Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores. Define vectores y cantidades escalares, y explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, mientras que los escalares solo tienen magnitud. Describe formas de representar vectores gráficamente usando flechas y coordenadas polares, y define operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares, y vectores opuestos. Finalmente, presenta métodos gráficos para realizar sumas y restas de vectores.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) La definición de vectores, cantidades escalares y vectoriales.
2) Formas de representar vectores gráficamente y analíticamente.
3) Operaciones básicas con vectores como suma, resta y multiplicación por escalares.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) Definiciones de magnitudes escalares y vectoriales, y ejemplos de cada una
2) Formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica
3) Tipos de vectores como paralelos, iguales, opuestos, etc.
4) Operaciones básicas con vectores como suma y resta gráficamente y analíticamente usando teoremas como Pitágoras.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores. Explica que un vector contiene magnitud y dirección, mientras que una cantidad escalar solo contiene magnitud. Describe cómo se representan vectores mediante flechas con longitud y orientación, y cantidades escalares mediante números y unidades. También cubre temas como componentes de vectores, coordenadas polares y rectangulares, y cómo calcular desplazamientos resultantes de varios vectores.
Este documento describe conceptos básicos sobre vectores, incluyendo sus diferentes tipos, representaciones y operaciones. Explica que los vectores son cantidades que requieren módulo, dirección y sentido, a diferencia de los escalares. También describe cómo representar vectores gráficamente, analíticamente y mediante componentes, así como cómo sumar, restar y multiplicar vectores. Finalmente, presenta fórmulas para calcular cosenos directores y la distancia entre dos puntos en el espacio.
Este documento presenta el contenido de un curso de física sobre vectores. Incluye tres unidades sobre mecánica, calorimetría y trabajo, potencia y energía. Explica conceptos básicos de vectores como cantidades escalares y vectoriales, suma y resta de vectores usando métodos gráficos y analíticos. También presenta actividades para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Este documento describe diferentes tipos de cantidades y operaciones con vectores. Explica que las cantidades escalares se especifican por su magnitud y unidad, mientras que los vectores también incluyen una dirección. Detalla métodos para sumar y restar vectores, como el polígono y el paralelogramo. También cubre cómo multiplicar un vector por un escalar, y calcular componentes rectangulares de vectores.
Este documento trata sobre vectores en física. Explica que los vectores son cantidades que tienen magnitud y dirección, a diferencia de los escalares que solo tienen magnitud. Describe cómo representar vectores usando vectores unitarios y cómo descomponer un vector en sus componentes a lo largo de los ejes x e y. También cubre cómo sumar y restar vectores y cómo trasladar un vector sin cambiar su magnitud o dirección.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) La definición de vectores, cantidades escalares y vectoriales.
2) Formas de representar vectores gráficamente y analíticamente.
3) Operaciones básicas con vectores como suma, resta y multiplicación por escalares.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) Definiciones de magnitudes escalares y vectoriales, y ejemplos de cada una
2) Formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica
3) Tipos de vectores como paralelos, iguales, opuestos, etc.
4) Operaciones básicas con vectores como suma y resta gráficamente y analíticamente usando teoremas como Pitágoras.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores. Explica que un vector contiene magnitud y dirección, mientras que una cantidad escalar solo contiene magnitud. Describe cómo se representan vectores mediante flechas con longitud y orientación, y cantidades escalares mediante números y unidades. También cubre temas como componentes de vectores, coordenadas polares y rectangulares, y cómo calcular desplazamientos resultantes de varios vectores.
Este documento describe conceptos básicos sobre vectores, incluyendo sus diferentes tipos, representaciones y operaciones. Explica que los vectores son cantidades que requieren módulo, dirección y sentido, a diferencia de los escalares. También describe cómo representar vectores gráficamente, analíticamente y mediante componentes, así como cómo sumar, restar y multiplicar vectores. Finalmente, presenta fórmulas para calcular cosenos directores y la distancia entre dos puntos en el espacio.
Este documento presenta el contenido de un curso de física sobre vectores. Incluye tres unidades sobre mecánica, calorimetría y trabajo, potencia y energía. Explica conceptos básicos de vectores como cantidades escalares y vectoriales, suma y resta de vectores usando métodos gráficos y analíticos. También presenta actividades para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Este documento describe diferentes tipos de cantidades y operaciones con vectores. Explica que las cantidades escalares se especifican por su magnitud y unidad, mientras que los vectores también incluyen una dirección. Detalla métodos para sumar y restar vectores, como el polígono y el paralelogramo. También cubre cómo multiplicar un vector por un escalar, y calcular componentes rectangulares de vectores.
Este documento trata sobre vectores en física. Explica que los vectores son cantidades que tienen magnitud y dirección, a diferencia de los escalares que solo tienen magnitud. Describe cómo representar vectores usando vectores unitarios y cómo descomponer un vector en sus componentes a lo largo de los ejes x e y. También cubre cómo sumar y restar vectores y cómo trasladar un vector sin cambiar su magnitud o dirección.
Este documento introduce conceptos básicos de física como escalares, vectores, magnitud, dirección y sentido. Explica que los vectores se representan con flechas y pueden ser libres o deslizantes. También describe propiedades de sistemas de vectores y métodos para realizar operaciones vectoriales como suma mediante triángulos y paralelogramos. Finalmente, detalla el método de componentes para sumar vectores determinando sus componentes perpendiculares horizontales y verticales.
Este documento introduce conceptos básicos de análisis vectorial como cantidades escalares y vectoriales, notación de vectores, definición de vectores iguales y opuestos, suma y resta de vectores. Explica que las cantidades vectoriales como velocidad y fuerza tienen magnitud y dirección, mientras que las escalares como masa y tiempo solo tienen magnitud. También define la suma y resta geométrica de vectores y provee ejemplos ilustrativos.
El documento presenta información sobre sistemas de coordenadas, vectores, álgebra vectorial, producto escalar y producto vectorial. Explica conceptos básicos como puntos en el espacio cartesiano, vectores, sumas y diferencias vectoriales, y aplicaciones de productos escalares y vectoriales para resolver problemas geométricos y físicos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del análisis vectorial. Introduce vectores y escalares, y explica que los vectores requieren una magnitud, dirección y sentido para expresarse. Luego describe las propiedades de los vectores, incluidas las operaciones de suma y resta vectoriales, y la multiplicación de un escalar por un vector. Finalmente, introduce los conceptos de producto escalar y producto vectorial, incluyendo sus propiedades y aplicaciones geométricas. El documento proporciona una visión general completa de los principios básicos del aná
Este documento describe los conceptos básicos de escalares y vectores. Explica que un escalar tiene magnitud pero no dirección, mientras que un vector tiene magnitud y dirección. Detalla formas de representar vectores gráficamente y mediante componentes rectangulares, y métodos para sumar, restar y multiplicar vectores. También define el producto escalar de vectores.
Este documento define vectores y describe cómo realizar operaciones con ellos, incluida la resta de vectores. Un vector tiene dirección, sentido y magnitud. Para restar vectores, se suma el primer vector con el opuesto del segundo vector. Esto permite tratar la resta como una suma. El documento también cubre las componentes rectangulares de los vectores y proporciona un ejemplo numérico de cómo realizar una resta de vectores.
Este documento introduce los conceptos básicos de vectores y sistemas de coordenadas. Explica la diferencia entre escalares y vectores, y cómo los vectores tienen magnitud, dirección y sentido. También cubre cómo representar vectores en sistemas de coordenadas, sumar y restar vectores, y descomponer vectores en componentes.
El documento describe conceptos básicos de física como unidades de medida, modelos ideales, vectores y sus propiedades. Explica cómo representar cantidades físicas como escalares y vectores, y cómo realizar operaciones con vectores como suma, resta y descomposición en componentes.
Este documento contiene definiciones y conceptos básicos sobre vectores. Explica términos como módulo, dirección, sentido de un vector, así como operaciones entre vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También define conceptos como cosenos directores, vector unitario, área de figuras geométricas dadas sus coordenadas, y derivadas de vectores respecto a escalares. El documento provee una introducción completa a los fundamentos del cálculo vectorial.
1) El documento describe las diferencias entre cantidades escalares y vectoriales, y provee ejemplos de cada una. 2) Explica cómo representar cantidades vectoriales usando componentes, vectores unitarios, y sistemas de coordenadas. 3) Detalla métodos geométricos y analíticos para realizar operaciones entre vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y producto escalar.
Este documento presenta conceptos básicos de física. Explica que la física trata de los fenómenos y propiedades físicas sin importar la composición. Define magnitudes como cantidades que se pueden medir como longitudes, áreas y volúmenes. Las cantidades son porciones de las magnitudes. También introduce los sistemas de unidades, vectores, magnitudes escalares y vectoriales y métodos para sumar vectores.
Este documento presenta una introducción al análisis vectorial para física. Explica conceptos básicos como escalares, vectores y tensores. Describe elementos de vectores como magnitud, dirección y sentido. Presenta descomposiciones vectoriales, producto escalar, producto vectorial y ejemplos de aplicación. El análisis vectorial proporciona una herramienta matemática útil para modelar situaciones físicas.
El documento explica los conceptos básicos de vectores, incluyendo que un vector se define por su magnitud, dirección y sentido, a diferencia de una cantidad escalar que se describe con un solo número. Describe el vector de desplazamiento y cómo se suman y restan vectores mediante métodos gráficos. También introduce los conceptos de componentes de un vector y productos punto y cruz entre vectores.
Este documento describe vectores en tres dimensiones. Explica que en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, un vector se representa como una tríada de números reales correspondientes a sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También define conceptos como la suma y resta de vectores, y la multiplicación de un vector por un escalar en tres dimensiones.
