metodos numericos

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Elizabeth Doig
Capítulo 6
Nota: Para complementar la teoría es conveniente leer el capítulo 13 del libro de
Shoichiro Nakamura (Página 489), que se encuentra en la carpeta Bibliografía de
Paideia.
Ecuaciones Diferenciales Parciales
6.1 Definición de Diferencias Finitas
Dada una sucesión de números { ( )}
( 1)
f x
n n 
se definen las diferencias finitas de esta
sucesión de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) La primera diferencia finita
1
f x f x f x
n n n
 = − =
+
1
( ) ( ( )) La - ésima diferencia finita, 2
k k
f x f x k k
n n
−
 =   =  
0 ( ) ( )
f x f x
n n
 =
Considerando que se utiliza la siguiente partición ( 1) , 1, ,
1
x x n h n N
n
= + −  = .
Por ejemplo, para el valor de 2
k = ,
2 ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( )
1 1
f x f x f x f x f x f x
n n n n n n
 =   =  − =  − 
+ +
2 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 2 ( ) ( )
2 1 1 2 1
f x f x f x f x f x f x f x f x
n n n n n n n n
  = − − − = − +
+ + + + +
Este concepto de diferencias finitas se emplea para estimar el valor de la primera o
segunda derivada. Para la primera derivada se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) lim ( )
0
( ) ( ) ( )
1 1
( ) (fórmula centrada)
2
f x h f x f x f x f x
n n n n n
f x
n h h h
h
f x f x f x
n n n
f x
n h h
+ − − 
+
 =  =
→
 −
+ −
  =
(1)
En el caso de la segunda derivada, se tiene:
( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) lim ( )
0
2
( ) ( ) ( ( )) ( ) 2 ( ) ( )
1 2 1
2 2 2
f x f x
n n
f x h f x f x f x
n n n n h h
f x
n h h h
h
f x f x f x f x f x f x
n n n n n n
h h h
 
+ −
   
+ − −
+
 =   =
→
 −   − +
+ + +
=  =

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2( ( )) ( ) 2 ( ) ( )
1 1
( ) (fórmula centrada)
2 2
f x f x f x f x
n n n n
f x
n
h h
 − +
+ −
  = (2)
6.2. Discretización del Dominio Espacial Bidimensional
Dado {( , ) : , }
x y a x b c y d
 =     en donde los intervalos[ , ]
a b y [ , ]
c d se
dividen en 1
N − y 1
M − subintervalos, respectivamente. Se definen y
h k (los
pasos):
( ) ( )
1
h b a N
= − − y ( ) ( )
1
k d c M
= − − ,
para construir las siguientes particiones de puntos:
( )
1
x a i h
i
= + − y ( )
1
y c j k
j
= + − con 1, , ; 1, ,
i N j M
= = .
Los que constituyen una malla
( , )
h k
de 2
 , descrita por los nodos
,
M
i j
de
coordenadas ( , )
x y
i j
. Definiéndose el dominio computacional como:
( ) ( )
{ ( 1 , 1 ) : 1 , 1 }
( , ) ,
M a i h c j k i N j M
h k i j
 = = + − + −    
6.3. Ecuaciones Diferenciales Parciales
Una ecuación diferencial en la que aparecen dos o más variables independientes se llama
ecuación en derivadas parciales. El objetivo es hallar a la función ( , )
u x y , que satisfaga a
dicha ecuación.
Una ecuación en derivadas parciales toma la forma
( , , , , )
Au Bu Cu f x y u u u
xx xy yy x y
+ + = , (3)
Donde A, B y C son constantes y hay tres tipos de ecuaciones:
Si:
2 - 4 0
B AC  , la ecuación se llama elíptica. (4)
2 - 4 0
B AC = , la ecuación se llama parabólica. (5)
2 - 4 0
B AC  , la ecuación se llama hiperbólica. (6)
En esta sección se estudiarán los métodos de diferencias finitas para resolver la ecuación
diferencial parcial. En estos métodos se emplean fórmulas para estimar a la primera y
segunda derivada de la función ( , )
u x y .

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6.3.1. Ecuaciones Hiperbólicas: La Ecuación de Ondas
Como ejemplo de una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, consideramos la
ecuación de ondas
   
2
( , ) ( , ) para 0, , 0,
u x y c u x y x a y b
yy xx
=   (7)
Con las condiciones de contorno:
(0, ) 0 y ( , ) 0 para 0 .
( ,0) ( ) para 0 ,
( ,0) ( ) para 0 .
u y u a y y b
u x f x x a
u x g x x a
y
= =  
=  
=  
(8)
6.3.2. Métodos de diferencias finitas
Dado el conjunto de puntos:
{ ( , ) (( 1) , ( -1) ) : 1 , 1 }
( , ) ,
M x y i h j k i N j M
h k i j i j
 = = = −     ,
en donde ( )
1
h a N
= − , y ( )
1
k b M
= − . Se hará uso del concepto de Diferencias
Finitas para hallar los valores ( , )
u x y
i j
, que satisface a la ecuación diferencial parcial
dada.
(i) Se comienza por la primera fila ( )
1
j = , en donde 0
1
y y
= = entonces:
( , ) ( ,0) ( ), 2 1
1
u x y u x f x i N
i i i
= =    −
(ii) Para conseguir las aproximaciones en los puntos de la segunda fila
( )
; 2
2
y y k j
= = = , se usará la fórmula de Taylor de orden 2
n = . Por otro
lado, volvamos a la ecuación de ondas, usando la relación entre las derivadas
parciales segundas; y considerando de que la función ( )
f x dada es dos veces
derivable en el intervalo, con lo cual tenemos que ( ,0) ( )
u x f x
xx

