The permeabilty is one of most important parameters in reservoir enginnering

1. PERMEABILIDADES RELATIVAS Y
FLUJO FRACCIONAL
JORGE PALMA BUSTAMANTE

2. PERMEABILIDADES RELATIVAS
▫ Indica la habilidad del aceite
y del agua a fluir
simultáneamente en un
medio poroso.
▫ Permeabilidad Absoluta
▫ Permeabilidad Efectiva
▫ Permeabilidad Relativa

3. PERMEABILIDADES RELATIVAS
• Importancia:
▫ La permeabilidad relativa expresa los efectos de:
– Geometría del poro.
– Mojabilidad
– Distribución de fluidos.
– Saturaciones e historia de saturación.
– Consecuentemente, es la propiedad más importante que afecta el
comportamiento de una inyección de agua.
• Fuentes de datos:
▫ Medidas de laboratorio en corazones
▫ Modelos matemáticos
▫ Cálculo de datos de presión capilar

4. PERMEABILIDADES RELATIVAS
20 40 60 80
0
20
60
80
100
Saturación de agua, porcentaje
Permeabilidad
relativa,
porcentaje
Efecto de la mojabilidad sobre las K-relativas
100
40
Mojado por aceite
Mojado por agua

5. EXO
Swirr
Sor
Sw
Sor
Swirr
Kro
Kro 










1
1
*
@
EXW
Swirr
Sor
Swirr
Sw
Sor
Krw
Krw 









1
*
@
EXO : Exponente para la permeabilidad relativa al aceite
EXW : Exponente para la permeabilidad relativa al agua
(Kro)@Swir = permeabilidad relativa al aceite a la saturación irreducible de aceite
(usualmente 1)
(Krw)@Sor = permeabilidad relativa al agua a la saturación residual de aceite de la
inyección de agua (usualmente entre 0.25 a 0.4 dependiendo de la mojabilidad)
Sor = Saturación de aceite residual, fracción
Swirr = Saturación de Agua Irreducible, fracción
Sw = Saturación de agua, fracción
CÁLCULO DE KR

6. EXO
Swirr
Sor
Sw
Sor
Swirr
Kro
Kro 










1
1
*
@
EXW
Swirr
Sor
Swirr
Sw
Sor
Krw
Krw 









1
*
@
CÁLCULO DE KR
parámetro Arenas Carbonatos
End-point permeabilidad relativa al aceite 1.0 1.0
End-point permeabilidad relativa al agua 0.25 0.40
Exponente permeabilidad relativa al aceite 2 2
Exponente permeabilidad relativa al agua 2 2
Saturación residual de aceite, % 25 37

7. AVERIGUAR OTRAS EXPRESIONES PARA EL CÁLCULO
DE PERMEABILIDAD RELATIVA:
Parámetros
Limitantes
7
TAREA

8. Un yacimiento carbonato es considerado para inyección de agua. En el
momento la Saturación irreducible de agua es 0.25. Calcule las
permeabilidades relativas que se pueden usar en la evaluación de la
inyección de agua.
Los siguientes datos son estimados de campos análogos:
Sorw = 35%
EXO : 2
EXW : 2
(Kro)@Swir = 1
(Krw)@Sor = 0.35 (se asume mojabilidad intermedia)
EXO
Swirr
Sor
Sw
Sor
Swirr
Kro
Kro 










1
1
*
@
EXW
Swirr
Sor
Swirr
Sw
Sor
Krw
Krw 









1
*
@
EJERCICIO

9. Se reemplazan los valores en las funciones y finalmente se puede calcular y
graficar como una función de la saturación de agua
Sw, porcentaje Krw Kro
25 0.0 1.0
30 0.001 0.766
35 0.022 0.562
40 0.049 0.391
45 0.088 0.250
50 0.137 0.141
55 0.197 0.062
60 0.268 0.016
65 0.350 0.0
EJERCICIO

10. Se reemplazan los valores en las funciones y finalmente se puede calcular y
graficar como una función de la saturación de agua
Curvas de Pemeabilidad Relativa
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 10 20 30 40 50 60 70
Saturacion de agua, porcentaje
Permeabilidad
relativa
Krw Kro
EJERCICIO

11. Los datos medidos de 5 corazones para un yacimiento son los siguientes:
EJERCICIO
Saturaciones de agua para presiones capilares constantes
K, md 75 psi 50 psi 25 psi 10 psi 5 psi
470 18.5 22 29 39 49.5
300 22.5 25.5 34 45.5 56
115 30 34 41 53.5 65
50 36 40.5 51 64 77
27 41 44 55 69 81.5
La permeabilidad del yacimiento = 155
md.
La tensión interfacial sL = 71 dynes/cm
La tensión interfacial sR = 33 dynes/cm
Determinar:
Encontrar una curva de presión capilar
aplicable a condiciones de yacimiento,
ejemplo a permeabilidad de yacimiento
PCR = (sR/sL)*PCL