Para resolver este problema debemos analizarlo como un problema de vectores:
- La corriente tiene una velocidad de 0,50 m/s hacia el este. Este es un vector.
- El guardavidas nada a 1,5 m/s. Este también es un vector.
- Para llegar lo más rápido posible al joven en peligro, el guardavidas debe nadar en la dirección opuesta a la corriente.
- Si nada desde la posición A, su velocidad efectiva (vector resultante) sería la suma de los dos vectores. Esto lo llevaría en dirección
Este documento presenta información sobre vectores, incluyendo su definición, propiedades, operaciones como adición y sustracción, y ejemplos. Explica que los vectores son magnitudes físicas que requieren una magnitud, dirección y sentido para estar completamente definidos, y que pueden representarse gráficamente mediante flechas. También cubre temas como descomposición rectangular de vectores, vectores unitarios, y cómo resolver problemas utilizando conceptos vectoriales.
El documento introduce los conceptos de magnitudes escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares solo requieren un número y unidad para definirse, mientras que las magnitudes vectoriales también necesitan dirección y sentido. Los vectores pueden representarse gráficamente mediante flechas y se definen por su magnitud, dirección y sentido. Existen métodos para sumar vectores gráfica y analíticamente.
Este documento presenta los fundamentos del análisis vectorial. Introduce conceptos clave como escalares, vectores, campos escalares y vectoriales. Explica cómo representar vectores usando sistemas de coordenadas cartesianas, incluyendo descomponer un vector en sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También cubre sumas y multiplicaciones básicas de vectores.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra y cálculo vectorial. Introduce las magnitudes escalares y vectoriales, y define un vector como un segmento orientado con magnitud, dirección y sentido. Explica cómo representar y sumar vectores, así como el producto de un vector por un escalar. También cubre sistemas de coordenadas cartesianas, componentes de vectores, producto escalar y vectorial entre vectores, y momento de un vector con respecto a un punto.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) Definiciones de magnitudes escalares y vectoriales, y ejemplos de cada una
2) Formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica
3) Tipos de vectores como paralelos, iguales, opuestos, etc.
4) Operaciones básicas con vectores como suma y resta gráficamente y analíticamente usando teoremas como Pitágoras.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) Definiciones de magnitudes escalares y vectoriales, y ejemplos de cada una
2) Formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica
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El documento define conceptos básicos de vectores y cantidades escalares. Explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, mientras que los escalares solo tienen magnitud. Describe formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica. También cubre operaciones básicas con vectores como suma, resta y multiplicación por escalares.
Este documento introduce conceptos básicos de física como escalares, vectores, magnitud, dirección y sentido. Explica que los vectores se representan con flechas y pueden ser libres o deslizantes. También describe propiedades de sistemas de vectores y métodos para realizar operaciones vectoriales como suma mediante triángulos y paralelogramos. Finalmente, detalla el método de componentes para sumar vectores determinando sus componentes perpendiculares horizontales y verticales.
Este documento introduce conceptos básicos de análisis vectorial como cantidades escalares y vectoriales, notación de vectores, definición de vectores iguales y opuestos, suma y resta de vectores. Explica que las cantidades vectoriales como velocidad y fuerza tienen magnitud y dirección, mientras que las escalares como masa y tiempo solo tienen magnitud. También define la suma y resta geométrica de vectores y provee ejemplos ilustrativos.
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Este documento presenta los conceptos fundamentales del análisis vectorial. Introduce vectores y escalares, y explica que los vectores requieren una magnitud, dirección y sentido para expresarse. Luego describe las propiedades de los vectores, incluidas las operaciones de suma y resta vectoriales, y la multiplicación de un escalar por un vector. Finalmente, introduce los conceptos de producto escalar y producto vectorial, incluyendo sus propiedades y aplicaciones geométricas. El documento proporciona una visión general completa de los principios básicos del aná
Este documento describe los conceptos básicos de escalares y vectores. Explica que un escalar tiene magnitud pero no dirección, mientras que un vector tiene magnitud y dirección. Detalla formas de representar vectores gráficamente y mediante componentes rectangulares, y métodos para sumar, restar y multiplicar vectores. También define el producto escalar de vectores.
Este documento define vectores y describe cómo realizar operaciones con ellos, incluida la resta de vectores. Un vector tiene dirección, sentido y magnitud. Para restar vectores, se suma el primer vector con el opuesto del segundo vector. Esto permite tratar la resta como una suma. El documento también cubre las componentes rectangulares de los vectores y proporciona un ejemplo numérico de cómo realizar una resta de vectores.
Este documento introduce los conceptos básicos de vectores y sistemas de coordenadas. Explica la diferencia entre escalares y vectores, y cómo los vectores tienen magnitud, dirección y sentido. También cubre cómo representar vectores en sistemas de coordenadas, sumar y restar vectores, y descomponer vectores en componentes.
El documento describe conceptos básicos de física como unidades de medida, modelos ideales, vectores y sus propiedades. Explica cómo representar cantidades físicas como escalares y vectores, y cómo realizar operaciones con vectores como suma, resta y descomposición en componentes.
Este documento contiene definiciones y conceptos básicos sobre vectores. Explica términos como módulo, dirección, sentido de un vector, así como operaciones entre vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También define conceptos como cosenos directores, vector unitario, área de figuras geométricas dadas sus coordenadas, y derivadas de vectores respecto a escalares. El documento provee una introducción completa a los fundamentos del cálculo vectorial.
1) El documento describe las diferencias entre cantidades escalares y vectoriales, y provee ejemplos de cada una. 2) Explica cómo representar cantidades vectoriales usando componentes, vectores unitarios, y sistemas de coordenadas. 3) Detalla métodos geométricos y analíticos para realizar operaciones entre vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y producto escalar.
Este documento presenta conceptos básicos de física. Explica que la física trata de los fenómenos y propiedades físicas sin importar la composición. Define magnitudes como cantidades que se pueden medir como longitudes, áreas y volúmenes. Las cantidades son porciones de las magnitudes. También introduce los sistemas de unidades, vectores, magnitudes escalares y vectoriales y métodos para sumar vectores.
Este documento presenta una introducción al análisis vectorial para física. Explica conceptos básicos como escalares, vectores y tensores. Describe elementos de vectores como magnitud, dirección y sentido. Presenta descomposiciones vectoriales, producto escalar, producto vectorial y ejemplos de aplicación. El análisis vectorial proporciona una herramienta matemática útil para modelar situaciones físicas.
El documento explica los conceptos básicos de vectores, incluyendo que un vector se define por su magnitud, dirección y sentido, a diferencia de una cantidad escalar que se describe con un solo número. Describe el vector de desplazamiento y cómo se suman y restan vectores mediante métodos gráficos. También introduce los conceptos de componentes de un vector y productos punto y cruz entre vectores.
Este documento describe vectores en tres dimensiones. Explica que en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, un vector se representa como una tríada de números reales correspondientes a sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También define conceptos como la suma y resta de vectores, y la multiplicación de un vector por un escalar en tres dimensiones.
Para resolver este problema debemos analizarlo como un problema de vectores:
- La corriente tiene una velocidad de 0,50 m/s hacia el este. Este es un vector.
- El guardavidas nada a 1,5 m/s. Este también es un vector.
- Para llegar lo más rápido posible al joven en peligro, el guardavidas debe nadar en la dirección opuesta a la corriente.
- Si nada desde la posición A, su velocidad efectiva (vector resultante) sería la suma de los dos vectores. Esto lo llevaría en dirección
Este documento presenta información sobre vectores, incluyendo su definición, propiedades, operaciones como adición y sustracción, y ejemplos. Explica que los vectores son magnitudes físicas que requieren una magnitud, dirección y sentido para estar completamente definidos, y que pueden representarse gráficamente mediante flechas. También cubre temas como descomposición rectangular de vectores, vectores unitarios, y cómo resolver problemas utilizando conceptos vectoriales.
El documento introduce los conceptos de magnitudes escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares solo requieren un número y unidad para definirse, mientras que las magnitudes vectoriales también necesitan dirección y sentido. Los vectores pueden representarse gráficamente mediante flechas y se definen por su magnitud, dirección y sentido. Existen métodos para sumar vectores gráfica y analíticamente.
Este documento presenta los fundamentos del análisis vectorial. Introduce conceptos clave como escalares, vectores, campos escalares y vectoriales. Explica cómo representar vectores usando sistemas de coordenadas cartesianas, incluyendo descomponer un vector en sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También cubre sumas y multiplicaciones básicas de vectores.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra y cálculo vectorial. Introduce las magnitudes escalares y vectoriales, y define un vector como un segmento orientado con magnitud, dirección y sentido. Explica cómo representar y sumar vectores, así como el producto de un vector por un escalar. También cubre sistemas de coordenadas cartesianas, componentes de vectores, producto escalar y vectorial entre vectores, y momento de un vector con respecto a un punto.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) Definiciones de magnitudes escalares y vectoriales, y ejemplos de cada una
2) Formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica
3) Tipos de vectores como paralelos, iguales, opuestos, etc.
4) Operaciones básicas con vectores como suma y resta gráficamente y analíticamente usando teoremas como Pitágoras.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) Definiciones de magnitudes escalares y vectoriales, y ejemplos de cada una
2) Formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica
3) Tipos de vectores como paralelos, iguales, opuestos, etc.
4) Operaciones básicas con vectores como suma y resta gráficamente y analíticamente usando teoremas como Pitágoras.
El documento define conceptos básicos de vectores y cantidades escalares. Explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, mientras que los escalares solo tienen magnitud. Describe formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica. También cubre operaciones básicas con vectores como suma, resta y multiplicación por escalares.
