal.
X
0
a

xa

ya

θ
Y

Imaginemos que tenemos un vector en el primer cuadrante.a

X
Y
0
a

(+)
(-)

Imaginemos que tenemos un vector en el segundo
cuadrante.
a

X
Y
0
a

(+)
(-)

Imaginemos que tenemos un vector en el tercer cuadrante.a

X
Y
0
a

(+)
(-)

Imaginemos que tenemos un vector en el cuarto cuadrante.a

X
Y
0
a

(+)
(-)

Se lo puede utilizar cuando se tiene 2 o más vectores.
Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre
vectores.
•Colocar los vectores de tal manera que sus puntos de aplicación
coincidan con el origen de coordenadas.
•Dibujar las componentes de cada vector, trazando paralelas a los ejes X
y Y respectivamente
•Determinar las magnitudes de las componentes de cada vector
utilizando las funciones trigonométricas básicas seno y coseno.
•Colocar el signo de las componentes de cada vector según el cuadrante
respectivo en el que se encuentre el mismo.
MÉTODO DE LAS
COMPONENTES.

•Determinar las componentes del vector resultante.
•Dibujar el vector resultante en el cuadrante respectivo.
•Determinar la magnitud del vector resultante con ayuda del teorema de
Pitágoras.
•Determinar la dirección del vector resultante, para esto se puede utilizar
la función trigonométrica como herramienta adicional.

Dos vectores A y B se muestran a continuación. Considere el
vector C = A+B. ¿Cuál es la componente del vector C en y?
(cada lado del cuadrado vale 1 u)
B
A
x
yA) 3
B) 2
C) -2
D) -4
E) Ninguno de ellos es la respuesta.

103 Marcos Guerrero
REPASO DE VECTORES

Marcos Guerrero107
SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIALES.
x
y
z
z
x
y
y
z
x
Sistema de coordenadas espaciales que contiene:
•3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z.
•3 planos x-y, x-z, y-z.
•8 octantes :
X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+).
X(-), y(-),z(+). X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-). X(-), y(-),z(-).

UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL
SISTEMA DE COORDENADAS
ESPACIALES.
Marcos Guerrero108
• En el origen, las 3
coordenadas valen cero.
(0,0,0)
z
x
y
a
b
c
(a,0,0)
(0,b,0)
(0,0,c)
(a,b,0)
(a,0,c)
(0,b,c)
(a,b,c)
(x,y,z) Triada ordenada
Cuando el punto de
coordenadas está:
• En el eje, 2 coordenadas
valen cero.
• En el plano, una
coordenada vale cero.
• En el espacio, las 3
coordenadas son diferente
de cero.

VECTORES EN EL ESPACIO.
Marcos Guerrero109
z
x
y
a

xa
 ya
za

z
x
y
xa

ya

za

a

zyx aaaa


kajaiaa zyx
ˆˆˆ 

son llamados componentes
ortogonales del vector o proyecciones
del vector a lo largo de los ejes x,y,z
respectivamente.
zyx aaa

,,
a

a
 Representación de un vector utilizando
vectores unitarios
Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en los
ejes x y z respectivamente

Marcos Guerrero110
REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR
UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS
(VECTORES BASES).
¿Qué es un vector base?
Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a la
unidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura

111 Marcos Guerrero
¿Para qué se utiliza los vectores base?
Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector

MarcosGuerrero
112
¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje?
Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si
se encuentra en un eje sólo tiene una componente.
z
x
y
a

xaa


za

z
x
y
zx aaa


xa


MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL
ESPACIO.
Marcos Guerrero113
a

Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que su
magnitud viene dada por la expresión:
222
zyx aaaa 

DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL
ESPACIO.
Marcos Guerrero114
z
x
y
a

xa

ya

za

α
β
γ
α,β,γ se llaman ángulos directores y son los
ángulos que determinan la dirección de un
vector en el espacio.
α es el ángulo que forma el vector con el eje x(+)a

