Escobar, f. -_analisis_moderno_de_presiones_de_pozos

ANALISIS MODERNO
DE PRESIONES DE
POZOS
10
100
1000
0.01 0.1 1 10 100 1000
∆P,t*∆P',psi
t, hr
(t*∆P') r = 63.93 psi
t r = 30 hr
∆P r =260 psi
t i = 0.042 hr
Autor:
FREDDY HUMBERTO ESCOBAR M., Ph.D.

Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.
2
ANALISIS MODERNO DE PRESIONES DE POZOS
Freddy Humberto Escobar Macualo, Ph.D.
Prohibida su reproducción sin previa autorización del autor
Neiva, Huila, Noviembre de 2003

3
INTRODUCCION
Este texto contiene la programática, objetivos y actividades a desarrollar en un curso de
pregrado o posgrado de Análisis de Presiones de Fondo, el cual sirve a los estudiantes
como texto guía y herramienta básica en el desarrollo de las clases. Este trabajo recopila
información de varios libros y artículos técnicos relacionados con el tema en cuestión
existentes en la literatura desde 1960 hasta la actualidad. El texto reúne algunas de las
experiencias del autor en el área de presiones de fondo, al igual que incluye aportes
recientes que él ha hecho a esta rama de la ciencia.
El programa a desarrollar consta de ocho capítulos. El primero de ellos se orienta a la
descripción del flujo de fluidos en medios porosos. Allí se estudian los conceptos básicos
del análisis de pruebas de presión y el principio de superposición, así como la deducción y
solución de la ecuación de difusividad con sus limitaciones y aplicaciones. El capítulo dos
se centra en el estudio de pruebas de declinación de presión, completamiento parcial y
penetración parcial, pruebas multirata y yacimientos lineales. En éste, también se presentan
los fundamentos de almacenamiento y daño, al igual que una introducción a los regimenes
de flujo, incluyendo, en pozos horizontales. En este capítulo se emplearán todas las
técnicas existente para interpretar pruebas de pozos incluyendo desde la técnica de ajuste
por curvas tipo (más antigua) hasta el método moderno llamado Tiab’s Direct Synthesis
Technique, más nueva e introducida en 1993. En general, el texto se enfoca con especial
atención en esta técnica toda vez que no solo es moderna sino también de uso muy práctico.
El capítulo tres estudia las pruebas de restauración de presión y los métodos para
determinar la presión promedia del yacimiento. En el capítulo cuatro se estudian las
pruebas DST y los métodos de interpretación. Este capítulo hace una breve introducción a
la determinación de heterogeneidades en zonas aledañas al pozo. El capítulo cinco
considera las diferentes heterogeneidades que se presentan en los yacimientos y se
presentan diversos métodos para su determinación. El capítulo seis se centra en pruebas
múltiples como las de interferencia y pulso. En principio, todos los yacimientos son
naturalmente fracturados. Algunos de ellos, cuyas fracturas son demasiado pequeñas
(microfracturas) se clasifican en el grupo de los yacimientos homogéneos. Por ésto, el
capítulo 7 estudia los yacimientos naturalmente fracturados. El capítulo 8 está dedicado a
los pozos hidráulicamente fracturados. Allí se estudian los diferentes regimenes de flujo
que se presentan en pozos artificialmente fracturados al igual que el concepto de
conductividad de fractura y su efecto en los regimenes de flujo. Se hace énfasis especial en
la técnica que elimina el uso de las curvas tipo y se estudian las fracturas de flujo uniforme,
conductividad finita e infinita.

4
PROLOGO
Ing. Luis Elias Quiroga Arjona o
Ing. MSc. Daniel Augusto Gutierrez Arciniegas

5
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCION .................................................................................................... 3
TABLA DE CONTENIDO ........................................................................................ 9
1. FUNDAMENTOS GENERALES....................................................................... 10
1.1. CONCEPTOS BÁSICOS................................................................................ 10
GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN.................................. 17
1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD....................................................................... 18
1.3.1. MÉTODO I.................................................................................................. 18
1.3.2. MÉTODO II................................................................................................. 21
1.3.3. LIMITACIONES DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ............................. 23
1.3.4. SOLUCIÓN DE LA LÍNEA FUENTE........................................................... 25
1.4. FACTORES ADIMENSIONALES ................................................................... 34
1.4.1. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD EN FORMA ADIMENSIONAL................... 34
1.4.2. SOLUCIÓN DE LA INTEGRAL EXPONENCIAL, EI................................... 40
1.5. APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD...... 41
1.6. DISTRIBUCION DE PRESION...................................................................... 47
1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO)................................................................ 48
1.8. FLUJO DE GAS ............................................................................................ 51
1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN....................................................... 60
1.9.1. DEDUCCIÓN DE LA DERIVADA DE LA PRESIÓN................................... 60
1.9.2. CONVERSIÓN DE LA ECUACIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN A
UNIDADES DE CAMPO........................................................................................ 61
1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA.............................................. 65
1.10.1. DIFERENCIA FINITA CENTRAL.............................................................. 65
1.10.2. ECUACIÓN DE HORNE........................................................................... 66
1.10.3. ECUACIÓN DE BOURDET Y COLABORADORES ................................. 66
1.10.4. ECUACIÓN DE CLARK Y VAN GOLF-RACHT........................................ 67
1.10.5. ECUACIÓN DE SIMMONS ...................................................................... 67
1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN .............................................................. 69
1.11.1. SUPERPOSICIÓN EN ESPACIO............................................................. 69
1.11.2. SUPERPOSICIÓN EN TIEMPO............................................................... 71
1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO ........... 73
1.12.1. POZO UNICO CERCA A UNA FALLA SELLANTE .................................. 73
1.12.2. POZO CERCA A UNA BARRERA DE FLUJO O LÍNEA DE PRESIÓN
CONSTANTE (EMPUJE DE AGUA) ..................................................................... 74
1.12.3. POZO EN MEDIO DE DOS FALLAS QUE SE INTERCEPTAN............... 75
2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN.................................................. 78
2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE).................................. 78
2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE .......... 84
2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY.................................. 86
2.3.1. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE RAMEY, PROCEDIMIENTO................. 90

6
2.3.2. MÉTODO DE EARLOUGHER.................................................................... 91
2.3.3. MÉTODO SEMILOG ................................................................................... 92
2.4. PRUEBA LÍMITE DE UN YACIMIENTO (RLT)............................................. 100
2.5. CONTROL DE CALIDAD ............................................................................ 102
2.6. REGIMENES DE FLUJO............................................................................. 102
2.7. POZOS HORIZONTALES........................................................................... 107
2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET............... 110
2.9. MÉTODO DE TIAB’S DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE.......................... 113
2.9.1. LÍNEAS Y PUNTOS CARACTERÍSTICOS................................................ 114
2.9.2. ESTIMACIÓN DE DISTANCIA A LAS BARRERAS Y AREA ................... 122
EJEMPLO............................................................................................................ 123
2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL ......................... 127
2.10.1. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO ESFÉRICO ........................ 130
2.10.2. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO HEMISFÉRICO.................. 132
2.10.3. TIAB’S DIRECT SÍNTESIS TECHNIQUE, TDST .................................... 134
2.10.4. TIAB’S DIRECT SÍNTESIS TECHNIQUE, TDST, PARA FLUJO
HEMISFÉRICO ................................................................................................... 143
2.10.5. CONSIDERACIONES IMPORTANTES................................................... 144
2.10.5.1. EFECTO DE ALMACENAMIENTO ...................................................... 144
2.10.5.2. EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PENETRACIÓN PARCIAL ....... 144
2.11. PRUEBAS MULTI-FLUJO......................................................................... 149
2.12. PRUEBAS BI-FLUJO ................................................................................ 152
2.13. METODO DE PINSON.............................................................................. 156
2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTIRATAS.............................. 158
2.15. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST ................................... 158
2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS
DESARROLLADOS – METODO DE SLIDER..................................................... 164
2.17. TDST PARA YACIMIENTOS LINEALES.................................................... 166
2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES................ 177
3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION............................................ 185
3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION .............................................................. 185
3.2. METODO DE HORNER ............................................................................... 187
3.2.1. POZO EN UN YACIMIENTO INFINITO.................................................... 187
3.2.2. RATA DE POSTFLUJO (AFTERFLOW, QAF)........................................... 189
3.2.3. PASOS PARA DETERMINAR EL ALMACENAMIENTO DE UNA PRUEBA
DE RESTAURACIÓN.......................................................................................... 189
3.2.4. PREDICCIÓN DE LA DURACIÓN DEL POSTFLUJO (AFTERFLOW) .... 189
3.2.5. GRÁFICO DE HORNER PARA YACIMIENTOS CERRADOS ................. 190
3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) .................................. 191
3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT.......................................................... 194
3.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOS
DESARROLLADOS ............................................................................................ 197
3.6 PRESIÓN PROMEDIA DEL YACIMIENTO................................................... 199
3.6.1. MÉTODO DE MBH................................................................................... 199
3.6.2. MÉTODO DE DIETZ ................................................................................. 206
3.6.3. MÉTODO DE MDH.................................................................................... 206
3.6.4. MÉTODO DE RAMEY-COBB.................................................................... 207

7
3.6.5. MÉTODO DIRECTO (AZARI 1987).......................................................... 207
3.6.6. TIAB'S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE DURANTE ESTADO
PSEUDOESTABLE............................................................................................. 208
3.6.6.1. YACIMIENTOS CIRCULARES CERRADOS ......................................... 208
3.5.6.2. SISTEMAS CERRADOS RECTANGULARES ....................................... 209
3.6.6.3. USO DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN ................................................ 210
3.6.6.4. DETERMINACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIA EN SISTEMAS
CERRADOS DRENADOS POR UN POZO VERTICALMENTE FRACTURADO 210
3.6.6.5. POZOS FRACTURADOS EN REGIONES RECTANGULARES ............ 211
4. PRUEBAS DST.............................................................................................. 222
4.1. GENERALIDADES....................................................................................... 222
4.1.1. PROPÓSITO............................................................................................. 222
4.1.2. USOS DE LOS DATOS DST..................................................................... 222
4.1.3. INFORMACIÓN CALCULADA DE UN DST ............................................. 222
4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA................................................... 223
4.3. PROCESO DE PRUEBA............................................................................. 223
4.3.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 223
4.3.2. PRUEBA STRADDLE PACKER............................................................... 224
4.4. CARTAS DE PRESIÓN DST........................................................................ 224
4.4.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 224
4.4.2. DST SECO................................................................................................ 225
4.4.4. MÚLTIPLE PRUEBAS DE FLUJO ........................................................... 225
4.4.5. DST CON DOBLE CIERRE...................................................................... 225
4.4.3. CONDICIONES POBRES EN EL POZO................................................... 225
4.5. METODO DE HORNER ............................................................................... 225
4.6. ESTIMACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIO O INICIAL............................ 228
4.6.1. MÉTODO DE DATOS LIMITADOS (MÉTODO EN EL SITIO DEL POZO) 228
4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD...................................................... 231
4.7.1. MÉTODO DE HORNER ........................................................................... 231
4.7.2. MÉTODO DE DOLAN, EINARSEN Y HILL .............................................. 231
4.7.3. MÉTODO DE ISHTEIWY Y VAN POOLLEN............................................ 232
4.7.4. MÉTODO DE BIXEL Y OTROS ............................................................... 233
5. HETEROGENEIDADES................................................................................. 236
5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO ............................. 236
5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA ..................................................... 237
5.2.1. PRUEBAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN....................................... 237
5.2.2. MÉTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA A LAS
DISCONTINUIDADES LINEALES DE GRÁFICAS DE RESTAURACIÓN DE
PRESIÓN ............................................................................................................ 239
5.2.2.1. MÉTODO DE HORNER ......................................................................... 239
5.2.2.2. MÉTODO DE DAVID Y HAWKINS......................................................... 242
5.2.2.3. MÉTODO DE EARLOUGHER............................................................... 245
5.2.2.4. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE........................................... 247
5.3. FRONTERAS MULTIPLES ......................................................................... 250
5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA ....................................................... 250
5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE ..................................................................... 250
5.4.2. FRONTERA DE NO FLUJO O SELLANTE ............................................... 250

