Explicación entres soluciones básicas y soluciones básicas factibles

1. Soluciones Factibles
y Soluciones
básicas factibles
Investigación de Operaciones
2017

2. Contenido
• Variables de Holgura
• Variables de Exceso
• Forma estándar
• Forma matricial
• Variables básicas y no básicas
• Forma Base
• Solución Básica
• Solución Básica Factible
• Variable de entrada y de salida

3. Variable de Holgura
Cuando se tiene una restricción en forma
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏1
Se convierte en igualdad sumando una variable llamada de
holgura:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑠1 = 𝑏1
Representa la cantidad que falta para llegar a la igualdad y debe
ser ≥ 0.
Ejemplo:
4𝑥1 + 6𝑥2 ≤100
Se vuelve igualdad:
4𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑠1 = 100

4. Variable de Exceso
Cuando se tiene una restricción en forma
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 ≥ 𝑏1
Se convierte en igualdad restando una variable llamada de
exceso:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 − 𝑠1 = 𝑏1
Representa la cantidad que se sobrepasa la igualdad y debe ser
≥ 0.
Ejemplo:
4𝑥1 + 6𝑥2 ≥100
Se vuelve igualdad:
4𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑠1 = 100

5. Forma Estándar
Ejemplo:
Se agregan
variables de
holgura
Se agregan
variables de
exceso
Forma
Estándar
Cuando todas las restricciones del modelo original se convierten
en igualdad se llama forma estándar
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 5𝑥2
4𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 10
5𝑥1 + 𝑥2 ≥ 15
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Modelo original
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 5𝑥2
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠1 = 10
5𝑥1 + 𝑥2 − 𝑠2 = 15
𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2 ≥ 0
Forma estándar
Estas
variables
no
aparecen
en la fo

6. Forma matricial
El modelo en forma matricial es:
0
,
1
1







j
ij
n
j
ij
n
j
jj
x
miibxa
xCZMax
Max z=cx
Ax≤b
x≥0
c: vector de coeficientes de
costo
A: matriz de coeficientes
tecnológicos
b: vector de recursos
x: vector de variables

7. Forma matricial
El modelo en forma matricial en forma estándar es:
0
,
1
1







j
iij
n
j
ij
n
j
jj
x
miibsxa
xCZMax Max z=(c,0)
𝑥
𝑠
(A, I)
𝑥
𝑠
=b
𝑥
𝑠
≥0
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 12
−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠2 = 0
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑠3 = 30
𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 ≥ 0
Ejemplo:
Max z= (2 3 0 0 0)
𝑥1
𝑥2
𝑠1
𝑠2
𝑠3
1 1 1 0 0
−2 1 0 1 0
1 3 0 0 1
𝑥1
𝑥2
𝑠1
𝑠2
𝑠3
=
12
0
30
𝑥1
𝑥2
𝑠1
𝑠2
𝑠3
≥0

8. Variables básicas y no básicas
Si un modelo tiene n variables y m restricciones donde n ≥ m,
para encontrar un solución se deben darle valores de cero a n-
m variables y resolver el sistema que será cuadrado mxm.
Variables básicas
Se tendrán m variables
básicas
Son las que se utilizan para
resolver el sistema de
ecuaciones. Generalmente
son mayores iguales a 0
Variables no
básicas
Se tendrán n-m variables no
básicas
Son variables que valen 0
en una solución del
problema.

9. Variables básicas y no básicas
Ejemplo:
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 12
−2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 0
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 30
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Modelo original
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 12
−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠2 = 0
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑠3 = 30
𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 ≥ 0
Forma Estándar

10. Variables básicas y no básicas
Ejemplo:
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 12
−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠2 = 0
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑠3 = 30
𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 ≥ 0
Forma Estándar
Este problema tiene 5 (n)
variables y tres (m)
restricciones. Por tanto
tendrá n-m v. no básicas
(con valor de cero) y m
variables básicas. 2 no
básicas y 3 básicas
Analicemos
los puntos
extremos en
rojo
La gráfica es:

11. Variables básicas y no básicas
Ejemplo:
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 12
−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠2 = 0
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑠3 = 30
𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 ≥ 0
Punto 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒔 𝟏 𝒔 𝟐 𝒔 𝟑 z
O 0 0 12 0 30 0
A 0 12 0 -12 -6 36
B 12 0 0 12 18 24
C 4 8 0 0 10 32
D 3 9 0 -3 0 33
E 30/7 60/7 -6/7 0 0 240/7
F 0 10 2 -10 0 30
g 30 0 -18 60 0 60

12. Variables básicas y no básicas
Punto 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒔 𝟏 𝒔 𝟐 𝒔 𝟑 z V. B. V. No B.
O 0 0 12 0 30 0 s1, s2, s3 x1, x2
A 0 12 0 -12 -6 36 x2, s2, s3 x1, s1
B 12 0 0 12 18 24 x1, s2, s3 x2,s1
C 4 8 0 0 10 32 x1, x2, s3 s2,s1
D 3 9 0 -3 0 33 x1, x2, s2 s3, s1
E 30/7 60/7 -6/7 0 0 240/7 x1, x2, s1 s3, s2
F 0 10 2 -10 0 30 s2, x2, s1 s3,x1
G 30 0 -18 60 0 60 s2, x1, s1 s3, x2
Para identificar en cada solución las variables básicas y no básicas
se consideran los valores.