12. Los valores de presión capilar a condiciones de yacimiento son los tabulados:
EJERCICIO
CORRELACION DE PRESION CAPILAR, SATURACION, Y PERMEABILIDAD
10
100
1000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Sw (porcentaje)
permeabilidad
(md)
75 psi 50 psi 25 psi 10 psi 5 psi
K = 155 md

13. Sw
porcentaje
PCL
psi
PCR = (sR/sL)*PCL
psi
27.2 75 34.9
31.5 50 23.2
39.2 25 11.6
51 10 4.6
62.8 5 2.3
EJERCICIO

14. iw
qw
qo
qprod
La fracción del petróleo inicial en sitio que será desplazado de la porción del yacimiento
contactado por el agua, está determinada por la eficiencia de desplazamiento. Ahora se
asumirá que las eficiencias areal y vertical a la ruptura del agua son iguales a 1, y que la
saturación de gas es despreciable, de tal manera que el énfasis estará en la
determinación de la eficiencia de desplazamiento ED. De acuerdo con lo anterior, se
utilizarán modelos de flujo lineal para el estudio del mecanismo de desplazamiento de
fluidos inmiscibles.
swc
sor
FLUJO FRACCIONAL

15. El caudal de agua en cualquier distancia del yacimiento y en particular para la
zona del agua es:
Esta fórmula también se puede expresar de la siguiente manera:
De forma similar el gradiente de presión para la fase de aceite es:








 


sen
ds
dp
A
k
q w
w
w
w
w 00694
.
0
001127
.
0



sen
A
k
q
ds
dp
w
w
w
w
w
00694
.
0
001127
.
0






sen
A
k
q
ds
dp
o
o
o
o
o
00694
.
0
001127
.
0



ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL

16. Donde:
qo= Caudal de petróleo (bbl/día)
qw= Caudal de agua (bbl/día)
Po= Presión en la fase de aceite (psia)
Pw= Presión en la fase de agua (psia)
o= Viscosidad del petróleo (cP)
w= Viscosidad del agua (cP)
s= Distancia al punto de interés en el yacimiento, medido desde un punto de
referencia a lo largo de la dirección del flujo (ft)
Kw, ko= Permeabilidades efectivas al agua y al petróleo (mD)
A= Área transversal del yacimiento (ft2)
w, o = Densidad del agua y del petróleo a condiciones de yacimiento (lb/ft3)
= Angulo medido entre la horizontal (eje X positivo) y la dirección del flujo (º)
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL

17. Convención para flujo inclinado
s

Flujo hacia arriba Flujo hacia abajo
s

ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL

18. Recordando que la presión capilar fue definida como:
Entonces:
Esta fórmula también se puede expresar de la siguiente manera:
La tasa de producción total del yacimiento es igual a la suma de las tasas de
agua y aceite, y esto es equivalente a la tasa de inyección de agua.
w
o
c P
P
P 

s
P
s
P
s
P w
o
c











sen
A
k
q
A
k
q
s
P
o
w
o
o
o
w
w
w
c
)
(
00694
.
0
001127
.
0
001127
.
0






w
w
o
t i
q
q
q 


1
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL

19. Por lo tanto, la fracción de agua esta definida como:
La fracción de agua se denomina con frecuencia corte de agua, así mismo la
fracción de aceite o corte de aceite es:
Integrando las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 1 resulta la siguiente ecuación
de flujo de agua en un punto, s, en un sistema de flujo lineal, denominada
comúnmente como ecuación de flujo fraccional o corte de agua:
w
w
w
o
w
w
i
q
q
q
q
f 


w
w
o
o f
i
q
f 

 0
.
1
2
3
rw
ro
o
w
o
w
c
w
o
o
w
k
k
sen
L
p
i
A
k
f



















1
)
(
00694
.
0
001127
.
0
1
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL

20. La ecuación de flujo fraccional es muy importante debido a que hace posible la
determinación de las tasas relativas de flujo de agua y de petróleo en un sistema
de flujo poroso.
Si se cuenta con la información suficiente, es posible utilizar la Ecuación de flujo
fraccional para calcular la fracción de agua fluyendo a través del yacimiento en
función de la saturación de agua.
Cuando se grafica esta información como fw vs. Sw en un papel cartesiano forma
lo que es conocido como la curva de flujo fraccional.
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL

21. Curva de Flujo Fraccional
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
Sw
fw
fw
swirr
1-sor
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL

22. • Avance preferencial del agua. Estudios de laboratorio, mostraron que el
frente de agua se mueve a través del yacimiento principalmente en dos
formas:
-Water tonguing o Lenguas de agua . Dietz observó que el agua desplaza
el petróleo avanzando bajo él en forma de lenguas .
Dedos viscosos. Aún en los sistemas de ensayo donde se tiene la
precaución de garantizar la casi uniformidad de los medios porosos hasta
donde es posible, la tendencia hacia la formación de estas digitaciones,
aumenta a mediada que se incrementa la relación de viscosidades
petróleo-agua.
FACTORES QUE CONTROLAN LA RECUPERACIÓN
SECUNDARIA DE PETRÓLEO

23. Fuente: The Reservoir Engineering Aspects of Waterflooding, Forrest F. Craig Jr.
FACTORES QUE CONTROLAN LA RECUPERACIÓN
SECUNDARIA DE PETRÓLEO

24. Fuente: The Reservoir Engineering Aspects of Waterflooding, Forrest F. Craig Jr.
CURVA DE FLUJO FRACCIONAL
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
10 20 30 40 50 60 70 80
Sw (%)
Fw
MOJADO
POR
PETRÓLEO
MOJADO
POR
AGUA
MOJADO
POR
PETRÓLEO
EFECTO DE MOJABILIDAD

25. La magnitud de la inclinación y la
dirección de la inyección relativa al
ángulo de inclinación del
yacimiento pueden tener gran
influencia sobre el recobro de
petróleo.
0<a<180
180<a<360
CURVA DE FLUJO FRACCIONAL
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
10 20 30 40 50 60 70 80
Sw (%)
Fw
Dow n-dip
Zero-dip
Up-dip
EFECTO BUZAMIENTO Y DIRECCIÓN DE
DESPLAZAMIENTO

26. En una inyección de agua sería
ideal disminuir o eliminar el
gradiente de presión capilar. Esto
se podría lograr alterando la
mojabilidad de la roca o por medio
de la disminución o eliminación de
la tensión interfacial entre el agua
y el aceite.
Pc=0
h
Superficiede
agualibre
FaseMojante
(Agua)
FaseNomojante
(Aire)
Superficiede
agualibre
Pfm
Pfnm
Pc=0
h
Superficiede
agualibre
FaseMojante
(Agua)
FaseNomojante
(Aire)
Superficiede
agualibre
Pfm
Pfnm
fm
fnm
C P
P
P 

EFECTO PRESIÓN CAPILAR

27. M es la relación entre la capacidad que
tiene un fluido para fluir en presencia de
otro fluido. La relación de movilidad
tiene en cuenta la permeabilidad relativa
y la viscosidad para cada uno de los
fluidos.
Si la relación de movilidad es mayor que
uno, el agua tiene mayor movilidad y si
es menor que uno, el petróleo tiene
mayor movilidad, lo cual es más
conveniente en general, en una inyección
de agua.
w
o
S
Kro
S
Krw
M
wi
wbt




Donde:
= Movilidad
M = Relación de movilidad.
Krw = Permeabilidad relativa del
agua.
Kro = Permeabilidad relativa del
aceite.
o = Viscosidad del aceite, cp.
w = Viscosidad del agua, cp.
Swbt = saturación de agua promedio
al breakthrough, fracción.
Swi = saturación de agua inicial,
fracción.


Kr

EFECTO RELACIÓN DE MOVILIDADES

28. CURVA DEFLUJO FRACCIONAL
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
10 20 30 40 50 60 70 80
Sw (%)
Fw
μo = 10 cp
6cp
2cp
0.5cp
En general, la eficiencia de arrastre
y el recobro de petróleo tienden a
disminuir a medida que la relación
de movilidad aumenta.
Un proceso de desplazamiento
puede ser mejorado
incrementando la viscosidad del
agua o disminuyendo la del
petróleo. La viscosidad del agua,
puede ser aumentada por medio
de adición de polímeros; la
viscosidad del petróleo puede
disminuirse usando varios procesos
térmicos de recobro, como la
inyección de vapor.
EFECTO RELACIÓN DE MOVILIDADES

29. El efecto de la tasa total de flujo (qo+qw) varía dependiendo de si el agua
se está moviendo buzamiento arriba o buzamiento abajo. Desde el punto
de vista práctico la tasa de flujo es controlada por limitaciones físicas y
económicas del equipo de inyección y del yacimiento.
EFECTO TASA DE FLUJO

30.  El desplazamiento de petróleo buzamiento arriba conlleva a un bajo valor
de flujo fraccional de agua y un mejor desplazamiento a medida que el
ángulo de buzamiento aumenta.
 El desplazamiento de petróleo buzamiento abajo conlleva a altos valores
de flujo fraccional de agua y en un deficiente desplazamiento a medida que
el ángulo buzamiento abajo aumenta.
 El gradiente de presión capilar incrementa los valores de fw causando un
deficiente desplazamiento.
 Una gran diferencia en las densidades del petróleo y el agua mejora el
recobro buzamiento arriba pero disminuye el recobro buzamiento abajo.
 El recobro de petróleo se mejora si la movilidad del agua es baja y la del
petróleo es alta.
 Incrementos en la tasa de flujo, mejoran el recobro en inundaciones
buzamiento abajo pero disminuyen la eficiencia del desplazamiento
buzamiento arriba.
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL

31. Variaciones en la curva de
flujo fraccional.
En varios casos el efecto de
la presión capilar es
despreciable, además si se
asume que los efectos
gravitacionales son también
despreciables cuando el
yacimiento es horizontal, la
ecuación se reduce.
rw
ro
o
w
w
k
k
f




1
1
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL

32. La ecuación de flujo fraccional relaciona la fracción de aceite y de agua que fluyen en
cualquier punto del yacimiento con la saturación del fluido en ese punto.
Esta ecuación permite la determinación de la saturación de agua y de la saturación
de aceite con distancia en un sistema de flujo lineal, este método nos ayuda a
conocer la distribución de la saturación de cualquiera de las dos fases y cómo esta
distribución cambia con el tiempo.
Inyector Productor
Longitud
0 L
0
100
Saturación,
%
sor
sw swf
swc
Saturación de
agua
Saturación de
petróleo
ECUACIÓN DE AVANCE FRONTAL

33. Considere flujo lineal simultáneo de petróleo y agua en un sistema poroso
homogéneo de área transversal, A, y longitud, X.
El balance de materia para este segmento de yacimiento se describe así:
Estos términos se pueden expresar simbólicamente como:
• Tasa de agua que entra= iwfw/x, (bbls)
• Tasa de agua que sale= iwfw/x+x, (bbls)
• Tasa de agua que se acumula= , (bbls)
Tasa de agua
que se acumula
Tasa de agua
que entra
Tasa de agua
que sale
= -
X
A
fw /X
fw /X + X
2
615
.
5 x
x
w
t
s
x
A












x


34. Sustituyendo los términos en el balance de materia se obtiene:
Desarrollando el límite cuando x tiende a cero se obtiene:
Con la ecuación anterior obtenemos la saturación de agua en función del tiempo
a una distancia determinada, x, en un sistema lineal. Una expresión más útil sería
la que suministre la saturación de agua en función de la distancia en un tiempo
determinado, esto es posible si se observa que la saturación de agua es una
función de la posición y del tiempo.
Sw=Sw (x,t)
 
x
f
f
A
i
t
S x
w
x
x
w
w
x
x
w














 



/
/
2
615
.
5













































x
S
S
f
A
i
x
f
A
i
t
S w
t
w
w
w
t
w
w
x
w


615
.
5
615
.
5
1

35. Por lo tanto la derivada total de la Sw es:
puesto que estamos interesados en la determinación de la distribución de la
saturación en el yacimiento, el procedimiento tomado aquí será evaluar el
movimiento de una saturación determinada de agua.
A una saturación fija de agua, Sw, se considera que dSw=0, entonces se tiene:
Despejando:
dt
t
S
dx
x
S
dS
x
w
t
w
w 

















dt
t
S
dx
x
S
x
w
t
w


















0
Sw
t
w
x
w
dt
dx
X
S
t
S

























2

36. Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1, se obtiene:
Como la tasa total de inyección es constante, el corte de agua es independiente
del tiempo por consiguiente:
Y Para una tasa constante de inyección de agua, la velocidad de un plano de
saturación fijo es directamente proporcional a la derivada del fw evaluada en esa
saturación.
w
w
t
w
w
dS
df
S
f











w
w
w
Sw dS
df
A
i
dt
dx











615
.
5
t
w
w
w
Sw dS
df
A
i
dt
dx



















615
.
5

37. Integrando la expresión anterior se obtiene la ecuación de avance frontal:
Donde:
X= Distancia recorrida por un plano de saturación fijo, Sw, durante un tiempo, t (ft)
iw= Tasa de inyección (bbl/día)
t= intervalo de tiempo de interés (días)
Wi= Agua Inyectada Acumulada, bbls
= Porosidad, fracción
A= Area transversal del Yacimiento, ft2
dfw/dSw= Pendiente de la curva de flujo fraccional a la Sw de interés
w
w
i
w
w
w
dS
df
A
W
dS
df
A
t
i
x 










615
.
5
615
.
5

38. PREDICCIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE UNA INYECCIÓN
DE AGUA EN SISTEMAS LINEALES.
A.Teoría de Buckley & Leverett.
La ecuación de avance frontal presentada por Buckley & Leverett puede ser usada para
hallar la distribución de la saturación en un sistema de inyección lineal en función del
tiempo, sin embargo con este procedimiento se puede hallar dos saturaciones de agua
diferentes debido a los valores de la pendiente de la curva de flujo fraccional, dfw/dSw, lo
cual es físicamente imposible.
Distancia
Yacimiento
de petróleo
Agua Inicial
Flujo de agua t1 t2 t3
Swm=1-Sor
Saturación
de
agua
%
0
100
50