8
5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO........ 252
5.5.1. CON FLUJO CRUZADO ........................................................................... 252
5.5.2. SIN FLUJO CRUZADO ............................................................................. 252
6. PRUEBAS MULTIPLES ................................................................................. 256
6.1. GENERALIDADES....................................................................................... 256
6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA ................................................................ 256
6.2.1. MÉTODO DE EARLOUGHER................................................................... 257
6.2.2. MÉTODO DE RAMEY............................................................................... 259
6.2.3. MÉTODO DE TIAB Y KUMAR .................................................................. 260
6.3. PRUEBAS DE PULSO ................................................................................. 267
6.3.1. MÉTODO DE KAMAL – BIRGHAM........................................................... 268
7. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS .................................... 277
7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE .................................... 283
7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO.............................................. 285
7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD
............................................................................................................................ 289
7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO.............................................. 289
7.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION........................................... 290
7.6. APLICACIÓN DE LA FUNCION P’D A YACIMIENTOS NATURALMENTE
FRACTURADOS................................................................................................. 296
7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO .................................. 305
7.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS
FRACTURADOS NATURALMENTE................................................................... 308
7.8.1. ASPECTO TEÓRICO................................................................................ 309
7.8.2. PUNTOS Y LÍNEAS CARACTERÍSTICOS .............................................. 310
7.8.2. PUNTOS Y LÍNEAS CARACTERÍSTICOS .............................................. 310
7.8.3. RESPUESTA DE LA PRESIÓN CON EFECTOS DE ALMACENAMIENTO314
7.8.4. PROCEDIMIENTO PASO A PASO ........................................................... 317
8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS............................................... 325
8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES......................... 325
8.1.1. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE DECLINACIÓN ........................ 325
8.1.2. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE RESTAURACIÓN (FALLOFF) . 328
8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES ............................................ 331
8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS........................................................... 341
8.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL (∆P VS. ) .................................................. 342
8.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL (∆P VS. )...................................................... 342
8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) ............................................... 344
8.7. CURVA TIPO - ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS)........................... 346
8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS
HIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 348
HIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 348
8.8.1. SIMULACIÓN DE FRACTURAS .............................................................. 348
8.8.2. REGIMENES DE FLUJO EN FRACTURAS............................................. 351
8.8.3. ANÁLISIS DE FLUJO BILINEAL .............................................................. 352
8.8.5. ANÁLISIS DE FLUJO PSEUDORADIAL.................................................. 356

9
VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS................................................. 359
8.9.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................... 359
8.9.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE FLUJO UNIFORME ........ 361
8.9.3. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA
............................................................................................................................ 366
8.9.4. SISTEMAS RECTANGULARES ............................................................... 370
8.9.5. PROCEDIMIENTOS ................................................................................. 371
8.10. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON
FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA ...................................................... 377
8.10.1. CARACTERÍSTICAS DE FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA 378
8.10.2. RÉGIMEN DE FLUJO BILINEAL............................................................ 378
8.10.3. FLUJO BILINEAL Y ALMACENAMIENTO ............................................. 382
8.10.4. INTERRELACIONES ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y LINEAL ............. 383
8.10.5. INTERRELACIÓN ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y RADIAL.................. 385
8.10.6. RELACIONES ENTRE BIRADIAL Y BILINEAL...................................... 386
8.10.7. PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO........................................................ 389
8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA ................... 403
NOMENCLATURA .............................................................................................. 404
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 410

10
1. FUNDAMENTOS GENERALES
1.1. CONCEPTOS BÁSICOS
Las pruebas de presión pueden entenderse por aplicación de la tercera ley de Newton, como
se ilustra en la Fig. 1.1.
Mecanismo del
yacimiento
Modelo
Matemático
Perturbación
de entrada
Entrada
al modelo
Salida de
respuesta
Salida del
modelo
Fig. 1.1. Esquema de la representación matemática de una prueba de presión
Básicamente los objetivos del análisis de las pruebas de presión son:
• Evaluacion del Yacimiento: Entrega, propiedades, tamaño, permeabilidad por espesor
(útil para Espaciamiento y estimulación), presión inicial (energía y pronóstico), límites
(tamaño y determinación de existencia de un acuífero).
• Administración del yacimiento
• Descripción del yacimiento
Las pruebas DST y restauración de presión. Se usan principalmente en producción primaria
y exploración.
Pruebas múltiples: Se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria.
Pruebas multicapa y de permeabilidad vertical se usan en pozos productores/inyectores.

11
ALMACENAMIENTO
0.5
0.5
0.25
GRAFICO HORNER GRAFICO LOG-LOG GRAFICO DERIVADA
Protuberancia Protuberancia Derivada
negativa
Reversamiento de presión en vez de
pico. Se puede observar un mínimo.
Puede confundirse con el comporta-
miento de un yacimiento naturalmente
fracturado
Sistema
total
Sistema más
permeable
Flujo radial
Flujo radial en
sistema total
Flujo radial
en fisuras
Sistema más
permeable
Transición
sistema
totsl
Flujo radial
Flujo radial en
sistema total
PHASEREDISTRIBUTIONYac.Nat.Fracturado
FujoPseudoestable
Yac.Nat.Fracturado
FujoTransitorio
Pendiente
unitaria
m=0.5
FLUJOLINEALEN
CANALES
Un gráfico acrtesiano de P vs. la raiz de t
la mayoría de los casos da una recta
Fig. 1.2.a. Cartas de Identificación de yacimientos

12
MODELO
YACIMIENTO HOMOGENEO YACIMIENTO CON DOBLE POROSIDAD
SISTEMAS
INFINITOS
SISTEMAS
CERRADOS
POZOS
FRACTURADOS
INTERPOROSITY FLOW
ESTADO
PSEUDOESTABLE
TRANSITORIO
GRAFICO
LOG-LOG
GRAFICO
SEMILOG
GRAFICO DE
LA DERIVADA
logtD/CD*PD'PD
logPD
m
2m
1 1
1/2
1/4
t∆
Cartesiano
1/2
1/2 1/2
TRANS
1/2
TRANS
>1/4
m = Pendiente
semilog. Representa
flujo radial infinito
Infinito
Barrera de no flujo
Presión constante
Conduct. infinita
Flujo uniform
Conduc. finita
(flujo bilineal)
1/4
Hay un factor de 2 en
separaciónentre PD y PD'
para fracturas de conduc-
tividad infinita. El factor es
4 para fracturas de -con-
ductividad finita
Se desarrollan 2
lineas paralelas
La transición inicia
antes que termine
los efectos de WBS
F = FISURA
T =SISTEMA TOTAL
4 t∆
0.5
0.5
Flujo
radial
Flujo
radial
m
m
T
F
m
m
T
F
Fig. 1.2.b. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos

13
YACIMIENTO HOMOGENEO
Frontera externa cerrada Barrera lineal impermeable
(falla)
Barrera de presión
constante
Cartesiana
Presión
Tiempo
Log-Log
t*P'
P
Semilog
Tiempo
Pyt*∆P'
Presión
Tiempo
Log-Log
t*P'
P
Tiempo
Pyt*∆P'
m 2m
m
2m
En el gráfico semilog se observa una recta que dobla
su pendiente. Una segunda región plaa se observa
en la derivada
Presión
Tiempo
Log-Log
t*P'
P
Tiempo
Pyt*∆P'
m
2m
Una región plana normalmente se observa
en la mayoría de los gráficos de f P vs t
y una line que decrece conitnuamente se
observa en el gráfico de la derivada
0.5
1.0
Fig. 1.3. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos

14
Tabla 1.1. Parámetros obtenidos de pruebas de pozo
Tipo de Prueba Parámetro Obtenido
DST Comportamiento del yacimiento
Permeabilidad
Daño
Longitud de fractura
Presión del yacimiento
Límites del yacimiento
Fronteras
Prueba de formación múltiple
repetida
Perfil de Presión
Prueba de declinación de
presión
Comportamiento del yacimiento
Permeabilidad
Daño
Límites del yacimiento
Fronteras
Prueba de restauración de
presión
Comportamiento del yacimiento
Permeabilidad
Daño
Fronteras
Prueba de paso de rata Presión de rotura de formación
Permeabilidad
Daño
Prueba Falloff Movilidad en varios bancos
Daño
Ubicación del frente
Fronteras
Prueba de pulso e interferencia Comunicación entre pozos
Comportamiento del tipo de yacimiento
Porosidad
Permeabilidad interpozos
Permeabilidad vertical
Pruebas de yacimientos con
capas
Propiedades de capas individuales
Permeabilidad horizontal
Permeabilidad vertical
Daño
Presión de capa promedio
Fronteras externas

15
Tabla 1.2. Gráficas y regimenes de flujo encontrados en pruebas de pozo
Gráficas
Régimen
de flujo
Cartesiana t∆ 4
t∆ Log-log Semilog
Almacenamiento Línea recta
Pendiente→C
Intercepto→ ∆tc,
∆Pc
Pendiente unitaria en ∆p y
p’
∆p y p’
coincide
s Positivo
s Negativo
Flujo Lineal Línea recta
Pendiente→xf
Intercepto→
Daño de fractura
Pendiente=1/2 en ∆P y P’
si s=0
Pendiente =1/2 en ∆p y P’
si s=0 a medio nivel de ∆P
Pendiente = ½ después de
almacenamiento indica un
canal del yacimiento
Flujo Bilineal Línea recta
Pendiente
→Cfd
Pendiente=1/4
P’a ¼ de nivel de ∆P
Primer IARF
(alta-k capas,
fracturas)
Disminución de
pendiente
P’ horizontal a P’D=1/2 Línea recta
Pendiente→kh
∆P1hr→s
Transición Más disminución
de pendiente
s
eP 2−
=∆ λ
P’D=1/4 (transición)
P’D<1/4 (estado
pseudoestable)
Línea recta
Pendiente=1/2
(transición)
Pendiente=0
(estado
pseudoestable)
Segundo IARF Pendiente similar
al primer IARF
P’ horizontal a p’D=1/2 Línea recta
Pendiente→kh, P*
∆P1hr→s
Frontera sencilla
de no flujo
P’ horizontal a p’D=1 Línea recta
Pendiente =2m
Intersección con
IARF→distancia a
frontera
Fronteras
externas de no
flujo (solo
declinación)
Línea recta
pendiente→φAh
Pint→CA
Pendiente unitaria para ∆P y
P’
∆P y P’ coincide
Incremento de
pendiente
IARF= flujo radial de acción infinita
Pruebas de declinación, de restauración de interferencia y de pulso: se usan en todas
las fases de producción.
Pruebas multitasa, de inyección, de interferencia y pulso: Se usan en las etapas
primaria y secundaria.
El análisis de pruebas de presión tiene una variedad de aplicaciones durante la vida de
un yacimiento. Las pruebas DST y de restauración de presión en pozos únicos se usan
principalmente durante producción primaria y exploración, mientras que las pruebas
múltiples se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria. Las
pruebas multicapa y de permeabilidad vertical también se corren en pozos
productores/inyectores. Pruebas de caída, de restauración, de interferencia y de pulso

16
se utilizan en todas las fases de producción. Las pruebas multitasa, de inyección, de
interferencia y de pulso se usan en las etapas primaria y secundaria. La tabla 1 resume
los parámetros que pueden obtenerse del análisis de pruebas de presión. Los
ingenieros de petróleos deberían tener en cuenta el estado del arte de la interpretación
de pruebas de presión, herramientas de adquisición de datos, métodos de
interpretación y otros factores que afectan la calidad de los resultados obtenidos del
APP.
Una vez los datos han sido obtenidos y revisados, el análisis de presiones comprende
dos pasos: (1) El modelo del yacimiento e identificación de los diferentes regimenes
de flujo encontrados durante la prueba, (2) estimación de parámetros. Entre ellos
tenemos: gráficos log-log de presión y derivada de presión vs. tiempo de transiente
(herramienta de diagnóstico), gráfico semilog de presión vs. tiempo, gráfico
Cartesiano de los mismos parámetros, etc. La tabla 2 proporciona diferentes gráficos
y regimenes de flujo que normalmente se encuentran en cada prueba y las Figs. 1.2 a
1.3 ilustran diferentes condiciones de yacimiento y características de flujo
encontrados en una prueba de presión.
En general, el análisis de presiones es una herramienta excelente para describir y
definir el modelo de un yacimiento cuando se maneja un campo hidrocarburífero. Los
regímenes de flujo son una función directa de las características del sistema
pozo/yacimiento, i.e., una fractura sencilla que intercepta el pozo puede identificarse
mediante la detección de un flujo lineal. Sin embargo, siempre que exista flujo lineal,
no necesariamente implica la presencia de una fractura.
La interpretación de pruebas de presión es el método primario para determinar
permeabilidad, factor de daño, presión de yacimiento, longitud y conductividad de
fractura y heterogeneidad del yacimiento. Además, es el único método más rápido y
más barato para estimar variable dependientes del tiempo como el factor de daño y la
permeabilidad en yacimientos sensibles al esfuerzo.
El período de comportamiento infinito ocurre después del fin del almacenamiento y
antes de la influencia de los límites del yacimiento. Puesto que los límites no afectan
los datos durante este período, el comportamiento de presión es idéntico al
comportamiento de un yacimiento infinito. El flujo radial puede reconocerse por una
estabilización aparente del valor de la derivada.
El análisis de presiones puede utilizarse para determinar permeabilidad, daño, presión
promedia, longitud media de una fractura hidráulica, dirección de una fracturas,
conductividad de la fractura, entre otros. Obtenidos los datos siguen dos pasos (1)
Definir el modelo del yacimiento e identificación de los regímenes de flujo y (2)
Estimación de parámetros.

