Este documento habla sobre los conocimientos matemáticos y astronómicos de los antiguos egipcios, que se remontan a aproximadamente 1600 a.C. El documento también menciona algunos descubrimientos arqueológicos relacionados con estos conocimientos que se han encontrado en las cercanías de El Cairo.
2. _t__ _ _ _ J _ ( _ d ( _ _ _
;l
E T > _e D__c__es , n Nezuto_ , _ . ,
C
T La ,,,,pv, ,_n_;,, /4 ,,,_p,,_;,_, yRz,,(,,,;;,, d,I ,,,,,,,d, ,,,,d,,,,, ,,,,l,,,,',,,/ ,,, J,, ,,'gl,, __CJ7J_.,___JJr
U ^' ' ' ' -
COtJ Il1ln ,_e,lOv!nClOJl C01Ilp ern e Il,llG'PYSO p l'01lOcllIl IeJltO.
_ g Hnsrn el sigo ____l, In c'ie,lc'irI I7n_ín pc_Jrn,lecido íJlriJJ,4J,,pJJte lignrJo n In rco Iogín .?' n InJiIoso_rn,
/ns iJ,_'esrigncio,Jes e1/JpíJ-ic_ns _Irc In I,nbínJ, /,pcI,o dlrJ_nJrre eI J-_JJaciJJJic,,to, su_J-e rodo e,, el re,7-eJ7o
de ln 9J,ediL_i1Jr_ .?' eJ, ,I d, In nsr,_o,Jo,JJín, /,n_ín97 __i_o z,iol_J,JrnJ,JeJlre coJJJbntidns poJ' In ig/esin .?7 In
o_1_n de ,lJ, LeoJrnJ-Jo de _ilJr'i, _J,e iJ7re,J/4bn relr lli/' e1J ,,J, coJ,JirJ,ro L'o/J,J-e,,tc rodo eJ sn_pJ' de s,J
tielJlpo _,_e_ó c-o1Jro l_lln cv_np_?J-ieJ1cia nislndn, Ins posicioJles ieIieiosn__ deJ sig Io ,__I ,1o_nz'oJ_ec_ieyotJ
cJ2 9,aJa In e_'pnJlsió,J de In c_ip,,c_in.
. _l gyn1_ 1_2o_!i_12'ie__f0 i_telect_nl
C'oJ,,ieJ,_.n c,l e/ n_,o l _ZO tir'Jle? pol' nJf7__iL'es n Cnli Ipo, Ivp/eJ_, DcscnJf_?s, Lei_J,j__ _' ,_eT__ro,J.
PJ_o.J_sorRs de JIJ,i'l'er._irJndp,_o_'ocnJJ r'oJl._ic'ros feoJó_i,_os, _?'4 _JJe In i__l__si4, _,rc /ln_í4 coJ,de12ado 4
C4Iileo, J,O i,,tee,_r_ e/pJ_u_J-Rs, c_ieJ7l Jiic'o eJ, s,r __isióJl d,l 7JJlJ1rrIo. DiscípIJlo de_1istórelcs. ,,opllede
ncpptnJ- ,r,J ,J,lr Jld, eJl ,J7oz'iJJ,ieJ,ro, J_c_irJo poJ' le_?'es JJ,4/e,J,áric-ns J_, si,J eJJ7_nJgo, Ios sn_ios deI sigIo
,__C_l c-o17 iJ,__rJ_rJJ,eJllos dc ó_tir'r_ .?' c_íI,-Jr Iope Jfe?c'c_io1lr_/,du deJJl,lcJsrJ_r2,, rJlle es eI soI e7 _,rc esrá eJJ e_I
c-,7Jr,-o deI J,J,iz_eJ_so ._' _J,p ln ._nJre,_R 9lo es 7r1J Ií_J/i_o c._rnJ,c_ndo. SiJ, eJJ,_n Jgo, pnJ_n In JI,n?'oJ-ín dc /os