El documento define conceptos básicos de vectores y cantidades escalares. Explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, mientras que los escalares solo tienen magnitud. También describe métodos para representar y sumar vectores gráficamente, así como propiedades de las operaciones con vectores como la suma y la multiplicación por un escalar.
El documento describe conceptos básicos de vectores, incluyendo cantidades escalares y vectoriales, representación gráfica y notación de vectores, operaciones como suma y resta vectorial, y clasificación de vectores. Explica que un vector tiene magnitud, dirección y sentido, mientras que un escalar solo tiene magnitud. También presenta métodos para representar y sumar vectores gráficamente como el triángulo y el paralelogramo.
Este documento describe las diferencias entre magnitudes escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares solo tienen magnitud, mientras que las magnitudes vectoriales también tienen dirección y sentido. Explica cómo representar vectores gráficamente y define sus elementos constitutivos. También cubre operaciones básicas con vectores como la suma y multiplicación por escalares. Finalmente, presenta métodos para sumar vectores gráficamente usando triángulos y paralelogramos.
Este documento describe los tipos de magnitudes vectoriales y escalares, y explica conceptos clave como vectores, módulo, dirección, suma y resta de vectores. También cubre operaciones con vectores como multiplicación por escalares, producto escalar y producto vectorial en dos y tres dimensiones.
Presentación electrónica que contiene los aspectos teóricos del Tema 1.1: Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica, tema que se analiza en la Unidad 1 de la materia de Calculo Vectorial
El documento habla sobre magnitudes físicas y vectores. Explica que las magnitudes físicas incluyen cantidades como masa, temperatura y longitud, mientras que los vectores representan cantidades como velocidad y fuerza. También describe métodos para sumar vectores como el método del triángulo y del polígono, y define conceptos como el producto escalar y vectorial.
1) El documento describe las cantidades escalares y vectoriales, y define un vector geométricamente como un segmento de recta con magnitud y dirección.
2) Explica cómo representar la magnitud y dirección de un vector, y cómo determinar las direcciones en un plano y en el espacio tridimensional usando ángulos.
3) Describe los conceptos de igualdad de vectores, suma, resta, multiplicación por un escalar, componentes y cosenos directores de vectores. Presenta ejemplos y métodos gráficos para ilustrar los conceptos.
1) El documento describe las cantidades escalares y vectoriales, y define un vector geométricamente como un segmento de recta con magnitud y dirección.
2) Explica cómo representar la magnitud y dirección de un vector, y cómo determinar las direcciones en un plano y en el espacio tridimensional usando ángulos.
3) Describe los conceptos de igualdad de vectores, suma, resta, multiplicación por un escalar, componentes y cosenos directores de vectores. Presenta métodos geométricos para realizar operaciones con vectores.
Este documento proporciona una introducción a los conceptos de vectores escalares y vectoriales en física. Explica que las magnitudes escalares como la masa y el tiempo se caracterizan por un valor numérico, mientras que las magnitudes vectoriales como la velocidad y la fuerza también requieren una dirección. Describe cómo los vectores se representan geométricamente mediante un trazo dirigido y se caracterizan por su magnitud, dirección y sentido. También cubre operaciones básicas con vectores como la suma, resta, multiplicación por un escalar y productos
Para resolver este problema debemos analizarlo como un problema de vectores:
- La corriente tiene una velocidad de 0,50 m/s hacia el este. Este es un vector.
- El guardavidas nada a 1,5 m/s. Este también es un vector.
- Para llegar lo más rápido posible al joven en peligro, el guardavidas debe nadar en la dirección opuesta a la corriente. Es decir, la suma de los vectores corriente y velocidad de nado debe apuntar en línea recta hacia el joven.
Si analizamos las posibles pos
Este documento describe vectores en el plano y en el espacio. Define un vector como un segmento orientado con dirección, sentido y magnitud. Explica cómo representar vectores en el plano y en el espacio usando coordenadas cartesianas y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación de vectores. También cubre propiedades importantes de los vectores como conmutatividad, asociatividad y el elemento neutro.
Este documento trata sobre el análisis vectorial y las herramientas matemáticas para trabajar con vectores. Explica conceptos como magnitudes vectoriales, elementos de un vector, tipos de vectores, operaciones con vectores usando métodos gráficos y analíticos, y descomposición rectangular de vectores. También incluye ejemplos resueltos sobre sumas, restas y multiplicación de vectores.
El documento describe los conceptos básicos de sistemas de coordenadas, magnitudes escalares y vectoriales, y operaciones con vectores. Introduce los sistemas de coordenadas rectangular y polar, y explica cómo representar puntos y vectores usando coordenadas. También define sumas, restas, multiplicación de vectores y escalares, y descomposición de vectores en componentes.
Este documento describe conceptos básicos sobre vectores, incluyendo sus características (módulo, dirección, sentido y punto de aplicación), y métodos para representar y sumar vectores gráfica y analíticamente mediante triángulos, paralelogramos y polígonos. También explica cómo determinar las componentes rectangulares de un vector y cómo componer y descomponer vectores usando coordenadas cartesianas.
Este documento describe las diferencias entre magnitudes escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares se pueden representar por un número real, mientras que las magnitudes vectoriales requieren tanto un número real como una dirección. También introduce conceptos como adición, sustracción, multiplicación y división de vectores, así como productos escalares y vectoriales.
Este documento define los conceptos básicos de los vectores, incluyendo su origen, módulo, dirección y sentido. Explica las propiedades de los vectores fijos, libres y coplanares, así como la suma y el producto de vectores por números reales. El documento proporciona ejemplos y demostraciones de estas propiedades fundamentales de los vectores.
1) El documento presenta conceptos básicos de vectores como origen, módulo, dirección y sentido.
2) Explica sumas, restas y multiplicaciones de matrices.
3) Define sistemas de coordenadas, vectores unitarios y campos vectoriales.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
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1. VECTORES. Iván Vargas 1 Blanco, Físico
1. VECTORES
Iván Vargas Blanco
Físico
Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica
1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES
Definición de Magnitud
Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y
determinado cuantitativamente1. También se entiende como cantidad física formada por un
número y la unidad de medida respectiva. Ejemplos: 0.3 m, 3 km, 24 m/s, 12 J.
Definición de Escalar
Cantidad física que solo tiene magnitud. Son ejemplo de escalares: distancia, masa, tiempo,
rapidez, temperatura, área, volumen, densidad, trabajo, energía, potencia y frecuencia. Los
escalares pueden ser manipulados por las reglas del álgebra ordinaria.
Ejemplos: 4 m, 5 kg, 60 s, 20 m/s, 37 C, 8 m2, 4 m3, 24 Kg/m3, 1.78 J, 50 W y 333 Hz
Definición de Vector
Cantidad física que tiene magnitud, dirección y sentido. Son ejemplo de vectores: la
velocidad, la aceleración, la fuerza, el peso, la cantidad de movimiento, el desplazamiento,
campo eléctrico y el campo magnético.(la palabra vector significa portador en latín).
Ejemplos: -4 m/s, +9.8 m/s2, 500 N 30, -25 Kg m/s y –20 m
Representación gráfica de vectores
Un vector se representa gráficamente, como un segmento dirigido de recta PQ de un punto
P llamado punto inicial o origen a otro punto Q llamado punto terminal o termino. Una
punta de flecha en un extremo indica el sentido; la longitud del segmento, interpretada con
una escala determina la magnitud. La dirección del vector se especifica al dar los ángulos
que forma el segmento de recta con los ejes de coordenadas.
Ejemplo:
P
Origen
Termino
Q Dirección: 30
Magnitud: 60 m
Escala: 1 cm = 20 m
1 Peste F. Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales y Generales de Metrología .Centro Nacional
de Metrología.México.1996
2. VECTORES. Iván Vargas 2 Blanco, Físico
Notación de vectores
Algebraicamente los vectores se representan con letras del alfabeto castellano, mayúsculas
o minúsculas; usualmente en un texto impreso se utiliza la letra en negrita, tal como b que
significa ambas propiedades del vector, magnitud y dirección. En la escr.itura manual
ponemos una flecha sobre la letra para denotar la cantidad vectorial, tal como b .
Ejemplos:
a : -35 m/s, A: 50 millas Norte, b: 15 km Suroeste, B: 20 m Oeste, PQ : 50 m/s 30
La magnitud o longitud de un vector se representa colocando el vector entre barras o
simplemente la letra asignada.
.
A 50 millas, A 50 millas, PQ : 50 m/s
,
PQ : 50 m/s
Dirección de un vector con puntos cardinales
Para dar la dirección de un vector mediante puntos cardinales se anota de primero el punto
cardinal norte o sur de acuerdo a la ubicación del vector , luego el ángulo que forma con el
norte o sur y finalmente el punto cardinal este u oeste según corresponda.
.
A: 20 m
N
30
Escala: 1 cm = 10 m
O E
45
S
B : 30 m
A: 20 m, N 60O
B : 30 m, S 45E
Dirección de un vector con la medida del ángulo (coordenadas polares )
En este caso se anota la magnitud del vector y el ángulo que forman la rama positiva del eje
X y el vector, el ángulo se toma como positivo o negativo en la misma forma que se hace
en los estudios de trigonometría. La magnitud del vector y el ángulo son llamados
coordenadas polares.
.
A: 20 m
y
30
Escala: 1 cm = 10 m
La magnitud y
el ángulo son
llamadas
Coordenadas
O x
45
A: 20 m, 150
B : 30 m, -45
Polares
B : 30 m
3. VECTORES. Iván Vargas 3 Blanco, Físico
Clasificación de vectores
Definición de línea de acción de un vector
Es la recta a la que pertenece el vector
Ejemplo:
Vectores paralelos
Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas.
