1) El método Simplex estándar fue creado por George Dantzing en 1947 para resolver problemas de programación lineal. 2) El método Simplex transforma las restricciones en ecuaciones para determinar los vértices del espacio factible donde se encuentra la solución óptima. 3) El método evalúa los vértices de forma iterativa hasta encontrar el que optimiza la función objetivo.

1. Método Simplex estándar
José Alberto Lorda Abadías
1. Introducción
El método Simplex estándar fue creado en 1947 por el matemático-físico George-
Dantzing (1914-2005, Oregón) en el departamento de defensa de los Estados Unidos
durante la segunda guerra mundial. Por el desarrollo del método Simplex y otras
contribuciones, Dantzing es considerado como el “padre” de la programación lineal.
El método Simplex utiliza un algoritmo iterativo cuyo objetivo es alcanzar
eficientemente la solución óptima de un problema. Garantiza que si una solución óptima
existe, se encuentra en un número finito de iteraciones. Se utiliza, sobre todo para
resolver problemas de programación lineal de gran tamaño. El álgebra matricial y el
proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales
constituyen la base del método Simplex.
2. Problema que soluciona el método Simplex estándar
El método Simplex es capaz de determinar el punto o puntos que optimizan una función
Z constituida por n variables no negativas, y sometida a m restricciones que tienen la
forma de inecuaciones de tipo ≤, con la parte de la derecha no negativa:
(1) Problema a optimizar
Función
= 1 1+ 2 2+⋯
Restricciones:
1) 11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 ≤ 1
2) 21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 ≤ 2
……………………………………………………..
) 1 1+ 2 2 +⋯+ ≤
Nota: El método Simplex estándar tan solo aborda el problema de optimización cuando las
restricciones tienen la forma de una inecuación del tipo ≤. En caso de que las restricciones
tengan la forma de ecuaciones o bien inecuaciones del tipo ≥, se emplean versiones
modificadas del método Simplex tales como el método de las dos fases.
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2. 2.1 Análisis del problema
Al espacio formado por las Xi variables que satisfacen las m restricciones se
denomina espacio factible. Un requisito que debe cumplir el punto que optimiza la
función es que pertenezca a dicho espacio. Se puede demostrar que el punto que
optimiza una función sometida a varias restricciones es justamente uno de los vértices
del espacio factible.
Ejemplo I.
Consideramos una función de dos variables Z=2X+Y sometida a las siguientes
restricciones: i) 20Y+3X≤60, ii) Y+4X≥20, iii) 3Y+X≤15, representando gráficamente
obtenemos la figura (1)
Figura 1. Representación en el espacio X-Y de las tres restricciones, en el caso en el que se
cumple la igualdad: i) 20Y+3X=60, ii) Y+4X=20, iii) 3Y+X=15.
En este ejemplo el espacio del problema es el plano X-Y. El área factible corresponde a la
zona amarilla de la figura, allí todos los puntos contenidos satisfacen las condiciones i)
ii) y iii). Si existe un punto o puntos que optimizan la función Z y que además satisfacen
las condiciones impuestas, dicho punto o puntos son uno de los vértices O, P, Q o R.
En el ejemplo I, tan solo existen 4 vértices del área factible, de modo que encontrar el
punto óptimo no es una tarea demasiado dura. Sin embargo, en problemas grandes con
muchas variables y muchas restricciones, para encontrar el punto óptimo es necesario un
procedimiento que permita identificar y evaluar todos los vértices del área factible, y este
es el objetivo del método Simplex.
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3. 3. Paso previo a la aplicación del método Simplex: Obtener la forma estándar
del problema.
Como se ha indicado en el apartado 2, el punto o puntos que optimizan la función
satisfaciendo al mismo tiempo las restricciones, son uno o varios vértices del espacio
factible. Como estos vértices son en realidad intersecciones entre ecuaciones, para poder
determinar y evaluar dichos vértices el primer paso a realizar es transformar las
inecuaciones en ecuaciones. Por otro lado el método Simplex exige dos condiciones más:
que todas las variables que intervienen en el problema sean no negativas y que la parte
de la derecha de cada ecuación sea no negativa. Cuando el problema inicial adopta la
forma en la cual se satisfacen estas tres condiciones se dice que el problema ha adquirido
su forma estándar. Veamos ahora cuales son las transformaciones que se deben aplicar
para conseguir que el problemas adopte la forma estándar.