cJ-e.?'eJ,Jes po,lc1l /n l_eli_ió,l ''e1, pJ,tJ-cdicJJo ''. _ In JJll,,J1e dc CJisriJ1n de S,rec_in, e( __,_rpo de snbios
_7re Jn J_odenba scx dispe/_srlpol' tor In _,rJ_opn, peJ_segl,irIos.J/-ecl_eJ,le1J,c1,repo/' Jn ,-o1,l,-n ,-e_oJ1Jln. PeJ-o
Ius L_O,,tnctos eJlJJ_R c'ieJlIJiic'os seJ J,l,,Jtip/icnJ, _J_ncins rl lI,l nJ/ligo de DcscnJ1es, eJpndJ_e _'__erseJJJ,e,
_,rieJ1 __e eJ,c_nJgn _e d,__ll,lcJiJ- /ns idens JJ,ns J__7_'o Ilrc'io/,nJnins, e,J,p,vn,,do pu_ Ins de GnJi Jeo+
I. Cn Ji/eo se iJ,sfnló e1, _Io,-e1lcirl e?J, I _j8_j. Se dPdicó n csrJJrJiaJ'pJ-iJlcipio__ de_J__JIíJJ7,des.
II. I_Jpler, xJ-ncins n s,I psJJrrJio dc _!lrnJte, es(e dis,-ípJr lo dc Copé,1liL_o J__iJ,lel_pJ-Rtrl el JJ,o'_!iJJ,iel,to de
Ios plnJ,pl4._.' Je__c'l_i_e1l lr,,n cJipsp gi/_n,lrJo r,IJ-ededoI- deI sol.
lII. J7escnJ_es, iJItJ-od,r.io Jns JJlnteJJ,ríricns _JJ7 eI sPJ,u d_? /r___ cieJ,L'ir_s .?' In ,-e IixióJ,.
I__ l,ei_1lih_, iJ7I,J__sndo poJ- _JI deJ-Rc_/Jo, In g_?o Iogír_, Ir_s 11JnfeJJlá/ic-ns _' In Jj/yso__n, dolnJo dc lr,r
c._pjJ-irJ, e,lc'iL'Iopédico ,-_.JJ,ln In Dr_c'r/_jJJn de _esc_nJ1c._. _lr Jlro coJ, _!_'e1L_toJ, dcsnJ1-oJJn el c'IL',l Jo
iJ J_j, J iresi9,,n l.
I'_l_'l7_e: (iJrIJ1 /_:l7_'ic'lrJ_erlirr l_:JJ_i;lI(.
3. l__o&lmv_os ___ t___pA___op_p_|Fo___e0psnlq)___gm__s_cs|na_________rJ g_/_ qs _ _ n ___hm__;;_
_ '' ,s,''
' _ '' ____ __, ..,.-,_,_, _',-. ,-,,,;_,_n_
_ '_ ' _,____is_-,._,;X?,e_v-,_v_- ,,,_;;_/_ _ f
_ M "__ N N N _ _ 'w_ _ _ " _ _ __ __ ___ _ _m_ __=; _-"_____"_-_
t, Hemos co_,.de,,do e,,e _ _,u,o _,.,m,.,,, o., ue som,, cons,_,.en,es de ___ e, ,ec_o, eces,.,, _
!_ conocer prevîamente al_unos aspecto_ b_icos de_ __ebra _omo:
i_ ReaIizar operaci0nes a_ebraicas ele_n_les (adici6n, _ust_acci6n, multiRlicaci6n, di_i6n,
_ potenciaci_nyradtcací6nJ. '' ' _, sv _s __
_. _am__i_'2arse con e_ _engua_e a uu__izar en el de; __,_0 del texto. '
' _ ;
!, De est_ m0_ra, el lector estar_ mejor pre, parado para _provechar con mayoc er_cencia el desanollo __
_delostemassubsigu.îentes, , _;_ :?,,_';/__. ' _,_-: , _''''X''
_^^^ ^^'-'^^
_' DrcróN - usrRi1ccr_N ?