Ejemplo:
. .
A B A B
Vectores iguales
Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud ,dirección y sentido aunque no tengan
el mismo punto de aplicación.
Ejemplo:
A B A = B
Vectores deslizantes
Son aquellos vectores que pueden moverse sobre su línea de acción sin cambiar su
magnitud y dirección.
Ejemplo:
A B
4. VECTORES. Iván Vargas 4 Blanco, Físico
Vectores fijos
Son aquellos vectores que no deben deslizarse sobre su línea de acción porque interesa que
el origen coincida con un punto de aplicación del sistema.
Ejemplo:
A
F
Vectores libres
Son aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas de
acción paralelas.
Ejemplo:
.
A A
a Vector opuesto a de un .
.
vector
Se define como aquel que tiene la misma magnitud del vector y está a 180respecto al
vector y se representa como el negativo del vector, - por lo cual se le llama
vectores iguales y opuestos o antiparalelos. Un vector puede ser opuesto a otro si solo tiene
dirección opuesta.
Ejemplo:
.
A
.
- A
Vector unitario: uˆ
Es aquel vecto.
r de magnitud la unidad o longitud unitaria y de igual dirección que el vector
dado. Si A o Aes un vector cualquiera de longitud A0, entonces A/A o A/ Aes un vector
.
unitario denotado por a o aˆ , con la misma dirección de A. Por lo tanto A=Aa o A Aaˆ
Ejemplo:
.
.
A 7m60○
Este es uno
de los
A : 7 m 60 aˆ
A 7 1 m 60 vectores mas
aˆ : 1 m 60
Por lo tanto podemos escribir el vector como
.
A Aaˆ
.
importantes
A 7aˆ m
5. VECTORES. Iván Vargas 5 Blanco, Físico
Vectores consecutivos
Son aquellos vectores donde el término de uno coincide con el origen del siguiente.
Ejemplo:
.
b
a .
c .
Vectores concurrentes
Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se intersecan en un punto.
Ejemplo:
a .
.
b
c
1.2 OPERACIONES CON VECTORES GRÁFICAMENTE
a)Multiplicación de un escalar por un vector gráficamente
Si se multiplica un escalar por un vector A resulta el vector
multiplicada por y el sentido depende del signo del escalar.
Ej:
.
A cuya magnitud ha sido
A: 2 m 30 sí =
2
A = 2(2 m) = 4 m 30
Practica 1.1
Dado el vector a .
: 50 m 300. Hallar:
a) La representación del vector
b) El vector opuesto de a
c) El vector unitario de a .
d) Un vector concurrente a a .
e) Un vector consecutivo a a
f) Un vector perpendicular a a .
g) Un vector cuya magnitud sea
1
a .
2
6. VECTORES. Iván Vargas 6 Blanco, Físico
b) Suma gráfica de vectores
Para sumar vectores gráficamente existen diferentes métodos:
Método del triangulo
Es el método para sumar dos vectores consecutivos formando un triangulo con la resultante.
Se deben seguir los siguientes pasos:
1. En un diagrama dibujado a escala trazar el vector a con su dirección propia en el
f
sistema de coorden.
adas.
2. Dibujar el vector b a la misma escala con la cola en la punta de a ,asegurándose de
.
que b tenga su misma dirección propia.
3. Se traza un vector desde la cola de a hasta la punta del vector b . Se mide la
longitud del vector resultante y se realiza conversión con la escala, esto nos da la
magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo que forma el vector suma con la
rama positiva del eje X.
Ejercicio 1.1
Dados. los. sig.
uientes vectores: A: 30 m , 35, B : 20 m , -45.Obtener el vector
suma S AB ,mediante el método del triangulo.
Solución:
y
y . x .
A B
. .
S AB
Método del paralelogramo
.
Es el método para sumar vectores concurrentes. Se dibujan los vectores f
.
y g .
con origen
.
común, luego en la figura se traza una paralela a f y por el término de f se traza una
paralela a g .
; ambas para.le las y los dos vectores forman un paralelogramo. El vector
.
resultante r
.
de sumar f y g
se traza desde el origen de ambos vectores hasta la
intersección de las paralelas. Se mide la longitud del vector resultante y se realiza
conversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo
que forma el vector suma con la rama positiva del eje X.
Ejercicio 1.2
. . .
Dados los siguientes vectores: f : 25 m 60, g .
: 35 m 0.Obtener el vector suma r
g .
, mediante el método del paralelogramo.
Solución:
= f +
.
f
60
.
r .
g . g .
7. VECTORES. Iván Vargas 7 Blanco, Físico
Método del polígono
Para sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores consecutivos y el
vector suma es la resultante que va desde el origen del primer vector al término del último
vector.
Ejercicio 1.3
Un auto se desplaza 300 m del Norte 30 al Este, luego 500 m del Sur 60 al Este y
finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio.
Solución:
N
N
E . . . .
.
b N
a
E
E .
c
s
s a b c
Propiedades de la suma de vectores
1. Ley conmutativa para la suma.
. . . .
a b b a
b
a
a
.
b
2. L.
ey asoci.
. ativa.para. la s.uma.
d e f d e f e
f
d
Leyes del álgebra vectorial2
. .
Si A, B y C son vectores, m y n son escalares, entonces
1. A+ B = B + A Ley conmutativa para la suma
. .
2. A+ ( B + C ) = ( A+ B )+ C Ley asociativa para la suma
3. m(n A)= (mn) A= n(m A) Ley asociativa para la multiplicación
4. (m + n) A = m A+ n A Ley distributiva
5. m( A+ B ) = m A+ m B Ley distributiva
Observe que en estas leyes sólo la multiplicación de un vector por uno o más escalares está
definida. Mas adelante se definen los productos entre vectores.
2 Murray R.S. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias. McGrawHill. México.2001. pag.149.
8. VECTORES. Iván Vargas 8 Blanco, Físico
b) Resta gráfica de vectores
La resta de vectores es .una .sum.a indicada utilizando el concepto de vector opuesto.
R AB AB
Tiene la propiedad de no ser conmutativa.
AB B A
Ejemplo.1.4 .
Sean A: 20 m 60 B : 50 m 0.
Recuerde que
para la resta
gráfica los
vectores deben
tener un origen
común
Hallar: . . .
a) S.
A.
B.
b) R.
A.
B¸
c) R B A
Solución:
. B
A A
B
Practica.1.2
Sean A.
: 30 m 110
B : 50 m 60
Hallar: . . .
a) S.
A.
B.
b) R.
A.
B¸
c) R B A . . .
d) Pruebe que AB B A
1.3 OPERACIONES CON VECTORES ANALÍTICAMENTE
1) SUMA ANALÍTICA DE VECTORES
Para sumar vectores analíticamente existen diferentes métodos:
Método de teoremas
Consiste en hallar la resultante de la suma vectorial de dos vectores, utilizando relaciones
como el teorema de Pitágoras o el teorema de cosenos y senos.
Teorema de Pitagoras
Cuando los vectores forman un ángulo recto la magnitud de la suma o resultante se obtiene
por medio del teorema de Pitágoras y la dirección por la relación trigonométrica tangente.
.
S a 2 b2
S
. b
b tan =
a
a .
9. VECTORES. Iván Vargas 9 Blanco, Físico
Ejercicio 1.3
Un avión vuela hacia el Norte a 90 m/s un fuerte viento sopla hacia el este a razón de 72
km/h y desvía su rumbo. Hallar la velocidad del avión para un observador en la tierra.
Solución:
20 m/s
.
90 m/s S
.
S a 2 b2
.
S (90)2 (20)2
.
tan
tan
b
a
20
90
S 8500
.
tan 0.222
S 92.2 m/s 12.5
Respuesta: S : 92.2 m/s , 12.5 ( en coordenadas polares )
Ejercicio
Propuesto:
Al oír la cascabel de una serpiente, usted realiza dos desplazamientos rápidos de 6.0 m y
5.1 m, al oeste y al sur respectivamente. Calcule la magnitud y dirección del
desplazamiento resultante utilizando el método del teorema de Pitágoras. Utilice el método
gráfico para obtener la respuesta, compare los resultados.
Respuesta:
Teorema de cosenos y senos
Cuando los vectores forman cualquier ángulo la magnitud de la suma o resultante se
obtiene por medio del teorema de cosenos y la dirección por el teorema de los senos.
.
b
s
2
a 2 b2 2ab
cos
a s
(Ley de cosenos)
sen
a
sen
b
sen
c
(Ley de senos)
10. VECTORES. Iván Vargas 10 Blanco, Físico
Ejercicio 1.4
Dos hombres tiran de un bote, uno aplica una fuerza de 100 N y el otro de 80 N con un
ángulo de 60entre ellas. Hallar la fuerza resultante sobre el bote
Solución:
60
Para la magnitud Para la dirección
2
s
a 2 b2 2ab
cos
sen
a
sen
b
sen
c
s
2
(100)2 (80) 2 2(100)(80) cos120
2
sen
80
sen120
156.2
80sen120
s 10000 6400 8000 sen
156.2
s 24400 sen 0.4435
s 156.2 m/s 26.3
Respuesta: s : 156.2 m/s, 26.3 (en coordenadas polares )
Ejercicio
Propuesto:
Un conductor de automóvil maneja 3 km en la dirección de 60noreste y luego 4 km en la
dirección norte.¿Dónde termina respecto de su punto de inicio?.Utilice el método anterior,
compare su resultado con su respuesta si utiliza el método grafico.
a.
Método de componentes rectangulares
Dado un vector puede ser expresado en términos de muchos vectores que se suman
consecutivamente llamdos vectores componentes del vector.