i) Para convertir una inecuación del tipo ≤ a una ecuación, se introduce una
variable de holgura hi no negativa sumando en la parte de la izquierda:
: 11 1 + 12 2 ≤ 1 → 11 1 + 12 2 + ℎ1 = 1
ii) En el caso en que la parte de la derecha de la ecuación sea negativa, se
multiplica toda la ecuación por -1:
: 11 1 + 12 2 + ℎ1 = − 1 → − 11 1 − 12 2 − ℎ1 = 1
Realizando estas transformaciones en cada una de las m restricciones obtenemos un
sistema de m ecuaciones lineales (cada una con la parte de la derecha no negativa) con
n+m variables no negativas.
(2) Forma estándar del problema
11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 + ℎ1 = 1
21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 + ℎ2 = 2
……………………………………………………..
1 1+ 2 2 +⋯+ +ℎ =
− 1 1 − 2 2 − ⋯− =0
3.1 Análisis del problema en su forma estándar.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales requiere que el número de variables sea
igual al número de ecuaciones, por lo tanto los vértices del espacio factible están
constituidos por m variables no nulas, denominadas variables de base y n variables nulas
que son las variables fuera de base.
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4. 4. Aplicación del método Simplex
Una vez que el problema ha adoptado su forma estándar se aplica el método Simplex.
Explicamos brevemente cómo el método Simplex busca el vértice que optimiza la
función: En primer lugar evalúa un vértice inicial, generalmente el origen (X1=0,
X2=0,…Xn=0). Después determina si este vértice es el que optimiza la función, si resulta
que sí, nuestro problema ya está resuelto, si resulta que no, el método simplex salta a
uno de los vértices vecinos, en concreto al que más hace crecer o disminuir el valor la
función (según estemos tratando de determinar el máximo o el mínimo), y vuelve a
determinar si éste es el vértice que optimiza la función, de modo que se repite este
proceso sucesivamente hasta que se alcanza la solución. En los siguientes apartados se
explican detalladamente cada uno de los pasos.
4.1 Vértice de partida.
El método Simplex comienza evaluando el vértice más sencillo de la zona factible: el
origen. El origen viene dado por:
X1=X2=…=Xn=0, como son todas ellas nulas, estas son las variables fuera de base, si nos
fijamos en (2), las variables de holgura toman los siguientes valores: h1=b1, h2=b2,…,
hm=bm. Por lo tanto para el origen las variables de base son justamente las variables de
holgura.
El valor que adquiere la función es:
Z=C1.0+C2.0+…+Cn.0+0.h1+0.h2+…+0.hm=0
4.2 Representación Simplex
El método Simplex representa el análisis de la función Z para cada vértice en las
denominadas tablas simplex. En la figura (2) está representado el análisis para el vértice
inicial (el origen). En la primera columna aparecen las variables de base (en azul) y la
función Z (en rosa), en la última columna (en amarillo) aparece el valor que toman las
variables de base y la función Z en dicho vértice. En el resto de columnas (en verde)
aparecen todas las variables del problema. La tabla está constituida por m filas, una para
cada restricción. En cada fila aparecen los coeficientes aij que acompañan a cada
variable. En la última fila aparece la función Z-C1.X1-C2.X2-…-Cn.Xn-o.h1-0.h2-…-0.hm.
Tabla Simplex inicial
Base X1 X2 … Xn h1 h2 … hm Valor de Solución
h1 a11 a12 … a1n 1 0 … 0 b1
h2 a21 a22 … a2n 0 1 … 0 b2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
hm am1 am2 … amn 0 0 … 1 bm
Z -c1 -c2 … -cn 0 0 … 0 0
Figura 2. Tabla Simplex del Vértice de partida: El origen.
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5. Nota: Los coeficientes que acompañan a las variables h1,h2,…hm son, los aij cero o uno, a
lo largo de todas las filas de las restricciones y los Ci todos cero a lo largo de la fila de la
función Z. Esto es así porque estamos evaluando justamente el origen. En general estas
casillas podrán tomar distintos valores positivos o negativos según el vértice que se esté
evaluando en cada momento.
