El documento describe cómo proteger un portafolio P de una caída en el índice benchmark I superior a Ir1 hasta la fecha T comprando puts. Para compensar una caída de P de Pr1 se requiere que (Pr1 - Q*Ir)/P sea constante para todo Ir < 1. Dado que la relación entre los retornos de P e I es aproximadamente lineal, con P = α + βI + ε, se deduce que la cantidad de puts a comprar es Q = β/I.

1. Put Protectivo
Queremos proteger a un portafolio P de una caída
I
r en el índice I benchmark,
superior a I
r1 , hasta la fecha T, es decir 01 << II
rr .
Para eso compramos en un Put (K, T ) en t0, donde )1(* 10
I
rIK += , cuyo valor en T
será :
)1(*0
I
rIK +− = )(*)1(*)1(* 10010
IIII
rrIrIrI −=+−+
Definimos
P
r y P
r1 como las caídas correspondientes del portfolio P, cuando I cae
I
r
y I
r1 , respectivamente.
Determinemos la cantidad Q de puts a comprar para compensar P
r1 ,
descargando la prima del Put fuera del portfolio.
Requerimos,
)(*)(** 1010
PPII
rrPrrIQ −=− ,
o sea,
)]/()[(*]/[ 1100
IIPP
rrrrIPQ −−=
para todo II
rr 1< , es decir necesitamos que )/()( 11
IIPP
rrrr −− sea una constate !!!!
Supongamos que P es bien diversificado, cuyo beta respecto de I, es β, para una
regresión lineal de retornos de amplitud T-t0.
Es decir
εαβ ++−=− )(* f
I
f
P
rrrr
donde α es constante y 0)( =εE .
Luego
)')(*())(*()( 11 εαβεαβ ++−−++−=− f
I
f
IPP
rrrrrr
≅− )( 1
PP
rr )(* 1
II
rr −β
y
β≅−− )/()( 11
IIPP
rrrr
Finalmente,
β*]/[ 00 IPQ =