Para de F_nir las operaciones algebraicas partiremos de algunos ejemplos prácticos.
_. Juan liene 7 caramelos y Ana_ 5 caramelos. Si los junt_ramos en una sola bolsa tendríamos l2
caramelos en total. Esto se puede simbolizar de la siguienle manera:
5car + 7car = l2 car 6 5c + 7c = l2c
Il. Si tuvieramos 6 caramelos y 7 panes y quisiéramos juntarlos en una sola bolsa, sólo diríamos: "se
tiene 6 caramelos y 7 panes'', es decir, no podía e Fectuarse operación antmética alguna,
De donde se concluye lo siguien_e:
P__ adicionaf o sustr_er e8 neces8rio tom_ elementos de un mis_no conJunto.
, ,_ Para no escribir e1 nombre de taI o cual obJelo o cantidad de objetos,
_,, _ O _o ,_, se les puede asignar ciertas letras equivalenles al nombre.
El ejemplo anterior tambien se puede expresar de la siguiente fonna:
7x+5x y se obtendría I2x o en otras circuns_ancias se tendr_ 7_+5_ y se obtend_a I_.
29
4. _Ro_ er_dsloe6_En_ula7ccn+_u6danoll___e__s_e__23xqK(u2_ll_+6+5xll)____(_+5x2) _ ____A___ _ BBl______ _(A4_6x__3B(+_36_9_)_)x3___+3xy(_5_78xy_v5__9)4yA+_)(5_3B5),+3s)y5 _0___t___p__gt_______t________________
Lumbreras Edi_ores Á_gebra _P
Donde: _a
_lgebr__c_s que en el capítulo Ill se verá detalladamente. -
III. Para redurir dos o más expresiones, es_as deben ser semejantes. __ n
Dos términos se dice que son semejantes en x sí y sólo sí x tiene el mismo exponente en '
Los té_ninos semejantes se pueden reducir por la Iey distributiva de multiplicación respecto a la adici6n
por la izquierda o derecha.
(a+b)c = ac+bc c(m+n) = _+cn
Ejemplo l Eje_pIo_
_ 3xS + _ _ (3+8)_ _ I l_ Dadas las expresiones
. 35xJ- 2_7 _ (35_22)x7 _ __7 A = 4JrJ - 7_ - 5_
As_ mismo, diremos que _y5 y -2__ son '
semejantes puesto que tienen los mismos HalIar el eQUiValenle de
exponentes para x y para _ respectivamenle. l. A + B IIl. 2A + 3B , ,__
EJemplo 2 Resolu_ón: _ =
ndicionar 3_'-8x+l con _2_+5x I.
' ,e a,ue,do a su, te,,m.,,o, B __ _6x3 7+ xy9, _ _3,s (') ,
semeJantes: A+B __ (4 - 6)x 3 + (-7 + g)_ + (-5 _
2__+_ _A+B-__2x3+2 _ 5
(3_2Jx 2 + (_8 + 5Jx + _ A _ _3 J, 5,s _
.,a_e,,ea __3x+ _ B ;___3 +9__3_5 (-
Ejemplo3 _ A-B _ lox3_ 1_-2,5 _
Sustraer. 3x+5 de 2___+3
Reso_ución: llI_ , __
denando y ,educiendo los té,minos 2A=2(4_J-7,-5y')=_-l4xy_lO_'
_antes, 3B = 3(-_+9_-3_5) = - l_+27_-9_' ' 0
2x 2 - _ + 3 () _ 2n+3B=(8- 18)_ + (_ 14+27)_ + (- _o_9)_-
3x t 5 _ 2A+3B _ lo_ + 13 19 5 i
