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 CONCEPCION
  OLANCHITO, YORO



CONJUNTOS
INTRODUCCION


La teoría de conjuntos es fundamental en matemática y
de suma importancia en informática, donde encuentra
aplicaciones en áreas tales como inteligencia
artificial, bases    de    datos  y    lenguajes   de
programación, etc.
.
CONJUNTOS
Es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien
definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que
constituyen un conjunto se llaman miembros o elementos de
un conjuntos

Un conjunto puede ser definido EXPLICITAMENTE
escribiendo cada uno de los elementos que componen el
conjunto dentro de llaves y separados por una coma

Ejemplo:

1.- Sea, A el conjunto de las vocales
A={a,e,i,o,u}
2.- Sea B el conjunto de los dias de la semana
B={lunes, martes, miercoles, jueves, viernes}
Definimos un conjunto IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de
llaves las carateristicas de los elementos que pertenecen al
cojunto como sigue:{x/x tiene la propiedad p} esto se lee “el
conjunto de todas las x tales la propiedad p”.

Ejemplos:
1.- Sea A el conjunto de vocales:

Se escribe A={x/x es una vocal}

Se lee “ el conjunto de todas las x tales que x es una vocal “

2.- Sea D el conjunto de los numeros naturales pares.

Se escribe D={x/x es un numero natural par}

Se lee “el conjunto de todas las x tales que las x es un numero natural
par”
RELACION DE PERTENENCIA
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista
de elementos, representado de la siguiente forma:

elemento  conjunto se lee, elemento pertenece a conjunto
Su negacion
elemento  conjunto se lee, elemento no pertenece a conjunto
Ejemplos:
Del ejemplo anterior podemos decir:
1.- a  A se lee, a pertenece al conjunto A
2.- w  A se lee, w no pertenece al conjunto A
3.- 33  D se lee, 33 no pertenece al conjunto D

Un conjunto es finito cuando podemos listar todos sus elementos
A={1,2,3}
Es infinito cuando no podemos listar todos sus elementos
S={ x/x  N, x ≥ 10}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Igualdad de Conjuntos
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A=B) si todos los
elementos de A pertencen a B y todos los elementos de B
pertenecen a A.
Esto es, A=B, entonces x  A implica que x  B, y y  B implica
que y  A
Ejemplo:

1.- Si T={1,2,3,4,5} y L={3,5,2,1,4}
Entonces T=L

2.- S M={1,3,5,7,9} y G={x/x es impar ^ 1 ≤ x ≤ 9}
Entonces M=G
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Ficha de conjuntos.
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  • 1. INMACULADA CONCEPCION OLANCHITO, YORO CONJUNTOS
  • 2. INTRODUCCION La teoría de conjuntos es fundamental en matemática y de suma importancia en informática, donde encuentra aplicaciones en áreas tales como inteligencia artificial, bases de datos y lenguajes de programación, etc. .
  • 3. CONJUNTOS Es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se llaman miembros o elementos de un conjuntos Un conjunto puede ser definido EXPLICITAMENTE escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves y separados por una coma Ejemplo: 1.- Sea, A el conjunto de las vocales A={a,e,i,o,u} 2.- Sea B el conjunto de los dias de la semana B={lunes, martes, miercoles, jueves, viernes}
  • 4. Definimos un conjunto IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de llaves las carateristicas de los elementos que pertenecen al cojunto como sigue:{x/x tiene la propiedad p} esto se lee “el conjunto de todas las x tales la propiedad p”. Ejemplos: 1.- Sea A el conjunto de vocales: Se escribe A={x/x es una vocal} Se lee “ el conjunto de todas las x tales que x es una vocal “ 2.- Sea D el conjunto de los numeros naturales pares. Se escribe D={x/x es un numero natural par} Se lee “el conjunto de todas las x tales que las x es un numero natural par”
  • 5. RELACION DE PERTENENCIA Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos, representado de la siguiente forma: elemento  conjunto se lee, elemento pertenece a conjunto Su negacion elemento  conjunto se lee, elemento no pertenece a conjunto Ejemplos: Del ejemplo anterior podemos decir: 1.- a  A se lee, a pertenece al conjunto A 2.- w  A se lee, w no pertenece al conjunto A 3.- 33  D se lee, 33 no pertenece al conjunto D Un conjunto es finito cuando podemos listar todos sus elementos A={1,2,3} Es infinito cuando no podemos listar todos sus elementos S={ x/x  N, x ≥ 10}
  • 6. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Igualdad de Conjuntos Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A=B) si todos los elementos de A pertencen a B y todos los elementos de B pertenecen a A. Esto es, A=B, entonces x  A implica que x  B, y y  B implica que y  A Ejemplo: 1.- Si T={1,2,3,4,5} y L={3,5,2,1,4} Entonces T=L 2.- S M={1,3,5,7,9} y G={x/x es impar ^ 1 ≤ x ≤ 9} Entonces M=G
  • 7. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Subconjuntos Si cada elemento de un conjunto A, es también elemento de un conjunto B, entonces A se llama subconjunto de B. También decimos que A esta contenido en B, o que B contiene a A. Sin embargo, no todo elemento de B necesita ser elemento de A. Esta relación se escribe: A  B o B A Si A no es un subconjunto de B, es decir, si por lo menos un elemento de A no pertenece a B, escribimos Ejemplo: 1.- A={1,3,4,5,8,9} y B={1,2,3,5,7} C={1,5} Podemos decir que: C  A y C  B por 1 y 5, los elementos de C, tambien son elementos de A y B. B  A ya que algunos de sus elementos como 2 y 7 no pertenecen a A.
  • 8. CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto Vacio Es el carece de elementos, se simboliza por ( ) o Ø. Ejemplo: El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas de 500 anos de de edad, es un conjunto vacio. Conjunto Universal En toda aplicación de la teoría de conjuntos todos los conjuntos que se consideran serán muy probablemente subconjuntos de un mismo conjunto dado. Este conjunto se llamará conjunto universal o universo del discurso y se denotará por U. Si U = N, el conjunto de los numeros naturales. A={1,2,3,4,5,} B={x/x es un numero primo} C={x/x es un numero natural par} A,B y C son conjuntos propios de U