39. Para rectificar esta dificultad matemática Buckley & Leverett sugieren
que una porción de la curva calculada de la distribución de la saturación
es imaginaria y la curva verdadera contiene una discontinuidad en el
frente.
La distancia del frente de agua se basa en un balance de materia del
agua inyectada y es determinada gráficamente localizando el frente en
tal posición que las áreas A y B sean equivalentes.
Distancia
Swm
Saturación
de
agua
%
0
100
50
t=t1
A
B
Xf
Área A = Área B

40. Concepto de Zona estabilizada.
Debido a la presión capilar, el frente de inundación no existe como una
discontinuidad sino como una zona estabilizada de longitud finita con un
gradiente alto de saturación, esta teoría fue propuesta por Terwilliger.
Mientras que While aplicaba esta teoría a un sistema de drenaje gravitacional,
encontró que en el borde principal del frente, existe una zona estabilizada donde
las saturaciones del fluido se mueven a la misma velocidad, por lo consiguiente
observó que la forma del frente es constante con respecto al tiempo.
Distancia
Swm
Saturación
de
agua
%
0
100
Swf
Swc
Zona
estabilizada
Frente a t1 Frente a t2
te
cons
t
x
sw
tan









0



x
sw
Zona no estabilizada donde

41. En teoría la zona de inundación tiene una anchura calculable con un
gradiente alto de saturación. En la práctica, la zona de la transición en el
borde principal del frente de agua se puede aproximar como una función
del paso al frente de agua.
Distancia
Saturación
%
0
100
Swc
0 L
Zona de agua Zona de petróleo
Swf
Frente
estabilizado
de paso

42. Como todas las saturaciones en
la zona estabilizada se mueven
en la misma velocidad, la
pendiente dfw/dSw debe ser
igual para todas las
saturaciones en la zona
estabilizada. Esta pendiente es
definida por una línea tangente
entre la curva de flujo fraccional
y la saturación inicial del agua.
En conclusión la distribución de
saturación en la zona
estabilizada (Swc≤“w≤“wf) esta
basada en la pendiente de la
tangente de la curva de flujo
fraccional
Fractional flow curve
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Sw
fw
fw
Swirr
Swf
Curva exigida en la
zona estabilizada

43. Procedimiento de Welge.
1. Saturación de agua al frente.
Este método simplifica el procedimiento gráfico de Buckley & Leverett pero
requiere que la saturación de agua inicial sea uniforme en todo el yacimiento. En
cierto tiempo después de que el proceso de desplazamiento comience, la
distribución del perfil de saturación aparecerá según lo representado por la
figura.
X
Saturación
de
agua
Frente
Xf
Swc
Swm
Swf

44. El área sombreada del rectángulo entre la Swc y la Swf es:
donde:
Swf= Saturación de agua al frente de agua
Sustituyendo la ecuación de avance frontal en la ecuación anterior se tiene que:
Integrando y reemplazando los límites:
  w
Swf
Swc
wc
wf
f ds
x
s
s
x 


 
  w
w
w
Swf
Swc
w
wc
wf
f ds
ds
df
A
t
i
s
s
x 













  
615
.
5
  














wc
w
wf
w
w
wc
wf
f
s
f
s
f
A
t
i
s
s
x

615
.
5

45. por lo tanto:
Cambiando en la ecuación de avance frontal X por Xf para este caso::
Comparando las dos ecuaciones anteriores se tiene:
Swf
Sw
w
w
w
f
dS
df
A
t
i
x















615
.
5
wc
wf
wc
w
wf
w
Swf
w
w
s
s
s
f
s
f
dS
df












46. La interpretación gráfica de la
ecuación de Welge es realizar
una línea recta desde el punto
(fw/swc, swc) hacia el punto
(fw/swf, swf), este punto de
tangencia representa la
saturación de agua al frente de
agua.
Fractional flow curve
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Sw
fw
fw
Swf
fw/Swf
Punto
tangente

47. Se deben tener en cuenta dos puntos
importantes:
• Cuando la saturación inicial del agua
es mayor que la saturación irreducible
de agua, la línea de la tangente no se
origina desde el extremo de la curva
de flujo fraccional.
•La saturación de agua al frente, Swf
es constante desde el inicio del
proceso de inyección de agua hasta el
breakthrough, después del
rompimiento se incrementa la
saturación de agua en los pozos
productores hasta la saturación de
agua máxima, Swm.
Punto
tangente