= , obtenemos:
2
2 2 2 1 1
( ,0) ( ,0) ( )
2
f f f
i i i
u x c u x c f x c
yy i xx i i
h
− +
 
+ −
  
= = 
 
 
(9)
Recordando que la fórmula de Taylor de orden 2 para la función ( , )
u x y , alrededor de
( , 0)
x es:

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2
( ,0)
( , ) ( ,0) ( ,0)
2
u x y
yy
u x y u x u x y
y
 + + (10)
Y aplicando esta expresión (10) en el punto ,
2
x x y y k
i
= = = junto con la expresión
(9), se obtiene:
2
( ,0)
( , ) ( ,0) ( ,0)
,2 2
2 2
( 2 ), 2 1
1 1
2
2
u x k
yy i
u x k u u x u x k
i i i y i
c k
f kg f f f i N
i i i i i
h
 = + + =
= + + − +    −
+ −
(11)
Donde ( ,0) ( )
u x f x f
i i i
= = ; ( ,0) ( )
u x g x g
y i i i
= = por las condiciones de contorno.
Puesto que / ,
r ck h
= podemos simplificar la expresión (11) y obtener la siguiente
fórmula de diferencias que nos proporciona aproximaciones numéricas mejoradas a los
elementos de la segunda fila:
2
2
(1 ) ( )
,2 1 1
2
r
u r f kg f f
i i i i i
= − + + +
+ −
(12)
para 2, ..., -1
i N
= .
(iii) Se usará la fórmula (2) de diferencias finitas, para calcular a las aproximaciones
,
u
i j
de los valores exactos ( , )
u x y
i j
en las siguientes filas. Es decir, para cada
3, 4, , ,
j M
= se calculará:
{ ( , ) : 2, , 1}
,
u x y u i N
i j i j
 = −
Las fórmulas de diferencias centradas para aproximar ( , ) y ( , )
u x y u x y
yy i j xx i j
son
( , ) 2 ( , ) ( , )
1 1
( , )
2
u x y u x y u x y
i j i j i j
u x y
yy i j
k
− +
+ −
 ;
( , ) 2 ( , ) ( , )
1 1
( , )
2
u x y u x y u x y
i j i j i j
u x y
xx i j
h
− +
+ −
 (13)
Usando la aproximación
,
u
i j
en vez de ( , )
u x y
i j
en las relaciones (13), y sustituyendo
las relaciones resultantes en (7); se tiene:

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2 2
, 1 , , 1 1, , 1,
2
2 2
u u u u u u
i j i j i j i j i j i j
c
k h
− + − +
+ − + −
=
Se define la constante /
r ck h
= , obteniéndose:
2
2 ( 2 )
, 1 , , 1 1, , 1,
u u u r u u u
i j i j i j i j i j i j
− + = − +
+ − + −
(14)
Despejando al término
, 1
u
i j +
para determinar las aproximaciones a los puntos de la fila
( )
1
j ésima
+ − de la malla, suponiendo que se conocen las aproximaciones a la solución
en los puntos de las dos filas anteriores, la j-ésima y la (j -1)-ésima; se tiene:
2 2
(2 2 ) ( )
, 1 , 1, 1, , 1
u r u r u u u
i j i j i j i j i j
= − + + −
+ + − −
(15)
para 2, 3, , 1
i N
=  − .
Para calcular las aproximaciones en los puntos de la tercera fila de la malla, es necesario
disponer de las aproximaciones en los puntos de las filas primera y segunda.
Ejemplo:
Se usará el método de diferencias finitas para resolver la ecuación de ondas de una cuerda
vibrante:
( , ) 4 ( , ) para 0 1, 0 0.5
u x y u x y x y
yy xx
=     (16)
con las condiciones de contorno
(0, ) 0 y (1, ) 0 para 0 0.5,
( ,0) ( ) ( ) (2 ) para 0 1,
( ,0) ( ) 0 para
u y u y y
u x f x sen x sen x x
u x g x
y
 
= =  
= = +  
= = 0 1.
x
 
(17)
Por conveniencia tomamos 0.1 y 0.05
h k
= = . Puesto que 2
c = , entonces
/ 2(0.05) / 0.1 1
r ck h
= = = .
Como ( ) 0
g x = y 1
r = , la fórmula (12) para calcular los valores de la segunda fila queda:

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1 1
,2 2
f f
i i
u
i
+
− +
= para 2, 3, , 9
i = (18)
Sustituyendo 1
r = en la ecuación (15) obtenemos la ecuación en diferencias, ya
simplificada,
, 1 1, 1, , 1
u u u u
i j i j i j i j
= + −
+ + − −
(19)
Usando las fórmulas dadas en (15) y en (16) generamos las aproximaciones a los valores
( )
,
u x y que se recogen en la Tabla 1, para 0 1 y 0 0.5
x y
i j
    . Los valores
numéricos dados en la Tabla 1 coinciden en más de seis cifras decimales con los
correspondientes a la solución exacta:
( , ) ( )cos(2 ) (2 )cos(4 )
u x y sen x y sen x y
   
= +
Tabla 1: Resultados Obtenidos con el método de las Diferencias Finitas
y
j
j