Este documento describe las diferencias entre vectores y escalares, y los métodos para representar y operar con vectores. Los vectores son cantidades físicas que tienen magnitud y dirección, mientras que los escalares solo tienen magnitud. Se explican las representaciones gráficas y notacionales de vectores, así como métodos para sumar, restar, multiplicar y dividir vectores. También se describen conceptos como vectores unitarios, componentes rectangulares de vectores, y las leyes del coseno y seno para triángulos.

1. VECTORES Y ESCALARES
Física FIS 521
Docente: Brisa Terezón
Bibliografía:
Tippens, P.FISICA Conceptos y Aplicaciones,
cgraw Hill, USA, 7ª. Ed. 2007.
Serway, R. Jewett, J “Física, para Ciencias e
ingenierías”, Tomo I, Sexta Edición, 1997
© McGraw Hill
VECTORES
• Una cantidad vectorial es aquella que además de tamaño y unidad de medida,
poseen una dirección asociada.
• Ejemplos de cantidades físicas que son vectores: El desplazamiento “∆∆∆∆x” (m), la
velocidad “v” (m/s), la aceleración “a” (m/s2), la fuerza “F” (N), el momento lineal
“p” (kgm/s), etc.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR
Gráficamente, un vector se representa por un segmento de recta dirigido (flecha)
que inicia en un punto cualquiera del espacio y termina en otro punto cualquiera.
Punta del vector
Cola u origen del vector
θ
Punto B
Punto A
Vector
MAGNITUDES FISICAS:
ESCALARES Y VECTORES
• En ocasiones, dicha dirección se especifica haciendo
referencia a los puntos cardinales.
N
E
S
W
La longitud de la flecha (magnitud o módulo) es proporcional al tamaño real del
vector, por lo tanto, debe representarse haciendo uso de una escala conveniente.
NOTACIÓN VECTORIAL
Con fines matemáticos, los vectores se representan mediante símbolos que
pueden ser las letra del alfabeto (A, B, C, ..._ a, b, c, ...), escritas en negrillas y
cursivas o con una flecha sobre ellas, osea: ur
A, A
MAGNITUDES FISICAS:
ESCALARES Y VECTORES
Para los modulos, la nomenclatura que se utiliza es la siguiente:
AA,
Suma o adiciSuma o adicióón de vectoresn de vectores
por mpor méétodos grtodos grááficosficos
•• Elija una escalaElija una escala yy determine la longituddetermine la longitud
de las flechas que corresponden a cadade las flechas que corresponden a cada
vector.vector.
•• Dibuje a escalaDibuje a escala una flecha que representeuna flecha que represente
lala magnitudmagnitud yy direccidireccióónn del primerdel primer
vector.vector.
•• Dibuje la flechaDibuje la flecha del segundo vector dedel segundo vector de
modo que sumodo que su cola coincida con la puntacola coincida con la punta
de la flechade la flecha del primer vector.del primer vector.
•• ContinContinúúe el procesoe el proceso dede unir el origen deunir el origen de
cada vectorcada vector hasta que la magnitud y lahasta que la magnitud y la
direccidireccióón de todos los vectores quedenn de todos los vectores queden
bien representadas.bien representadas.
•• Dibuje el vector resultanteDibuje el vector resultante con elcon el origenorigen
y la punta de flechay la punta de flecha unida a launida a la punta delpunta del
úúltimo vectorltimo vector..
•• mida con regla y transportadormida con regla y transportador parapara
determinar ladeterminar la magnitudmagnitud yy direccidireccióónn
del vector resultante.del vector resultante.
VV33
VV22
VV44
VV11
ResultanteResultante
Resultante = V1 + V2 + V3 + V4
ResultanteResultante = V= V11 + V+ V22 + V+ V33 + V+ V44

2. NEGATIVO DE UN VECTOR
• Sea el vector A, su negativo (–A) es aquel vector que tiene el mismo módulo que
A pero dirección opuesta.
Luego, la resta de dos vectores (A y B) no es más que la suma de uno más el
negativo del otro, osea:
)(–– BABA +=
0AA =+ )(–
De la definición anterior, se ve que:
RESTA DE VECTORES
A
θA
– A
θ(–A) = θA + 180°
Resta o sustracciResta o sustraccióón de vectoresn de vectores
Al cambiar el signo de un vector cambia su direcciAl cambiar el signo de un vector cambia su direccióónn..
B -B
A -A
Para encontrar laPara encontrar la diferencia entre dos vectoresdiferencia entre dos vectores, sume un vector, sume un vector
al negativo del otro.al negativo del otro.
A B A B− = + −( )
– B
Obtener la Suma y la Resta de los vectores:
θA
A
SE
B
θB
N
B
θB
θA–B
A
θA
A + BRegla del polígono
A – B
θA+B
RESTA DE VECTORES
• Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva “m”
Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar negativa “–m”
A
θA
–mA
θA
A
θA
mA
θA
MULTIPLICACION DE UN
VECTOR POR UN ESCALAR
Módulo del nuevo vector = mA
Módulo del nuevo vector = mA

