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UNPRG – ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
MECANICA DE FLUIDOS II – HARDY CROSS
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MÉTODO DE HARDY CROSS PARA LA DETERMINACIÓN DEL REPARTO
DE CAUDALES EN LAS REDES DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA
Hardy Cross, nació en 1885 en Virginia, fue un ingeniero de estructuras y
creador del método de cálculo de estructuras conocido como método de Cross
o método de distribución de momentos, concebido para el cálculo de grandes
estructuras de hormigón armado. Este método fue usado con frecuencia entre
el año 1935 hasta el 1960, cuando fue sustituido por otros métodos. El método
de Cross hizo posible el diseño eficiente y seguro de un gran número de
construcciones de hormigón armado durante una generación entera.
Además también es el autor del método de Hardy Cross para modelar redes
complejas de abastecimiento de agua. Hasta las últimas décadas era el método
más usual para resolver una gran cantidad de problemas.
HARDY CROSS

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PRIMEROS AÑO DE HARDY CROSS
Obtuvo el título de Bachillerato de Ciencia en ingeniería civil del Instituto de
Tecnología de Massachusetts en 1908, y después ingresó en el departamento
de puentes de los Ferrocarriles del Pacífico de Missouri en St. Louis, donde
permaneció durante un año. Después volvió a la academia de Norfolk en 1909.
Un año después de su graduación estudió en Harvard donde obtuvo el título de
MCE en 1911. Hardy Cross desarrolló el método de distribución de momentos
mientras trabajaba en la universidad de Harvard. Luego trabajó como profesor
asistente de ingeniería civil en la universidad de Brown, donde enseñó durante
7 años. Después de un breve regreso a la práctica de ingeniería en general,
aceptó un puesto como profesor de ingeniería estructural en la Universidad de
Illinois en Urbana-Champaign en 1921. En la Universidad de Illinois Hardy
Cross desarrollo su método de distribución de momentos e influyó en muchos
jóvenes ingenieros civiles. Sus estudiantes en Illinois tuvieron con él un duro
momento argumentando porque él era difícil de escuchar.
MÉTODO DE CROSSPARA REDES DE AGUA
Otro método de Hardy Cross es famoso por modelar flujos de Red de
abastecimiento de agua potable. Hasta décadas recientes, fue el método más
común para resolver tales problemas.
El recibió numerosos honores. Entre ellos tuvo un grado Honorario de Maestro
de Artes de la Universidad Yale , la medalla Lamme de la Sociedad Americana
para Educación en Ingeniería (1944), la medalla Wason del Instituto Americano
del Concreto (1935), y la medalla de oro del Instituto de Ingenieros
Estructurales de Gran Bretaña (1959).

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MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED
El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el
cumplimiento de dos principios o leyes:
 Ley de continuidad de masa en los nudos;
 Ley de conservación de la energía en los circuitos.
El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida
de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen Williams o,
bien, la ecuación de Darcy Weisbach.
La ecuación de Hazen Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de
diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las
pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de
Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de
rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el
cálculo de las "pérdidas" de energía.
La ecuación de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal,
casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque
involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la
superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a
su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo
en las tuberías.
Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte
de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de
Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un
valor particular, Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales
o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R
y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería
inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una calculadora
sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es
también iterativo, por aproximaciones sucesiva.

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Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no
obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías.
Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en
lenguaje BASIC, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros
de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red
completamente cuantas veces sea conveniente.
FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDYCROSS
El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:
1. Ley de continuidad de masaen los nudos: "La suma algebraica de los
caudales en un nudo debe ser igual a cero"
∑( 𝑄𝑖𝑗 + 𝑞𝑖) = 0
𝑚
𝑗−𝑙
Donde:
Qij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.
qi : Caudal concentrado en el nudo i
m : Número de tramos que confluyen al nudo i.
2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica
de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo
cerrado debe ser igual a cero".
∑ ℎ 𝑓𝑖𝑗 = 0
𝑛
𝑖=𝑙,𝑗=𝑙
Donde:
hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo
n : Número de tramos del circuito i

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CÁLCULO DE REDES DE TUBERÍAS
En esta actividad se va a resolver la red de tuberías mostrada, utilizando el
método Hardy-Cross.
Datos del problema:
 Longitud de cada tramo: 1000 m.
 Diámetro interior de las tuberías: 400 mm.
 Fluido transportado: agua.
 Viscosidad cinemática: 1e-6 m2/s.