13. Variables básicas y no básicas
Para el punto O se puede observar que hay tres valores iguales a
cero, y que hay una variable básica que vale 0 (S2) a esta variable
se le llama variable degenerada y por tanto la solución es
degenerada.
Gráficamente indica
que más de dos rectas
pasan por el mismo
punto

14. Forma Base
Cuando se eliminan las variables no básicas(valen cero) en una solución queda
un sistema:
𝐵𝑥 𝐵 = 𝑏
donde B se conoce como la matriz base de m x m.
La matriz base debe ser
linealmente
independiente, es
decir, que su
determinante es ≠0 y su
inversa existe 𝐵−1
𝑥 𝐵 es vector columna de
variables básicas con m
componentes. Se busca 𝑥 𝐵:
𝐵𝑥 𝐵 = 𝑏
𝐵−1 𝐵𝑥 𝐵 = 𝐵−1 𝑏
𝑥 𝐵 = 𝐵−1 𝑏
Para encontrar z será:
Z=𝑐 𝐵 𝑥 𝐵
donde 𝑐 𝐵 es un vector renglón con los
coeficientes de las variables básicas de 𝑥 𝐵

15. Forma Base
Ejemplo:
Supongamos la solución O (origen) y forma matricial:
Max z= (2 3 0 0 0)
𝑥1
𝑥2
𝑠1
𝑠2
𝑠3
1 1 1 0 0
−2 1 0 1 0
1 3 0 0 1
𝑥1
𝑥2
𝑠1
𝑠2
𝑠3
=
12
0
30
𝑥1
𝑥2
𝑠1
𝑠2
𝑠3
≥0
Para tener B, eliminamos 𝑥1, 𝑥2
(variables no básicas) de la forma
matricial, B y 𝑥 𝐵 son:
B=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑥 𝐵 =
𝑠1
𝑠2
𝑠3

16. Forma Base
Ejemplo:
Sabemos que 𝑐 𝐵 = 0 0 0 de la fo en la
forma matricial de las variables básicas.
Para encontrar z será:
z=𝑐 𝐵 𝑥 𝐵
z= 0 0 0
12
0
30
=0
Para encontrar 𝑥 𝐵 = 𝐵−1
𝑏:
En este caso 𝐵−1 es muy sencillo ya que B es la matriz identidad por tanto la
inversa sigue siendo la identidad. Para otra solución será necesario encontrar la
matriz inversa para encontrar la solución.
𝐵−1=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑥 𝐵 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
12
0
30
=
12
0
30

17. Solución Básica
Una solución es básica si cumple con tener al menos n-m variables
igual a cero.
En este caso
todos los puntos
de intersección
ya sea entre
rectas o con los
ejes son
soluciones
básicas
gráficamente.
No es necesario
que las variables
sean mayores
iguales a cero.

18. Solución Básica Factible
Una solución básica factible es una solución básica con todas las
variables mayores iguales a 0.
Gráficamente
se esta
hablando de
los puntos
extremos de la
región factible
Tendrá al menos n-m
variables igual a cero y
todas serán mayores
iguales a cero

19. Solución Básica Factible
Punto 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒔 𝟏 𝒔 𝟐 𝒔 𝟑 z Factible No
Factible
O 0 0 12 0 30 0 
A 0 12 0 -12 -6 36 
B 12 0 0 12 18 24 
C 4 8 0 0 10 32 
D 3 9 0 -3 0 33 
E 30/7 60/7 -6/7 0 0 240/7 
F 0 10 2 -10 0 30 
G 30 0 -18 60 0 60
Ejemplo: Todas las soluciones son básicas. Sin embargo unas son
factibles y las otras no(no es factible cuando hay valores negativos):

20. Variable de Entrada y Salida
Variable de
entrada
• Una variable no
básica en una
solución factible
• En la siguiente
solución factible
adyacente es
variable básica.
Variable de salida
• Una variable
básica en una
solución factible.
• En la siguiente
solución factible
adyacente es no
básica.

21. Variable de Entrada y Salida
Ejemplo: Si nos quedamos con las soluciones básicas factibles:
Punto 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒔 𝟏 𝒔 𝟐 𝒔 𝟑 z V. B. V. No
B.
O 0 0 12 0 30 0 s1, x2, s3 x1, s2
B 12 0 0 12 18 24 x1, s2, s3 s1,x2
C 4 8 0 0 10 32 x1, x2, s3 s1,s2
Punto V. E. V. S.
O x1 s1
B x2 s2

22. Referencias
 Hadley, G., Linear programming, Addison Wesley, E.U.A., 1988
 Hillier y Lieberman, Investigación de operaciones, McGraw Hill,
México, 2002
 Moskowitz y Wright, Investigación de operaciones, Prentice Hall,
México, 1985
 Prawda, W., Métodos y modelos de ínvestigación de operaciones,
Vol. 1 Modelos determinísticos, Limusa, México, 1991
 Simonnard, M., Programación lineal, Paraninfo, México, 1978
 Taha, H., Investigación de operaciones, una introducción, Pearson,
México, 1998
 Bazaraa y Jarvis, Programación lineal y flujo en redes, Limusa,
México, 1998
 Mckeown, D., Modelos cuantitativos para administración,
Iberoamérica, México, 1995
 Winston, W., Investigación de Operaciones, Thomson, México, 2005