Método Simplex estándar paso a paso

Método Simplex estándar.
1 Introducción
El método Simplex fue creado en 1947 por el matemático-físico George-Dantzing
(1914-2005, Oregón) en el departamento de defensa de los Estados Unidos durante la
segunda guerra mundial. Por el desarrollo del método Simplex y otras contribuciones
Dantzing es considerado como el “padre” de la programación lineal.

El método utiliza un algoritmo iterativo cuyo objetivo es alcanzar la solución
óptima de un problema. Se utiliza, sobre todo para resolver problemas de
programación lineal de gran tamaño. El álgebra matricial y el proceso de
eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales
constituyen la base del método Simplex.

1 Introducción
Problema que resuelve
Dada una función Z de n variables no negativas (X1,X2,…Xn)
sometida a m restricciones con la forma de inecuaciones del
tipo ≤ con la parte derecha no negativa, encontrar el valor óptimo
(máximo o mínimo).

El método Simplex estándar no aborda el problema en el caso de
que las restricciones sean ecuaciones o inecuaciones del tipo ≥,
en ese caso se utilizan versiones modificadas como el método de las
dos fases.

1 Introducción

Solución del problema
El valor óptimo debe encontrarse entre todos los puntos que
satisfacen las m restricciones, a este conjunto de puntos se le
denomina espacio factible.

El punto óptimo se encuentra entre los vértices del espacio
factible.

1 Introducción
Ejemplo:

Función:
Z= 20X+Y Vértices del espacio factible

Restricciones:
i) 20Y+3X≤60
ii) Y+4X≥20
iii) 3Y+X≤15

Área factible

Para problemas grandes es necesario un procedimiento que permita identificar y
evaluar dichos vértices METODO SIMPLEX

1 Forma estándar del problema

Los vértices del espacio factible son intersecciones entre
ecuaciones

Transformar inecuaciones en
ecuaciones
Problema de optimización

¿Cómo convertir inecuaciones en ecuaciones?

Siguiente diapositiva

Método Simplex.
Conversión de las inecuaciones en ecuaciones

Problema
En cada restricción i se introduce
una variable de holgura hi no
negativa sumando a la izquierda

Si la parte de la derecha es
……………………………………………………..
negativa se multiplica toda la
ecuación por -1
Forma estándar del
problema

……………………………………………………..

Método Simplex.
Ejemplo
Convertir las inecuaciones en ecuaciones: Se introducen la variables de holgura:

i) Para convertir una inecuación del tipo ≤ a una ecuación se introduce una
variable de holgura sumando:

Ejemplo: a11X1+a12X2≤b1a11X2+a12X2+h1=b1

Transformar cada ecuación para que su parte de la derecha sea no negativa.

ii) Si inicialmente la parte de la derecha es negativa se multiplica toda la
ecuaciones por -1

Ejemplo: a11X2+a12X2-h1=-b1-a11X2-a12X2+h1=b1

Método Simplex.
1 Análisis de la forma estándar del problema

m ecuaciones con
n+m incógnitas
……………………………………………………..

La solución de un sistema de ecuaciones lineales requiere que
existan el mismo número de ecuaciones que de variables

Las soluciones del problema (vértices del espacio factible), vienen
dadas por:

m variables no n variables nulas
nulas (variables de (variables fuera
base) de base)

El método Simplex recorre los vértices del espacio factible de modo eficiente en
busca del vértice que optimiza la función.

1. Analiza un vértice del espacio factible inicial: Generalmente por simplicidad
analiza el origen.

2. Determina si es el vértice óptimo:
-Si es que Sí: El problema ya está resuelto.
-Si es que no: Determina el camino que parte del vértice, por donde más crece la
función en el caso de que estemos buscando un máximo, determina el camino por
donde más decrece la función en el caso de buscar un mínimo. Lo realiza en dos
pasos: Determinando variable de entrada (3a) y determinando variable de
salida (3b).