.
A7
A8
.
A A6
A5
. .
A1
. .
A2 A3
A4
.
A A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
11. VECTORES. Iván Vargas 11 Blanco, Físico
La división de un vector en componentes no es única dado que un vector puede formarse
por suma de muy diversas maneras, pero es de mayor utilidad descomponer un vector solo
en términos de sus vectores componentes rectangulares o cartesianas.
a) Componentes Rectangulares o Cartesianas de un Vector
Entre el ilimitado número de posibles divisiones de un vector en componentes tiene
especial importancia las que se restringen a la dirección de los ejes cartesianos.
Vectores unitarios rectangulares
Los vectores unitarios rectangulares
iˆ, ˆj
y kˆ son vectores unitarios cuya dirección y
sentido es la de los ejes positivos x, y, y z de un sistema de coordenadas rectangulares, a
menos que se especifique de otra manera. Tales sistemas derivan su nombre del hecho de
que un tornillo de rosca derecha girado 90de Ox a Oy, avanzará en la dirección z positiva.
Se dice que tres vectores que tienen puntos iniciales coincidentes, y que no son coplanares
forman un sistema derecho o sistema diestro si un tornillo de rosca derecha girado en un
ángulo menor que 180de A a B avanza en la dirección C
z A Aiˆ
C B Bˆj
C Ckˆ
kˆ
ˆj
B y
iˆ
.
A x iˆ ˆj
kˆ 1
Componentes de un vector en el plano
y
.
A Ay
ˆj
iˆ Ax x
.
Ax : componente en la dirección del eje X
.
Ay : componente en la dirección del eje Y
. . .
A Ax Ay :Definición de suma de vectores
Utilizando los vectores unitarios, se tiene
.
Ax Axiˆ
.
Ay Ay
ˆj
. . .
A Ax Ay Axiˆ Ay
ˆj
12. VECTORES. Iván Vargas 12 Blanco, Físico
Módulo o magni tud del vector
Usando el teorema de Pitágoras se tiene
.
j
ˆ.
c c ˆ ic x y
.
.
.
c
. 2 . 2 . 2
A Ax Ay
2 2
: los vectores unitarios tienen magnitud unitaria.
A Ax Ay : magnitud del vector.
Relaciones útiles
Ax A cos
Ax cos
A
Ay
Ay A sen sen
A
tan
=
Ay
Ax
Ay
= arc tan
dirección del vector.
Ejercicio 1.5
Ax
Calcule las componentes x, y de los siguientes vectores:
.
a : 12 m, N 37E
.
b : 15 m, -40
.
: 6 m, 60con x negativo en el tercer cuadrante
Solución:
a x a cos
a x 12mcos 53
a x 7.2 m
bx b cos
bx 15mcos40
bx 11.5 m
cx c cos
cx 6mcos 240
cx 3 m
a y asen
a y 12msen53
a y 9.6 m
a a xiˆ a y
ˆj
.
by bsen
by 15msen 40
by 9.6 m
.
b bxiˆ by
ˆj
cy csen
c y 6msen240
cy 5.2 m
a (7.2iˆ 9.6 ˆj
) m b (11.5iˆ 9.6 ˆj
) mc (3iˆ 5.2 ˆj
) m
Ejercicio Propuesto:
Calcule las componentes x, y de los siguientes vectores:
A : 2.4 m, S 20O
B. : 1.7 m, -120
C : 3.4 m, 30con x negativo en el segundo cuadrante
13. VECTORES. Iván Vargas 13 Blanco, Físico
Ejercicio 1.6
Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de
componentes:
a) A3.6 cm,
A-7.2 cm
x y b) B-1.4 cm,
B-9.35 cm
x y A 2 2 B 2 2
Solución:
.
A
.
x Ay
.
B
.
x By
A
.
A
.
(3.6)2 (7.2)2
64.8
B
.
B
.
(1.4)2 (9.35)2
89.4
A 8.04 cm B 9.45 cm
tan
7.2
3.6
63.4
Respuestas:
.
A: 8.04 cm, -63.4 ;
tan
9.35
1.4
81.5
B : 9.45 cm, 81.5
Ejercicio Propuesto:
Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de
componentes:
a) a -2.34 km,
a 8.70 km
x y b) b1.60 km,
b5.75 km
x y b) Suma de varios vectores en el plano
Sean los siguientes vectores, todos en el plano XY
. y
A Axiˆ Ay
ˆj
.
B Bxiˆ By
ˆj
.
C Cxiˆ C y
ˆj
. . . . . . . .
Sumando los vectores se tiene
S AB C ...
.
By
Sy S B
Ay A
Ax Bx x
Sx
S ( Ax Bx Cx ...)iˆ ( Ay By C y ...) ˆj
14. VECTORES. Iván Vargas 14 Blanco, Físico
Sx ( Ax Bx Cx ...)
Sy ( Ay By C y ...)
.
S 2 2
: suma de las componentes en la dirección del eje X
: suma de las componentes en la dirección del eje Y
S Sxiˆ Sy
ˆj
.
: vector resultante
S x Sy : magnitud del vector resultante
tan
=
Sy
Sx
Sy
= arc tan
: ángulo que forma el vector resultante
Ejercicio 1.7
Sx
Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m
SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje
y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las
componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento
resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta
el punto del arranque.3
Solución: N
C : 5.94 m
O E
B : 5.26 m
(a)
Ax Acos
.
A: 4.13 m
Bx Bcos
S
Cx C cos
Ax 4.13mcos 225 Bx 5.26mcos 0 Cx 5.94mcos 26
Ax 2.9 m Bx 5.26 m Cx 5.34 m
Ay Asen
Ay 4.13msen225
By Bsen
By 5.26msen0
C y Csen
C y 5.94msen26
Ay 2.9 m
.
By 0 m
.
C y 2.6 m
A Axiˆ Ay
ˆj
A (2.9iˆ 2.9 ˆj
)
B Bxiˆ By
ˆj
m B (5.26iˆ 0 ˆj
)
C Cxiˆ C y
ˆj
mC (5.3iˆ 2.6 ˆj
) m
3 Resnick.R. Física Vol.1. Cuarta Edición. Compañía Editorial Continental,S.A. México. 1999. Pb:22
15. VECTORES. Iván Vargas 15 Blanco, Físico
S 2 2
(b)
A (2.9iˆ 2.9 ˆj
) m
B (5.26iˆ 0 ˆj
) m
(c)
C (5.3iˆ 2.6 ˆj
) m
.
S (7.7iˆ 0.3 ˆj
) m
S x Sy
Sy
tan
Sx
S (7.7)2 (0.3)2
tan
0.3
7.7
(d)
S 7.7 m 2.2
el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto
del arranque es de 7.7 m.
Ejercicio Propuesto:
El vector A es de 2.80 cm y está 60sobre el eje x en el primer cuadrante. B es de 1.90
cm y está 60por debajo del eje x en el cuarto cuadrante. Obtenga la magnitud y dirección
. .
de AB . Dibuje un diagrama de la suma y muestre que sus respuestas numéricas
concuerdan con las de su dibujo4.
c) Componentes de un vector en el espacio tridimensional
El procedimiento desarrollado para los vectores en el plano se extiende al espacio
tridimensional de la siguiente forma. Cualquier vector A en tres dimensiones se representa
con su punto inicial en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean
.
( Ax , Ay , Az ) las coordenadas rectangulares del punto terminal de un vector A con punto
inicial en O. Los vectores Ax Axiˆ , Ay Ay
ˆj , Az Az kˆ reciben el nombre de
componentes rectangulares de un vector o simplemente vectores componentes en las
direcciones de x, y, y z respectivamente. Por comodidad en la notación cada vector
componente se expresa por la magnitud de la componente por un vector unitario en cada
eje. A estos vectores unitarios se les designa por iˆ, ˆj
iˆ = vector unitario en el eje x = (1,0,0)
ˆj = vector unitario en el eje y = (0,1,0)
kˆ = vector unitario en el eje z = (0,0,1)
y kˆ donde:
Por lo tanto un vector en componentes rectangulares de tres dimensiones se escribe de la
siguiente manera. . .
A Ax Ay Az
.
A Axiˆ Ay ˆj Azkˆ
4 Sears F.W. Física Universitaria. Novena edición.Pearson Educación. México.1999.Pb.1-37
16. VECTORES. Iván Vargas 16 Blanco, Físico
donde A , A , A son las magnitudes de los vectore s componentes rectangula re s o sea las
z A A x
x y z
proyecciones del vector sobre los ejes x, y y z.
z
.
Ax Axiˆ
x
.
A Az Az kˆ
y
Ay Ay
ˆj
.
De esta manera el vector queda expresado así A Axiˆ Ay ˆj Azkˆ
Ejercicio 1.8 .
Representar el vector A: ( 3, -2, 3 )
z
.
A
y
x
Practica 1.3
Represente los siguientes vectores ( 2, 2, 4) , ( -2, 4, 3)
Magnitud de un vector en tres dimensiones
La magnitud se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras dos veces.
z
Az
A
.
Ax
x
.
2
. 2
Ay
2
2 2
Ay y
A 2
2
A Ax Ay Az : Magnitud del vector
17. VECTORES. Iván Vargas 17 Blanco, Físico
Dirección de un vector e.n tres dimensiones
La dirección del vector A en tres dimensiones se puede obtener de dos maneras:
a) por medio de los cosenos de los ángulos
directores
Son los ángulos que el vector forma con cada eje.
= ángulo entre el vector y el eje x
= ángulo entre el vector y el eje y
= ángulo entre el vector y el eje z
Los cosenos son respectivamente
.