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Descripción del método:
1°) = Numerar los tramos de tuberías y asignarles un sentido (esta elección es
arbitraria). Este paso ya se ha hecho en el dibujo.
2°) = Elegir las mallas y un sentido de recorrido (ya hecho en el dibujo).
3°) = Asignar un valor numérico a cada caudal de forma que se cumpla la
conservación de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se
opone al sentido de recorrido de la malla.
4°) = Calcular el coeficiente Ci de cada línea: , donde Ki es el
coeficiente de pérdidas de carga lineales . Se recomienda calcular el
coeficiente de fricción con la fórmula aproximada .
5°) = Calcular la corrección a los caudales de cada malla: .
6°) = Aplicar la corrección de cada malla a los caudales que la componen. En el
caso de que un caudal pertenezca a dos mallas, la corrección de otras mallas
tendrá signo negativo si el recorrido de la malla tiene distinto sentido que en la
primera malla. Esta situación ocurre con la línea 1.
7°) = Repetir la iteración.
2
2
i
i
K
C
A


i
L
K f
D

 
2.5
1.02 logRef


0.5 i i i
i i
C Q Q
Q
C Q
  



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EJERCICIOS
Ejercicio 1:
Desarrollar la expresión empleada en el estudio de de los caudales en redes de
tubería:
Solución:
El método del cálculo, por Hardy Cross consiste en suponer unos caudales en
todas las ramas de la red y a continuación hacer un balance de las pérdidas de
carga calculadas. En el laso o circuito único, mostrado en la figura 10, para que
los caudales en cada laso de la rama sean el correcto se habrá de verificar
Para aplicar esta expresión, la pérdida de carga en función del caudal habrá
que ponerse en la forma, 𝐻 𝐿 = 𝑘𝑄 𝑛
. En el caso de utilizar la formula de Hazen
Williams, la expresión anterior toma la forma 𝐻𝐿 = 𝑘𝑄1.85
.
Como se suponen unos caudales 𝑄0, el caudal verdadero 𝑄 en una tubería
cualquiera de la red puede expresarse 𝑄 = 𝑄0 + ∆, donde ∆ es la corrección
que habrá de aplicarse a 𝑄0. Entonces mediante el desarrollo del binomio,
𝑘𝑄1.85
= 𝑘( 𝑄0 + ∆)1.85
= 𝑘( 𝑄0
1.85
+ 1.85𝑄0
1.85−1
∆ + ⋯ )
Se desprecian los términos a partir del segundo pro ser tan pequeños ∆
comparado con 𝑄0.
Para el laso o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuación (I) se
obtine:
Qo
Qo
A B
CD