4.3 Cómo saber si el vértice que estamos evaluando da lugar al valor óptimo.
Analizamos en primer lugar el caso del origen y suponemos que nuestro propósito es
buscar el vértice que maximiza la función Z. En el origen, la base está constituida por el
conjunto de variables h1, h2, ...,hm. El valor que toma la función Z en esta base es:
Z= 0.(h1=b1)+0.(h2=b2)+...+0.(hm=bm) + C1.(X1=0)+C2.(X2=0)+…+Cn.(Xn=0) =0
Variables de base (variables no nulas) Variables fuera de base (variables nulas)
Nos preguntamos ahora si existe un vértice distinto del origen, en el cual, el valor de la
función Z pueda alcanzar un valor mayor, o dicho de otro modo, ¿Existe un variable tal
que al entrar a formar parte de la base en sustitución de otra, pueda aumentar el valor de
la función Z?
Contestar a esta pregunta es fácil, la respuesta es, cualquiera con coeficiente Ci
positivo(en la tabla Simplex, cualquiera con valor –Ci negativo). Por otro lado si resulta
que no hay ninguna variable fuera de base cuyo coeficiente Ci sea positivo (en la tabla
Simplex –Ci negativo), quiere decir que no existe ninguna variable fuera de base tal que
al entrar a formar parte de ella pueda incrementar el valor de la función Z, y por lo tanto
en ese caso se habrá alcanzado la solución óptima y el problema habrá llegado a su fin. Si
esto sucediera por ejemplo en el vértice origen, diríamos que en el punto
X1=0,X2=0,…,Xn=0 se alcanza el valor máximo de la función Z, que es Z=0.
En el caso de que nuestro propósito sea minimizar la función, sucede lo contrario. El
valor de la función Z podrá ser menor siempre que exista una variable fuera de base cuyo
coeficiente Ci sea negativo (en la tabla Simplex -Ci positivo). El vértice para el cual la
función alcanza su valor mínimo es aquel en el que no existen variables fuera de base con
coeficiente Ci en la fila de la función negativo (en la tabla Simlex –Ci positivo).
4.4 Variable de entrada
El método Simplex trata de alcanzar el valor óptimo de una función por el camino
más eficiente posible, para ello cuando se verifica que el vértice actual que se está
evaluando no es el que optimiza la función, se busca el camino que parte de este por
donde más crece la función en el caso de buscar el máximo, o por donde más decrece en
el caso de buscar el mínimo. Ello se hace en dos pasos, determinando la variable de
entrada a la base y la de salida. La variable fuera de base que al entrar a formar parte de
ella va a hacer aumentar en mayor cantidad el valor de la función, es aquella con
coeficiente Ci más positivo (en la tabla Simplex con coeficiente –Ci más negativo). Y por
otro lado, la que va a hacer disminuir la función en mayor cantidad es la de coeficiente Ci
más negativo (en la tabla Simplex con coeficiente –Ci más positivo). Por lo tanto el
criterio del método Simplex para elegir la variable de entrada es:
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6. Para la búsqueda de un máximo: Variable con coeficiente –Ci más negativo.
Para la búsqueda de un mínimo: Variable con coeficiente –Ci más positivo.
Ejemplo: Consideramos que tratamos de encontrar el máximo de una función Z(X1,X2)
sometida a tres restricciones. Previamente se han introducido las variables de holgura
X3, X4 y X5. Nos imaginamos que la siguiente tabla Simplex corresponde al análisis de un
determinado vértice de la zona factible.
Tabla Simplex
Base x1 x2 x3 x4 x5 solución
x3 2 1 2 1 0 30
x4 5 4 5 4 10 15
x5 7 5 1 0 0 47
Z -3 -1 0 1 2 45
En esta tabla Simplex, las variables X1 y X2 están fuera de base por lo tanto su valor es
X1=0 y X2=0, es decir se está evaluando el origen. El valor que toma la función Z en el
origen es Z=45.
Como podemos observar en la fila de la función Z aparecen coeficientes negativos, por lo
tanto el vértice que estamos analizando no es el óptimo. Esto quiere decir que existe un
vértice vecino para el cual el valor de la función Z crece. Para pasar a evaluar al vértice
vecino para el cual la función Z crece en la mayor cantidad posible debemos elegir en
primer lugar como variable de entrada X1, ya que –C1=-3 es el coeficiente más negativo de
la fila de la función.