4. Determina cual es el nuevo vértice del espacio factible al que se llega por
el camino elegido (que surge con el cambio de base).

5. Se vuelve a realizar el paso 2.
i) Si existe solución óptima, el método Simplex garantiza que se alcanza en un
número finito de iteraciones.
ii) La solución óptima se alcanza independientemente del punto de partida

Problema resuelto
Se propone un problema para explicar el proceso:
Dada la siguiente función:

Z(X, Y) = 3.X + 2.Y donde X≥0 e Y≥0

Sometida las siguientes restricciones:

i) 2.X + Y ≤ 18

ii) 2.X+3.Y ≤ 42

iii) 3.X + Y ≤ 24

Encontrar su máximo

Problema resuelto

Paso previo: Transformar el problema a la forma estándar

Se introducen las variables de holgura h s y d:

Problema Forma estándar del problema

Z(X, Y) = 3.X + 2.Y Z(X, Y) - 3.X + 2.Y = 0

i) 2.X + Y ≤ 18 i) 2.X + Y+ h = 18

ii) 2.X+3.Y ≤ 42 ii) 2.X+3.Y +s= 42

iii) 3.X + Y ≤ 24 iii) 3.X + Y +d= 24

Problema resuelto

Análisis del problema en su forma estándar.

Z(X, Y) - 3.X - 2.Y = 0

i) 2.X + Y+ h = 18
3 ecuaciones (con la parte
ii) 2.X+3.Y +s= 42 derecha no negativa) con 5
incógnitas (X, Y, h, s, d) no
iii) 3.X + Y +d= 24 negativas

Los vértices del espacio factible vendrán dados por:

3 variables de base: variables no nulas
2 variables fuera de base: variables nulas

Problema resuelto
1. Vértice inicial: El origen.

X=0, Y=0 : Por lo tanto X e Y son las variables fuera de base

i) 2.X + Y+ h = 18 i) h = 18

ii) 2.X+3.Y +s= 42 ii) s= 42

iii) 3.X + Y +d= 24 iii) d= 24

h s y d son las variables de base.

Z(X,Y) = 3.(X=0) + 2.(Y=0)+ 0.(h=18)+0.(s=42)+ 0.(d=24) = 0

Problema resuelto
1. Representación del origen en una tabla
Simplex

Base x y h s d V.S
i) 2.X + Y+ h = 18
h 2 1 1 0 0 18
ii) 2.X+3.Y +s= 42 s 2 3 0 1 0 42
iii) 3.X + Y +d= 24 d 3 1 0 0 1 24
Z - 3.X - 2.Y = 0
Z -3 -2 0 0 0 0

En la primera columna aparecen las tres variables de base (en azul) y la
función Z (en rosa). En la ultima columna (en amarillo) los valores de las
variables de base y de la función Z. El resto de columnas (en verde) aparecen
todas las variables del problema

La tabla Simplex está constituida por filas correspondientes a cada restricción
y la última fila donde aparece la función Z- Cx.X-Cy.Y-Ch.h-Cs.s.Cd.d=0

Problema resuelto
2. Cómo saber si el vértice que estamos evaluando es el que optimiza la función:

En el caso del origen:
Z(X,Y) = 3.(X=0) + 2.(Y=0)+ 0.(h=18)+0.(s=42)+ 0.(d=24) = 0

Variables Variables de base
fuera de base

¿Existe un vértice distinto del origen, en el cual, el valor de la función Z
pueda alcanzar un valor mayor?
O dicho de otro modo…
¿Existe un variable fuera de base, tal que al entrar a formar parte de la base en
sustitución de otra, pueda aumentar el valor de la función Z?