3. • Cuando se trabaja con cantidades vectoriales, surge la necesidad de indicar
su dirección con algún símbolo especial, que no afecte su tamaño.
VECTOR UNITARIO
• Es un vector sin dimensiones cuyo módulo es 1 y su dirección representa la
dirección de la cantidad vectorial.
x
y
j
i–i
–j
x
y
z
i
j
k
En el plano:
En el espacio:
Luego, la ecuación vectorial que representa a un vector D en el espacio, con
componentes Dx, Dy y Dz es la siguiente:
kjiD DzDyDx ++=
VECTORES UNITARIOS
D
θD
P(x, y)
Dx
Dy
• El vector D expresado en función de
sus componentes queda expresado
como:
DyDxD +=
Analizando el triángulo, se ve que:
DD θDCosDx
D
Dx
θCos =⇒=
DD θDSenDy
D
Dy
θSen =⇒=
El módulo del vector D es:
22222
DyDxDDyDxD +=⇒+=
Y su dirección es:
x
y






=⇒= −
Dx
Dy
Tanθ
Dx
Dy
Tanθ 1
DD
Dy
COMPONENTES RECTANGULARES
DE UN VECTOR
El mEl méétodo de componentes paratodo de componentes para
la suma o adicila suma o adicióón de vectoresn de vectores
A
C
B
•• DibujeDibuje cada vectorcada vector a partir de los ejesa partir de los ejes
imaginariosimaginarios xx yy yy..
•• EncuentreEncuentre los componenteslos componentes xx yy yy dede
cada vector.cada vector.
•• HalleHalle la componentela componente xx de la resultantede la resultante
sumando las componentessumando las componentes xx de todosde todos
los vectores.los vectores.
•• HalleHalle la componente y de la resultantela componente y de la resultante
sumando las componentessumando las componentes yy de todosde todos
los vectores.los vectores.
•• Determine laDetermine la magnitudmagnitud yy direccidireccióónn
de la resultante.de la resultante.
Cy
By
Ay
Ax
Cx
Bx
R A B Cx x x x= + +
R A B Cy y y y= + +
R R Rx y= +2 2 tanθ =
R
R
y
x
• Sean los vectores:
A = Axi + Ayj (que foma un ángulo θA con el eje +x)
B = Bxi + Byj (que foma un ángulo θB con el eje +x)
• El vector resultante R, de A y B, utilizando el Método por Componentes
Rectangulares, se obtiene como sigue:
R = A + B = (Axi + Ayj) +(Bxi+ Byj)
R = (Axi + Ayj) +(Bxi + Byj)
R = (Ax + Bx)i +(Ay + By)j
• Haciendo:
Rx = (Ax + Bx)
Ry = (Ay + By)
• Se tiene que:
jiR RyRx ++++====
SUMA DE VECTORES POR
COMPONENTES
RECTANGULARES

4. LEY DEL COSENO: En todo
triangulo, el cuadrado de uno de
sus lados es igual a la suma de los
cuadrados de los otros lados,
menos el doble producto de ellos
multiplicado por el COSENO del
ángulo que forman entre ellos.
c2=a2 + b2 – 2ab cosγ
b2=a2 + c2 – 2ac cosβ
a2=b2 + c2 – 2bc cosα
LEY DEL COSENO
γγγγββββ
αααα
a
c b
En todo triangulo, sus lados son
proporcionales a los senos de sus
ángulos opuestos
LEY DE LOS SENOS
γγγγββββ
αααα
a
c b
c
sen
b
sen
a
sen γβα
==
MULTIPLICACION DE VECTORES
Multiplicación de un
vector por escalar
Si un escalar positivo “m”
se multiplica por el vector
A entonces el nuevo
vector será:
•Un vector que tendrá
como magnitud mA
•La dirección del nuevo
vector será la misma que
tiene el vector A
A
θA
mA
2A
θA
MULTIPLICACION DE VECTORES
Multiplicación de un
vector por escalar
Si un escalar negativo “m”
se multiplica por el vector
A entonces el nuevo
vector será:
•Un vector que tendrá
como magnitud mA
•La dirección del nuevo
vector será la contraria
sera el vector -A
A
θA
mA
2A
θA
-2A

5. x
y
AB cos θ
Sean los vectores:
A = Axi + Ayj
En general el producto de
cualesquier vectores A y B es
igual al producto de sus
magnitudes y el coseno del
ángulo θ entre ellos:
Por definición
A . B = AB cos θ
Además el este producto da como
resultado un escalar.
PRODUCTO ESCALAR DE DOS
VECTORES
B = Bx i+ By j
B
θA
A
B cos θ
También puede encontrarse el resultado
así:
A .B = (Axi + Ayj) .(– Bxi – Byj)
A .B = (Ax .Bx) i .i + (Ay . By) j .j
A . B = (Ax . Bx) + (Ay . By)
Dado que i . i = j . j = k . k = 1
Y también i . j = i . k = j . k = 0
PRODUCTO ESCALAR DOS
VECTORES
En general:
A .B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A . A= (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2
Sean los vectores:
A = Axi + Ayj + Az k
En general el producto de
cualesquier vectores A y B es
igual a otro vector
Por definición
A x B = C
Donde la magnitud de C, se obtiene
por definición así:
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS
VECTORES
θ= ABsenC
r
B = Bx i+ By j + Bz k
El producto vectorial no es conmutativo
Si A es paralelo a B, entonces A x B = 0
Si A es perpendicular a B, entonces ABBxA =
rr
Dado que i x i = j x j = k x k = 0
Pero
i x j = - j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = - i x k = j
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS
VECTORES
( ) ( ) ( )kXBYAYBXAjZBXAXBZAiYBZAZBYABAC ˆˆˆ −+−+−=×=
rrr