48. 2. Saturación de agua promedio.
La saturación de agua promedio detrás del frente de inyección se puede
determinar usando la curva de flujo fraccional. Considerando la distribución de
la saturación durante algún tiempo de la inyección, el total de agua inyectada y
connata, en el yacimiento detrás del frente es:
donde:
Swm : Máxima saturación de agua
Reemplazando los límites:
 


f wm
X
o
S
o
w
w xdS
A
dx
S
A
O
TotalH 

2












  
WF wm
wf
S
o
S
S
w
w xdS
xdS
A
O
TotalH2





wm
wf
S
S
w
wf
f xdS
A
S
AX
O
TotalH 2

49. Reemplazando las ecuaciones anteriores se obtiene:
Por definición la saturación de agua promedio en el frente es:
la ecuación anterior se puede expresar de la siguiente manera:
Sustituyendo Xf en la ecuación anterior se obtiene:
















wm
wf
S
S
w
w
Swf
w
w
wf
w df
t
i
ds
df
S
t
i
O
TotalH 615
.
5
615
.
5
2
f
w
AX
O
TotalH
S

2





















wm
wf
S
S
w
f
w
Swf
w
w
f
wf
w
w df
X
A
t
i
ds
df
X
A
S
t
i
S


615
.
5
615
.
5
f
W
w
wf
wf
W
dS
df
f
.
S
S









 
0
1 1

50. La información requerida en el cómputo
usando en la ecuación anterior, está
relacionada con el punto tangente de la
curva de flujo fraccional, el procedimiento
gráfico puede ser desarrollado considerando
la curva de flujo fraccional descrita por la
figura.
En la figura se puede observar que en la
intersección entre la línea tangente y fw=1,
existe una saturación de agua llamada SwA, la
pendiente de la línea tangente puede ser
definida en términos de la saturación de
acuerdo a la ecuación:
Esta ecuación se puede expresar como:
wf
wA
wf
f
W
w
S
S
f
dS
df










 0
.
1
f
W
w
wf
wf
wA
dS
df
f
.
S
S









 
0
1
Swf
0
2

51. La información requerida
comparando las ecuaciones 1 y 2 es
que Sw =SwA. De esto se puede
concluir que se puede obtener,
simplemente extendiendo la línea
de flujo fraccional hasta el punto
donde fw=1.0.
Hasta el breakthrough Swf y Sw
permanecen constantes. Desde el
breakthrough es denominada Swbt
0
Sw
Swf

52. 3. Comportamiento en el Breakthrough.
La Saturación de agua promedio en la porción del yacimiento barrida por el agua
inyectada antes del breakthrough y en el instante del breakthrough, es un valor
constante, Swbt.
La eficiencia de desplazamiento se define como la disminución de la saturación
en la zona barrida por el agua de inyección con respecto a la saturación de aceite
al inicio del proceso de inyección de agua.
La saturación de aceite se puede expresar en términos de saturación de agua y
en el breakthrough la saturación de agua promedio es Swbt, por lo tanto la
eficiencia de desplazamiento al breakthrough queda expresada como:
o
o
D
s
s
E


wc
wbt
wc
Dbt
S
S
S
E





1
)
1
(
)
1
(

53. Simplificando se obtiene:
Esta ecuación es aplicable hasta el rompimiento del agua y cuando no existe gas
libre en el yacimiento.
En el breakthrough x=L y la ecuación de avance frontal puede ser descrita de la
siguiente forma:
Considerando el término ubicado a la izquierda de la ecuación anterior se tiene
que:
Donde Qibt es denominado volúmenes porosos de agua inyectada al
breakthrough.
wc
wc
wbt
Dbt
S
S
S
E



1
1
615
.
5














f
w
w
bt
w
ds
df
L
A
t
i

ibt
bt
w
Q
bbls
poroso
volumen
bbls
inyectada
agua
L
A
t
i






)
.(
.
)
.(
.
615
.
5

Dbt
V
A
o
wc
pbt E
E
E
B
S
AL
N 




615
.
5
)
1
(

N
1 1

54. La ecuación queda resumida en:
Los volúmenes porosos inyectados al momento del breakthrough son
equivalentes al inverso de la pendiente de la tangente en la curva de flujo
fraccional.
El tiempo al breakthrough asumiendo una tasa de flujo constante se puede
calcular con la siguiente ecuación:
1










f
w
w
ibt
ds
df
Q
w
ibt
w
ibt
bt
i
Q
L
A
i
w
t






615
.
5


55. 4. Comportamiento después del Breakthrough.
Después del breakthrough, la saturación de agua aumenta
continuamente desde Swf hasta Swm (Swm=1-Sor) como se observa en la
figura.
Distancia
Saturación
de
agua
%
0
100
Inyector Productor
Sor
Sw
Swbt
Agua Swf
Sw2
Swm