Cualquiera con coeficiente Ci positivo (en la tabla simplex cualquiera con –Ci
negativo)



i) Si el objetivo es encontrar el máximo:
El vértice que estamos evaluando no será un máximo
si existen variables fuera de base con coeficientes Ci
positivos (en la fila de la función Z en la tabla simplex,
-Ci negativos).

ii) Si el objetivo es encontrar el mínimo:
El vértice que estamos evaluando no será el mínimo si
en existen variables fuera de base con coeficientes Ci
negativos (en la fila de la función Z en la tabla simplex,
-Ci positivos).

Problema resuelto

En nuestro caso, en la fila de la función Z las variables X e Y tienen
coeficientes –Ci negativos, luego el origen no es el máximo de la
función.

Base x y h s d V.S
h 2 1 1 0 0 18
s 2 3 0 1 0 42
d 3 1 0 0 1 24
Z -3 -2 0 0 0 0

Problema resuelto
3. Determinar el camino por donde más crece ( o decrece) la función:

Si nuestro objetivo es determinar el máximo: Determinar el camino que
parte del vértice actual por donde más crece la función Z.

Si nuestro objetivo es determinar el mínimo: Determinar el camino que
parte del vértice actual por donde más disminuye la función Z.

¿Cómo hacerlo?

3.a Determinando la variable fuera de base
que va a entrar en la base.

3.b Determinando la variable de base que
debe salir de ella

Problema resuelto

3.a Variable que va a entrar en la base:

i) Si el objetivo es calcular el máximo: La variable que entra en la
base es aquella con coeficiente Ci más positivo ( en la tabla
Simplex con coeficiente –Ci más negativo) ya que es la que más va
a hacer crece la función.

ii) Si el objetivo es calcular el mínimo: La variable que entra en la
base es aquella con coeficiente Ci más negativo ( en la tabla
Simplex con coeficiente –Ci más positivo) ya que es la que más va
a hacer disminuir la función.

Problema resuelto
3.a Variable de entrada en el caso del origen:
Z(X,Y) = 3.(X=0) + 2.(Y=0)+ 0.(h=18)+0.(s=42)+ 0.(d=24) = 0

Variables Variables de base
fuera de base

La variable fuera de base que al entrar en ella va a hacer crecer en mayor cantidad
la función Z es la X ya que -3 es el coeficiente -Ci más negativo de la fila de la
función Z en la tabla Simplex.

Base x y h s d V.S
h 2 1 1 0 0 18
s 2 3 0 1 0 42
d 3 1 0 0 1 24
Z -3 -2 0 0 0 0

Problema resuelto

3.b Variable que va a salir de la base:

i) Si el objetivo es calcular el máximo: La variable que sale de la
base es la que más restringe el crecimiento de la función al entrar
la nueva variable de base.

ii) Si el objetivo es calcular el mínimo: La variable que sale de la
base es la que más restringe la disminución de la función al entrar
la nueva variable de base

¿Cómo saber cual es la variable de base que más restringe el
crecimiento o decrecimiento de la función?

A través de los cocientes de
radio

Problema resuelto

El cociente de radio entre una variable de base y la variable de entrada se define como
el cociente entre el valor que toma la variable de base y el coeficiente de la variable de
entrada en la fila de la variable de base

i) Tan sólo tiene significado físico aquellos cocientes de radio positivo
ii) Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho
cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a
cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir con el
método Simplex
iii)Un cociente de radio pequeño significa que la variable de base restringe mucho el
crecimiento que produce la variable de entrada.

Como variable de salida se elige aquella para la cual se obtiene el cociente
de radio positivo más pequeño.

Problema resuelto

En nuestro caso la variable de entrada era la X, por lo tanto los cocientes de
radio son:
h: 18/2=9
S: 42/2=21
d: 24/3=8

Por lo tanto la variable que sale de la base es la d.

