2. Teoría de conjuntos
• Elementos:
la mínima parte de un objeto se denomina elementos, son
elementos los integrantes de una familia, son elementos los días de la semana,
son elementos los números de teléfonos de montería, son elementos las hojas
de un árbol, claro está esta es una noción que has escuchado antes y está
muy relacionado con otro objeto matemático llamado CONJUNTO.
Conjunto: se suele decir que una agrupación de elementos es un conjunto,
pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no
tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el direc-
torio telefónico, un árbol, el grupo de presidentes de Colombia, el grupo de
mamíferos que ponen huevos.
3. Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A;B;C;...
Los elementos con letras minúsculas: a; b; c; Al representarlos , para agrupar l
os elementos utilizamos llaves f g, tambien podemos usar un diagrama de Venn,
a veces es más fácil , por eso debes utilizar las dos formas.
Ejemplo:
Representa el conjunto de los números dígitos
D = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g
o también Relación de pertenencia. Si se tiene un conjunto A y un elemento a
y ocurre que a es un miembro de A, se dice, entonces, a pertenece a A y se
escribe a 2 A (a es un elemento de A).
Pero si se tiene un elemento c que no pertenece al conjunto A ,se escribe
c =2 A (c no es un elemento de A).
4. Clases de conjuntos
Conjunto vacío:
Es aquel conjunto que no tiene elementos, como una bolsa vacía, se simboliza con
El conjunto de los números pares que terminan en 3 Representémoslo así:
P = flos números pares que terminan en 3
Conjunto unitario: es el que tiene un solo elemento.
B = { la capital de Colombia} M = {Lucy} C = f0g
Conjunto … nito: es aquel que tiene un número … nito de elementos .
También es … nito el conjunto unitario.
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
N = f3; 13; 23; 33; 34; 35g
T = {Miguel, José}
• A = fa; b; c; d; :::; x; y; zg
• Conjunto in… nito: si tiene tantos elementos que es imposible contarlos
N = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21;
5. Determinación de un conjunto
Por extensión, que consiste en escribir todos y cada uno de los elementos que
lo conforman, así conociendo todos sus elementos conocemos el conjunto.
Por comprensión, esta consiste en indicar una característica especial y común
Que tienen los elementos de un conjunto.
Ejemplo.
por extensión:
V = fa; e; i; o; ug
F = f1; 11; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91; 101; 111; ::::g
Y=
Por comprensión:
V ={las vocales}
F={los números naturales que terminan en 1}
Y ={los números impares que terminan en 0}
6. • Subconjunto:
Si un conjunto B está contenido en un conjunto A, es porque todos
los elementos de B están en A; pero es posible que existan
elementos en A, que no estén en B.
Entonces B es un Subconjunto de A, o también se puede decir “
B está contenido en A” . Se representa con los símbolos: B A
Así que:
(B A) () (x 2 B =) x 2 A)
7. Algebra de conjuntos
Unión de Conjuntos Los conjuntos A = (a; b; c; d; e) y B = (a; e; i; o; u)
se combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puede
estar repetido (a; b; c; d; e; i; o; u), a este conjunto lo llamaremos
unión de A y B.
M = (1; 2; 3; 4; 5) y J = (1; 3; 5; 7; 9) entonces M [ J = (1; 2; 3; 4; 5; 7; 9)
En forma grá… la unión es la región resaltada
ca
8. • Simbólicamente la unión de A y B es:
AUB = (x : x 2 A _ x 2 B)
• Intersección de Conjuntos En esta operación de conjuntos se trata de
encontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los
repetidos, veamos:
M = (1; 2; 3; 4; 5) y J = (1; 3; 5; 7; 9) entonces
La intersección la representamos por:
M J = (1; 3; 5) pues son los que se repiten. En forma grá.ca la intersección
es la región resaltada
Simbólicamente la intercepción de A y B es:
• A B = (x : x 2 A ^ x 2 B)
9. Diferencia de Conjuntos
En los conjuntos
V = (a; e; i; o; u) y A =(a; e; o)
La diferencia de V - A es el conjunto formado por los elementos de V que
no están en A así:
V - A = (i; o) M = (1; 2; 3; 4; 5) y J = (1; 3; 5; 7; 9)
La diferencia la representamos por:
M - J = (2; 4) pues son los que están en M y no en J.
También se puede calcular J -M
J -M = (7; 9) pues son los que están en J y no en M.
10. Simbólicamente es:
M - J = (x : x 2 M ^ x =2 J) J -M = (x : x 2 J ^ x =2 M)
Complemento :
Para esta operación debemos decir primero un conjunto que nos sirva como
base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamará universal
o referencial.
Si U = (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y el conjunto A = (0; 1; 2; 3)
Llamaremos complemento de A , al conjunto formado por todos los elementos
de U que no están en A, o sea (4; 5; 6; 7; 8; 9), a este conjunto lo denotaremos
con A/
Notese que A/ = U - A
U = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g
Si B = (1; 11; 29) entonces B/ = (3; 5; 7; 13; 17; 19; 23)
Si C = (3; 5; 7; 17; 23) entonces C/ = (1; 11; 13; 19; 29)
Si D = (1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29) entonces D/ = No pertenece
Simbólicamente es:
• A/ = (x : x 2 U ^ x =2 A)
11. Propiedades de los Conjuntos
Existen ciertas analogías entre los conectivos de las proposiciones y las
operaciones con conjuntos, una de ellas consiste en que todos los
operadores
de conjuntos se pueden poderse reducir a combinaciones de intercepciones
y uniones, así como los conectivos de proposiciones se pueden reducir a los
conectivos