56. Sw2 es la saturación de agua comprendida entre Swf y Swm, para este periodo
Welge demostró que:
i. La saturación de agua promedio en el yacimiento después del breakthrough,
Sw2, esta dada por:
El valor de Sw se puede hallar gráficamente con la extrapolación de la tangente
que corta al punto Sw2 hasta la intersección de dicha tangente con el valor de
fw=1.
Realizando este procedimiento entre diferentes valores de saturación de agua se
puede obtener el comportamiento de la recuperación de petróleo versus
saturación de agua.
2
2
2
2
2
1





















w
w
o
w
w
w
w
w
w
ds
df
f
s
ds
df
f
s
s

57. Fractional flow curve
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Sw
fw
fw
Swf
Sw2
Swbt Sw
2
Sw
w
w
ds
df








fw2

58. ii. Después del rompimiento, el WOR se puede calcular con la siguiente ecuación:
iii. El número de volúmenes porosos de agua inyectada en el momento que la
saturación de agua es Sw2 se calcula con la ecuación:
Sabiendo este valor y la tasa de inyección de agua se puede calcular el tiempo
para alcanzar esta etapa de inundación.
w
w
o
w
w
o
w
o
w
w
w
o
o
w
B
f
B
f
B
f
i
B
f
i
B
q
B
q
WOR
2
2
2
2
1



1
2










w
S
w
w
i
dS
df
Q
w
ibt
w
ibt
bt
i
Q
L
A
i
w
t






615
.
5


59. vi. Las tasas de petróleo y agua en el momento que la saturación de agua es Sw2
se pueden calcular con las siguientes ecuaciones:
Después del breakthrough, la saturación de agua promedio en la parte barrida
del yacimiento, Sw aumenta, por lo tanto la eficiencia de desplazamiento es
calculada:
En resumen, el método de Welge se utiliza para predecir el recobro de petróleo,
WOR, eficiencia de desplazamiento y la inyección de agua en función del tiempo
para un proceso de inyección de agua lineal.
o
w
w
o
B
i
f
q
)
1
( 2

 [STB/D]
w
w
w
w
B
i
f
q 2
 [STB/D]
wc
wc
w
S
S
S
ED



1

60. D. Aplicación al flujo radial.
Felsenthal & Yuster ampliaron el método de avance frontal al sistema radial y
encontraron que la saturación de agua promedio antes y en el frente de agua se
puede calcular de la misma manera que para el flujo lineal. Esta misma
observación debe aplicarse a cualquier proceso de inyección de agua sin
importar la geometría de flujo.
E. Efecto de la Saturación de Gas Libre.
Si la presión del yacimiento declina por debajo de la presión de burbuja antes de
implementar el proceso de inyección de agua, una saturación de gas libre es
liberada del petróleo. La saturación de aceite promedio del yacimiento al inicio
del proceso de inyección de agua es calculada con la siguiente ecuación:
Y la saturación de gas con la siguiente ecuación:
 
wc
ob
o
ob
pp
o S
B
B
N
N
S 

















 1
1
wc
O
g S
S
S 

1

61. La ecuación anterior asume que el agotamiento primario es el resultado del
empuje del gas en solución y de la expansión del líquido. Esta ecuación no
incluye los efectos importantes de acuífero ni segregación gravitacional, en esos
casos es necesario explicar su impacto mediante un modelo de simulación.
En la siguiente figura se observa la distribución de la saturación del fluido entre
un pozo inyector y un pozo productor al comienzo de un proceso de inyección de
agua, en un yacimiento que contiene una fase de gas libre, proveniente del
agotamiento primario.
Distancia
Saturación
%
0
100
Inyector Productor
Gas libre (Sg)
Petróleo (So)
Agua Connata (Sw)

62. La figura muestra esquemáticamente un perfil de saturación durante
un proceso de inyección de agua en un yacimiento parcialmente
depletado. Este esquema muestra que la saturación de gas en el
límite del banco de petróleo se reduce a una porción del gas libre
inicial como gas atrapado.
Distancia
Saturación
%
0
100
Inyector Productor
Gas Libre
Petróleo
Petróleo
Agua
Agua Connata
Zona de Agua Banco de Petróleo Zona de Gas
Gas Atrapado
Swf
Swbt
Sohc

63. Este gas atrapado en el banco de aceite se disuelve en el petróleo
debido al aumento en la presión del yacimiento por la inyección,
dejando únicamente la capa de gas libre.
Distancia
Saturación
%
0
100
Inyector Productor
Gas Libre
Petróleo
Petróleo
Agua
Agua Connata
Zona de Agua Banco de Petróleo Zona de Gas
Swf
Swbt
Sohc