17
1.2 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN
Declinación de presión (ver. Fig. 1.4)
Tiempo
Tiempo
PresiónCaudal
0
q
tp
tp
PresiónCaudal
Tiempo
Tiempo
0
Fig. 1.4. Representación esquemática de pruebas de restauración (derecha) y
declinación o caída de presión (izquierda)
PresiónCaudal
Tiempo
Tiempo
0
PresiónCaudal
Tiempo
Tiempo
0
Fig. 1.5. Prueba de inyección (izquierda) y prueba Falloff (derecha)

18
Restauración de presión (ver. Fig. 1.4)
a) Es difícil mantener el caudal constante
b) No hay producción
Inyección Ver (Fig. 1.5)
Falloff
Considera una declinación de presión inmediatamente después de la inyección.
Idéntico a una prueba de restauración (ver Fig. 1.5)
Otras pruebas:
Interferencia
DST
Múltiples
1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD
Al inicio de la producción, la presión en el pozo cae abruptamente y los fluidos cerca al pozo
se expanden y se mueven hacia el área de menor presión. Dicho movimiento es retardado por
la fricción contra las paredes del pozo y la propia inercia y viscosidad del fluído. A media
quen el fluido se mueve se crea un desbalance de presión que induce a los fluídos aledaños a
moverse hacia el pozo. El proceso continúa hasta que la caída de presión creada por la puesta
en producción se disipa a lo largo del yacimiento. El proceso físico que toma lugar en el
yacimiento puede describirse mediante la ecuación de difusividad cuya deducción se muestra
a continuación.
1.3.1. Método I
(Masa que entra) - (Masa que sale) = Tasa de acumulación del sistema
k dP
v
dsµ
= −
kA dP
q
dsµ
= −
Para flujo radial 2A rhπ=

19
r
r+∆r
∆r
Fig. 1.6. Elemento de volumen radial
Masa que entra =
3
3
L M
q
T L
ρ =
2
k P
q rh
r
∂
π
µ ∂
= −
( ) ( ) ( )2 2 2
r r dr
k P k P
rh rh rh dr
r r t
ρ ∂ ρ ∂ ∂
π π π φ ρ
µ ∂ µ ∂ ∂+
− + =
( ) ( ) ( )2 2 2
r r dr
k P k P
h r h r rh dr
r r t
ρ ∂ ρ ∂ ∂
π π π φ ρ
µ ∂ µ ∂ ∂+
− + =
( )
1
r dr r
k P k P
r r
r r r
dr t
ρ ∂ ρ ∂
µ ∂ µ ∂ ∂
φ ρ
∂
+
⎡ ⎤
−⎢ ⎥
⎣ ⎦ =
( )
1 k P
r
r r r t
∂ ρ ∂ ∂
φ ρ
∂ µ ∂ ∂
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1.1)
1 1V
c
V P P
∂ ∂ ρ
∂ ρ ∂
= − =

20
De donde;
( )oc P P
oeρ ρ −
= (1.2)
1
fc
P
∂ φ
φ ∂
=
Colocando la Ec. 1.1 en términos de ρ:
( ) ( ) ( )φ
∂
∂
ρρ
∂
∂
φρφ
∂
∂
ttt
+=
( )
P
t t P t
∂ ∂ ρ ∂ φ ∂ ∂ ρ
φ ρ φ ρ
∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂
= +
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=+=
c
c
ttc
c
tt
ff
1
∂
ρ∂
φ
∂
ρ∂
ρ
φρ
∂
ρ∂
φρφ
∂
∂
( ) [ ] t
cc
ct
f
∂
ρ∂φ
ρφ
∂
∂
+=
La parte derecha de la ecuación de difusividad se ha simplificado completamente.
Ahora continuando con el término de la izquierda:
1P P
r r c r
∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ
∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂
= =
Reemplazando este resultado en la Ec. 1.1, se tiene:
[ ] t
cc
crc
rk
rr
f
∂
ρ∂φ
∂
ρ∂
µ∂
∂
+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛1
(1.3)
Con el objeto de disponer la Ec. 1.1 en términos de p, se deriva la Ec. 1.2 con
respecto a r y t, así:
( )oc P P
o
P
e c
r r
∂ ρ ∂
ρ
∂ ∂
−
=
( )oc P P
o
P
e c
t t
∂ ρ ∂
ρ
∂ ∂
−
=

21
Reemplazando el resultado de la derivada en la Ec. 1.3:
( ) ( )1 o oc P P C P P
o f o
k r P P
e c c c e c
r r c r c t
∂ ∂ φ ∂
ρ ρ
∂ µ ∂ ∂
− −⎛ ⎞
⎡ ⎤= +⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
Extrayendo los términos constantes de la derivada:
t
P P
r c
kr r r t
µ ∂ ∂ ∂
φ
∂ ∂ ∂
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1.4)
Defina la constante de difusividad, η, como:
k
ctµφ
η
=
1
Luego resulta:
1 1P P
r
r r r t
∂ ∂ ∂
∂ ∂ η ∂
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
Derivando;
2
2
1 1P P P
r
r r r t
∂ ∂ ∂
∂ ∂ η ∂
⎡ ⎤
+ =⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
2
1 1P P P
r r r t
∂ ∂ ∂
∂ ∂ η ∂
+ = (1.5)
En coordenadas cilíndricas:
2 2 2
2 2 2 2
1 1 tz
r r r
k ckP P P P P
r r r k r k z k t
θ φµ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂
+ + + = (1.6.)
1.3.2. Método II
Para la mayoría de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la rata de corte
pueden describirse mediante la ley de fricción de Newton la cual combinada con la
ecuación de movimiento resulta en reconocida ecuación de Navier-Stokes. La
solución de dicha ecuación para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a la
distribución de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometría de los poros,
no permite la formulación adecuada de las condiciones de frontera a través del medio

22
poroso. Luego, una aproximación diferente se debe tomar. Darcy descubrió una
relación simple entre el gradiente de presión y el vector velocidad para una sola fase.
El volumen de fluido contenido en el anillo de la Fig. 1.7 es:
φπ )2( rhdrV = (1.7)
Puesto que,
PP+dP
r
r+dr
h
Pozo
Fig. 1.7. Elemento de volumen y presión
dP
dV
V
c
1
−=
Entonces;
cVdPdV −=
De la Ec. 1.7, se tiene:
dPrhdrcdV φπ )2(−=
Si
t
V
dq
∂
∂
= entonces reemplazando la relación anterior en esta se tiene:

23
t
P
rhdrcdq
∂
∂
−= )2( πφ
ó;
t
P
rhc
r
q
∂
∂
−=
∂
∂
)2( πφ (1.8)
De la ley de Darcy, se sabe que:
r
Pk
rhq
∂
∂
−=
µ
π )2( (1.9)
Derivando la Ec. 1.9 con respecto a r, se obtiene:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
2
2
)2(
r
P
r
r
Pk
h
r
q
µ
π (1.10)
Igualando las Ecs. 1.8 y 1.10, se obtiene:
2
2
(2 ) (2 )
P k P P
c rh h r
t r r
φ π π
µ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂
− = − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
ó;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
r
P
r
r
Pk
t
P
rc
µ
φ
Rearreglando,
t
P
k
c
r
P
rr
P
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ µφ1
2
2
(1.11)
La Ec. 1.11 es la ecuación de difusividad.
1.3.3. Limitaciones de la Ecuación de Difusividad
a) Medio poroso isotrópico, horizontal, homogéneo, permeabilidad y porosidad
constantes
b) Un solo fluido satura el medio poroso
c) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible

24
d) El pozo penetra completamente la formación. Fuerzas gravitacional despreciables,
e) La densidad del fluido es gobernada por la Ec. 1.2.
ρ ρ= −
o
c p p
e o( )
(1.2)
A) Flujo radial
2
2
1
0.0002637
tcP P P
r r r k t
φ µ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ = (1.12)
Donde;
P = psi µ = cp t = hr r = ft
ct = 1/psi φ = fracción k = md
B) Flujo Multifásico (Método de Perrine)
2
2
1
0.0002637
t
t
cP P P
r r r t
φ∂ ∂ ∂
∂ ∂ λ ∂
+ = (1.13)
fwwggoot cScScScc +++=
λ
µ µ µt
o
o
g
g
w
w
k k k
= + +
El método asume gradientes de presión y de saturación despreciables. Martin
demostró que (a) El método pierde exactitud a medida que la saturación de gas se
incrementa, (b) La estimación de la movilidad es buena, (c) El cálculo individual de
las movilidades es sensible a los gradientes de saturación. Se logran mejor
estimativos cuando la distribución de saturación es uniforme y (d) El método
subestima la permeabilidad efectiva de la fase y sobrestima el factor de daño. Cuando
hay flujo de gas libre:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ +−
±=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
mh
BRqRqqk gswwsog
g
)(0001.0(162600
µ
C) Flujo de Gas
t
pm
k
c
r
pm
rr
pm
gi
tgi
∂
∂µφ
∂
∂
∂
∂ )(
0002637.0
)(1)(
2
2
=+ (1.14)

25
0 2000 4000 6000 8000 10000
µZ, cp
Presión
Cuadrático
Lineal
Pseudopresión
Pseudopresión
Fig. 1.8. Pseudopresión
Donde m(P) es:
( )
( ) ( )m
p
p
dP
m P
P z P
ρ
µ
= ∫
1.3.4. Solución de la Línea Fuente
El anexo A presenta la solución de la línea fuente usando la transformada de
Boltzman. A continuación se presenta el método de Combinación de variables
independientes, el cual es basado en el análisis dimensional de Buckingham. Este
toma una función f = f(x, y, z, t), esta se debe transformar a un grupo o función que
contenga menos variables, f = f(s1,s2...). Se propone un grupo de variables cuya forma
general es:
1 2( , , , ) ( , ,...)f f x y z t f f s s= → =
s ax y z tb c d e
=
La ecuación de difusividad es:

26
1
r r
r
f
r
f
t
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = (1.15)
Donde f es:
wf
i wf
P P
f
P P
−
=
−
Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera:
0, 0 , 0f r t= ≤ ≤ ∞ =
1, 0, 0
f
r r t
r
∂
∂
= = >
0, , 0f r t= → ∞ >
Definiendo un grupo de variables como:
s ar tb c
= (1.16)
Multiplicando la Ec. 1.15 por ∂s/∂s:
1
r
s
s r
r
s
s
f
r
s
s
f
t
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
Intercambiando términos:
1
r
s
r s
r
s
r
f
s
s
t
f
s
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = (1.17)
Las nuevas derivadas se obtienen a partir de la Ec. 1.16:
∂
∂
s
r
abr tb c
= −1
∂
∂
s
t
acr tb c
= −1
Reemplazando en la Ec. 1.16 y rearreglando:

27
1 1 11 b c b c b cf f
abr t r abr t acr t
r s s s
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
− − −⎛ ⎞
⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2 2 11 b b
c b cr r f f
a b t r acr t
r r s r s s
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
−⎛ ⎞
⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Puesto que r
s
at
b
c
= entonces;
a b
r
r t
s
s
at
f
s
acr t
f
s
b c
c
b c
2 2
2
2 1∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
ab
r
r t
s
s
f
s
acr t
f
s
b c b c
2
2
1∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
b
r
t
s
s
f
s
c
f
s
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
2
2
f r c f
s
s s b t s
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
2
f c f
s r t s
s s b s
−∂ ∂ ∂⎛ ⎞
⎡ ⎤=⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Comparando el término encerrado en paréntesis cuadraron con la Ec. 1.16
( s ar tb c
= ), se observa que b = 2, c = -1, luego s= ar2
/t de modo que r2
t-1
=s/a,
entonces:
2
f c f
s s
s s b a s
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤
=⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦
El término encerrado en paréntesis cuadrados es una constante que se asume igual a 1
por conveniencia. En vista que c/(b2
a) = 1, entonces a = -1/4. Luego:
f f
s s
s s s
∂ ∂ ∂⎛ ⎞
=⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Escribiendo como una ecuación diferencial ordinaria:

28
d
ds
s
df
ds
s
df
ds
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = (1.17.a)
Aplicando el mismo análisis a las condiciones iniciales y de frontera para convertirlas
en función de s:
Condiciones iniciales:
0, 0 , 0f r t= ≤ ≤ ∞ =
puesto que s = ar2
/t al tiempo t = 0, s → ∞ (1.17.b)
Condición de frontera 1:
Esta se deriva a partir de la Ley de Darcy.
r
f
r
r t
∂
∂
= = >1 0 0, ,
Multiplicando la anterior ecuación por ∂s/∂s:
r
f
s
s
r
∂
∂
∂
∂
= 1
r
f
s
abr tb c∂
∂
−
=1
1
r
f
s
ab
r
r
t
b
c∂
∂
= 1
∂
∂
f
s
ab
s
at
tc
c
= 1
Puesto que b = 2;
s
f
s
∂
∂
=
1
2
(1.17.c)

29
f r t= → ∞ >0 0, ,
Si s = ar2
/t cuando r → ∞, s = ar2
/t → ∞ (1.17.d)
Lo anterior porque el tiempo se hace cada vez más grande. Luego, la nueva ecuación
diferencial con sus condiciones iniciales y de frontera es:
d
ds
s
df
ds
s
df
ds
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = (1.17.a)
Condiciones iniciales:
0,f s= → ∞ (1.17.b)
s
f
s
∂
∂
=
1
2
cuando s=0 (1.17.c)
0,f s= → ∞ (1.17.d)
Nota: Observe que la condición inicial y la condición de frontera 2 son lo mismo.
Defina:
df
g s
ds
=
Entonces la Ec. 1.17.a se transforma en:
d
g g
ds
=
Separando e integrando;
1ln g s c= +
g c e s
df
ds
s
= =1 (1.18)
Despejando df;