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𝑘( 𝑄0
1.85
+ 1.85𝑄0
0.85
∆) − 𝑘( 𝑄0
1.85
+ 1.85𝑄0
0.85
∆) = 0
𝑘( 𝑄0
1.85
+ 1.85𝑄0
1.85) + 1.85𝑘( 𝑄0
0.85
+ 1.85𝑄0
0.85)∆= 0
Despejando ∆.
∆= −
𝑘( 𝑄0
1.85
+ 1.85𝑄0
1.85)
1.85𝑘( 𝑄0
0.85
+ 1.85𝑄0
0.85 )
En general para un circuito más complicado se tiene:
∆= −
∑ 𝑘𝑄0
1.85
1.85∑ 𝑘𝑄0
0.85
… …… (3)
Pero 𝑘𝑄0
1.85
= 𝐻 𝐿 y 𝑘𝑄0
0.85
=
𝐻𝐿
𝑄0
por lo tanto,
∆= −
∑( 𝐻 𝐿)
1.85 ∑ (
𝐻𝐿
𝑄0
)
… …… (4)
Ejercicio 2:
En el sistema de tuberías en paralelo, mostrado en la fig. 2, determinar, para
𝑄 = 456 𝑙 𝑠⁄ , los caudales en los dos ramales del circuito utilizado en el método
de Hardy Cross.
Solución:
Se supone que los caudales 𝑄30 𝑦 𝑄40. Son iguales, respectivamente, a 150 𝑙 𝑠⁄
y 306 𝑙 𝑠⁄ los cálculos se realizan en la tabla que sigue (obsérvese que se ha
puesto 306 𝑙 𝑠⁄ ), procediendo asi se calculan los valores de S mediante el
Diagrama B, o por cualquier otro procedimiento, luego 𝐻𝐿 = 𝑆 ∗ 𝐿 y a
continuación se determinan
𝐻 𝐿
𝑄0
. se notara que cuanto mayor sea ∑ 𝐻 𝐿 más
alejados de los correctos estarán los caudales 𝑄. (los valores de 𝑄 se han
1500m - 30cm D
C1 = 120
900m - 40cm D
C1 = 120
WQ Z Q

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elegido deliberadamente distintos de los correctos para que den lugar a valores
grandes de ∑ 𝐻 𝐿 y así ilustrar en el procedimiento.)
D
cm
L
m
𝑄0
supuesto
𝑙 𝑠⁄
𝐻𝐿
m
𝐻 𝐿
𝑄0
∆ 𝑄1
30
40
1500
900
150
-306
25.5
-14.4
0.170
0.046
-27.8
-27.8
122.2
-333.8
∑ = 456 ∑ = +11.16 0.216 456
∆= −
∑( 𝐻𝐿)
1.85∑ (
𝐻𝐿
𝑄
)
= −
+11.16
1.85(.216)
= −27.8 𝑙 𝑠⁄
Entonces, los valores de 𝑄1 serán (150 − 27.8) = 122.2 𝑙 𝑠⁄ y (−306 − 27.8 =
−333.8) 𝑙 𝑠⁄ . Repitiendo de nuevo el proceso de cálculo:
𝐻𝐿 𝐻𝐿
𝑄1
∆ 𝑄2
16.5
-17.1
0.135
0.051
+3.2
+3.2
125.4
330.6
∑ = +0.6 0.186 456
No es necesario hacer una nueva aproximación ya que el diagrama B no puede
conseguirse una mayor precisión de 3l/s aproximadamente. Teóricamente, HL
deberían ser igual a cero, pero esta condición se obtiene muy raramente.
Se observa que el caudal que fluye por la tubería de 30cm era el 26,4% de
456l/s, es decir, 120.4l/s lo que constituye una comprobación satisfactoria.

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Ejemplo 3.- Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal.
Considerar H C = 100 en todas las tuberías.
Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy
Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es.
1.85
fh KQ
5
1.85 7,866
1,72 10
H
x L
k
C D

Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la
que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia está en los datos
referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso se utilizaría las ecuaciones
correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno
de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido
contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser
al contrario.
Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la
distribución de caudales. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un
signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de
carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo.
Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen
signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1
que debe satisfacer una red. Se obtiene así:

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La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido
arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de continuidad en
cada nudo (en valores absolutos naturalmente).
Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el
cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán
aproximando sucesivamente a la solución final.
CIRCUITO I CIRCUITO II
BN
NM
MB
0,03367
0,02806
MB
CM
MN
NC
0,00969
0,02806
0,00830
Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga f0 h en cada circuito
aplicando la ecuación de descarga.
CIRCUITO I CIRCUITO II
BN
NM
MB
0fh 
+87.23
- 7.16
-56.35
+23.72
CM
MN
NC
0fh 
-57.93
+7.16
+34.23
-16.54
Aplicamos ahora la ecuación
0
0
0
1.85
f
f
h
h
Q


Para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada
ramal. Se obtiene para cada circuito.