_valenEe a 2_ _ _ _x _ 2 lV. Ejercicio para el lector. ,;
3O
5. __8_y (aa7_y__(_y__+x_5_x+5)xt_) (x_+y()_J ____ob___________l _ea__n2_t____e_l_n_3t_d_a___ob______c__6o__+_mat_3__o_ab__2rJ__e__t_8s_c(_pa__atbuNa_tne_++_dsN5tobt_a_J)___J_t__+o_2_sa_3__b__+_)t_e_/_5+F__am__t_t4bl_an+losl
CAPiTULO l
Eemlo_ s .2__ _
_ados p _ (c - 1 )_ + 3x + 3y debemos restar de a_
__ _ 2
32 5b _ (-
Si a - a -
p_ se ,educe a 6 x+ hallaf el va_o, de c, - 2a 2 + 5ab + I
Resoluc16n:
Ordenando:
p _- (,.-_)x2+_+3y :_ -(3a'-5ab-l) _ --3a2+5ab+l ';
2 _ 3x _, 3 _--_ _ __ -- - _ _ _ -- -- _ N _. -- __ __ .. ._ _-_. ... N _. ..... _ ...... .. ... .. ._:'
p_ __ c___5y2+6
' t_ 2
De donde c _ _ _ 5 __ o t c __ 6 Otf8 fOr_8_
Del enunciado se tiene
a2- E (3ab - 6J + (3d- - 8ab + 5) 1
EJempIo6
YecEuar __ a2_ __5ab_ _ +3a2 J
- 8y- (- 7y- t(3y- 7x) _ (2y- 8x)J + 5x) _ a2 + 5ab + _ _ 3a2
___uc_'6n: = - 2a2 + 5ab + l
_ectuando por partes:
_g,, _ (_7y _ _(3y_7x) _ (2y__)J + 5x) EiemPlO 8
_ SimßlinlCaf la eX_reSiÓn
3y_7x_2y+8x _E-3a-(b + E"a + (2a-b) -(-a+b)J+3b) +4aJ
- =- _ Resolui6n:
(x + y) Em pe2a,emos sim p_i Fi
t_ _ _ _ _ 'emel""EeS ma" 'l^temO't eS deC'lf_ lOS afeCtadOS
por los paréntesis.
= - 8y _ ( -7y - x - y + 5x) _ __3a_ (b+ _ _a+(2
= _ 8y- (-8y+4x) ?b
a+ 2a - b+ a
= -_+_- 4x
2a -2b
= - 4x
- l-3a-jb+l2a-2bl+3b) + 4al
2 b+2a_2b+3b
SUSt Caer a SUma e a _- y _ a - a +
2 a + 2 b
= - l -3a - (2a+_b)+_al
EFecluando la adici6n:
3ab- 6 =-l-a_2bJ =a+2_
2 _ 8ab + _-
2 3 1
12. dD_e_gam2e_(xppretls_ e3F o22o oo __p t_ggg2pr+3F d_dqgdt6n__r__b_(q. __(____l()_l ___)__ l +l
Lumbreras Editores Á
Ejemplo3 Ef l+a ab
eCtUandO _=
t2 2 3 X X'b
De -=--- despejarp'
F p' p setend,_
Resoluc_6n:
l+a)x+b) =xab_x+ b +_ +__ xa&
2 2 3 t2 3 2 V
De -_--- _ -+-_-
f p' p f p p'
Luego x+ax=xab-ab-b
2
Lue o _P + ___ t t __ _P t X l+a) '' b __a' l
Fp p' t2
X a+
_ =_ ; Vaxta
ax_a-l
Ejemplo_
_o_n e __ v _ + _l t2 EJe_nplo
2
eS_eJe l. _ Despejaf _+_ _. v
q-X
Resoluc16n: de _a _N ua_dad. K _ a - I
I. Despejando ''g'' _ +_-r r _q
I 2 I 2 Q-X
e=Vot+_g_ _ e-Vt=-gt
2 ^ 2 Re8oluc_'o_
luego es e u _. v a _ e n t e a _ +a-_ r+q _ a-l
2 2(e-Vot) Q_X K
e_Vot)=gt _g_
2
Iueeo
__. Des _ando __v tt a -l r + 4 __ _a - l _
q_x K
ultiplicandopor
2e__2vt+t2 _ 2vt_2e t2
O O a-l
r +Q a-l-
2e_ t2 e On e ___ eeVandOa
V=_ q-X
2_
aa- reSUltaqUe:
EJemplo5 r + q a_ _ __ a-I
I a ab b q-x k
e: -+-__ deSpeJe
x x x+b
Resoluón:
". A c :' _eSpe}af P(X) de
eCordar: ;' _=-_AD_BC :!