4.5 Variable de salida
El criterio que sigue el método Simplex para determinar la variable que debe salir de
la base, es elegir aquella que más restringe el crecimiento o disminución de la función Z
cuando entra la nueva variable a la base. Esto se puede determinar de forma sencilla
mediante el cociente de radio. El cociente de radio entre una variable de base y la
variable de entrada se define como el cociente entre el valor que toma la variable de base
y el coeficiente de la variable de entrada en la fila de la variable de base. Tan sólo tiene
significado físico aquellos cocientes de radio positivo. Si hubiese algún elemento menor o
igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen
menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede
seguir con el método Simplex. Un cociente de radio pequeño significa que la variable de
base restringe mucho el crecimiento que produce la variable de entrada. Por ello como
variable de salida se elige aquella para la cual se obtiene el cociente de radio positivo más
pequeño.
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7. Ejemplo: Consideramos de nuevo el caso del ejemplo anterior en el que ya habíamos
visto que la variable de entrada era X1.
Tabla Simplex
Base x1 x2 x3 x4 x5 solución
x3 2 1 2 1 0 30
x4 5 4 5 4 10 15
x5 7 5 1 0 0 49
Z -3 -1 0 1 2 45
Para determinar cuál es la variable que sale de la base calculamos los cocientes de radio:
X3:X1 30/2=15
X4:X1 15/5=3
X5:X1 49/7=7
Como el cociente de radio más pequeño es el de la variable X4, esta será la variable de
salida.
4.6 Cálculo de la nueva tabla Simplex
En el ejemplo anterior, se mostraba la tabla Simplex correspondiente al análisis de
un vértice del espacio factible. Se vio que en dicho vértice la función no alcanzaba su
valor óptimo, así que el siguiente paso a dar es determinar cuál es el vértice vecino en el
que la función Z crece en mayor cantidad. Para ello en primer lugar se determina la
nueva base del espacio factible, determinando cual es la variable de entrada (vimos que
era X1) y cuál la de salida (ya vimos que era X4). Una vez hecho esto se recalcula la
nueva tabla Simplex que surge al pasar de la base formada por (X3, X4, X5) a la base
formada por (X3, X1, X5). La nueva tabla Simplex nos dará el nuevo vértice y el valor que
adquiere la función Z.
Antes de calcular la nueva tabla Simplex, se definen los siguientes elementos: Se define la
columna y la fila pivote como la columna de la variable de entrada y la fila de la variable
de salida respectivamente. Y se define el término pivote como la intersección entre la
columna y la fila pivote. Una vez realizadas estas definiciones se procede a calcular la
nueva tabla Simplex.
En primer lugar se calculan los nuevos coeficientes de la fila pivote. Cada nuevo
coeficiente de la fila pivote es igual al antiguo dividido para el término pivote.
Ejemplo
El término pivote es la intersección de la columna y la fila pivote, X1 y X4
respectivamente, por lo tanto el término pivote es igual a 5.
7

8. Tabla Simplex
Base x1 x2 x3 x4 x5 solución
x3 2 1 2 1 0 30
x4 5 4 5 4 10 15
x5 7 5 1 0 0 49
Z -3 -1 0 1 2 45
Los nuevos coeficientes de la fila pivote son: 5/5=1; 4/5; 5/5=1; 4/5; 10/5=2 y 15/5=3.
En la siguiente tabla aparecen los nuevos coeficientes de la fila pivote y el resto de filas
con sus coeficientes antiguos:
Tabla Simplex
Base x1 x2 x3 x4 x5 solución
x3 2 1 2 1 0 30
X1 1 4/5 1 4/5 2 3
x5 7 5 1 0 0 49
Z -3 -1 0 1 2 45
Tras calcular los nuevos coeficientes de la fila pivote se recalculamos los coeficientes en
el resto de filas. El nuevo coeficiente ij es el coeficiente antiguo ij menos el producto
entre el coeficiente de la fila i en la columna pivote por el nuevo coeficiente de la
columna j en la fila pivote.
Ejemplo:
Nuevos Coeficientes de la fila X3:
2-(2.1)=0; 1-(2.(4/5))=-3/5; 2-(2.1)=0; 1-(2.(4/5))=-3/5; 0-(2.2)=-4; 30-(2.3)=24
Nuevos Coeficientes de la fila X5:
7-(7.1)=0; 5-(7.(4/5))=-3/5; 1-(7.1)=-6; 0-(7.(4/5))=-28/5; 0-(7.2)=-14; 49-(7.3)=28
Nuevos Coeficientes de la fila Z:
-3+(3.1)=0; -1+(3.(4/5))=7/5; 0+(3.1)=3; 1+(3.(4/5))=17/5; 2+(3.2)=8; 45+(3.3)=54
La nueva tabla Simplex es:
Tabla Simplex
Base x1 x2 x3 x4 x5 solución
x3 0 -3/5 0 -3/5 -4 24
X1 1 4/5 1 4/5 2 3
x5 0 -3/5 6 -28 -14 28
Z 0 7/5 3 17/5 8 54
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9. Como se puede ver en la tabla anterior se ha llegado a la solución óptima ya que en la fila
de la función no existen coeficientes negativos. Por lo tanto, la función Z(X1,X2) alcanza
su valor máximo Z=54 en el vértice (X1=3, X2=0).