A
, ,
son los
ángulos
directores
cos
Ax
A
Ay
Ax
.
A cos
.
cos .
A
Az
Ay A cos
.
cos .
A
Az A cos
Luego se obtiene la función inversa para obtener cada ángulo. Por lo tanto todo vector en
tres dimensiones se puede expresar con los ángulos directores así.
.
A Axiˆ Ay ˆj Az kˆ
donde
. .
A A cos iˆ
.
A cos ˆj
.
A coskˆ
A2 A2 cos2 A2 cos2 A2 cos2
b) por medio de los ángulos y de las coordenadas esféricas
Definimos dos ángulos; como el ángulo que hace el vector con el eje Z y como el
ángulo que hace la proyección del vector sobre el plano XY con el eje X positivo ( ver
figura ). Estos ángulos están dados de la
siguiente forma:
cos
Az
A
Az Acos
Ay
tan A A tan
y x
x
con esto se puede demostrar que:
Ax Asencos
Ay Asensen
Az Acos
A las variables (r,, ) se les llama coordenadas esféricas. En nuestro caso r = A. Por lo
tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar de la siguiente forma.
.
A Axiˆ Ay ˆj Az kˆ
.
A Asencos iˆ Asensenˆj
Acoskˆ
18. VECTORES. Iván Vargas 18 Blanco, Físico
Ejercicio 1.9 .
Dado el vector C : 25 m = 175
= 75
= 140
Expresarlo en componentes rectangulares.
Solución:
Ax
.
A cos Ay
.
A cos Az
.
A cos
Ax 25mcos175
Ax 24.9 m
.
A Axiˆ Ay ˆj Az kˆ
.
Ay 25mcos 75
Ay 6.5 m
Az 25mcos140
Az 19.1 m
A (24.9iˆ 6.5 ˆj
19.1kˆ) m
Ejercicio 1.10
En el siguiente diagrama, hallar:
a) Las componentes Fx ,Fy, Fz
b) Los angulos , ,
. z
Fz
40
F
.
Fx
x
30
F= 500 N
Fy y
Solución:
a) Por medio de cosenos directores
Fx F
cos
Fx ?
Fy F cos
Fy ?
Fz F cos
Fz 500N cos 40
Fx Rsen
Fx 321.4Nsen30
Fy Rcos
Fy 321.4N cos 30
Fz 383.0 N
@#$%!
?&*+/
F160.7 N
x R
sen
F
Fy 278.3 N
R Fsen
R 500sen40 R 321.4 N
19. VECTORES. Iván Vargas 19 Blanco, Físico
.
cos
Fx
F
Fy
cos
160.7
500
278.3
71.2
cos .
F
cos
500
56.2
b)Por medio de coordenadas esféricas
Como 40 y 60 , tenemos
Fx Fsencos
Fx 500Nsen40cos 60
Fx 160.7N
Fy Fsensen
Fy 500Nsen40sen60
Fy 278.3N
Fz F cos
Fz 500N cos 40
Fz 383.0N
Los ángulos se obtienen como en el caso anterior.
Ejercicio Propuesto:
Una fuerza F actúa en el origen de un sistema en una dirección dado por = 75y = 130
Sabiendo que Fy = 300 N.
Hallar:
a) La fuerza F
b) Las componentes Fx y Fz
c) El ángulo
Respuesta: F 416.1N, Fx 107.7N, Fz 267.4N, 43.8
d) Suma de vectores en el espacio
La suma de vectores en el espacio se realiza de manera similar a la empleada para los
vectores en el plano.
Sean los siguientes vectores,
.
A Axiˆ Ay
ˆj
Az kˆ
.
B Bxiˆ By
ˆj
Bz kˆ
.
C Cxiˆ C y
ˆj
Cz kˆ
. . . . . . . .
Sumando los vectores se tiene
. . .
S AB C ...
.
S ( Ax Bx Cx ...)iˆ ( Ay By C y ...) ˆj
( Az Bz Cz ...)kˆ
Sx ( Ax Bx Cx ...)
Sy ( Ay By C y ...)
Sz ( Az Bz Cz ...)
: suma de las componentes en la dirección del eje X
: suma de las componentes en la dirección del eje Y
: suma de las componentes en la dirección del eje Z
20. VECTORES. Iván Vargas 20 Blanco, Físico
.
.
2
S 2 2 2
a
.
c
.
.
S Sxiˆ Sy
ˆj
Sz kˆ
.
: vector resultante
S x Sy Sz : magnitud del vector resultante.
La dirección se obtiene por medio de una de las formas mencionadas anteriormente.
Ejercicio 1.11
Dados los vectores:
a 3iˆ 2 ˆj
4kˆ
.
b 2iˆ ˆj
5kˆ
c iˆ 6 ˆj
Hallar:.
. . .
a) S 1 a 3(b c )
.
b) la magnitud y dirección de S
c) Un vector unitario en la dirección de a
.
d) Un vector opuesto a b
.
e) El vector 5
Solución:
(a)
b 2iˆ ˆj
5kˆ
c iˆ 6 ˆj
0kˆ
(b
.
) 3iˆ 5 ˆj
5k ˆ
. .
3(b c ) 9iˆ 15 ˆj
15kˆ
a 3iˆ 2 ˆj
4kˆ
. .
a 3(b c) 6iˆ 13 ˆj
ˆ . 11k. . .
6
13
S 1 a 3(b c )
ˆ i
ˆj
11
k ˆ
2 2 2 2
(b)
S 3iˆ 6.5 ˆj
5.5kˆ
.
S (3)2 (6.5)2 (5.5)2
S 9.03
dirección con ángulos
directores:
Ax
3
cos .
A
Ay
cos
9.03
6.5
109.4
cos .
A
Az
cos
9.03
5.5
136.0
cos .
A
cos
9.03
52.5
21. VECTORES. Iván Vargas 21 Blanco, Físico
Respuesta: S : 9.03, 109.4, 136.0, 52.5
dirección con coordenadas esféricas:
cos
tan
.
.
Az
A
Ay
Ax
.
a ˆ
cos
tan
5.5
9.03
6.5
3
52.5
65.2
Respuesta:
(c)
S : 9.03, 52.5, 65.2
a 3iˆ 2 ˆj
4kˆ
.
aˆ
a
a x iˆ
a
y
ˆj
a z kˆ : vector unitario en coordenadas rectangulares
a a a a
2 2 2
a a x a y a z
a (3)2 (2)2 (4)2
a 5.4
aˆ
3
5.4
iˆ
2
5.4
ˆj
4
kˆ
5.4 .
(d)
(e)
aˆ 0.55iˆ 0.37 ˆj
0.74kˆ
b 2iˆ ˆj
5kˆ
.
b 2iˆ ˆj
5kˆ
a 3iˆ 2 ˆj
4kˆ
5
.
15iˆ 10 ˆj
20k
: vector unitario en la dirección de a
Ejercicio Propuesto:
Dados los vectores:
.
A 3iˆ 2 ˆj
2kˆ
.
B 4iˆ 3kˆ
.
C iˆ 4 ˆj
5kˆ
Hallar:
a) S A2(B C)
b) la magnitud y dirección de C
c) Un vector unitario en la dirección de Bˆ
d) Un vector opuesto a A.
e) Representar el vector C
22. VECTORES. Iván Vargas 22 Blanco, Físico
e) Resta de vectores en el plano y en el espacio
Sean los siguientes vectores,
.
A Axiˆ Ay
2
ˆj
Az kˆ
.
B Bxiˆ By
ˆj
Bz kˆ
. .
Realizando la resta R AB se tiene
. . .
R.
AB
R ( Ax Bx )iˆ ( Ay By ) ˆj
( Az Bz )kˆ
Rx ( Ax Bx )
Ry ( Ay By )
Rz ( Az Bz )
.
: resta de las componentes en la dirección del eje X
: resta de las componentes en la dirección del eje Y
: resta de las componentes en la dirección del eje Z
R Rxiˆ Ry
ˆj
Rz kˆ : vector resultante
Ejercicio 1.12
Dados los vectores:
A 2iˆ 5 ˆj
4kˆ
.
B 2iˆ 3 ˆj
5kˆ
C 2iˆ 6 ˆj
Hallar:
. . .
a) R 1 A3(B C)
b) Demuestre que (C B) (B C)
c) la magnitud y dirección de C
d) Un vector unitario en la dirección de A
.
e) AB C D 0 Hallar D
Solución:
(a)
.
B 2iˆ 3 ˆj
5kˆ
.
C 2iˆ 6 ˆj
0kˆ
. .
(B C) 0iˆ 9 ˆj
5kˆ
3(B C) 0iˆ 27 ˆj
15kˆ
.
A 2iˆ 5 ˆj
4kˆ
. .
3(B C) 0iˆ 27 ˆj
15kˆ
. . .
A3(B C) 2iˆ 22 ˆj
19kˆ
23. VECTORES. Iván Vargas 23 Blanco, Físico
. . . .
R 1 A3(B C)
2
iˆ
22
ˆj
19
kˆ
2 2 2 2
(b)
R iˆ 11 ˆj
9.5kˆ
Demuestre que (C B) (B C)
. .
(c)
(B C) 0iˆ 9 ˆj
5kˆ
(B C) 0iˆ 9 ˆj
5kˆ
C 2iˆ 6 ˆj
0kˆ
.
B 2iˆ 3 ˆj
5kˆ
(C B) 0iˆ 9 ˆj
5kˆ
C 2iˆ 6 ˆj
0kˆ
C (2)2 (6)2
C 6.32
dirección para un vector en dos dimensiones:
C y
tan
Cx
tan
6
2
71.5
Respuesta: C : 6.32, 71.5 ( en coordenadas polares )
(d) .
