geometria analitica - dos conicas

1. Universidad Nacional de Tumbes Departamento Académico de Matemática e Informática (DAMI)
Instituto de Investigación para la Enseñanza de la Matemática (IREM-Tumbes) Facilitador: Carlos Manuel Sabino Escobar
P.3. Determinar la representación algebraica y geométrica de la circunferencia que pasa por el vértice, foco y uno de los extremos del lado recto
de la parábola 2
8 2 33 0
y x y
− − + = .
SOLUCIÓN REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
Primero: Observamos que se nos da la ecuación general de la parábola
( )
2
0
y Dx Ey F
+ + + = , entonces debemos de transformarla a su ecuación ordinaria, es
decir, a la forma: 4
2
( y k ) = p ( x- h ) ( i )
−
Segundo: Calculamos el vértice de la parábola 2
8 2 33 0
y x y
− − + = , para l o cu al
compl etamos cu adrados de l a si gu i en te man era: agru pamos l as
vari ables " " " "
x e y , en ambos mi embros de l a ecu aci ón general
2 2 2 2
2 2
8 2 33 0 2 8 33 ( 1) 1 8 33
( 1) 8 32 ( 1) 8 ( 4 )
y x y y y x y x
y x y x ( ii )
− − + = → − = − → − − = −
− = − → − = −
Tercero: Al comparar ( i ) e ( ii ), observamos que el vértice ,
( h k )= ( 4,1 ). Además
4 8 2
p p
= → =
Cuarto: Considerando qu e l a representación geométrica ( F i g . 1) a y u d a
su stanci almente a l a sol u ci ón de u n a tarea g e o m é t r i ca , g r a f i c am o s l a
parábol a con vérti ce en V (4 ; 1) y l ado recto de l on gi tud 8 ( )
R
L = 8 .
Quinto: Ah ora, ten emos V (4 ; 1); F (6 ; 1) y u n o de l os extremos del
l ado recto A (6 ; 5) (Fi g.2); l os cu ales serían l os tres pu n tos p o r d o n d e
pasa l a ci rcunferencia de l a cu al n os pi den determi nar su ecu ación .
Figura 1
figura 2

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Instituto de Investigación para la Enseñanza de la Matemática (IREM-Tumbes) Facilitador: Carlos Manuel Sabino Escobar
Sexto: Determinar l a representación al gebrai ca de l a ci rc unferencia que
pasa por l os tres pu ntos descri tos en el qu into paso:
La ecuación ordinaria de la circunferencia es: 2 2 2
(x-h) +(y k) = r ( I )
−
2 2 2
2 2 2
, ; :
6 1 36 12 1 2
37 12 2
4 , ;
2 2 2
Cómo (6,1) es un punto de la circunferencia satisface ( I ) entonces reemplazamos (6,1) en ( I )
( - h) +( k) = r h h k k r
h k r h k ( i )
Cómo ( ,1) es un punto de la circunferencia satisface ( I ) entonces re
− → − + + − + =
− − = − −
2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 :
4 1 16 8 1 2
17 8 2
, ; :
6 5 36 12 25 10
6
2 2 2
2 2 2
emplazamos ( ,1) en ( I )
( - h) +( k) = r h h k k r
h k r h k ( ii )
Cómo (6,5) es un punto de la circunferencia satisface ( I ) entonces reemplazamos (6,5) en ( I )
( - h) +( k) = r h h k k r
− → − + + − + =
− − = − −
− → − + + − + =
2 2 2
1 12 10
37 12 2 17 8 2 4 20 5 ( )
17 8 2 61 12 10 4 8 44 2 11
5, ( ) : 2 11 (5) 2 11 2 6 3
h k r h k ( iii )
De ( i ) y ( ii ),tenemos :
h k h k h h iv
De ( ii ) y ( iii ),tenemos :
h k h k h k h k (v)
Cómo h reemplazamos en v h k k k k
Ahora como co
− − = − −
− − = − − → − = − → =
− − = − − → + = → + =
= + = → + = → = → =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
6 5 1 3 1 2 5
5 3 5
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
nocemos (h,k)= (5,3) y un punto de paso (6,1); calculamos el radio en ( I ):
(x - h) +(y k) = r - + = r r r
Por tanto,la ecuación con centro en (5,3) es : x - + y =
− → − → + − = → =
−
Gráfica 3