linea recta , parabola

1. Horizontal y Vertical con vértice fuera del origen:
Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola
cuyo Vértice pasa por V(5,-2) y F(5,-4)
Como la distancia del vértice al foco es p=2 entonces se sustituye en la ecuación verti-
cal
La ecuación será:
Ejemplo 2 :
Si la ecuación de una parábola es: (y – 3)² = - 8(x – 3) la ecuación es
(y – k) ² = 4p(x – h) por lo que podemos deducir que las coordenadas del vértice
son V(h, k) entonces V (3, 3)
Además se tiene que: 4p = - 8
De donde P = p= -2
La ecuación de la directriz es x = h – p, por lo que x =
3- (-2)
Entonces la ecuación de la directriz es x = 5
Las coordenadas del foco (h+p, k) = (3+(-2), 3) = (1, 3)
Parábola V(h,k)
Conversión de la forma general a la ordinaria.
Recordando que para completar un Trinomio cuadrado perfecto es necesario apli-
car la siguiente fórmula: la primera cantidad elevada al cuadrado más 2 ve-
ces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad elevada al
cuadrado.
Ejemplo: Encontrar el vértice de la ecuación de la parábola x2
– 6x – 12y – 51 = 0
x2
– 6x = 12y + 51
x2
– 6x + 9 = 12y + 51 +9 (completamos el t.c.p )
(x – 3)2
= 12y + 60
(x – 3)2
= 12(y + 5) de aquí h= 3,; k = -5 por lo que V (3, – 5)
4p= 12...p = 3 entonces F(3, -5+3) = F (3,-2) LR= 12
Ejemplo 2: Obtenga la forma general de la ecuación de la siguiente pará-
bola dada en su forma ordinaria: (y – 3)² = 4(-1)(x-2)
Aquí : h = 2, k = 3 y p = - 1
Considerando que la parábola es con eje horizontal:
D = -4p = -4(-1) = 4
E = -2k = -2(3) = -6
F = K² + 4ph = (3)² + 4(-1)(2) = 1
Por lo que al sustituirlos en la forma general y² + Dx + Ey + F = 0
Obtenemos la ecuación y² + 4x – 6y + 1 = 0. completar un T.C.P.
y² + 4x – 6y + 1 = 0.
y² – 6y = -4x – 1
y² – 6y + (9) = -4x – 1 + (9)
(y – 3) ² = -4x + 8
(y – 3) ² = -4x – 2 Forma ordinaria de la ecuación
ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 37
MATERIA: GEOMETRÍA ANALITICA
PROFESORA: MERCEDES SALAZAR SANCHEZ
ALUMNA WENDY KARINA HERNANDEZ CARDENAS
GRADO 2do. GRUPO III
Ecuación ordinaria de la parábola a partir de su ecuación
general , empleando el método para completar cuadrados
L RF
0
D D
p
p
x
y
E
x
y D
0
D’
pp
V F
L
R
E E’
Vertical
Ax2
+Dx + Ey + F = 0
(x – h)2
= 4p (y – k)
Vértice: V(h, k)
Directriz: x = h – p
Foco: F(h, k+ p)
Lado recto: LR = 4p 
Horizontal
Ay2
+Dx +Ey + F = 0
(y – k)2
= 4p (x – h)
Vértice: V(h, k)
Directriz: y = k – p
Foco: F(h + p, k)
Lado Recto: LR = 4p 
))2()(2(4)5( 2
 yx )2(8)5( 2
 yx
4
8

2. Dado los puntos A(x1, y1) y B (x2, y2)
- La distancia se determina por la siguiente fórmula:
.Ejemplo: ¿Cuál es la distancia entre los puntos M (3,
-1) y N (7, 2)?
- El punto medio de dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) esta determinado por la fórmu-
la.
Ejemplo: ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio, entre los puntos P (3, –1) y
Q (7, 2)?
La pendiente es la inclinación que tiene una recta, es el cociente de la altura y la
base. Podemos calcularla a partir de dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2), la pendiente
queda determinada como:
Ejemplo.¿ Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3, –1) y B(7, 2)?
La recta esta determinada por una ecuación de primer grado; es decir, el exponen-
te de las variables es 1. Su forma general es: Ax + By + C = 0
Cuenta con 2 elementos principales, la pendiente (m) y su ordenada al origen (b).
Y con éstos datos obtenemos la forma Simplificada:
De la ecuación simplificada, consideramos y = 0, obtenemos un valor que llamare-
mos a (abscisa).
Obteniendo la ecuación Simétrica:
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta formada por los puntos A (3, – 1) y B
(7, 2)
y – (–1) = 3/4 (x – 3)
4 (y + 1) = 3 (x – 3)
4y + 4 = 3x – 9
52591634))1(2()37( 2222
d

















 

2
1
,5
2
1
,
2
10
2
21
,
2
73
Pm
Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendi-
culares trazadas por los puntos medios de sus lados.
El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscri-
ta al triángulo.
El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatri-
ces.
Ejemplo:
Hallar las ecuaciones de las mediatrices y el circuncentro del triángulo de vértices:
A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).
Punto medio BC:
Punto medio AC:
Punto medio AB:
Se traza la circunferencia con el centro en donde se intersectan las mediatrices:
Recta BC:
Recta AC:
Recta AB :
Pendiente
Ecuaciones de la recta
Mediatrices de un triangulo con
circunferencia circunscrita
Parábola V(0,0)
)()( 1212 yyxxd 
B
A
m


Pendiente: Ordenada al origen:
B
C
b


bmxy 
1
b
y
a
x

12
12
xx
yy
m



- 3x + 4y + 4 + 9 = 0
3x + 4y + 13 = 0 ó
Ecuación: 3x – 4y – 13 = 0
RF
D D
p
p
x
y
0
x
y
0
pp
V F
R
Vertical Horizontal
Ecuación General de la Parábola
x2
+ Ey = 0 y2
+ Dx = 0
Ecuación Ordinaria
x2
= 4py y2
= 4px
Vértice: V(0, 0) Vértice: V(0, 0)
Foco: F(0, p) Foco: F(p, 0)
Directriz: y = – p Directriz: x = – p
Lado recto: LR = 4p Lado recto: LR = 4p
Ejemplo: Encuentre las coordenadas del foco de la parábola cuya ecuación es:
x2
–12y = 0
Solución: x2
= 12 y comparamos con la ecuación x2
= 4py observamos que
4p = 12 y de ahí p = 12/4 = 3...por lo que p=3 y entonces:
Vértice (0,0) , Foco F(0,3), Directriz: y= -3, Lado recto: LR= |4(3)|= |12|
Directriz Y=-3
L R
V
F





 

2
,
2
2121 yyxx
Pm
4
3
37
12
37
)1(2
m 






4
3
4
12
37
)1(2
m 





4
3
m 
 0
03
12
1 


 xy  xy
3
3
1


  xy 1 X— Y =-1
 2
23
02
0 


 xy  2
5
2



 xy  2
5
2
 xy 452  yx
 2
20
01
0 


 xy  2
2
1


 xy   1
2
1
 xy 122  yx