A 2iˆ 5 ˆj
4kˆ
.
Aˆ
A
Ax iˆ
Ay
ˆj
Az kˆ
A A A A
2 2 2
A Ax Ay Az
A (2)2 (5)2 (4)2
A 6.7
A ˆ
2
6.7
iˆ
5
6.7
ˆj
4
kˆ
6.7
(e)
A ˆ
0.30iˆ 0.74 ˆj
0.60kˆ : vector unitario en la dirección de A
.
ˆj
AB C D 0
A 2iˆ 5 4kˆ
.
B 2iˆ 3 ˆj
5kˆ
C 2iˆ 6 ˆj
0kˆ
AB C 2iˆ 2 ˆj
kˆ
Hallar D
. . . .
D ( AB C)
24. VECTORES. Iván Vargas 24 Blanco, Físico
D (2iˆ 2 ˆj
.
.
2
a
.
kˆ)
D 2iˆ 2 ˆj
kˆ
Ejercicio Propuesto:
Dados los vectores:
a 3iˆ 2 ˆj
4kˆ
.
b 2iˆ ˆj
5kˆ
c iˆ 6 ˆj
Hallar:. . . .
a) S 1 a 3(b c )
.
b) la magnitud y dirección de c
b) Un vector unitario en la dirección de b
. . . . .
c) a b c d 0 Hallar d
d) Un vector opuesto a
.
.
e) Representar el vector c
2) MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
Definiremos tres clases de operaciones de multiplicación por vectores:
1- Multiplicación de un vector por un escalar
2- Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar
(PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO)
3- Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector
(PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ)
Sea
a) Multiplicación de un vector por un escalar
.
A Axiˆ Ay
ˆj
Az kˆ : un vector dado
m : un escalar
Se define el producto del escalar (m) por el vector A como el vector
mA mAxiˆ mAy
ˆj
mAz kˆ
tal que :
m 0
m 0
.
mA : tiene la dirección y sentido de A
mA : es de sentido opuesto a A
.
m = 0
su magnitud es
. .
mA 0 : el resultado es el vector nulo
mA m A
Ejemplo:
Por lo tanto
.
A 2iˆ 3 ˆj
kˆ
.
y m= 4
4 A (4)2iˆ (4)3 ˆj
(4)kˆ 8iˆ 12 ˆj
4kˆ
25. VECTORES. Iván Vargas 25 Blanco, Físico
b) Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar (PRODUCTO
ESCALAR O PRODUCTO PUNTO)
. .
El producto escalar de dos vectores A y B , denotado por AB ( léase A punto B ) se
define como el producto de las magnitudes de A y B por el coseno del ángulo entre ellos.
Simbólicamente,
. . AB AB cos 0 Recuerde q.ue .el
Observe que AB es un escalar y no un vector. resultado de AB es
Conmutatividad del producto escalar
De la definición del producto escalar se tiene
un numero no un vector
. .
AB AB cos
= BA cos
= B A
Representación geométrica del producto escalar
Geométricamente el producto escalar es la magnitud de un vector por la proyección del otro
sobre él, así
A : magnitud del vector A
B cos : proyección del vector B sobre el vector A
.
B
A
B cos
Producto escalar en componentes cartesianas
Aplicando la definición del producto escalar a las unidades vectoriales cartesianas, se tiene
z
iˆ iˆ iˆ iˆ cos 0= 1
iˆ ˆj
iˆ ˆj
cos 90= 0 kˆ
De esta manera tenemos los resultados ˆj
y
iˆ iˆ ˆj
ˆj
kˆ kˆ 1 iˆ
iˆ ˆj
iˆ kˆ ˆj
kˆ 0 x
Estos resultados se aplican a la multiplicación de vectores expresados en componentes
rectangulares o cartesianas
26. VECTORES. Iván Vargas 26 Blanco, Físico
Sean los vectores
.
A Axiˆ Ay
ˆj
Az kˆ
.
B Bxiˆ By
ˆj
Bz kˆ
Multiplicando ambos vectores termino a termino, obtenemos:
. .
AB ( Axiˆ Ay
ˆj
Az kˆ) (Bxiˆ By
ˆj
Bz kˆ)
Axiˆ Bxiˆ Axiˆ By
ˆj
Axiˆ Bz kˆ Ay
ˆj
Bxiˆ Ay
ˆj
By
ˆj
Ay
ˆj
Bz kˆ Az kˆ Bxiˆ Az kˆ By
ˆj
Az kˆ Bz kˆ
Ax Bxiˆ iˆ Ax Byiˆ ˆj
Ax Bz iˆ kˆ Ay Bx
ˆj
iˆ Ay By
ˆj
ˆj
Ay Bz
ˆj
kˆ Az Bx kˆ iˆ Az By k ˆj
Az Bz kˆ kˆ
Ax Bxiˆ iˆ Ay By
ˆj
ˆj
Az Bz kˆ kˆ
. .
AB Ax Bx Ay By Az Bz : producto escalar en términos de las componentes
Relacionando la definición de producto escalar con el resultado anterior, tenemos
. .
AB AB cos
. .
AB Ax Bx Ay By Az Bz
ABcos =
Por lo tanto
Ax Bx Ay By Az Bz
cos
=
Ax Bx Ay By Az Bz
AB
: ángulo entre los vectores A y B
Propiedades del Producto Escalar
1-El resultado de un producto escalar es un número.
2-El producto escalar satisface la propiedad conmutativa
. . . .
AB B A
3-El producto escalar satisface la propiedad distributiva respecto a la suma
A(B C) AB AC
4-Si = 0el producto escalar de vectores paralelos es
AB AB cos 0= AB es el máximo
5-El producto es.c al.a r de dos vectores iguales es
AA AA cos 0= AA = A2
6-Si = 90el producto escalar de vectores perpendiculares diferentes de cero es
. .
AB AB cos 90= 0
7-Si = 180el producto escalar de vectores opuestos es
. .
AB AB cos 180= -AB es un número negativo
27. VECTORES. Iván Vargas 27 Blanco, Físico
Ejercicio 1.13
Sean dos vectores de 35 y 75 unidades respectivamente que forman entre sí un ángulo de
34. Calcular su producto escalar.
Solución: . .
Ejercicio 1.14
Calcular el producto escalar de dos vectores de 5 y 12 unidades respectivamente si son:
a) consecutivos colineales
b) opuestos
c) perpendiculares
d) Obtenga el producto escalar de un vector consigo mismo
.
.
.
a
AB AB cos 0
AB (35)(75) cos 34
. .
AB 2176.2
a b
Solución:
(a)
AB AB cos 0
AB (5)(12) cos 0
. .
AB 60
(b) . .
AB AB cos 0
AB (5)(12)
cos 180
AB 60
(c) . .
AB AB cos 0
. .
AB (5)(12) cos 90
. .
AB 0
(d)
. .
AA AA cos 0
AA (5)(5) cos 0
. .
AA 25
Ejercicio 1.15
Sean los vectores:
a 3iˆ 2 ˆj
4kˆ
.
b 2iˆ ˆj
5kˆ
c iˆ 6 ˆj
Hallar:
a)
.
b ¿Son los vectores perpendiculares?
b) Calcular el ángulo entre
.
y
.
. .
c) 3(a b )
28. VECTORES. Iván Vargas 28 Blanco, Físico
d) S 1 a 2(b c )
3
Solución:
(a)
. . .
a
.
c
.
.
Dos vectores son
perpendic ul ares si
.
a b 0 ¿Por que?
.
a abb cos 0
. .
a b a xbx a yby a zbz
.
a b (3) (2) (2) (1) (4) (5)
.
a b 24
los vectores no son perpendiculares, pues, el producto escalar no es igual a cero.
(b)
cos
=
a xbx a yby a zbz
ab
: ángulo entre los vectores a y b
2 2 2
a a x a y a z
a (3)2 (2)2 (4)2
a 5.4
2 2 2
b bx by bz
b (2)2 (1)2 (5)2
b 5.5
cos
24
(5.4)(5.5)
143.9 : ángulo entre los vectores a y b
(c)
.
3(a b ) 3(-24)
3(
.
b ) -72
(d) . . .
S 1 a 2(b c )
3 .
b 2iˆ ˆj
5kˆ
c iˆ 6 ˆj
0kˆ
(b
.
) 3iˆ 5 ˆj 5k ˆ
. .
2(b c) 6iˆ 10 ˆj
10kˆ
a 3iˆ 2 ˆj
4kˆ
. .
a 2(b c) (6)(3) (10)(2) (10)(4)
. .
Sa 21( b a 2c()b c7 )8 1 (78)
. .
3 3
S 26
29. VECTORES. Iván Vargas 29 Blanco, Físico
Ejercicio Propuesto:
1.Dados los vectores
Hallar:
.
A : 6 u 60
.
B : 9 u 225
AB ? y el ángulo entre los vectores
2.Haciendo uso del producto escalar obtener la relación conocida con el nombre de teorema
de los cosenos.
c) Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector (PRODUCTO
VECTORIAL O CRUZ) . .
El producto vectorial de A y B es un vector C AB ( léase A cruz B ). La magnitud
. .
de AB se define como el producto de las magnitudes de A y B por el seno del ángulo
entre ellos. La dirección del vector C AB es perpendicular al plano formado por A y
. .
B de modo que A , B y C forman un sistema derecho. Así
AB AB sen uˆ 0
donde uˆ es un vector unitario que indica la dirección de AB .La magnitud del producto
. .
vectorial esta dada por AB AB sen .
Anticonmutatividad del producto vectorial
Tenemos que . . . .
AB B A
pues . .