β es el ángulo que forma el vector con el eje y(+)a

γ es el ángulo que forma el vector con el eje z(+)a


Marcos Guerrero115
¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector con los ejes negativos?a

x(+) x(-)
a

α
1800 -α
1800-α es el ángulo que forma el vector con el eje x(-)a

1800 -βes el ángulo que forma el vector con el eje y(-)a

1800 -γes el ángulo que forma el vector con el eje z(-)a


Marcos Guerrero116
ax
a
α
ay
a
β
az
a
γ
Con ayuda de los cosenos directores.
¿Cómo se determinan los ángulos directores?
Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos
directores están relacionados por la expresión:
a

a
a
Cos x

z
x
y
a

xa
 ya
za

a
a
Cos
y

1222
  CosCosCos
a
a
Cos z


GRAFICANDO UN VECTOR EN EL
ESPACIO.
Marcos Guerrero117
)(4ˆ2ˆ3 mkjia 

Graficar el vector
x
y
z
a


Marcos Guerrero121

VECTOR UNITARIO ( )
Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.
Todo vector posee su vector unitario.
z
x
y
a

a

Definición:
Los vectores y tienen la
misma dirección.
a

a

a

El vector es adimensional.
a
a
a



a

: vector unitario del vector a


Marcos Guerrero122
kajaiaa zyx
ˆˆˆ 

a
kajaia zyx
a
ˆˆˆ 


k
a
a
j
a
a
i
a
a zyx
a
ˆˆˆ 

kCosjCosiCosa
ˆˆˆ  

222
zyx aaaa 
En función de las componentes y
la magnitud
En función de los cosenos
directores

Marcos Guerrero123
Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales
direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta.
V
 F

Ambos tienen el mismo vector unitario.
V

F

Ambos vectores unitarios tienen la misma
magnitud y la misma dirección.
1 FV 


MULTIPLICACIÓN ENTRE
VECTORES.
Marcos Guerrero124
oPueden ser de igual o de diferentes unidades.
oExisten dos tipos:
•Producto punto o producto escalar.
vectorvectorescalar 
•Producto cruz o producto vectorial.
vectorvectorvector 
sFW


Fr



Marcos Guerrero125
PRODUCTO PUNTO.
También llamado producto escalar.
Definición:
 A

B
es el ángulo entre los vectores
y .
CosBABA


Animación.
Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.

Marcos Guerrero126
PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO.
Propiedad Conmutativa: ABBA


Propiedad Distributiva: CABACBA

 )(
Propiedad de
Homogenidad:
)()()( BmABAmBAm


donde m es un escalar
Propiedad de Positividad:
2
AAA

 0

Asi

Marcos Guerrero127
PRODUCTO PUNTO ENTRE
VECTORES UNITARIOS .kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto punto entre vectores unitarios iguales .
1ˆˆ
0ˆˆˆˆ 0


ii
Cosiiii
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
1ˆˆ  jj 1ˆˆ kk
El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es
igual a 1.
En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos
y de la misma dirección siempre es igual a 1.

Marcos Guerrero128
Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares.
0ˆˆ
90ˆˆˆˆ 0


ji
Cosjiji
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
0ˆˆ kj 0ˆˆ ik
El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares
siempre es igual a 0.

Marcos Guerrero129
PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y :A

B

kBjBiBB
kAjAiAA
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ




demostrar que:
ZZYYXX BABABABA 


Marcos Guerrero130
ZZYYXX BABABABA 

Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.

Marcos Guerrero131
APLICACIONES DEL PRODUCTO
PUNTO.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar el ángulo entre dos vectores.
•Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector
sobre otro vector.
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO EL
PRODUCTO PUNTO.
Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben
estar unidos por un mismo punto de aplicación.