_ B D _ _
:'.....................................;". c__ +X + 3 = 4 - 6_ - 5XP(X)
38
13. ___ t )_( _____ _N_)(_________) ç______(______b_2_+bcca+a)(_t_(__b_____)__a__) _
CAPITUlO l Nociones pre___m__
Re8oluct6n: EJemplo l O
Transponiendo los té_inos al pnmer _'embro Efectuar
l l
i(x_+_ (x)+_1+__l __o a b+c b2+c2_a2
l+
P(x) (_ -l) l _ 2b
P(_) (_ I) a b+c
Por el criteno del aspa simple Re8ol4cl6n:
_P(x)+ (3x_ I) l EP(x) + (2x+ I) l = O
de donde _a(b+cj 2bc + b 2 + c 2 _ a 2
P(x) = "_+ l ó P(x) -- -2x ' l - _b+c_a 2b, '
a(b+c)
E1emplo8
_ectuar
_J _ x2 _ (a+b)x + ab x2 _ c_ b+c+ +c 2 2(
_x. a __x2_b2 _x2_c,_c,x+ac _X-a _ -- _b+c_a 2bc
_xtta ; x_tb; xftc
(b +c +a) (b +c _ a) (b +c-aJ
Resoluci6n: (b+c -a) 2bc
la expresión es equivalente a
'_l __ ( (,+b+cJ2
'__ (x+bJ(_ (_(_ -
X+C
x +b EJemp_o __
_plo9 D __ l
eSpelafXde: m=
m+n +_ _+9
n _ p ,
Uar - + l - + _ + lO ReSOIUaOn:
p m+p
' _-l
n m --
__9
_luión:
' __ando convenc._ona_mente _ m_ + 9m =_ - l
_ _(m_ l)_ =-l _9m
__n+ __p + _ o _+gm 1+g
_ m+ _ m-l l-m
n
ue_o elevamos al cuadrado
n n
-0. ^, ' -- x_ l+9m
l -m
39
14. _d)_( _)____ )) _ c _ _ _ct ] __)o(ne_st_ )__)
0
fObICmaS __o 0 ugstos
l. Hallar la suma de: 3. EFectuar:
a) 3a+2b-c ; 2a + 3b + c
a) (2x+3y_ 4_)(2x_ 3y+QN_J
b) a+b-c ; 2a+2b-3c ; _3a_b+3c
b) (x+ I)(x-2)(__- I)(3x+5)+ l l(x_3J(x+7}
c) x+y+_ ; 2x-3y+_ ; -4x+5y_2_
__5x+g ., __J+_ox_3o ., cJ (3x-l)'--_3(2x+3)'_2x(_x_5)+(x_l)2
- 6x2 +5x_ 5o d) 5( l -x)' _ 6(_- _' 7) --x(x_ 3J + 2x(x+5)
e) _y__+5; x4-__+5_y-6_
-_ _ +_r+2 4. s__mp___F_ca, las s__gu_Nentes exp Fes_,
_ (_+__3_)-(-_+3___4_)
_ _--Ex+y__2x+yJ
a) 3(x_2)+2(l-x}
h) __=+ l- (___)+(_3y'+2xy)- (-3_+r)J
iJ _'_!' _a _ (_a+(a_b)-a_b+c__- (_a)+bI) I
b) 2x-5E7_(x-6)+3xl-2l
jJ - i__- + {_(x+y)-- __x+__-_)_(-x+y)I_ y)J
k) ___ - x - 2y + (5x __ 2y) - x_y
l Il ll
C - X_- _- x+- -- (x_
t) -_3m+{_m_(n__m+Q))+(_(rn+n) 3 2 2 3 4
+ (_2n _3) )I
O,75_y 2x+4 l
' ' d _-_-X-4-
3 l_5 3
:. símbolo de agrupación
llamado barra o víncuIo.