  • 9. CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto de Partes Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A). Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.} Formemos todos sus subconjuntos: M={a} N={b} P={c} Q={d} R={a,b} S={a,c} T={a,d} U={b,c} b V={b,d} X={c,d} Y={a,b,c} Z={a,b,d} L={b,c,d} El conjunto de las partes de A, es decir (A), será: P(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}
  • 10. DIAGRAMA DE VENN Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. U A B C
  • 11. En la siguiente figura se han representado los conjuntos A, B, C,D y U. A={1,2,3} B={1) C={8,3} D={8} A  U, B  U, C  U, D  U BA y DC U A B C D
  • 12. OPERACIONES CON CONJUTOS Union de Conjuntos El conjunto “A unión B” que se representa asi A  B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos. Ejemplo: A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9 ; A 2 B 1 7 7 8 6 6 3 5 5 4 9 A  B  1;2;3; 4;5;6;7;8;9 A  B  x / x  A  x  B
  • 13. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables Si A y B son comparables U B U A B A AUB AUB U A B Si A y B son conjuntos disjuntos
  • 14. OPERACIONES CON CONJUTOS Interseccion de Conjuntos El conjunto “A intersección B” que se representa A  B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B. Ejemplo: A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9 ; A 2 B 1 7 7 8 6 6 3 5 5 4 9 A  B  5;6;7 A  B  x / x  A  x  B
  • 15. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables Si A y B son comparables U B U A B A A∩B A∩B=B U A B Si A y B son conjuntos disjuntos A ∩ B=Φ
  • 16. OPERACIONES CON CONJUTOS Diferencia de Conjuntos La diferencia de dos conjuntos A y B denotada A - B , que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B. Simbolicamente: A – B={x/x ∈ A Λ x ∉ B} Ejemplos: a) A={a,b,c} B={c,d} A - B={a,b} b) A={3,4,5,6} B={4,5} A - B={3,6} c) A={1,2,3} B={6,7} A - B={1,2,3} U U U A A B A B B
  • 17. Ejemplo: A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9 ; A 2 B 1 7 7 8 6 6 3 5 5 4 9 A  B  1;2;3; 4 A  B  x / x  A  x  B
  • 18. El conjunto “B menos A” que se representa B  A es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A. Ejemplo: A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9 ; A 2 B 1 7 7 8 6 6 3 5 5 4 9 B  A  8;9 B  A  x / x  B  x  A
  • 19. OPERACIONES CON CONJUTOS Diferencia Simetrica de Conjuntos La diferencia simetrica de los conjuntos A y B, denotada por Δ, que se lee A diferencia simetrica B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, o a B, pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Simbolicamente: A Δ B={x/x ∈ A v x ∈ B Λ x ∈ A ∩ B } Ejemplo: a) A={1,2,3,4} B={4,5} A Δ B={1,2,3,5} U Observe que lo sombreado corresponden A B conjuntos A - B y B – A, por esto también A Δ B={A-B}U{B-A} A Δ B={AUB}-{B∩A}
  • 20. Ejemplo: A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9 ; A 2 B 1 7 7 8 6 6 3 5 5 4 9 AB  1;2;3; 4  8;9 AB  x / x  (A  B)  x  (B  A)
  • 21. También es correcto afirmar que: AB  (A  B)  (B  A) A B A-B B-A AB  (A  B)  (A  B) A B
  • 22. OPERACIONES CON CONJUTOS Complemento de un Conjunto El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denotado A´, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A. Simbólicamente: A´={x/x ∈ U Λ x ∉ A } Ejemplo: Sea U= N{el conjunto de los números naturales} A={x/x es un numero natural par} A ={es un numero natural impar }=U-A U A A =U-A
  • 23. Ejemplo: U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y A ={1;3; 5; 7; 9} U A 2 3 8 1 7 A’={2;4;6,8} 5 9 6 4 PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO 1. (A’)’=A 4. U’=Φ 2. A U A’=U 5. Φ’=U 3. A ∩ A’=Φ
  • 24. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS Las Sig. 4 propiedades se utilizan con la unión y la intersección Leyes de Idempotencia Leyes Asociativa I. A U A = A I. (A U B) U C = A U (B U C) II. A ∩ A = A II. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Demostrar: Demostrar: A={1,2,3) I. (A U B) U C = A U (B U C) A U A={1,2,3} A={1,2,3) B={4,5,6} C={7,8} A ∩ A={1,2,3} (A U B)={1,2,3,4,5,6} U {7,8} (A U B) U C ={1,2,3,4,5,6,7,8} (B U C)={4,5,6,7,8} U {1,2,3} A U (B U C)={1,2,3,4,5,6,7,8}