Base x y h s d V.S
h 2 1 1 0 0 18
s 2 3 0 1 0 42
d 3 1 0 0 1 24
Z -3 -2 0 0 0 0

Problema resuelto
Una vez determinada la variable de entrada y la variable salida:
4. Calcular el nuevo vértice que surge al cambiar de base:

o lo que es lo mismo, calcular la nueva tabla Simplex:
Definiciones:

Columna pivote: Columna correspondiente a la variable
de entrada

Fila pivote: Fila correspondiente a la variable de salida

Término pivote: Término correspondiente a la
intersección entre columna y fila pivote

En nuestro caso:
Columna pivote : X
Fila Pivote: d
Término pivote: 3

Problema resuelto
4.calcular la nueva tabla Simplex:
En primer lugar se calculan los nuevos coeficientes de la fila pivote:
Cada nuevo coeficiente de la fila pivote es igual al antiguo dividido
para el término pivote.
En nuestro caso:

Base x y h s d V.S
h 2 1 1 0 0 18
s 2 3 0 1 0 42
d 3 1 0 0 1 24
Z -3 -2 0 0 0 0
Nuevos coeficientes de la fila pivote: 3/3=1 , 1/3, 0/3=0, 0/3=0, 1/3, 24/3=8

Problema resuelto
4.calcular la nueva tabla Simplex:

En segundo lugar se calculan el resto de filas:
El nuevo coeficiente ij es el coeficiente antiguo ij menos el producto entre el
coeficiente de la fila i en la columna pivote por el nuevo coeficiente de la
columna j en la fila pivote.

Base x y h s d V.S
h 2 1 1 0 0 18
s 2 3 0 1 0 42
X 1 1/3 0 0 1/3 8
Z -3 -2 0 0 0 0
fila h: 2-(2x1)=0, 1-(2x1/3)=1/3, 1-(2x0)=1, 0-(2x0)=0, 0-(2x1/3)=-2/3 18-(2x8)=3
fila s: 2-(2x1)=0, 3-(2x1/3)=7/3, 0-(2x0)=0, 1-(2x0)=1, 0-(2x1/3)=-2/3 42-(2x8)=26
fila Z: -3-(-3x1)=0, -2-(-3x1/3)=-1, 0-(-3x0)=0, 0-(-3x0)=0, 0-(-3x1/3)=1 0-(-3x8)=24

Problema resuelto
La nueva tabla Simplex es:

Base x y h s d V.S
h 0 1/3 1 0 -2/3 2
s 0 7/3 0 1 -2/3 26
X 1 1/3 0 0 1/3 8
Z 0 -1 0 0 1 24
El nuevo vértice es: (X=1, Y=0), donde la función Z adquiere el valor
Z=24

Observamos que existen en la fila de la función variables fuera de
base con coeficientes -Ci negativos, de modo que este vértice no es el
que optimiza la función.
Dado que no se ha encontrado el vértice que optimiza la función, se
vuelve a repetir el proceso: Iteración 2

Problema resuelto
Iteración II:

Base x y h s d V.S
h 0 1/3 1 0 -2/3 2
s 0 7/3 0 1 -2/3 26
X 1 1/3 0 0 1/3 8
Z 0 -1 0 0 1 24

Variable de entrada: Y
Cocientes de radio: h/Y=2//1/3)=6, s/Y=26/(7/3)=78/7, X/Y=8/(1/3)=24
Variable de salida: h
Columna Pivote: Y, Fila pivote: h Coeficiente Pivote: 1/3

Problema resuelto
Iteración II:

Nuevos coeficientes de la fila pivote:
0/(1/3)=0, (1/3)/(1/3)=1, 1/(1/3)=3, 0/(1/3)=0, (-2/3)/(1/3)=-2, 2/(1/3)=6

Nuevos coeficientes de la fila s:
0-(7/3x0)=0, 7/3-(7/3x1)=0, 0-(7/3x3)=-7, 1-(7/3x0)=1, -2/3+(7/3x2)=4, 26-(7/3x6)=12

Nuevos coeficientes de la fila X:
1-(1/3x0)1; 1/3-(1/3x1)=0; 0-(1/3x3)=-1; 0-(1/3x0)=0; 1/3+(1/3x2)=1; 8-(1/3x6)=6