64. El proceso de restauración también es llamado fill-up. El agua
acumulada necesaria para alcanzar el fill-up, Wif, se calcula con la
ecuación:
Donde:
Vp= Volumen poroso, bbl
Sg= Saturación de gas libre en el momento de iniciar el proceso de
inyección.
1. Comportamiento de la producción.
Únicamente hay producción primaria de aceite en este periodo,
después del fill-up se emplea el concepto de estado estable y se
asume que un barril de agua inyectada desplaza hasta el pozo
productor un barril de fluido total.
g
p
if S
V
W 

65. 2. Eficiencia de Desplazamiento.
La eficiencia de desplazamiento cuando el yacimiento presenta una capa
inicial de gas se puede calcular con la siguiente ecuación:
3. Condiciones para el desarrollo de un Banco de Petróleo.
g
wc
g
wc
w
D
S
S
S
S
S
E





1
Oil
Agua
r
re
rw

66. En un yacimiento agotado en presión que posee una saturación de gas libre
alta, es posible que no se forme el banco de aceite (esto sucede cuando re/r
es igual a 1).
Cuando la relación re/r es igual a 1.25 se forma un banco de petróleo muy
pequeño y el breakthrough ocurrirá rápidamente después del fill-up,
reemplazando el 1.25 en la ecuación anterior:
2
1







 

g
wc
wbt
e
S
S
S
r
r
 
wc
wbt
g S
S
S 
 64
.
0

67. Se quiere inyectar agua en un yacimiento con los datos presentados a
continuación, despreciando el gradiente de presión capilar construya
la curva de flujo fraccional.
 = 0.18 o = 2.48 cp
Swc = 0.30 Bo = 1.37 res-bbl/STB
w = 0.62 cp Bw = 1.04 res-bbl/STB
iw = 1000 bbl/día Kbase = 45 md
o = 0.8 w = 1.03
A = 50000 ft2  = 30 º
Sw Kro Krw
0.30 0.940 0.000
0.40 0.800 0.040
0.50 0.440 0.110
0.60 0.160 0.200
0.70 0.045 0.300
0.80 0.000 0.440
EJERCICIO

68. Solución:
Al despreciar el gradiente de presión capilar, la ecuación de flujo fraccional
queda resumida en:
Donde:
Ko = Kbase* Kro= 45 * Kro mD
w= 62.4* w = (62.4)*(1.03) = 64.3 lbm/ft3
o= 62.4* o = (62.4)*(0.8) = 49.9 lbm/ft3
w - o = 14.4 lbm/ft3
sen  = sen 30º = 0.5
 
w
o
o
w
o
w
w
o
o
w
k
k
sen
i
A
k
f











1
)
(
0069
.
0
001127
.
0
1
EJERCICIO

69. Reemplazando:
Simplificando términos:
Se obtienen los siguientes datos de fw vs. Sw:
 
rw
ro
ro
w
k
k
k
f
)
48
.
2
(
)
62
.
0
(
1
)
5
.
0
)(
4
.
14
(
00694
.
0
)
1000
(
)
50000
(
)
48
.
2
(
)
)(
45
(
001127
.
0
1



rw
ro
ro
w
k
k
k
f
25
.
0
1
051
.
0
1




Sw Kro Krw fw
0.30 0.940 0.000 0.000
0.40 0.800 0.040 0.160
0.50 0.440 0.110 0.489
0.60 0.160 0.200 0.827
0.70 0.045 0.330 0.962
0.80 0.000 0.440 1.000
EJERCICIO

70. Curva de Permeabilidad Relativa
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
Sw
Kr
Kro
Krw
EJERCICIO

71. Curva de Flujo Fraccional
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
Sw
fw
fw
EJERCICIO

72. Se quiere inyectar agua en un yacimiento con los datos presentados a
continuación, despreciando el gradiente de presión capilar y
asumiendo que la formación es horizontal construya la curva de flujo
fraccional.
o = 2.48 cp
w = 0.62 cp Sw Kro Krw
0.30 0.940 0.000
0.40 0.800 0.040
0.50 0.440 0.110
0.60 0.160 0.200
0.70 0.045 0.300
0.80 0.000 0.440
EJERCICIO

73. Solución:
Al despreciar el gradiente de presión capilar y los efectos
gravitacionales, la ecuación de flujo fraccional queda resumida en:
Se obtienen los siguientes datos de fw vs. Sw:
rw
ro
o
w
w
k
k
f




1
1
Sw Kro Krw fw
0.30 0.940 0.000 0.000
0.40 0.800 0.040 0.167
0.50 0.440 0.110 0.500
0.60 0.160 0.200 0.833
0.70 0.045 0.330 0.967
0.80 0.000 0.440 1.000
EJERCICIO

74. Curva de Permeabilidad Relativa
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
Sw
Kr
Kro
Krw
EJERCICIO

75. Curva de Flujo Fraccional
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
Sw
fw
fw
EJERCICIO