30
df
c e
s
ds
s
= 1
1
s
e
df c ds
s
=∫ ∫
La anterior es una ecuación que no es analíticamente integrable (se resuelve por series
de potencia):
2
1 ......
2!
s
e s
s
s
= + + +
Simplificando la solución:
f c
e
s
ds c
s
= +∫1 2
Aplicando la condición de frontera 1, Ec. 1.17.c, a la Ec. 1.18:
c e s
df
ds
s
1
1
2
= =
Cuando s = 0, es
= 0, entonces c1 = ½, luego;
f
e
s
ds c
ss
= +∫
1
2 0
2
Aplicando la condición de frontera 2, f = 0 cuando s → ∞
2
0
1
0
2
s
e
ds c
s
∞
= +∫
de donde;
2
0
1
2
s
e
c ds
s
∞
= − ∫
entonces;

31
0 0
1 1
2 2
s s s
e e
f ds ds
s s
∞
= −∫ ∫
1
2
s s
e
f ds
s∞
= ∫
ó:
1
2
s
s
e
f ds
s
∞ −
= − ∫
)(
2
1
sEf i −−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−=
t
r
Etrf i
42
1
),(
2
ó;
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−=
D
D
iDDD
t
r
EtrP
42
1
),(
2
La ecuación anterior es una muy buena aproximación de la solución analítica cuando
se satisface (Mueller y Witherspoon) que rD ≥ 20 ó tD/rD
2
≥ 0.5. La Fig. 1.10 es
representada por el siguiente ajuste:
2
1 dxbx
cxa
y
++
+
=
donde:
r2
= 0.99833613
a = 0.5366606870950616
b = -0.8502854912915072
c = 1.843195405855263
d = 0.119967622262022
x = log(PD)
y
D
D
r
t
102
=

32
32
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
0.01 0.1 1 10 100
r D = 20
rD
=
2
r D = 1.3
r D = 1
PD
t / r
2
D D
Fig. 1.9. Presión adimensional para diferentes valores del radio adimensional

33
33
0.01
0.1
1
10
0.1 1 10 100 1000 10000
10 10 10 10 10 10
4 5 6 7 8 9
t D /r D
PD
2
Fig. 1.10. Presión adimensional para un pozo sin almacenamiento y daño en un yacimiento infinito

34
La función exponencial puede ser evaluada mediante:
2 3 4
( ) 0.57721557 ln ....
2 2! 3 3! 4 4!
x x x
Ei x x x= + + − + −
⋅ ⋅ ⋅
1.4. FACTORES ADIMENSIONALES
Los parámetros adimensionales no proporcionan una visión física del parámetro que
se mide, pero si una descripción general o universal de éstos. Por ejemplo, un tiempo
real de 24 hrs corresponde a un tiempo adimensional de aproximadamente 300 hrs en
formaciones de muy baja permeabilidad o más de 107
en formaciones de muy
permeables.
1.4.1. Ecuación de Difusividad en Forma Adimensional
2
2
1 tcP P P
r r r k t
φ µ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ = (1.19)
Defina:
r
r
r
D
w
=
Derivando;
∂ ∂r r rw D= (1.20)
2 2 2
w Ddr r dr= (1.21)
Reemplazando el valor de r y las Ecs. 1.20 y 1.21 en la Ec. 1.19:
2
2 2
1 t
w D w D w D
cP P P
r r r r r r k t
φ µ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ =
22
2
1 t w
D D D
c rP P P
r r r k t
φ µ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ = (1.22)
Defina el tiempo adimensional como;

35
1
10
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25
Ei(-x)
x
Fig. 1.11. Valores de la integral exponencial para 1 ≤ x ≤ 10
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ei(-x)
x
Fig. 1.12. Valores de la integral exponencial para 0.0001 ≤ x ≤ 1

36
Tabla 1.3.a. Valores de la integral exponencial para 0.001 ≤ x ≤ 0.2
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.00 ∞ 6.3315 5.6394 5.2349 4.9482 4.7261 4.5448 4.3916 4.2591 4.1423
0.01 4.0379 3.9436 3.8576 3.7785 3.7054 3.6374 3.5739 3.5143 3.4581 3.4050
0.02 3.3547 3.3069 3.2614 3.2179 3.1763 3.1365 3.0983 3.0615 3.0261 2.9920
0.03 2.9591 2.9273 2.8965 2.8668 2.8379 2.8099 2.7827 2.7563 2.7306 2.7056
0.04 2.6813 2.6576 2.6344 2.6119 2.5899 2.5684 2.5474 2.5268 2.5068 2.4871
0.05 2.4679 2.4491 2.4306 2.4126 2.3948 2.3775 2.3604 2.3437 2.3273 2.3111
0.06 2.2953 2.2797 2.2645 2.2494 2.2346 2.2201 2.2058 2.1917 2.1779 2.1643
0.07 2.1508 2.1376 2.1246 2.1118 2.0991 2.0867 2.0744 2.0623 2.0503 2.0386
0.08 2.0269 2.0155 2.0042 1.9930 1.9820 1.9711 1.9604 1.9498 1.9393 1.9290
0.09 1.9187 1.9087 1.8987 1.8888 1.8791 1.8695 1.8599 1.8505 1.8412 1.8320
0.10 1.8229 1.8139 1.8050 1.7962 1.7875 1.7789 1.7704 1.7619 1.7536 1.7453
0.11 1.7371 1.7290 1.7210 1.7130 1.7052 1.6974 1.6897 1.6820 1.6745 1.6670
0.12 1.6595 1.6522 1.6449 1.6377 1.6305 1.6234 1.6164 1.6094 1.6025 1.5957
0.13 1.5889 1.5822 1.5755 1.5689 1.5623 1.5558 1.5494 1.5430 1.5367 1.5304
0.14 1.5241 1.5180 1.5118 1.5057 1.4997 1.4937 1.4878 1.4819 1.4760 1.4702
0.15 1.4645 1.4587 1.4531 1.4474 1.4419 1.4363 1.4308 1.4253 1.4199 1.4145
0.16 1.4092 1.4039 1.3986 1.3934 1.3882 1.3830 1.3779 1.3728 1.3678 1.3628
0.17 1.3578 1.3528 1.3479 1.3430 1.3382 1.3334 1.3286 1.3239 1.3191 1.3145
0.18 1.3098 1.3052 1.3006 1.2960 1.2915 1.2870 1.2825 1.2780 1.2736 1.2692
0.19 1.2649 1.2605 1.2562 1.2519 1.2477 1.2434 1.2392 1.2350 1.2309 1.2268
0.20 1.2227 1.2186 1.2145 1.2105 1.2065 1.2025 1.1985 1.1946 1.1907 1.1868
Tabla 1.3.b. Valores de la integral exponencial para 4 ≤ x ≤ 18.9
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 0.003779 0.003349 0.002969 0.002633 0.002336 0.002073 0.001841 0.001635 0.001453 0.001291
5 0.001148 0.001021 0.000909 0.000809 0.00072 0.000641 0.000571 0.000509 0.000453 0.000404
6 0.00036 0.000321 0.000286 0.000255 0.000228 0.000203 0.000182 0.000162 0.000145 0.000129
7 1.15E-04 1.03E-04 9.22E-05 8.24E-05 7.36E-05 6.58E-05 5.89E-05 5.26E-05 4.71E-05 4.21E-05
8 3.77E-05 3.37E-05 3.02E-05 2.70E-05 2.42E-05 2.16E-05 1.94E-05 1.73E-05 1.55E-05 1.39E-05
9 1.24E-05 1.12E-05 9.99E-06 8.95E-06 8.02E-06 7.19E-06 6.44E-06 5.77E-06 5.17E-06 4.64E-06
10 4.16E-06 3.73E-06 3.34E-06 3.00E-06 2.69E-06 2.41E-06 2.16E-06 1.94E-06 1.74E-06 1.56E-06
11 1.40E-06 1.26E-06 1.13E-06 1.01E-06 9.08E-07 8.15E-07 7.32E-07 6.57E-07 5.89E-07 5.29E-07
12 4.75E-07 4.27E-07 3.83E-07 3.44E-07 3.09E-07 2.77E-07 2.49E-07 2.24E-07 2.01E-07 1.81E-07
13 1.62E-07 1.46E-07 1.31E-07 1.18E-07 1.06E-07 9.50E-08 8.50E-08 7.70E-08 6.90E-08 6.20E-08
14 5.60E-08 5.00E-08 4.50E-08 4.00E-08 3.60E-08 3.30E-08 2.90E-08 2.60E-08 2.40E-08 2.10E-08
15 1.90E-08 1.70E-08 1.60E-08 1.40E-08 1.30E-08 1.10E-08 1.00E-08 9.00E-09 8.00E-09 7.00E-09
16 7.00E-09 6.00E-09 5.00E-09 5.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 3.00E-09 3.00E-09 3.00E-09
17 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09
18 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 0 0 0 0 0

37
Tabla 1.3.c. Valores de la integral exponencial para 0.1 ≤ x ≤ 3.9
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 ∞ 4.0379 3.3547 2.9591 2.6813 2.4679 2.2953 2.1508 2.0269 1.9187
0.1 1.8229 1.7371 1.6595 1.5889 1.5241 1.4645 1.4092 1.3578 1.3098 1.2649
0.2 1.2227 1.1829 1.1454 1.1099 1.0762 1.0443 1.0139 0.9849 0.9573 0.9309
0.3 0.9057 0.8815 0.8583 0.8361 0.8147 0.7942 0.7745 0.7554 0.7371 0.7194
0.4 0.7024 0.6859 0.6700 0.6546 0.6397 0.6253 0.6114 0.5979 0.5848 0.5721
0.5 0.5598 0.5478 0.5362 0.5250 0.5140 0.5034 0.4930 0.4830 0.4732 0.4636
0.6 0.4544 0.4454 0.4366 0.4280 0.4197 0.4115 0.4036 0.3959 0.3883 0.3810
0.7 0.3738 0.3668 0.3599 0.3532 0.3467 0.3403 0.3341 0.3280 0.3221 0.3163
0.8 0.3106 0.3050 0.2996 0.2943 0.2891 0.2840 0.2790 0.2742 0.2694 0.2647
0.9 0.2602 0.2557 0.2513 0.2470 0.2429 0.2387 0.2347 0.2308 0.2269 0.2231
1.0 0.2194 0.2157 0.2122 0.2087 0.2052 0.2019 0.1986 0.1953 0.1922 0.1890
1.1 0.1860 0.1830 0.1801 0.1772 0.1743 0.1716 0.1688 0.1662 0.1635 0.1609
1.2 0.1584 0.1559 0.1535 0.1511 0.1487 0.1464 0.1441 0.1419 0.1397 0.1376
1.3 0.1355 0.1334 0.1313 0.1293 0.1274 0.1254 0.1235 0.1216 0.1198 0.1180
1.4 0.1162 0.1145 0.1128 0.1111 0.1094 0.1078 0.1062 0.1046 0.1030 0.1015
1.5 0.100020 0.098544 0.097093 0.095666 0.094263 0.092882 0.091524 0.090188 0.088874 0.087580
1.6 0.086308 0.085057 0.083825 0.082613 0.081421 0.080248 0.079093 0.077957 0.076838 0.075738
1.7 0.074655 0.073589 0.072539 0.071506 0.070490 0.069489 0.068503 0.067534 0.066579 0.065639
1.8 0.064713 0.063802 0.062905 0.062021 0.061151 0.060295 0.059452 0.058621 0.057803 0.056998
1.9 0.056204 0.055423 0.054654 0.053896 0.053150 0.052414 0.051690 0.050977 0.050274 0.049582
2.0 0.048900 0.048229 0.047567 0.046915 0.046273 0.045641 0.045017 0.044403 0.043798 0.043202
2.1 0.042614 0.042035 0.041465 0.040903 0.040349 0.039803 0.039266 0.038736 0.038213 0.037698
2.2 0.037191 0.036691 0.036198 0.035713 0.035234 0.034762 0.034297 0.033839 0.033387 0.032941
2.3 0.032502 0.032069 0.031643 0.031222 0.030808 0.030399 0.029996 0.029599 0.029207 0.028821
2.4 0.028440 0.028065 0.027695 0.027330 0.026970 0.026616 0.026266 0.025921 0.025581 0.025246
2.5 0.024915 0.024589 0.024267 0.023950 0.023638 0.023329 0.023025 0.022725 0.022430 0.022138
2.6 0.021850 0.021566 0.021287 0.021011 0.020739 0.020470 0.020205 0.019944 0.019687 0.019432
2.7 0.019182 0.018935 0.018691 0.018450 0.018213 0.017979 0.017748 0.017520 0.017296 0.017074
2.8 0.016855 0.016640 0.016427 0.016217 0.016010 0.015805 0.015604 0.015405 0.015209 0.015015
2.9 0.014824 0.014636 0.014450 0.014266 0.014085 0.013906 0.013730 0.013556 0.013385 0.013215
3.0 0.013048 0.012883 0.012721 0.012560 0.012402 0.012246 0.012091 0.011939 0.011789 0.011641
3.1 0.011494 0.011350 0.011208 0.011067 0.010928 0.010791 0.010656 0.010523 0.010391 0.010261
3.2 0.010133 0.010006 0.009882 0.009758 0.009637 0.009516 0.009398 0.009281 0.009165 0.009052
3.3 0.008939 0.008828 0.008718 0.008610 0.008503 0.008398 0.008294 0.008191 0.008090 0.007990
3.4 0.007891 0.007793 0.007697 0.007602 0.007508 0.007416 0.007324 0.007234 0.007145 0.007057
3.5 0.006970 0.006884 0.006800 0.006716 0.006634 0.006552 0.006472 0.006392 0.006314 0.006237
3.6 0.006160 0.006085 0.006010 0.005937 0.005864 0.005793 0.005722 0.005652 0.005583 0.005515
3.7 0.005448 0.005381 0.005316 0.005251 0.005187 0.005124 0.005062 0.005000 0.004939 0.004879
3.8 0.004820 0.004762 0.004704 0.004647 0.004591 0.004535 0.004480 0.004426 0.004372 0.004319
3.9 0.004267 0.004215 0.004165 0.004114 0.004065 0.004016 0.003967 0.003919 0.003872 0.003825