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
23.72
6.3
1.85 2.04
Q
x

   
16.54
7.1
1.85 1.26
Q
x
 
 6Q    7Q  
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hF
son los siguientes.
Calculamos nuevamente Q

5.44
1.37
1.85 2.15
Q
x
  
6.12
2.28
1.85 1.42
Q
x

 
 1Q    2Q  
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de hf son
Calculamos ahora nuevamente la corrección Q

0.47
0.12
1.85 2.12
Q
x

  
0.16
0.06
1.85 1.41
Q
x
 
 0Q   0Q 
En consecuencia los caudales son:

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Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.
Obsérvese que la condición 1, Σhf=0 para cada circuito es la expresión de
conceptos básicos del flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I,
debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en
paralelo, tal como se ve a continuación.
Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental.
BM MN BNf f fh h h 
Como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.
Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones
0MC MN NCf f fh h h  
BNC BMCf fh h
La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).
8"
100
0.6
37.83
H
f
D
C
L km
k m
 
 

 
 
2.63 0.54
0.00426 100 8 63.05
194.7
.
Q x x x
Q
s
Valor que está dentro del error aceptado



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TABLA
CALCULOS DEL EJEMPLO 3
K aQ 0fh 0fh Q Q hf fh Q Q hf fh Q
BN
NM
MB
Circuito 1
0,03367
0,02806
0,00692
+70
-20
-130
87,23
-7,16
-56,35 +23,72
-6
-13
-6
+64
-33
-136
+73,91
-18,09
-61,26 -5,44
+1
+3
+1
+65
-30
-135
+76,06
-15,16
-60,43 +0,47
0
0
0
CM
MN
NC
Circuito 2
0,00969
0,02806
0,00830
-110
+20
+90
57,93
+7,16
+34,23 -16,54
+7
+13
+7
-103
+33
+97
-51,29
+18,09
+39,32 +6,12
-2
-3
-2
-105
+30
+95
-53,15
+15,16
+37,83 -0,16
0
0
0
Al aplicar el método de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulación como la aquí presentada, que corresponde al ejemplo 5.9.

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EJEMPLO 4.-
Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de pérdidas de carga
k constante.
Datos:
12 1800k 
23 20000k 
34 1800k 
14 680k 
Resolución
En primer lugar, debe hacerse una suposición de caudales:
Malla I: 12 14 24350 / 650 / 110 /Q l sQ l s Q l s   
Malla II: 23 34 24240 / 760 / 110 /Q l sQ l s Q l s    
En primera iteración será:
Tubería Qi hpi hpi lQi ∆Q1
Malla I
1-2
1-4
2-4
2-3
0.35
-0.65
0.11
0.24
220.5
-287.3
72.6
115.2
630
442
660
4800
-0.0016
Malla II
3-4
2-4
-0.76
-0.1084
-1039.6
-70.5
1368
650.4
-0.03
Ahora se corrigen los caudales con los valores obtenidos Qi. Nótese que el
caudas Q24 en la malla II ya se ha corregido con el valor QI=-0.0016 obtenido
previamente en la malla I. A continuación se repite el proceso:

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Tubería Qi hpi hpi lQi ∆Q1
Malla I
1-2
1-4
2-4
2-3
0.348
-0.652
0.111
0.237
217.9
-289
73.9
112.3
326.4
443.3
666
4740
-0.0008
Malla II
3-4
2-4
-0.763
-0.11
-1047.9
-72.6
1373.4
660 -0.00018
La aproximación es suficiente, por tanto los valores correctos para el caudal
son los siguientes:
3
12 0.3472 /Q m s
3
14 0.6528 /Q m s 
3
23 0.2368 /Q m s 
3
34 0.7632 /Q m s 
3
24 0.1104 /Q m s

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EJEMPLO 5.-
Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del método
de Cross.
Esquema de la red de tuberías del ejemplo.
Los resultados del análisis de la red
Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos métodos, se obtuvieron
los resultados consignados en la figura 3 y la tabla 1.