Nuevos coeficientes de la fila Z:
0+(1x0)=0; -1+(1x1)=0; 0+(1x3)=3; 0+(1x0)=0; 1-(1x2)=-1; 24+(1x6)=30

Problema resuelto
Tabla Simplex 3:

Base x y h s d V.S
Y 0 1 3 0 -2 6
s 0 0 -7 1 4 12
X 1 1/3 0 0 1/3 8
Z 0 0 3 0 -1 30

Vértice (X=6,Y=6), Z=30. No es el óptimo ya que existen coeficientes
en la fila Z negativos.

Problema resuelto
Iteración 3

Base x y h s d V.S
Y 0 1 3 0 -2 6
s 0 0 -7 1 4 12
X 1 1/3 0 0 1/3 8
Z 0 0 3 0 -1 30

Variable de entrada: d
Cocientes de radio: Y/d=6/(-2) (no tiene significado físico), s/d=12/4=3, X/d=6/1=6
Variable de salida: s
Columna Pivote: d, Fila pivote: s Coeficiente Pivote: 4

Problema resuelto
Iteración 3

Nuevos coeficientes de la fila pivote:
0/4=0; 0/4=0; -7/4; 1/4; 4/4=1; 12/4=3

Nuevos coeficientes de la fila Y:
0+(2x0)=0; 1+(2x0)=1; 3-(2x7/4)=-1/2; 0+(2x1/4)=1/2; -2+(2x1)=0; 6+(2x3)=12

Nuevos coeficientes de la fila X:
1-(1x0)=1; 0-(1x0)=0; -1+(1x7/4)=3/4; 0-(1x1/4)=-1/4; 1-(1x1)=0; 6-(1x6)=0

Nuevos coeficientes de la fila Z:
0+(1x0)=0; 0+(1x0)=0; 3-(1x7/4)=5/4; 0+(1x1/4)=1/4; -1+(1x1)=0; 30+(1x3)=33

Problema resuelto
Tabla Simplex 4

Base x y h s d V.S
Y 0 1 -1/2 1/2 0 12
d 0 0 -7/4 1/4 1 3
X 1 0 3/4 -1/4 0 3
Z 0 0 5/4 1/4 0 33

Observamos que en la fila de la función no existen coeficientes –Ci
negativos luego el vértice (X=3, Y=12) la función alcanza su valor máximo,
Z=33

Problema resuelto
Interpretación de los pasos
Tabla Simplex I
V.S 14 Z(3,12)=33
x y h s d .
12
1 h 2 1 1 0 0 18 3
10
s 2 3 0 1 0 42
8
d 3 1 0 0 1 24 Z(6,6)=30

Y
Z -3 -2 0 0 0 0 6

Tabla Simplex II 4 2
2
1 Z(8,0)=24
x y h s d V.S. 0
0 2 4 6 8 10
h 0 1/3 1 0 -2/3 2
s 0 7/3 0 1 -2/3 26 X
2 Z(0,0)=0
x 1 1/3 0 0 1/3 28
Z 0 -1 0 0 1 24

Tabla Simplex III Tabla Simplex IV
x y h s d V.S. x y h s d V.S.
3 y 0 1 -1/2 1/2 0 12
y 0 1 3 0 -2 6
s 0 0 -7 1 4 12 d 0 0 -7/4 1/4 1 3
x 1 0 -1 0 1 6 x 1 0 3/4 -1/4 0 3
Z 0 0 3 0 -1 30 Z 0 0 5/4 1/4 0 33


Bibliografía

Libros:

Métodos cuantitativos. Eduardo Vicens Salort y Angel
Ortiz Bas.

Métodos y modelos de investigación de operaciones.
Juan Prawda Witenberg .

Web:

www.programaciónlineal.net

www.investigación_operaciones.com

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