38
Reemplazando la Ec. 1.23 en 1.22
t
t
t
D
o
= (1.23)
∂ ∂t t to D=
22
2
1 t w
D D D o D
c rP P P
r r r kt t
φ µ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ = (1.24)
Para definir to, asuma que 1
2
=
o
wt
kt
rcµφ
, de donde;
k
rc
t wt
o
2
µφ
= (1.25)
Reemplazando la Ec. 1.25 en la definición de tD:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
k
rc
tt wt
D
2
µφ
(1.26)
Despejando tD;
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 2
wt
D
rc
kt
t
µφ
Reemplazando la Ec. 1.25 en la Ec. 1.23:
22
2 2
1 t w
D D D Dt w
c rP P P
r r r tc r
k
k
φ µ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂φ µ
+ =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2
1
D D D D
P P P
r r r t
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ = (1.27.a)
Solución para el caso de rata constante;
( )ln /e w
kh P
q
B r rµ
∆
=

39
Nótese que la ecuación anterior es la solución de la ecuación de difusividad para
estado estable. Despejando ∆P;
ln e
w
rqB
P
kh r
µ ⎛ ⎞
∆ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Definiendo:
P
r
r
D
e
w
= ln
D
qB
P P
kh
µ
∆ =
Esto significa que la caída de presión física en estado estable para flujo radial es
igual a la presión adimensional multiplicada por un factor escalable, que para este
caso depende del caudal y de las propiedades del yacimiento. El mismo concepto se
aplica a flujo transitorio y a situaciones más complejas, pero en este caso la presión
adimensional es diferente. Por ejemplo, para flujo transitorio la presión adimensional
siempre es función del tiempo adimensional. En general, la presión a cualquier punto
en un sistema con pozo único que produce a rata constante, q, está dada por:
[ ( , )] ( , , , geometría,....)i D D D D
qB
P P r t P t r C
kh
µ
− =
La presión adimensional es también afectada por la geometría del sistema, otros
sistemas de pozos, el coeficiente de almacenamiento, características anisotrópicas del
yacimiento, fracturas, discontinuidades radiales, doble porosidad entre otras.
Despejando PD;
( , ) ( )D D D i
kh
P r t P P
qBµ
= − (1.27.b)
Derivando dos veces;
D
kh
P P
qB
∂ ∂
µ
= − (1.28)
2 2
D
kh
P P
qB
∂ ∂
µ
= − (1.29)

40
Reemplazando las Ecs. 1.28 y 1.29 en la Ec. 1.27:
2
2
1D D D
D D D D
P P PqB qB qB
kh r kh r r kh t
∂ ∂ ∂µ µ µ
∂ ∂ ∂
− − = −
2
2
1D D D
D D D D
P P P
r r r t
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ =
Solución para el caso de presión constante:
; 0 1
wf
D D
i wf
P P
P P
P P
−
= ≤ ≤
−
El procedimiento es similar al caso de rata constante.
1.4.2. Solución de la Integral Exponencial, Ei
Asuma a) un solo pozo produce a caudal constante, and b) el yacimiento es infinito
con rw → 0, r → 0, P → Pi. Defina;
r
r
r
D
w
=
2
0002637.0
wt
D
rc
kt
t
µφ
= (1.30)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
A
r
t
Ac
kt
t w
D
t
DA
2
0002637.0
µφ
(1.31)
),( DDDD trPP =
( )
141.2
D i
kh
P P P
q Bµ
= − (1.32)
Ejercicio: Un yacimiento de forma cuadrada produce 300 BPD a través de un pozo
localizado en el centro de uno de sus cuadrantes. Ver Fig. 1.13. Estime la presión en
el pozo después de un mes de producción:
Pi = 3225 psia h = 42 pies

41
ko = 1 darcy φ = 25 %
µo = 25 cp ct = 6.1x10-6
/psi
Bo = 1.32 bbl/BF rw = 6 pulg
A = 150 Acres q = 300 BPD
Ac
kt
t
t
DA
µφ
0002637.0
=
76.0
)6534000)(101.6)(25)(25.0(
)720)(1000)(02637.0(
6
=
×
= −DAt
De la Fig. 1.14.a se lee un valor de la presión adimensional de 12.
( )pp
q
kh
P iD −=
βµ2.141
)(
)25)(32.1)(300)(2.141(
)42)(1000(
12 ppi −=
P = 2825 psi.
Fig. 1.13. Geometría del yacimiento
1.5. APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE
DIFUSIVIDAD
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−=
D
D
iDDD
t
r
EtrP
42
1
),(
2

42
42
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.001 0.01 0.1 1
PD
t DA
1
1
1
1
1
1
1
1
Fig. 1.14.a. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5
/rw = 2000

43
43
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.001 0.01 0.1 1
PD
t DA
1
2
1
2
1
2
1
2
Fig. 1.14.b. Presión adimensional para un un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5
/rw = 2000

44
44
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.001 0.01 0.1 1
PD
t DA
1
2
1
2
1
2
1
4
Fig. 1.14.c. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5
/rw = 2000

45
45
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.001 0.01 0.1 1
PD
t DA
1
5
1
4
1
4
1
4
Fig. 1.14.d. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5
/rw = 2000

46
kt
rc
t
r
x t
D
D
22
948
4
µφ
−=−= (1.33)
Si P E xD i= − −
1
2
( ) entonces, se cumple que cuando x < 0.0025
E x xi ( ) ln( . )= 1781 (1.34)
E x xi ( ) ln . ln= +1781
E x xi ( ) ln .= + 05772 (1.35)
Por definición de PD;
P E xD i= − −
1
2
( )
P
r
t
D
D
D
= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
2 4
0 5772
2
ln .
P
t
r
D
D
D
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
2
4
057722
ln .
De la definición de PD;
P
t
r
D
D
D
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
2
0 809072
ln . (1.36)
Esta ecuación es válida para tD/rD
2
≥ 50 ó 100.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+=
kt
rc
E
kh
q
pp t
ii
2
948
6.70
µφµβ
(1.37)
Ejercicio: Un pozo y yacimiento tienen las siguientes características:
q = 20 BF/D µ = 0.72 cp ct = 1.5x10-5
φ = 23 % Pi = 3000 psia re = 3000 pies
B = 1.475 bbl/BF k = 10 md h = 150 pies

47
Calcule la presión del yacimiento a 1 pie, 10 pies y 100 pies después de 0.3 hrs de
producción.
22
82.310002637.0
wwt
D
rrc
kt
t ==
µφ
Los tiempos adimensionales son:
Para 1 pie 31.85, para 10 pies 0.3185 para 100 pies 0.003185. Y el x es,
respectivamente 0.0007849, 0.07849 y 7.849. Para el primer x, se usa la
aproximación logarítmica, Ei = 6.572, para el segundo y tercero se debe usar tabla
1.3 y resulta un valor de la integral exponencial de 2.044 y para el tercer de cero.
2
948 (20)(1.475)(0.72)
70.6 3000 70.6 6.572
(10)(150)
2993.43
t
i i
c rqB
p p E
kh kt
p psi
φµµ ⎧ ⎫
= + − = −⎨ ⎬
⎩ ⎭
=
2
948 (20)(1.475)(0.72)
70.6 3000 70.6 2.044
(10)(150)
2997.96
t
i i
c rqB
p p E
kh kt
p psi
φµµ ⎧ ⎫
= + − = −⎨ ⎬
⎩ ⎭
=
1.6. DISTRIBUCION DE PRESION
En el punto N, Fig. 1.15, la presión puede calcularse por medio de la Ec. 1.37. En la
cara del pozo rD = r/rw=1 y P = Pwf. Note que para aplicar la solución de la línea
fuente como tal, el yacimiento se asume infinito.
Yacimiento infinito, Pi
Pozo
Punto N
Fig. 1.15. Distribución de presión

48
1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO)
Hay varias formas de cuantificar daño o estimulación en un pozo en operación
(productor o inyector). El método más popular es el de representar una condición del
pozo mediante una caída de presión en estado estable que ocurre en la cara del pozo,
adicional a la caída de presión transitoria en el yacimiento que ocurre normalmente.
La caída de presión adicional, se llama “efecto de daño” y toma lugar en una zona
infinitesimalmente delgada: “zona de daño”.
∆P = ∆P depleción + ∆P de daño
Algunos factores causantes de daño son:
1. Invasión de los fluidos de perforación
2. Penetración parcial del pozo
1. Completamiento parcial
2. Taponamiento de las perforaciones
3. Precipitación orgánico/Inorgánica
4. Densidad de perforación inadecuada o perforación limitada
5. Crecimiento bacteriano
6. Dispersión de arcillas
7. Presencia de torta y cemento
8. Presencia de alta saturación de gas alrededor del pozo
141.2i wf D
q B
P P P
kh
µ
− = sin daño
( )141.2i wf D
q B
P P P s
kh
µ
− = + (1.38)
141.2 141.2i wf D
q B q B
P P P s
kh kh
µ µ
− = + (1.39)
141.2s
q B
P s
kh
µ
∆ =
Asumiendo estado estable cerca al pozo y que la zona de daño tiene un radio finito,
rs, con una permeabilidad alterada, ks, la caída de presión debido al daño se expresa
como la diferencia de presión existente entre la zona virgen y la zona alterada, es
decir:
s alterada en zona danada virgen en zona danadap P P∆ = ∆ − ∆

49
500
1000
1500
2000
2500
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
Radio, pies
Presión,psi
S>0
S<0
S=0
Pozo
Fig. 1.16. Influencia del daño
141.2 ln 141.2 lns s
s
s w w
r rq B q B
P
k h r kh r
µ µ
∆ = −
141.2 1 ln s
s
s s w
rq B k
P
k h k r
µ ⎛ ⎞
∆ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Luego:
w
s
s r
r
k
k
s ln1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= (1.40)
rs, ks son difíciles de obtener, luego de la Ec. 1.3
141.2s
q B
P s
kh
µ
∆ =
r r es w
s
= −
Combinando con la Ec. 1.40

50
∆p
q
kh
k
k
r
r
s
s
s
w
= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1412 1. ln
µ β
(1.41)
2
9481
141.2
2
t w
i wf i
c rq B
P P E s
kh kt
φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
(1.42)
Aplicando la aproximación logarítmica:
( )
1
141.2 ln 1.781
2
i wf
q B
P P x s
kh
µ ⎡ ⎤
= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
2
9481
141.2 ln 1.781
2
t w
i wf
c rq B
P P s
kh kt
φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
ó;
2
948
70.6 ln 1.781 2t w
i wf
c rq B
P P s
kh kt
φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
2
1688.47
70.6 ln 2t w
i wf
c rq B
P P s
kh kt
φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
( )
2
70.6 ln 1688.47 ln 2t w
i wf
c rq B
P P s
kh kt
φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
2
ln10
70.6 7.4315 ln 2
ln10
t w
i wf
c rq B
P P s
kh kt
φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
puesto que el ln 10 = 2.3025
2
ln[ /( )]7.4315 2
162.6
2.3025 ln10 ln10
t w
i wf
c r ktq B s
P P
kh
φµµ ⎧ ⎫
= − + −⎨ ⎬
⎩ ⎭
2
162.6 3.2275 log 0.8686t w
i wf
c rq B
P P s
kh kt
φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦

51
Pwf
Log t
m
kh
Bq
m
µ6.162
=
Fig. 1.17. Gráfico semilog
Cambiando de signo:
2
162.6 3.2275 log 0.8686t w
i wf
c rq B
P P s
kh kt
φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − − − +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
Invirtiendo el logaritmo:
2
162.6 log 3.23 0.8686i wf
t w
q B kt
P P s
kh c r
µ
µ
⎡ ⎤⎛ ⎞
= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
(1.43)
pendiente semilog
1.8. FLUJO DE GAS
Para flujo de gas la presión de fondo puede expresarse como m(p), p2
ó p.
2 2
2
1637
log 3.23 0.886
g
wf i
t w
zTq kt
P P s
kh c r
µ
φµ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(1.44)
-------------- x -------------
q = Mpcn/D
T = °R

52
2 2
1637
( )( ) g
wf i wf i wf i
zTq
P P P P P P x
kh
µ⎛ ⎞
− = − + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
wf iP P
P
+
=
1637
2
g
wf i
zTq x
P P
kh P
µ⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
162.6 10.09
2
g
wf i
q zT
P P x
kh P
µ⎛ ⎞⎧ ⎫
− = − ⎨ ⎬⎜ ⎟
⎩ ⎭⎝ ⎠
El término entre corchetes corresponde al Bg (bbl/pcn). Cambiando unidades de
pcn/D a Mpcn/D, puesto que normalmente 0.00504 /gB zT P= en bbl/pcn. Resulta:
162.6 g g
wf i
qB
P P x
kh
µ⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Incluyendo el daño:
2
162.6 log 3.23 0.8686wf i g g
t w
kt
P P q s
c r
µ β
φµ
⎡ ⎤⎛ ⎞
= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
La ecuación es buena para yacimientos grandes o donde el comportamiento infinito
está presente.
Sistemas Finitos cerrados
En sistemas cerrados, como el de la Figs. 1.18. o 1.19, el flujo radial es seguido por
un periodo de transición. Este a su vez es seguido por el estado pseudoestable, el cual
es un régimen de flujo transitorio donde el cambio de presión con el tiempo, dP/dt,
es constante en todos los puntos del yacimiento:
p
dP q
dt cV
−
=
Luego la ecuación de difusividad, Ec. 2.21, se convierte en:

53
Area de drene
Finito
Fig. 1.18. Sistema cerrado
Pozo
A
B
C
D D
D D
Fig. 1.19. Pozo en el centro de un yacimiento cuadrado y de frontera cerradas

54
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11
Pyt*P
DDD
t D
A B C D
0.E+00
1.E+03
2.E+03
3.E+03
4.E+03
5.E+03
6.E+03
7.E+03
1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11
P
D
t D
A B C
D
0.E+00
1.E+01
2.E+01
3.E+01
4.E+01
5.E+01
0.E+00 1.E+07 2.E+07 3.E+07 4.E+07 5.E+07 6.E+07 7.E+07 8.E+07 9.E+07 1.E+08
D
P
D
t D
C
B
A
a) Derivada
b) Semilog
c) Cartesiano
Fig. 1.20. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento cerrado

55
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12
Pyt*PDDD
t D
A B C D
0.E+00
1.E+01
2.E+01
3.E+01
4.E+01
5.E+01
0.E+00 5.E+06 1.E+07 2.E+07 2.E+07 3.E+07 3.E+07 4.E+07 4.E+07 5.E+07 5.E+07
DDB
A
PD
t D
0.E+00
5.E+00
1.E+01
2.E+01
2.E+01
3.E+01
3.E+01
4.E+01
4.E+01
5.E+01
1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12
DC
B
B
PD
t D
Fig. 1.21. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento abierto

56
1
p
P c q
r cte
r r r k cV
φ µ∂ ∂⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
El periodo de flujo pseudoestable ocasionalmente ha sido denominado en forma
errónea como flujo estable, aunque el verdadero estado estable la presión es constante
con el tiempo en cualquier punto del yacimiento. La Fig. 1.19 esquematiza un pozo
productor en el centro de un yacimiento cuadrado con fronteras cerradas. La porción
marcada con A denota los efectos de almacenamiento y daño en el pozo. Debido a
ellos el flujo radial ha sido enmascarado y se observa más tarde como lo señala la
zona demarcada como B. Esta zona se llama también zona de comportamiento
infinito puesto que en ella el pozo se comporta como si estuviera en un sistema
infinito. Obsérvese que pudiera existir una zona de transición entre los periodos A y
B pero aquí no se considera. Una vez terminado el flujo radial se desarrolla una zona
de transición demarcada como C para luego desarrollarse el flujo pseudoestable que
corresponde a la demarcación D, en donde la presión cambia linealmente con el
tiempo. La representación de dichos regimenes de flujo en términos del
comportamiento de la presión se presenta en la Fig. 1.20. Para estos yacimientos r no
tiende a infinito. Para este tipo de yacimientos la solución de la ecuación exponencial
es diferente de la solución Ei. Si se asume que el pozo es una línea fuente, entonces:
2
2
0
2 2
1 0
( )3
( , ) 2 ln 2
2 4 ( )
n Dtn DD
D D D D D
n n n
J rr
P r t t r e
J
ββ
β β
∞
−
=
= + − − − ∑
r
r
r
eD
e
w
=
0.0002637
D
t
kt
t
c Aφ µ
=
αn es la raíz de:
( ) 02
1 =enrJ α
n n erβ α=
La solución de la ecuación de difusividad en forma adimensional está dada por:
2
1 1 2.5458
2 ln ln
2 2
D DA
w A
A
P t
r C
π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

57
Nótese que si en la ecuación anterior se reemplaza CA = 31.62, el valor del factor de
forma para un yacimiento circular con un pozo en el centro, los dos últimos términos
de la ecuación se transforman en la solución familiar ln(re/rw)-3/4. Una característica
importante de este periodo de flujo es que la rata de cambio de presión con respecto
al tiempo es una constante, es decir, dPD/dtDA = 2π .
Sistemas Finitos Abiertos o de presión constante
Cuando en cualquier punto del yacimiento la presión no varía con el tiempo, se dice
que el flujo es estable. En otras palabras, el lado derecho de la Ec. 1.19 se cero:
1
0
P
r
r r r
∂ ∂⎛ ⎞
=⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
Las funciones adimensionales de presión para flujo lineal y radial son,
respectivamente:
( ) 2D ssL
Lh
P
A
π=
( ) ln e
D ssr
w
r
P
r
=
Y la solución de la ecuación de difusividad será:
( )
0.00708 ( )
ln /
e w
e w
kh P P
q
B r rµ
−
=
que es la forma radial de la ecuación de Darcy. En los yacimientos, el estado estable
puede ocurrir solamente cuando el yacimiento está completamente recargado por un
acuífero o cuando la inyección y la producción se encuentran balanceadas. Sin
embargo, un yacimiento que posee un acuífero muy activo no siempre actuará bajo
estado estable. Primero tiene que existir un periodo de estado inestable, que se
seguirá por el estado estable una vez la caída de presión haya tocado las fronteras del
yacimiento. La representación de los regimenes de flujo en términos del
comportamiento de la presión, para estado estable, se presenta en la Fig. 1.21. La
extracción de fluidos de un yacimiento presurizado con fluidos compresibles ocasiona
una perturbación de presión. Aunque se espera que dicha perturbación viaje a la
velocidad del sonido, ésta se atenúa rápidamente de modo que para una duración dada
de tiempo de producción existe una distancia, el radio de drenaje, más allá del cual no
se observarán cambios sustanciales de presión. A medida que se extrae más fluido (o
se inyecta) la perturbación se mueve más dentro del yacimiento con continua
declinación de presión en todos los puntos que han experimentado declinación de

58
presión. Una vez se encuentra una frontera la presión en la frontera continúa
declinando pero a una rata más rápida que cuando la frontera no se había detectado.
Por otro lado si el transiente de presión alcanza una frontera abierta (empuje de agua)
la presión se mantiene constante en algún punto, las presiones más cercanas al pozo
declinarán más despacio que si se hubiese encontrado una frontera cerrada. Cambios
de caudal o pozos adicionales causan transientes de presión adicionales que afectan
tanto la declinación de presión como la distribución de la misma. Cada pozo
establecerá un área de drenaje que le suministra fluido. Cuando se encuentra una
frontera de flujo o no, el gradiente de presión –no el nivel de presión- tiende a
estabilizarse después de tiempo de producción suficientemente largo. Para el caso de
frontera cerrada, la presión alcanza el estado pseudoestable con un gradiente de
presión constante y una declinación de presión general en todo punto y que es lineal
con el tiempo. Para yacimientos de presión constante, se obtiene el estado estable,
tanto la presión como su gradiente permanecen constantes con el tiempo.
EJEMPLO
Un pozo sencillo en un yacimiento está produciendo un caudal constante de petróleo
de 110 STB/D. Algunos datos relevantes para este yacimiento son:
µ = 1.3 cp ct = 1.62x10-5
psi-1
φ = 18 %
Pi = 2800 psia re = 3500 ft rw = 0.3 ft
B = 1.25 bbl/STB h = 80 ft k = 75 md
s =1.5
a) Halle la presión del pozo fluyendo después de un mes de producción.
b) Determien la presión del yacimiento a un radio de 1, 2, 5, 10, 20, 100 ft, 1000 ft
para el mismo tiempo de producción. Graficar el perfil de presión.
SOLUCION
a) El tiempo adimensional es obtenido mediante;
2 5 2
0.0002637 0.0002637(75)(720)
41737891.7
(0.18)(1.3)(1.62 10 )(0.3)
D
t w
kt
t
c rφ µ −
= = =
×
Note que la relación tD/rD
2
es mucho mayor que 70, entonces la aproximación
logarítmica de Ei puede ser usada:
[ ] [ ] 3559.1880907.07.41737891ln80907.0ln 2
=+=+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=−
D
D
r
t
xEi

59
Si se conoce el valor de x de la Ec. 1.8.b, la integral exponencial se puede evaluar de
la tabla 1.3 ó de la Fig. 1.10. Estime el valor de x, mediante:
2 5 2
9948 948(0.18)(1.3)(1.62 10 )(0.3)
5.9895 10
75(30)(24)
tc r
x
kt
φ µ −
−×
= = = ×
Entonces, Ei se evalúa usando la tabla 1.3 Ei = 18.356. Este valor anterior coincide
muy bien con el obtenido de la Ec. 1.35. La presión de pozo fluyendo se estima
usando la Ec. 1.43:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
×
−= −
)5.1(8686.023.3
)1)(1062.1)(3.1)(18.0(
)720)(75(
log
)80)(75(
)25.1)(3.1)(110(6.162
2800 25wfP
Pwf = 2755.3 psi
La Ec. 1.43 está limitada por el valor de tD/rD
2
. Si este fuera el caso, otra manera de
representar la Ec. 1.34 es:
)(
6.70
),( xEi
kh
Bq
PtrP i −−=
µ
(1.45)
Reemplazando los parámetros conocidos en la ecuación anterior:
70.6(110)(1.3)(1.25)
( , ) 2800 18.356 2755.1 psi
(75)(80)
P r t = − =
b) En un radio de 1 ft, el valor de x se calcula usando la Ec. 1.8.b;
Tabla 1.4. Distribución de presión
Radio, ft x Ei(-x) ∆p, psi P, psia
0.3 5.99x10-9
18.356 44.92 2755.1
1 6.66 x10-8
15.948 33.54 2766.5
2 2.66 x10-7
14.561 30.62 2769.4
5 1.66 x10-6
12.729 26.77 2773.2
10 6.65 x10-6
11.342 23.85 2776.2
20 2.66 x10-5
9.956 20.94 2779.1
100 6.65 x10-4
6.738 14.17 2785.8
1000 6.65 x10-5
2.198 4.623 2795.4

60
2750
2760
2770
2780
2790
2800
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Radio, pie
Presión,psi
Fig. 1.22. Distribución de presión en el yacimiento
5 2
8948(0.18)(1.3)(1.62 10 )(1)
6.655 10
75 (30 24)
x
−
−×
= = ×
× ×
Ei se obtiene de la tabla 1.3, Ei = 5.948. La presión se estima con la Ec. 1.45:
psitrP 5.2766948.15
)80)(75(
)25.1)(3.1)(110(6.70
2800),( =−=
Los valores de presión para los demás radios son reportados en la tabla 1.4 y
graficados en la Fig. 1.22. Se observa en la gráfica que las mayores caídas de presión
tienen lugar en la región cercana a la cara del pozo, como se esperaba.
1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN
1.9.1. Deducción de la Derivada de la Presión
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
−=
D
D
iDDD
t
r
EtrP
42
1
,
2
Derivando respecto a tD:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
∆
∆
−=
∆
∆
D
D
i
DD
D
t
r
E
tt
p
42
1 2
(1.46)

