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1. MATEMÁTICA II
Geometría Analítica
Ecuación de la Parábola
Sesión 4
Unidad Didáctica: 4
“Templar el alma para la vida” Área de Matemática

2. Programa de la Unidad Didáctica
Área de Matemática
• DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS - PUNTO MEDIO - DIVISIÓN
DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
• LA RECTA: ECUACION GENERAL DE LA RECTA
• LA CIRCUNFERENCIA: ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
ORDINARIA, CANONICA Y GENERAL
• LA PARABOLA: ECUACION DE LA PARABOLA
• ELIPSE: ECUACION DE LA ELIPSE
• HIPERBOLA: ECUACION DE LA HIPERBOLA
• TRASLACION DE SISTEMAS DE COORDENADAS I

3. Aprendizaje Esperado
• Identifica una parábola mediante las
diferentes formas de escribir su ecuación.
• Grafica y encuentra el vértice, foco y recta
directriz de la parábola
• Resuelve problemas referentes a la ecuación
de la parábola
Área de Matemática

4. Observa con atención el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=IogMGONNIoA
Área de Matemática

5. Responde estas preguntas:
Área de Matemática
• ¿Qué es un radio telescopio y
que forma tiene?
• ¿Qué Característica de las
parábolas hace que sean
adecuadas para las antenas de
televisión, cable satelital o radio
telescopios?
• ¿Cómo podríamos escuchar
señales extraterrestres?

6. Las parábolas se encuentran a
nuestro alrededor

7. circunferencia
parábola
Generación de las CONICAS
elipse
hipérbola

8. La parábola
Es el conjunto de puntos P(x,y) del plano que equidistan de un
punto fijo F (foco) y una recta fija l (directríz).
.
foco
directríz
.
.
.
.
.
...
. . .
eje
vértice
.
p p
p:distancia focal

9. Ecuaciones de
la parábola
Ecuaciones canónicas
Ecuaciones ordinarias

10. Función parabólica
y
x
0
F.
V(h,k)
p
y = ax2+ bx + c
Donde:
Vértice: (h,k)
h= -b/2a
k= ah2+ bh + c
.
R
L
LR: Lado recto
LR= 𝟒𝒑

11. 1. Grafique 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏
𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 1
Como: 𝑎 > 0
Encontramos el vértice:
ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−2
2(1)
 𝑘 = (−1)2+2 −1 + 1
𝑽(−𝟏, 𝟎)
Ejemplos:
= −1
= 0
Comparando con la función parabólica: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
La parábola se abre hacia arriba
Encontramos los interceptos:
 Con el eje “y”:
𝒚 = 𝒄 = 𝟏
 Con el eje “x”:
0= 𝑥2 + 2𝑥 + 1
0= (𝑥 + 1)2
𝑥 = −1
Graficando con la información
obtenida:
𝑽(−𝟏, 𝟎)

12. Ejercicios De Aplicación
2. Determine la ecuación General de la parábola si:
S = 64m2. (F : foco)
V F
y
x
P
S
En el cuadrado:
a
a
a
a
𝑎2 = 64𝑐𝑚2
𝑎 = 8𝑐𝑚
8
2p= 8𝑐𝑚
Obervamos: p= 4𝑐𝑚
8 Además recordemos que la longitud del lado recto
es 4p
2p
2p
8
8
Por lo tanto las coordenadas del vértice es: V=(4;16)
La forma de la ecuación de la parábola es: (𝑦 − 𝑘)2= 4𝑝( 𝑥 − ℎ)
Reemplazando tenemos: (𝑦 − 16)2= 4(4)( 𝑥 − 4)
𝑦2 − 32𝑦 + 256 = 16𝑥 − 64
𝑦2 − 32𝑦 − 16𝑥 + 320 = 0
4 4

13. 3. De la figura, determine la ecuación de la parábola,
(el punto (3;2) pertenece a la parábola):
x
P
F
(3,2)
y
Como el eje focal es paralelo al eje y su
ecuación se escribe:
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Donde: ( h ; k ) = (0; 0)
( x ; y ) = (3; 2)
(3 – 0)2 =4p( 2 -0) 9 =8p p = 9/8
Reemplazamos h , k y p en la ecuación:
𝑥 2 = 4(
9
8
)𝑦 y = 2x2/9
Ejercicios De Aplicación

14. 4. El foco de una parábola coincide con el origen de
coordenadas y su vértice está en el punto (5; 0). La
ecuación de dicha parábola es:
Si el foco está en el origen: f(0; 0) La distancia del foco al vértice es la
distancia focal “p”
p= (5 − 0)2+ (0 − 0)2 p= (5)2+ (0)2
p= 5
Usando la distancia focal y el vértice escribimos la ecuación ordinaria
(𝑦 − 0)2
= 4(5)( 𝑥 − 5) 𝑦2 = 20𝑥 − 100
𝑦2
− 20𝑥 + 100 = 0 Ec. General
Ejercicios De Aplicación
2 2
2 1 2 1
d (x x ) (y y )
   
Recordemos:
Donde: d = p
(x1;y1)= (0;0)
(x2;y2)= (5;0)