Marcos Guerrero132
Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la
ecuación:







 
 
BA
BA
Cos 

1


Marcos Guerrero133
PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN
VECTOR SOBRE OTRO VECTOR.
Proyección escalar de un vector sobre otro vector.
A

B


Imaginemos que tenemos dos vectores y unidos por un mismo
punto de aplicación.
A

B

Vamos a determinar la
proyección escalar del
vector sobre el vector
que se lo denota como .
A

B

BA
BA

Marcos Guerrero134
Del gráfico anterior tenemos:
CosAAB


Si comparamos con la definición de producto punto:
CosBABA


La ecuación anterior la podemos expresar como:
BABBA


Despejando :BA
B
BA
AB 




Marcos Guerrero135
Proyección vectorial de un vector sobre otro vector.
Del gráfico anterior tenemos:
A

B


BA
Dibujemos el vector unitario
del vector ( ).B

B

Donde:
B
B
B 



B

BA
 Ahora dibujemos la
proyección vectorial del vector
sobre el vector y lo
denotamos .
A

B

BA


Marcos Guerrero136
Del gráfico, podemos observar que:
BBB AA 



Marcos Guerrero137
PRODUCTO CRUZ.
También llamado producto vectorial.
Definición:
 A

B

es el ángulo entre los vectores
y .
Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.
SenBABA

Magnitud

Marcos Guerrero138
Animación.
Con la regla de la mano derecha:
“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación,
luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menor
rotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante”
¿Cómo se determina la dirección del vector ?BA


Animación.
El producto vectorial sólo
existe en el espacio
tridimensional.
CB
CA





Marcos Guerrero139
¿Cómo se determina la dirección del vector ?AB


Animación.
CB
CA





PROPIEDADES DEL
PRODUCTO CRUZ.
Marcos Guerrero140
Propiedad homogenidad
escalar
BABABA
:
)()()(




ABBA

Propiedad anti-conmutativa
CABACBA

 )(Propiedad distributiva
0

 BA si BA

//

Marcos Guerrero141
PRODUCTO CRUZ ENTRE
VECTORES UNITARIOS .kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares.
kji ˆˆˆ 
iˆ
jˆ
kˆ

jik ˆˆˆ 
ikj ˆˆˆ 
iˆ
jˆ
kˆ

kij ˆˆˆ 
jki ˆˆˆ 
ijk ˆˆˆ 

Marcos Guerrero142
Producto cruz entre vectores unitarios iguales.
0ˆˆ

ii
0ˆˆ

 jj
0ˆˆ

kk
El producto vectorial de dos
vectores unitarios iguales es el
vector nulo.

Marcos Guerrero143
PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y :A

B

kBjBiBB
kAjAiAA
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ




ZYX
ZYX
BBB
AAA
kji
BAC
ˆˆˆ


fila
columna

Marcos Guerrero144
k
BB
AA
j
BB
AA
i
BB
AA
BBB
AAA
kji
BAC
YX
YX
ZX
ZX
ZY
ZY
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ


kCjCiCC ˆˆˆ 131211 

donde:
YZZY BABAC 11
XZZX BABAC 12
XYYX BABAC 13

Marcos Guerrero145
A

B

¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado por los
vectores y ?
A

B


Altura
Base
ABase




SenBAltura
B
Altura
Sen




SenBAArea
AlturaBaseArea




Marcos Guerrero146
Si la comparamos con la ecuación:
SenBABAC


Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores y
viene dada por la magnitud del vector .
A

B

C

BACArea



Marcos Guerrero147
A

B


A

B
¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los
vectores , y ?BA


BA


Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores , y
viene dada por la mitad de la magnitud del vector .
A

B

C
 BA


22
BAC
Area




Marcos Guerrero148
APLICACIONES DEL PRODUCTO
CRUZ.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar un vector perpendicular al plano formado por dos
vectores.
•Determinar el área del paralelogramo formado por dos
vectores.
•Determinar el área del triángulo formado por tres vectores.

Marcos Guerrero149
TRIPLE PRODUCTO ENTRE
VECTORES .
A

B

D

BAC


Vamos a determinar el producto
cruz entre los vectores y
( ).
B

BAC


A

CD
Vamos a determinar la
proyección escalar del vector
sobre el vector ( ).
D

C

CD

Marcos Guerrero150
Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector
sobre el vector es la altura del paralelepípedo.
D

C

C
CD
Dh C 



 
BA
BAD
h 




Donde es el área de la base del paralelepípedo.BA



Marcos Guerrero151
Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la
base del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo,
entonces tenemos que:
 BADBAhVolumen


 BADVolumen



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