Tabla1. Datos de la red resultados obtenidos
DATOS INICIALES DE LA RED
C = 125; k = 0.15 mm
METODO DE CROSS-
HAZEN & WILLIAMS
METODO DE CROSS-
DARCY & WEISBACH
Circuito
No.
Tramo Longitud Diámetro Qinicial
No. Circuito
adyacente
QDEF Hf V QDEF hf v
m pulg mm l/s l/s m m/s l/s m m/s
I
1-1 600 16 400 180 0 195.711 3.526 1.557 196.076 3.094 1.560
*1-2 300 12 300 60 2 76.268 1.251 1.079 76.358 1.077 1.080
*1-3 300 8 200 10 3 25.011 1.144 0.796 25.249 1.004 0.804
*1-4 600 12 300 -70 4 -46.509 -1.001 -0.658 -45.841 -0.809 -0.649
1-5 600 16 400 -250 0 -234.289 -4.919 -1.864 -233.924 -4.367 -1.862
å hf = 0.001 å hf = -0.001
II
*2-1 300 12 300 -60 1 -76.268 -1.251 -1.079 -76.358 -1.077 -1.080
2-2 300 12 300 70 0 69.443 1.051 0.982 69.718 0.904 0.986
*2-3 300 8 200 -10 3 -11.257 -0.261 -0.358 -11.109 -0.212 -0.354
2-4 300 12 300 45 0 44.443 0.460 0.629 44.718 0.386 0.633
å hf = -0.001 å hf = -0.001
III *3-1 300 8 200 -10 1 -25.011 -1.144 -0.796 -25.249 -1.004 -0.804

*3-2 300 8 200 10 2 11.257 0.261 0.358 11.109 0.212 0.354
3-3 300 8 200 25 0 25.700 1.203 0.818 25.827 1.049 0.822
*3-4 300 12 300 -45 4 -36.521 -0.320 -0.517 -36.091 -0.257 -0.511
å hf = 0.000 å hf = 0.000
IV
*4-1 600 12 300 70 1 46.509 1.001 0.658 45.841 0.809 0.649
4-2 300 12 300 -80 0 -87.779 -1.622 -1.242 -88.082 -1.420 -1.246
*4-3 300 12 300 45 3 36.521 0.320 0.517 36.091 0.257 0.511
4-4 300 8 200 60 0 52.221 4.469 1.662 51.918 4.050 1.653
4-5 900 8 200 -20 0 -27.779 -4.168 -0.884 -28.082 -3.695 -0.894
å hf = 0.000 å hf = -0.001
* Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultáneamente.

CONCLUSIONES
 Si bien la ecuación de Hazen & Williams es muy práctica en el
cálculo de las pérdidas de carga en tuberías, deja también un poco
de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C,
permanece constante, aún con las variaciones del caudal y del
número de Reynolds.
 Como consecuencia de lo anterior, las "pérdidas" de energía por
fricción, hf, serán sobreestimadas en comparación con las calculadas
con la ecuación de Darcy Weisbach.
 Así mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada
con el Método de Cross y la ecuación de Hazen & Williams,
conduciría a la especificación de diámetros mayores que los que se
obtendrían si se aplicara el mismo método con la ecuación de Darcy
& Weisbach. Ello se comprobaría cuando, de cumplir requerimientos
de cargas de presión mínima y máxima, se trata.
RECOMENDACIONES
 Se recomienda la difusión y el uso más generalizado del Método de
Cross con la ecuación de Darcy Weisbach, en conjunción con la
ecuación de Colebrook White.
 Es más confiable un valor de k que el correspondiente a C.
 El valor del coeficiente de viscosidad cinemática, v, debe introducirse
lo más acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo
más real posible.

BIBLIOGRAFIA
 Mecánica de fluidos II de F Ugarte
 Buscador google
 Mecánica de los fluidos y hidráulica de Ronald V. Giles
 Hidráulica de canales de Arturo Rocha

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