e) 2x-4l5x_ ( l ly_3x)I _3l5y_-2(3x-64)I
2. Ha1lar el producto de multip_icar:
r) l 4(bJ2b _Io5bc
___1 ,,_J ^ C' 'C ' _ _ _ '_
a a - ßOr a" 2 3
bJ 3a-' '+a-'-2a' _' por a'_a'' '+a" 2
c) (3_'+2x-y) por (x__4xy+l)
2 2 o75 b 4c
xmnt l n_ '- C" f '_
_
15. __ d) (_(5(_a_ _94_ _a_)_ _32__(____2a_6_ __ _)_ + eFJ)) ____( _ +___x22___)__2x_m+(_n_+_np4_++811)+__28__ _
CAPITULO l Noc;o,es p,e_im;,,,e,
_. Simpli Flcar Ias siguie_tes expresiones:
c) _+ C l+
I I 2bc
2 _ a b+c
a a+3a a+
a-+_-
a+2 4_a2 3a_6
4 2_ x
b) _X Y+_X Y __ _X Y- __ Y j'x' 3
x_yx+y x_yx+y d X X_
2
c)_a __a+
3b3 _oa4 ab4
a+I a2+_ a4+_ a8
x_y) __(x_y) _ 2x2y2 +6xy
(x_y) (x3_y'3) + 2x2y2
(a_I) (_ +a-3_)
b4 8b ,b b_6 6bq _+ J _+a Y _
e)--;-+-_- _-
b-2 b3_g b2+2b+g 2-b (4_b)2
__luar: n
_J- p+I_J+_mP_ +
'_x2(,+b)x+ab x2_c2
_) j
_,x2_(a_-c)x+ac x2-b
_ 5y _5 h _m 2+n' + 1 +2mn _m 2 +n'+2mn - l. + 1
b)X-3+_-__2X-I+- 22 j
2x-G __-3 m +n +mn
16. _dr)))__l___c__a__3(Rr_mK6_o____xl)d+___b4x_7______b__(n___x)_l+_ax pqm_))))))(v_(_3x)(2_)___)((_(h_)())(_)b_)( )
Lu mbreras Ed itores Á_geb,a
7. De las igualdades siguientes, des_jar la _ M + 5y - _ x x
incógnita _x: 3x + 5y + _ y ?
a) _2a+X_(n_l) n __ 5 '_."' _ _ _1 +_l __1 +_l
2 __ x_a x+b x_a x-b
b) 3{ IO_2_3x_2(x_5)I+7x} = 3x_4
Xta X-a
a-t _ -'-
k2+n2+m2x x-a x+a
c) t_
a+X
l __
- n oX+-gX_
3 _ 2
4'_ 4_2
3 3
O X+ X_a+ba-
V
e)W_
60d +v(t_x}
4+a2 3x4a2_4ga5b4
n
m x_3 x_5 x+2 x+4__J_x__3_
+ 2x= 50
g) y _- (b_)- (b_c)2-4hcx
2 ,) _+2_+2__a __ 2xy + 2x_?, (,,, y, _,) ,_ _
Ill I
S -+-+-__
hJv__V l+--I xabx_a+b
T x
t) (x_y+?)' = 2+_++5, '
. a
l V_
_ _ ___ _ _r_ u) _+_+_'- -- _+x?+Y?, (x, Y, __J __ N
d P' X
_ ___
_+3
2 4_2
i) X __- _
x2_4b2 b W _X +_fX =__X +fX
42