  • 25. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS Leyes Conmutativas Leyes Distributivas I. A U B = B U A I. A U (B ∩ C) = (B U A) ∩ ( A U C) II. A ∩ B = B ∩ A II. A U (B ∩ C) = (B ∩ A) U ( A ∩ C) Demostrar: Demostrar: I. A U B = B U A I. A U (B ∩ C) = (B U A) ∩ ( A U C) A={1,2,3) B={3,4,5,6} A={1,2,3) B={3,4,5,6} C={6,7} A U B={1,2,3,4,5,6} A U (B ∩ C) B U A={4,5,6,1,2,3} B ∩ C={6} U {1,2,3} II. A ∩ B = B ∩ A A U (B ∩ C) ={1,2,3,6} A ∩ B={3} (B U A) ∩ ( A U C) A ∩ B={3} B U A={3,4,5,6,1,2} A U C={1,2,3,6,7} (B U A) ∩ ( A U C)={1,2,3,6} Nota: 3 es el elemento común.
  • 26. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS Relacionadas con el conjunto universal y vacio Leyes de Identidad I. A U U = U A∩ U =U II. A U ø = A A∩ø=ø Demostrar: U={1,2,3,4,5,6} A={1,2} AUU=U AUø =A A U U ={1,2,3,4,5,6} A U ø ={1,2,{ }} A∩U=U A∩ø=ø A ∩ U ={1,2,3,4,5,6} A ∩ ø ={ }
  • 27. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS Con respecto al complemento Leyes de Complemento I. A U A’ = U A U A’= ø II. (A)’ = A U’= ø Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones U={1,2,3,4,5} A={1,2,3} Demostrar: Demostrar: Demostrar: I. A U A’ = U I. (A’)’ = A I. A U A’ = ø A U A’ ={1,2,3,4,5} A’={ }, (A’)’={1,2,3} A U A’ ={ } Leyes D’ Morgan I. (A U B)’ = A’ ∩ B’ II. (A ∩ B)’ = A’ U B’ Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones U={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} B={3,4,5} Demostrar: Demostrar: I. (A U B)’ = A’ ∩ B’ I. (A ∩ B)’ = A’ U B’ (A U B)’ ={6 } (A ∩ B)’ ={1.2.4.5,6 } A’ ={4,5,6} B’={1,2,,6} A’ ={4,5,6} B’={1,2,,6} A’ ∩ B’={6} A’ U B’={4,5,6,1,2}
  • 28. ALGEBRA DE CONJUNTOS Relacion entre la logica y los conjuntos Con base a la relacion de orden A  B y en las operaciones A U B y A ∩ B se pueden formar la algebra de conjutos. Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones U={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} B={4,5,6} Demostrar que: A - B = A ∩ B’ = B’ - A’ I.- A – B A – B ={1,2,3} II.- A ∩ B’ B’={1,2,3,6} A ∩ B’ ={1,2,3} III.- B’ – A’ A”={4,5,6} B’ - A’ = {1,2,3} Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones U={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} B={4,5} C={6} Demostrar que: A – (B U C) = (A – B) ∩ ( A – C) I.- A – (B U C) B U C ={4,5,6} A – (B U C)={1,2,3} II.- (A – B) ∩ ( A – C) A – B ={1,2,3} A – C ={1,2,3} (A – B) ∩ ( A – C)={1,2,3}
  • 29. ALGEBRA DE CONJUNTOS Formas Nomales Las formas normales disyuntivas y conjuntivas corresponden a la teoria de conjuntos a las formas union e interseccion. La forma normal completa de la union: se obtiene reuniendo los terminos interseccion cuyo resultado es el conjunto universal U. Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones U={1,2,3,4,5} A={1,2,3} B={4} Demostrar que: (A’∩ B’) U (A’∩ B) U (A∩ B’) U (A ∩ B)= U A’={4,5) B’={1,2,3,5} (A’∩ B’)={5} (A’∩ B)={4} (A∩ B’) ={1,2,3) (A ∩ B)= { } U A∩ B’ A∩B A’ ∩ B U={ 5,4,1,2,3,{ } } A’ ∩ B’
  • 30. ALGEBRA DE CONJUNTOS Formas Nomales La forma normal completa de la interseccion: se obtiene intersectando los terminos ide la union cuyo resultado es el conjunto ø Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones U={1,2,3,4,5} A={1,2,3} B={4} Demostrar que: (A’U B’) ∩ (A’U B) ∩ (AU B’) ∩ (A U B) = ø A’={4,5) B’={1,2,3,5} (A’U B’)={4,5,1,2,3} (A’U B)={4,5} (AU B’) ={1,2,3,5) (A U B)= {1,2,3,4 } (A’U B’) ∩ (A’U B) ={4,5} (AU B’) ∩ (A U B) ={1,2,3} (A’U B’) ∩ (A’U B) ∩ (AU B’) ∩ (A U B) = ø
  • 31. CONJUNTOS NUMERICOS Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....} Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....} Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1;  1;0; 1 ; 1 ; 1; 4 ;2;....} 2 5 2 3 Números Irracionales ( I ) I={...; 2; 3;  ;....} Números Reales ( R ) R={...;-2;-1;0;1; 2; 3 ;2;3;....} Números Complejos ( C ) 1  ;0;1; 2; 3 ;2+3i;3;....} C={...;-2; 2
  • 32. CONJUNTOS NUMERICOS P={3} EJEMPLOS: Expresar por extensión los siguientes Q={-3;3} conjuntos: A ) P  x  N / x 2  9  0 F={} B ) Q  x  Z / x  9  0 2 C ) F  x  R / x 2  9  0 4 T   3  D ) T  x  Q /(3x  4)(x  2)  0 E ) B  x  I /(3x  4)(x  2)  0 B 2  RESPUESTAS