AB uˆAB sen
B A uˆBAsen
AB B A
Esto es conocido
como “la regla de
la mano derecha”
30. VECTORES. Iván Vargas 30 Blanco, Físico
Representación geométrica del producto vectorial
La magn.
itud del producto vectorial geométricamente se representa como la magnitud del
vector A por la componente del vector B perpendicular al vector A.Lo que es igual al
área del paralelogramo formado por los dos vectores.
. .
B B sen
AB A(B sen )
A
Producto vectorial de unidades cartesianas
Aplicando la definición del producto vectorial a las unidades vectoriales cartesianas, se
tiene
iˆ iˆ iˆ
iˆ
z
sen 0= 0
iˆ ˆj
iˆ
ˆj
sen 90kˆ = kˆ kˆ
De esta manera tenemos los resultados ˆj
y
iˆ iˆ ˆj
ˆj
k ˆ
k ˆ
0 iˆ
iˆ ˆj
k ˆ
,
ˆj
k ˆ
iˆ
,
k ˆ
iˆ ˆj
x
iˆ k ˆ
ˆj
,
k ˆ
ˆj
iˆ
,
ˆj
iˆ k ˆ
Regla nemotécnica
iˆ
kˆ ˆj
Producto vectorial en componentes cartesianas
Estos resultados se aplican a la multiplicación de vectores expresados en componentes
rectangulares o cartesianas
Sean los vectores
.
A Axiˆ Ay
ˆj
Az kˆ
.
B Bxiˆ By
ˆj
Bz kˆ
Multiplicando termino a termino, obtenemos
. .
AB ( Axiˆ Ay
ˆj
Az k ˆ
) (Bxiˆ By
ˆj
Bz k ˆ
)
Axiˆ Bxiˆ Axiˆ By
ˆj
Axiˆ Bz k ˆ
Ay
ˆj
Bxiˆ Ay
ˆj
By
ˆj
Ay
ˆj
Bz k ˆ
Az k ˆ
Bxiˆ Az k ˆ
By
ˆj
Az k ˆ
Bz k ˆ
Ax Bxiˆ iˆ Ax Byiˆ ˆj
Ax Bz iˆ k ˆ
Ay Bx
ˆj
iˆ Ay By
ˆj
ˆj
Ay Bz
ˆj
k ˆ
Az Bx k ˆ
iˆ Az By k ˆj
Az Bz
k ˆ
k ˆ
31. VECTORES. Iván Vargas 31 Blanco, Físico
Ax Byiˆ ˆj
Ax Bz iˆ k ˆ
Ay Bx
ˆj
iˆ Ay Bz
ˆj
k ˆ
Az Bx k ˆ
iˆ Az By k ˆj
Ax By kˆ Ax Bz (ˆj
) Ay Bx (kˆ) Ay Bz iˆ Az Bx
ˆj
Az By (iˆ)
. .
AB ( Ay Bz Az By )iˆ ( Az Bx Ax Bz ) ˆj
( Ax By Ay Bx )kˆ : producto vectorial en
términos de las componentes
rectangulares.
Como este procedimiento resulta tedioso se puede utilizar el operador determinante que
realiza esta misma operación.
Sean los vectores
.
A Axiˆ Ay
ˆj
Az kˆ
.
B Bxiˆ By
ˆj
Bz kˆ
iˆ ˆj
kˆ
. .
AB Ax Ay
Bx By
Az ( Ay Bz By Az )iˆ ( Ax Bz Bx Az ) ˆj
( Ax By Bx Ay )kˆ
Bz
Tomando la magnitud del producto vectorial podemos encontrar el ángulo entre los
vectores.
. .
AB AB sen 0
. .
sen
A
B
AB
: ángulo entre los vectores A y B
Propiedades del Producto Vectorial
1-El resultado de un producto vectorial es un vector.
2-El producto vectorial no es conmutativa
. . . .
AB B A
3-El producto vectorial satisface la propiedad distributiva respecto a la suma
A(B C) AB AC
4-Si = 0el producto vectorial de vectores paralelos es
AB AB sen 0uˆ = 0
5-El producto vectorial de dos vectores iguales es
. .
AA AA sen 0uˆ = 0
6-Si = 90el producto vectorial de vectores perpendiculares diferentes de cero es
. .
AB AB sen 90uˆ
=
ABuˆ
7-Si = 180el producto vectorial de vectores opuestos es
. .
AB AB sen 180uˆ = 0
32. VECTORES. Iván Vargas 32 Blanco, Físico
.
Ejercicio 1.16
Dados los vectores:.
.
A 4iˆ 2 ˆj
kˆ
.
B 2iˆ 3 ˆj
5kˆ
.
C iˆ 6 ˆj
Hal.lar: .
a) AB
¿Son los vectores perpendiculares o paralelos?
.
b) Calcular el ángulo entre A y B
. . .
c) A(B C)
d) A(B C)
Solución:
(a)
iˆ ˆj
kˆ
. .
AB 4 2 1 (2 5 3 1)iˆ (4 5 2 1) ˆj
(4 3 2 2)kˆ
2 3 5 Dos vectores son
paralelos si
. .
AB (10 3)iˆ (20 2) ˆj
(12 4)k ˆ
AB 7iˆ 22 ˆj
16k ˆ
a
b
0 ¿Por que?
Los vectores no son paralelos, pues, AB 0 .
Para saber si son perpendiculares calculamos el producto escalar.
. .
AB Ax Bx Ay By Az Bz
. .
AB (4) (2) (2) (3) (1) (5)
. .
AB 3
los vectores no son perpendiculares.
(b)
. .
AB AB sen 0
. .
sen
A
B
AB
: ángulo entre los vectores A y B
2 2 2
A Ax Ay Az
A (4)2 (2)2 (1)2
A 4.6
2 2 2
B Bx By Bz
33. VECTORES. Iván Vargas 33 Blanco, Físico
B (2)2 (3)2 (5)2
B 6.1
. .
AB
(7) (22) (16)
. . ¡Me parece que
AB
esto se esta
28.1
complicando!
sen
28.0
(4.6)(6.1)
A(B C) ?
(c)
86.2
A(B C)
.
B 2iˆ 3 ˆj
5kˆ
C iˆ 6 ˆj
iˆ ˆj
kˆ
. .
B C 2 3
1 6
. .
5 (3 0 6 5)iˆ (2 0 15) ˆj
(2 6 13)kˆ
0
B C (0 30)iˆ (0 5) ˆj
(12 3)k ˆ
B C 30iˆ 5 ˆj
9k ˆ
A 4iˆ 2 ˆj
kˆ
A(B C) (4)(30) (2)( 5) (1)(9)
A(B C) 139
(d) . . .
A(B C)
B C 30iˆ 5 ˆj
9k ˆ
A 4iˆ 2 ˆj
kˆ
. . . iˆ ˆj
kˆ
A(B C) 4
2
30 5
1 (2 9 5 1)iˆ (4 9 30 1) ˆj
(4 5 30 2)kˆ
9
A(B C) 13iˆ 6 ˆj
40kˆ
ˆ
Ejercicio 1.17
k Un estudiante afirma que ˆj
ˆ
k ha encontrado un vector A tal que
(2iˆ 3 4) A (4iˆ 3 ˆj
)
¿Cree usted que esto es cierto? Explique5
5 Serway . Física I Tomo I.Cuarta Edición. McGraw Hill. Pb.7,Cap11.
34. VECTORES. Iván Vargas 34 Blanco, Físico
Solución:
Sabemos que el vector resultante de un producto vectorial es perpendicular al plano que
contiene a los vectores, por lo tanto si realizamos un producto escalar entre el vector
2iˆ 3 ˆj
.
.
.
a
a
3
b
4kˆ y el vector 4iˆ 3 ˆj
kˆ , debe ser igual a cero pues son perpendiculares.
. .
a b
ab
cos 0
. .
a b a xbx a yby a zbz
.
a b (2) (4) (3) (3) (4) (1)
. .
a b 5
El vector 2iˆ 3 ˆj
4kˆ y el vector resultante 4iˆ 3 ˆj
kˆ , no son perpendiculares lo
que nos dice que esto no es cierto.
Ejercicio Propuesto:
1.Sean los vectores:
a 3iˆ 2 ˆj
4kˆ
b 2iˆ ˆj
5kˆ
c iˆ 6 ˆj
Hallar:
a)
.
b ¿Son los vectores perpendiculares?
b) Calcular el ángulo entre
.
y
.
. .
b) 3.( a .b ) . .
c) S 1 a 2(b c
)
2.Dados los vectores
Hal.lar: .
.
A : 6 u 60
.
B : 9 u 225
a) AB ? y el ángulo entre los vectores
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1 Spiegel, M.,. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias,. McGraw-Hill,
México, 2001.
2 Gonzalez, F. Principios de Mecánica, Oficina de Publicaciones de la Universidad de
Costa Rica, Costa Rica, 1999.
3 Resnick, R., Halliday, D., Krane, K., Física Vol.1, Tercera edición, Compañía
Editorial Continental,S.A. de C.V., México, 1978.
35. VECTORES. Iván Vargas 35 Blanco, Físico
4 Sears F., Zemansky M., Freedman R. Física Universitaría, Novena edición.Pearson
Educación. México. 1999.
5 Calderon, A., Física para Bachillerato, Segunda edición ampliada, Costa Rica,.
1989.
6 Wilson, J., Física, Segunda edición , Prentice Hall Hispanoamericana, S.A, México,.
1996.
7 Lea, J., Burke, J., Física: La Naturaleza de las Cosas, International
Thomson Editores, México,. 1999.
8 Giancoli, D., Física: Principios con Aplicaciones, Prentice Hall Hispanoamericana,
S.A, México,. 1997.