61
Puesto que,
( ) ∫
∞
−
−=−
x
u
i du
u
e
xE
Aplicando este concepto:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆−
∆
∆
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
∆
∆
∫
∞
−
D
D
t
r
u
DD
D
i
D
u
u
e
tt
r
E
t 4
2
2
4
∞
∆
∆
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
∆
∆ −
D
D
t
r
D
u
D
D
i
D t
u
u
e
t
r
E
t 4
2
2
4
Tomando la derivada ∆v/∆tD y remplazando v por rD
2
/4tD:
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
∆
∆ −
2
2
2
4/2
4
4
4
2
D
D
D
D
tr
D
D
i
D t
r
t
r
e
t
r
E
t
DD
( )DD tr
DD
D
i
D
e
tt
r
E
t
4/
2
21
4
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
∆
∆
(1.47)
Combinando (1.37) y (1.38)
( )DD tr
DD
D
e
tt
p 4/21
2
1 −
−=
∆
∆
(1.48)
Expresando la Ec. 1.48 en derivadas parciales, se tiene que:
D
D
t
r
DD
D
e
tt
p 4
2
1
2
1 −
−=
∂
∂
(1.49)
El anterior concepto fue introducido por Tiab en 1975.
1.9.2. Conversión de la Ecuación de Derivada de Presión a Unidades de Campo
Tomando la Ec. 1.49

62
DD tr
DD
D
e
tt
p 4/2
2
1 −
−=
∆
∆
Puesto que,
2
000264.0
wt
D
rc
kt
t
φµ
= (1.50)
( )
µβq
PPkh
P
wfi
D
2.141
−
= (1.51)
Las Ecs. 1.50 y 1.51 están expresadas en unidades de campo. Tomando la derivada
para las Ecs. 1.50 y 1.51 respecto a t.
2
000264.0
wt
D
rc
k
t
t
φµ
=
∆
∆
(1.52)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆
∆
−=
∆
∆
t
P
q
kh
t
p wfD
µβ2.141
(1.53)
Puesto que se puede escribir:
tt
tP
t
p
D
D
D
D
∆∆
∆∆
=
∆
∆
/
/
(1.54)
Aplicando el concepto de la Ec. 1.54
( ) t
P
kq
ctrkh
t
P wfw
D
D
∆
∆−
=
∆
∆
000264.02.141
2
µβ
φµ
(1.55)
Remplazando la Ec. 1.55 en el lado izquierdo de la Ec. 1.49 y sustituyendo rD y tD
( ) ( )
( )( )⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
∆
∆− ktr
rcr
wtwfwt
wt
e
kt
rc
t
P
kq
rckh 000264.04/
22
2
22
000264.02000264.02.141
φµ
φµ
µβ
φµ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
∆
∆− kt
rc
wf
t
e
tt
P
q
kh
2
948
2
1
2.141
φµ
µβ

63
Simplificando
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
∆
∆ kt
rc
wf
t
e
kht
q
t
P
2
948
6.70
φµ
βµ
(1.56)
La Ec. 1.56 expresada en unidades de campo
∂
∂
P
t
P
t
eD
D
D
D
r
t
D
D
= =
−
'
1
2
2
4
(1.57)
En el pozo, rD = 1, luego:
Dt
D
D e
t
P 4
1
2
1
'
−
= (1.58)
Para tD > 250, 1/4
1Dt
e−
= , entonces la Ec. 1.58 se convierte en:
D
D
t
P
2
1
'= (1.59)
Tomando logaritmo a ambos lados:
2loglog1log'log −−= DD tP
301.0log'log −−= DD tP (1.60)
Lo que indica que la gráfica log-log de PD’ contra tD da una línea recta de pendiente
unitaria. Ver Figs. 1.23 y 1.24. En unidades reales de campo las Ecs. 1.59 y 1.60 se
convierten:
1 70.6
'
wf
wf
P q B
P
t t kh
∂ µ
∂
⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1.61)
ó;
70.6
log ' log logwf
q B
P t
kh
µ⎛ ⎞
= − + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1.62)

64
logPwf'
Log t
kh
Bq
Phr
µ6.70
1 =
1 hr
P1hr
Fig. 1.23. Gráfico log-log de Pwf’ vs. t
m = -1
m = -1
logP'D
log t D
Falla
simple
Fig. 1.24. Identificación de fallas mediante gráfico log-log de PD’ vs. tD

65
m
2m
logPD
log t D
Falla
simple
Fig. 1.25. Identificación de fallas mediante gráfico de PD vs. log tD
Con efectos de almacenamiento (WBS) y daño la línea no da recta. Con P’1hr se
puede hallar k ó kh por medio de la Ec. 1.63.
1' 70.6hr
q
P
kh
µ β
= (1.63)
1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA
1.10.1. Diferencia Finita Central
Calcular la derivada de la Presión requiere de algún cuidado, debido a que el proceso
de diferenciación de datos puede amplificar cualquier ruido que pueda estar presente.
Una diferenciación numérica usando puntos adyacentes producirá una derivada muy
ruidosa.
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
∆−
−
−−
∆+−
+
−−
∆−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+−
−+
−+
−+
−++
+−
111
11
11
11
111
11 2
iiii
iii
iiii
iiii
iiii
iii
i
i tttt
Ptt
tttt
Pttt
tttt
Ptt
t
t
P
t

66
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∆
−
∆
+
∆
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+−
−+
−+
−+
−++
+−
111
11
11
2
11
111
11
/ln/ln
/ln
/ln/ln
/ln
/ln/ln
/ln
ln
iiii
iii
iiii
iiii
iiii
iii
ii
tttt
Ptt
tttt
Pttt
tttt
Ptt
t
P
t
t
P
t (1.64)
1.10.2. Ecuación de Horne
Cuando los datos están distribuidos en una progresión geométrica (con la diferencia
de tiempo de un punto al siguiente muchos más grande a medida que pasa la prueba),
entonces el ruido en la derivada puede reducirse usando una diferenciación numérica
con respecto al logaritmo del tiempo. El mejor método para reducir el ruido es usar
datos que están separado por lo menos 0.2 de un ciclo logarítmico, en vez de puntos
que están inmediatamente adyacentes. Por lo tanto:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∆
−
∆
+
∆
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+−
−+
−+
−+
−++
+−
kijikii
iiji
iiii
iikiji
kijiiji
jikii
ii
tttt
Ptt
tttt
Pttt
tttt
Ptt
t
P
t
t
P
t
/ln/ln
/ln
/ln/ln
/ln
/ln/ln
/ln
ln 1
11
2
(1.65)
2.0lnln ≥−+ iji tt
2.0lnln ≥− −kii tt
1.10.3. Ecuación de Bourdet y colaboradores
Este algoritmo de diferenciación reproduce la curva tipo de la prueba sobre el
intervalo completo de tiempo. Este usa un punto antes y un punto después del punto
de interés, i, calcula la correspondiente derivada, y ubica su media ponderada para el
punto considerado.
( ) ( )
11
1
1
1
1
1
1
−+
−
+
+
+
−
−
−
−
−
−
+−
−
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
i XX
XX
XX
PP
XX
XX
PP
dx
dP
(1.66)
Siendo X el logaritmo natural de la función de tiempo .

67
L L
(t , X )1 1
(t , X )2 2
Fig. 1.26. Ilustración del suavizamiento
1.10.4. Ecuación de Clark y Van Golf-Racht
Clark y van Golf-Racht utilizan el método de Bourdet y escriben éste en términos de
∆P y ∆t, generando una función que utiliza una sola diferencia progresiva.
1 2
2 1
1 2
1 2
X X
t t
t tdX
dt t t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
+
(1.67)
Siendo L el valor de suavizamiento, 0.1 < L < 1/10 de la escala logarítmica aplicada.
1.10.5. Ecuación de Simmons
La rata de flujo se calcula por diferenciación numérica de la longitud de la columna
de un fluido con respecto al tiempo. Para suavizar los datos e incrementar la precisión
de los cálculos, se utilizan diferencias finitas de segundo orden. Las expresiones de
diferencias finitas han sido derivadas de la expansión de las series de Taylor sin el
requerimiento de igual lapso de tiempo para facilitar infrecuentes muestras de datos a
tiempos tardíos cuando la presión es relativamente constante. Para el cálculo del
caudal inicial una diferencia finita progresiva es requerida. Defina: ∆ti = ti+1 – ti. La
diferencia finita central:
)(
)(
1
22
1
1
22
1
2
1
2
1
−−
−−+−
∆∆+∆∆
∆−∆−∆+∆
=
iiii
iiiiiii
tttt
XtXttXt
dt
dX
(1.68)
Para el primer punto, la diferencia finita progresiva es:

68
)(/)(
)()(
1
1
2
1
212
2
1
2
2
1
++
++
++
∆+∆−∆∆+∆
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆
∆+∆
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆
∆+∆
−
=
iiiii
ii
i
ii
i
i
ii
ttttt
XX
t
tt
X
t
tt
dt
dX
(1.69)
La diferencia finita de segundo orden incrementa la precisión del cálculo de la
derivada. Se ganan beneficios adicionales con la inclusión de más puntos de datos en
la aproximación. Para el último punto, la diferencia finita regresiva es:
1
2
2121
212
1
2
21
2
1
2
21
/)()(
)()(
1
−−−−−
−−
−
−−
−
−−
∆∆+∆−∆+∆
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆
∆+∆
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆
∆+∆
−
=
iiiii
ii
i
ii
i
i
ii
ttttt
XX
t
tt
X
t
tt
dt
dX
(1.70)
El algoritmo de Spline es el mejor procedimiento para derivar datos de presión vs.
tiempo por ser más efectivo y con mínimos errores promedios. Es el único algoritmo
de carácter polinomial que por ser continuo puede ser suavizado durante cualquier
proceso de derivación y la forma de la curva obtenida es acorde al modelo trabajado.
El algoritmo de Simons es de carácter polinomial de segundo grado. Pero escrito en
términos de Presión y Tiempo, por lo que resulta impráctico el suavizamiento al
tiempo que se realizan los cálculos de la derivada. Los algoritmos polinomiales como
el de Simons, el de 2º grado, el de 3er
grado regresivo o el de 3er
grado progresivo por
ser de carácter discreto, no deben ser suavizados después de un proceso de
derivación. Los algoritmos de Horne cuando L = 0.2 y L = 0.4 y Bourdet cuando L =
0.2 y L = 0.4 son buenas opciones para procesos de derivación. El mejor
procedimiento para análisis de datos de presión vs. tiempo, es el de derivar y luego
suavizar los datos.
0.1
1
10
100
1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10
PD
t *P 'D D
P,t*P'DDD
t D
Fig. 1.27. La función derivada de presión analítica para un yacimiento homogéneo e
infinito

69
0.01
0.1
1
10
100
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10
P,t*P'DDD
t D
Fig. 1.28. La función derivada de presión para un yacimiento homogéneo e infinito
mediante los algoritmos de Horne, Clark y Van Golf-Racht, Spline, Simmons,
Bourdet y polinomiales con ruido aleatorio
1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
“Adicionando soluciones a la ecuación diferencial lineal resultará en una nueva
solución de esa ecuación diferencial pero para diferentes condiciones de frontera”.
ψ ψ ψ ψ= + +1 1 2 2 3 31f f f
1.11.1. Superposición en Espacio
De acuerdo con la Fig. 1.29, la caída de presión en el punto N, será:
,1 ,2N N NP P P∆ = ∆ + ∆ (1.71)
Se sabe que;
( )
141.2
D i
kh
P P P
qµ β
= −

70
Yacimiento infinito, Pi
Pozo 1
q1
Punto
N
r1
Pozo 2
q2
r2
Fig. 1.29. Presión en el punto N
141.2
( , )i D D D
q B
P P P P r t
kh
µ
− = ∆ = (1.72)
P se aplica en cualquier punto. Combinando las Ecs. 1.71 y 1.72 se tiene:
( ) ( )1 21 2
141.2
( , ) ( , )N o D D D o D D DP qB P r t qB P r t
kh
µ
⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦ (1.73)
w
D
r
r
r 1
1 =
2
2D
w
r
r
r
=
Extendido a n número de pozos:
( ) ( )1 21 2
141.2
( , ) ( , )N o D D D o D D DP qB P r t qB P r t
kh
µ
⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦ (1.74)
[ ]
1
141.2
( , )
n
N D Di D
i
q B
P P r t
kh
µ
=
∆ = ∑
Si N es un pozo de observación (activo), entonces, en el pozo:

71
[ ]
141.2
w D
q B
P P s
kh
µ
∆ = + (1.75)
Luego finalmente resulta;
[ ]
1
141.2 141.2
( , )
n
N D DNi D N
i
q B q B
P P r t s
kh kh
µ µ
=
∆ = +∑ (1.76)
↓
Incluye N
r
r
r
DNi
w
= 1
Note que en la Ecs. 1.71 y 1.76, se adicionan cambios de presiones o presiones
adimensionales y no presiones. Si el punto de interés es un pozo en operación, el
factor de daño debe adicionarse a la presión adimensional de ese pozo únicamente.
1.11.2. Superposición en Tiempo
Algunas veces hay cambios de caudal cuando un pozo produce. Ver. Fig. 1.30 y Fig.
1.31. Luego, debe aplicarse el concepto de superposición. Para ello, un único pozo se
visualiza como si hubiera dos pozos en el mismo punto, uno con q1 para un tiempo de
t = 0 a t = t1 y otro (imaginario) produciendo a una rata q2 - q1 por un período de
tiempo t - t2. El cambio en la presión en el pozo debido al cambio de rata es:
[ ]1 1 2 1 2
141.2
( , ) ( ) ( , )D D D D D D
B
P q P r t q q P r t s
kh
µ
∆ = + − + (1.77)
Donde tD2 = (t-t1)D. Si existen más variaciones en caudal:
( ) ( ) ( )1
1
141.2
( ,( ) )
n
D D i Di i
i
P qB qB P r t t s
kh
µ
−
=
⎡ ⎤∆ = − − +⎣ ⎦∑ (1.78)
Ejercicio: Los siguientes son los datos de dos pozos en producción.
k = 76 md φ = 20 % B = 1.08 bbl/BF
pi = 2200 psi µ = 1 cp ct = 10x10-6
/psi
h = 20 pies
Calcule la presión en el pozo 1 después de 7 hrs de producción y en el pozo 2 después
de 11 hrs de producción. Asuma comportamiento infinito.