15. Ejercicios De Aplicación
5. Determine una ecuación para una parábola que
tiene el foco en (1;2) y el vértice en (1;-1). Halle la
distancia focal, la ecuación de la directriz y el valor del
lado recto. Trace la gráfica.
Ubiquemos el foco y el vértice:
y
x
o
V(1;-1)
f(1;2)
Por la ubicación del eje focal deducimos que la gráfica
debe ser abierta hacia arriba
p
La distancia del foco al vértice es la
distancia focal “p”
p= (1 − 1)2+ (2 − (−1))2
p= (3)2
p= 3
La recta directriz se encuentra a una
distancia “p” del vértice
3
y =-4
-4
Lado recto: LR = 4𝑝
Ec. Ordinaria:
= 4(3) = 12
(𝑥 − ℎ)2= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
(𝑥 − 1)2= 12(𝑦 + 1)
6 6

16. Realiza un organizador visual
donde describas todo lo
aprendido sobre triángulos
Área de Matemática

17. Ejercicios De Aplicación
 𝑘 = −3(2)2 + 12 2 − 9
𝑉(2,3)
6. Grafique 𝒚 = −𝟑𝒙𝟐
+ 𝟏𝟐𝒙 − 𝟗
𝑎 = −3, 𝑏 = 12, 𝑐 = −9
Como: 𝑎 < 0
Encontramos el vértice: 𝑉(ℎ, 𝑘)
Comparando con la función parabólica: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
La parábola se abre hacia abajo
ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−12
2(−3)
= 2
=3
𝑽(𝟐, 𝟑)
Encontramos los interceptos:
 Con el eje “y”: (x=0)
𝒚 = 𝒄 = −𝟗
 Con el eje “x”: (y=0)
0= −3𝑥2 + 12𝑥 − 9
𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 3 ; 𝑥 = 1
Graficando con la información
obtenida:

18. 7. Se tiene un túnel cuya entrada tiene forma parabólica de ancho 16cm
y altura 12cm, calcular a qué altura el ancho de la entrada es 8cm.
Ejercicios De Aplicación
8m 8m
H
Punto : (4;H)
12m
Vertice: (0;12)
Punto de
paso: (8;0)
4m
4m
Como el eje focal es paralelo al eje y su
ecuación se escribe:
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Reemplazando el vértice y el punto de
paso:
(8 − 0)2
= 4𝑝(0 − 12) 64 = −48𝑝
𝑝 = −4/3
Entonces la ec. De la parábola es:
(𝑥 − 0)2 = 4(−
4
3
)(𝑦 − 12) 𝑥2 = −
16
3
(𝑦 − 12)
Reemplazando el punto (4;H): 42
= −
16
3
(𝐻 − 12) 16 = −
16
3
(𝐻 − 12)
3 = −𝐻 + 12 𝐻 = 9

19. Ejercicios De Aplicación
8. Se desea construir un portón en forma de parábola con eje
vertical y un ancho en la base de 30 m. Determine la altura que
debe tener el portón, sabiendo que el foco debe encontrarse a 8
m. de la base.
15 15
8m
Foco : (0;8)
k
Vertice: (0;k) Como el eje focal es paralelo al eje y su
ecuación se escribe:
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Punto de
paso: (15;0)
Reemplazando el vértice y el punto de
paso:
(15 − 0)2
= 4𝑝(0 − 𝑘) (15)2 = −4𝑝𝑘
Donde “p” es la distancia focal:
p
Observamos que: 𝑝 + 8 = 𝑘 𝑝 = 𝑘 − 8
Reemplazando: (15)2 = −4(𝑘 − 8)𝑘 225 = −4𝑘2
+ 32𝑘
0 = 4𝑘2 − 32𝑘 + 225
2k
2k
-25
-9
=-50k
=-18k
-32k
0 = (2𝑘 − 25)(2𝑘 − 9)
𝑘 =
25
2
𝑘 =
9
2

20. Ejercicios De Aplicación
3 L
9. Según la figura m∢ATO = 120°, el área de la región
triangular es , : es el eje de la parábola. Hallar la ecuación.
T
y
O x
L
A
Como el eje focal es paralelo al eje y, su
ecuación se escribe:
(𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
Vertice: (h;k)
k
h
Área del triángulo:
𝐴 = 2
𝑘. ℎ
2
= 3 𝑘. ℎ = 3
Por otro lado: m∢ATO =120°
120°
60°
60°
k
h
Tan60° =
𝑘
ℎ
= 3 𝑘 = ℎ 3
…(I)
Reemplazando en (I):
(ℎ 3). ℎ = 3 ℎ =1
𝑘 = 3
Punto de paso: (0;0)
Reemplazando el vértice y el punto de
paso: (0 − 3)2 = 4𝑝(0 − 1) 3 = −4𝑝 𝑝 = −3/4
Entonces la ec. De la parábola es:
(𝑦 − 3)2 = −3(𝑥 − 1)

21. Ejercicios De Aplicación
10. La entrada de una iglesia tiene forma de una parábola con una
altura de 9 m. y un ancho de 12 m. en la base, el techo de la iglesia
es de vidrio y tiene un ancho de 6 m. Determine la altura máxima
del casquete de vidrio.
x
y
3 3
9m
6 6
techo
Casquete
a
Vértice (h;k): (0;9)
Punto de
paso:(6;0)
Como el eje focal es paralelo al eje y su
ecuación se escribe:
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
(6 – 0)2 =4p( 0 - 9) 36 = -36p p = -1
(𝑥)2 = −4(𝑦 − 9)
9-a
Punto: (3; 9-a)
Reemplazando el punto (3;9-a): (3)2 = −4(9 − 𝑎 − 9) 9 = 4𝑎
a= 9/4

22. Taller
Trabajamos en equipo los
Ejercicios Propuestos
Área de Matemática