72
t1
Caudal
Tiempo
q1
q2
t2
Fig. 1.30. Superposición en tiempo
100
50
Pozo 1
100 pies
Pozo 2
25
100
10 8
Caudal,BPD
Caudal,BPD
Tiempo, hrs Tiempo, hrs
s=5
rw = 1 pie
s=1.7
rw = 1 pie
Fig. 1.31. Superposición en tiempo
∆P(7 hr)= ∆P causado por + ∆P causado por
el flujo del pozo 1 el flujo del pozo 2
( )
2
1 2
7 , 1
141.2 141.2 100
( 1, ) ( , )
1Dhr r D D D D D D
q B q B
P P r t s P r t
kh kh
µ µ
=
⎛ ⎞
∆ = = + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 6 2
0.0002637 0.0002637(76)
10020
(0.2)(10 10 )1
D
t w
kt t
t t
c rφ µ −
= = =
×
En el pozo 1, tD = 10020*7 = 70140, x = 70140 > 100, luego:

73
P
t
r
D
D
D
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
2
0 809072
ln . =5.98
En el pozo 2, tD = 10020t/1002
= 7.014. De la 1.9.a ó 1.9.b (referencia 6) PD = 1.4.
Calculando ∆P en el pozo 1, resulta:
( ) ( )7 , 1
141.2(100)(1.08)(1) 141.2(100)(1.08)(1)
5.98 5 1.4 113.7
(76)(20) (76)(20)Dhr rP =∆ = + + =
Pw = 2200-113.7 = 2086.4 psi
PARTE 2. A las 11 hrs, se desea estimar la presión en el pozo 2. Se deben considerar
dos ratas en cada pozo:
(11 , 1) 1 1
2 2
0.1(100) ( , 11 , 100) 0.1(50 100) ( , 11 10 , 100)
0.1(25) ( , 11 , 1 ) 0.1(100 25) ( , 11 8 , 1 )
Dhr r D pozo D D pozo D
D pozo D D pozo D
P P t hr r P t hr r
P t hr r s P t hr r s
=∆ = = = + − = − =
+ = = + + − = − = +
Para el pozo 1
tD = (10020/1002
)(11) = 11
PD (rD = 100, tD = 11) = 1.61 de la Fig. 1.10
tD = (10020/1002
)(1) = 1
PD (rD = 100, tD = 1) = 0.522 de la Fig. 1.10 (referencia 6)
Para el pozo 2
tD = (10020)(11) = 110220 > 100, luego aplicando la fórmula da PD = 6.21
tD = (10020)(3) = 30060 > 100, luego aplicando la fórmula PD = 5.56. Colocando ∆P
en el pozo 2 se tiene:
(11 , 1) 0.1(100)(1.61) 0.1( 50)(0.522) 0.1(25)(6.21 1.7)
0.1(75)(5.56 1.7) 87.72
Dhr rP =∆ = + − + + +
+ =
Pw = 2200 - 87.72 = 2112.28 psi
1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO
1.12.1. Pozo Unico Cerca a una Falla Sellante
De acuerdo con la Fig. 1.32, la caída de presión en el pozo activo es;
P P PDW DR DI= + (1.79)

74
Fallasellante
=d 2d
Pozo
Productor
Pozo
Productor
Pozo Productor
(Imagen)
SISTEMA REAL SISTEMA MODELADO
Fig. 1.32. Pozo único cerca a una falla sellante
P E
t
DR i
D
= − −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
1
4
(1.80)
P E
r
t
DI i
D
D
= − −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2 4
2
(1.81)
r
d
r
DI
w
=
2
Se asume s = 0, WBS = 0.
1.12.2. Pozo Cerca a una Barrera de Flujo o Línea de Presión Constante
(empuje de agua)
d
Pozo
Productor
Presiónconstante
= 2d
Pozo Inyector
(Imagen)
Pozo
Productor
SISTEMA REAL SISTEMA MODELADO
Fig. 1.33. Pozo cerca a una barrera de flujo
Este sistema, matemáticamente se expresa de acuerdo a la Fig. 1.33. No puede haber
más de un pozo por cuadrante.

75
npozos =
360
θ
1.12.3. Pozo en Medio de dos Fallas que se Interceptan
yD = by/bx
Este sistema se representa de acuerdo con la Fig. 1.34.
EJEMPLO
El pozo A en la Fig. 1.35 ha producido a una rata constante de 380 BPD. Se desea
estimar su presión fluyendo después de una semana de producción. Las propiedades
del yacimiento, pozo y fluido son las siguientes:
s = -5 Pi = 2500 psi B = 1.3 bbl/STB
µ = 0.87 cp h = 40 ft ct = 15x10-6
/psi
φ = 18 % rw = 6 in k = 220 md
Cual será la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción? Cual
sería la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción si el pozo
estuviera en un yacimiento infinito?
SOLUCION
La caída de presión en el pozo A está afectada por su propia caída de presión y la
caída de presión causada por sus pozos imágenes. La distancia del pozo A a sus pozos
imaginarios se muestran en la Fig. 1.36. La caída de presión total para el pozo A es:
ftrimageftrimageftrimageftrimageftrimagerwrAA PPPPPPP 500,5866,41000,3866,2500,1, ====== ∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆
Por simetría la expresión anterior se convierte en:
ftrimageftrimageftrimagerwrAA PPPPP 1000,3866,2500,1, 22 ==== ∆+∆+∆+∆=∆
El parámetro x de la Ec. 1.8.b y la integral exponencial usando la tabla 1.3.
433.17,105.1
)168)(220(
)5.0)(105.1)(87.0)(18.0(948 8
25
==
×
= −
−
iAwell Exx
633.3,015.0
)168)(220(
)500)(105.1)(87.0)(18.0(948 25
51 ==
×
=
−
iorwellimage Ex

76
by
bx
=
2bx
2by
Pozo real
Pozo imagen Pozo imagen
Pozo imagen
Fig. 1.34. Pozo en medio de dos fallas que se interceptan
60°
Pozo A
500 ft
YD=1
500 ft
Fig. 1.35. Localización del pozo A (método de las imágenes)
Pozo A
500 ft
500ft
1000 ft
500 ft
866 ft
866ft
Imagen
Pozo 1
Imagen
Pozo 2
Imagen
Pozo 3
Imagen
Pozo 4
Imagen
Pozo 5
Figure 1.36. Efectos de los pozos imaginarios para un pozo cerrado por
dos fallas de intersección las cuales forman un ángulo de 60°

77
564.2,0452.0
)168)(220(
)866)(105.1)(87.0)(18.0(948 25
42 ==
×
=
−
iorwellimage Ex
291.2,06.0
)168)(220(
)1000)(105.1)(87.0)(18.0(948 25
3 ==
×
=
−
iwellimage Ex
Entonces, la caída de presión en A resultará:
[ ]ftrimageiftrimageiftrimageirwrAiA EEEsE
kh
Bq
p 1000,3866,2500,1,
2226.70 ====
+++−=∆
µ
[ ] psiPA 3.76291.2)564.2(2)633.3(210433.17
)40)(220(
)3.1)(87.0)(380(
6.70 =+++−=∆
La presión fluyendo en el pozo A es:
Pwf = 2500-76.3 = 2423.7 psi
Si el pozo estuviera ubicado en un yacimiento infinito, la contribución de la no caída
de presión sería obtenida de los pozos imaginarios, entonces:
,70.6 2A i A r rw
q B
P E s
kh
µ
=⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦
[ ] psiPA 63.2510434.17
)40)(220(
)3.1)(87.0)(380(
6.70 =−=∆
La presión fluyendo del pozo entonces sería de 2474.4 psi. Se observó que las
fronteras de no flujo contribuyen con el 66.4 % de caída de presión total en el pozo
A.

78
2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN
Estas pruebas se efectuan con el fin de obtener:
• Permeabilidad promedia en el área de drene del pozo
• Volumen poroso del yacimiento
• Determinar heterogeneidades (en el área de drene)
Lo que directamente se obtiene es:
• Transmisibilidad
• Volumen poroso por compresibilidad total
Como se hace una prueba de declinación de presión
• Se cierra el pozo por un periodo de tiempo suficiente para alcanzar la
estabilización en todo el yacimiento (sino hay estabilización probablemente se
requiera una prueba multitasa).
• Se baja la herramienta a un nivel inmediatamente encima de las perforaciones
(Mínimo la herramienta debe tener dos sensores para efectos de control de calidad
de los datos).
• Abrir el pozo para producir a rata constante y registrar continuamente la Pwf.
La duración de una prueba de declinación puede ser unas pocas horas o varios días,
dependiendo de los objetivos de la prueba y las características de la formación.
Pruebas de declinación extensas o pruebas límite (reservoir limit tests, RLT) se
corren para delimitar el yacimiento o estimar el volumen de drene del pozo. Otros
objetivos son: Hallar k, s, WBS, φ, forma del yacimiento y tamaño del yacimiento.
Idealmente, el pozo se cierra hasta que alcance la presión estática del yacimiento
antes de la prueba. Este requisito se consigue en yacimientos nuevos, pero a menudo
es difícil o impráctico de lograr en yacimientos viejos o desarrollados. Este tipo de
pruebas se analizan mediante pruebas multitasa.
2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE)
Es el flujo continuado de la formación hacia el pozo después de que el pozo ha sido
cerrado para estabilización. Se le denomina también postflujo, postproducción,
postinyección, carga o descarga. En pruebas de declinación ocurre descarga
(unloading). El flujo ocurre por la expansión de fluidos en el pozo. En pruebas de
restauración de presión ocurre postflujo (afterflow). La Fig. 2.1 ilustra lo anterior.

79
q
t
flujo en la cara
del pozo
Caudal en
cabeza
q
t
flujo en la cara
del pozo
Caudal en
cabeza
RESTAURACION DECLINACION
Fig. 2.1. Efectos del almacenamiento en restauración y caída de presión
q/qsf
1
0
C1
C2
C3
tD
Fig. 2.2. Efecto del almacenamiento en la rata de flujo en la cara del pozo, C3>C2>C1
Las pruebas tradicionales de presión tuvieron que ser lo suficientemente largas para
sobrellevar tanto los efectos de almacenamiento y daño de modo que se pudiera
obtner una línea recta indicando el comportamiento del flujo radial. Incluso esta
aproximación presenta desventajas ya que más de una línea aparente puede aparecer y
los analistas tienen problemas decidiendo cual línea usar. Aunado a ello, la escala del
gráfico podría evidenciar ciertas respuestas de presión como rectas cuando en
realidad son curvas. Para sobrellevar este problema los analistas desarrollaron el
método de las curvas tipo.
Existe flujo en la cara el pozo después del cierre en superficie. El almacenamiento
afecta el comportamiento del transiente de presión a tiempos tempranos.
Matemáticamente, el coeficiente de almacenamiento se define como el volumen total
de los fluidos del pozo por unidad de cambio de presión de fondo:

80
V
C
P
∆
=
∆
El almacenamiento causa que la rata de flujo en la cara del pozo cambie más despacio
que la rata de flujo en superficie. La Fig. 2.2 esquematiza la relación qsf/q cuando se
cambia la rata en superficie de 0 a q, cuando C = 0, qsf/q = 1, mientras que para C > 0
la relación qsf/q cambia gradualmente de 0 a 1. Entre mayor es el valor de C, mayor
será la transición. A medida que los efectos de almacenamiento se vuelven menos
severos, la formación empieza a influenciar más y más la presión de fondo hasta que
se desarrolla completamente el comportamiento infinito, ver Fig. 2.10. Los datos de
presión que se encuentran influenciados por almacenamiento pueden usarse para
estimar las propiedades del yacimiento, sin embargo, este análisis es tedioso, a no ser
que se utilice la técnica denominada Tiab’s Direct Síntesis Technique que se
presentará más adelante en esta unidad. Normalmente, q es controlada en superficie
(a menos que haya cierre en fondo), los fluidos en el pozo no permiten una inmediata
transmisión de la perturbación desde el subsuelo a la superficie, lo que acarrea una
desigualdad de caudales en superficie y en la cara del pozo.
wb wbC C V= 144
uC V
ρ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
JUSTO DESPUES
DEL CIERRE, P > 0
MUCHO DESPUES
DEL CIERRE, P < 0
Fig. 2.2. Incremento del almacenamiento para un pozo inyector cerrado

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