Ejemplo de aplicación del método Simplex estándar
Dada la función = , ) = 3. + 2. , obtener su valor máximo cumpliendo las
siguientes condiciones: i) 2 + ≤ 18, ) 2 − 3 ≤ 42, ) 3 + ≤ 24 y
) ≥ 0, ≥ 0:
Transformamos el problema a la forma estándar: Para ello introducimos las variables de
holgura h s y d en las restricciones:
i) 2X+Y+h=18
ii) 2X+3Y+s=42
iii) 3X+Y+d=24
La forma estándar del problema consiste en un sistema de 3 ecuaciones lineales con la
parte de la derecha no negativa, con 5 variables no negativas: X, Y, h, s y d. Por lo tanto la
base del espacio factible estará constituida por 3 variables no nulas. Las otras dos
variables se encontrarán fuera de base y serán nulas.
En primer lugar analizamos el vértice más sencillo del espacio factible: El origen.
El origen viene dado por X=0 Y=0, por lo tanto X e Y son las variables fuera de base. Por
otro lado las variables de base son: h=18, s=42 y d=24.
Construimos la tabla simplex para el vértice inicial, el origen:
Tabla Simplex 1
Base X Y h s d solución
h 2 1 1 0 0 18
s 2 3 0 1 0 42
d 3 1 0 0 1 24
Z -3 -2 0 0 0 0
Vértice (X=0,Y=0), Z=0: No es el optimo ya que existen coeficientes en la fila Z negativos.
Iteración I:
Buscamos el vértice vecino donde más crece la función Z:
Variable de entrada: X
Cocientes de radio: h/X=18/2=9, s/X=42/2=21, d/X=24/3=8
9

10. Variable de salida: d
Columna Pivote: X, Fila pivote: d Coeficiente Pivote: 3
Nuevos coeficientes de la fila pivote:
3/3=1; 1/3; 0/3=0; 0/3=0; 1/3; 24/3=8
Nuevos coeficientes de la fila h:
2-(2x1)=0, 1-(2x1/3)=1/3, 1-(2x0)=1, 0-(2x0)=0, 0-(2x1/3)=-2/3 18-(2x8)=3
Nuevos coeficientes de la fila s:
2-(2x1)=0, 3-(2x1/3)=7/3, 0-(2x0)=0, 1-(2x0)=1, 0-(2x1/3)=-2/3 42-(2x8)=26
Nuevos coeficientes de la fila Z:
-3-(-3x1)=0, -2-(-3x1/3)=-1, 0-(-3x0)=0, 0-(-3x0)=0, 0-(-3x1/3)=1 0-(-3x8)=24
Tabla Simlex 2:
Tabla Simplex 2
Base X Y h s d solución
h 0 1/3 1 0 -2/3 2
s 0 7/3 0 1 -2/3 26
X 1 1/3 0 0 1/3 8
Z 0 -1 0 0 1 24
Vértice (X=1,Y=0), Z=24: No es el optimo ya que existen coeficientes en la fila Z
negativos.
Iteración II:
Buscamos el vértice vecino donde más crece la función Z:
Variable de entrada: Y
Cocientes de radio: h/Y=2//1/3)=6, s/Y=26/(7/3)=78/7, X/Y=8/(1/3)=24
Variable de salida: h
Columna Pivote: Y, Fila pivote: h Coeficiente Pivote: 1/3
Nuevos coeficientes de la fila pivote:
0/(1/3)=0, (1/3)/(1/3)=1, 1/(1/3)=3, 0/(1/3)=0, (-2/3)/(1/3)=-2, 2/(1/3)=6
Nuevos coeficientes de la fila s:
0-(7/3x0)=0, 7/3-(7/3x1)=0, 0-(7/3x3)=-7, 1-(7/3x0)=1, -2/3+(7/3x2)=4, 26-(7/3x6)=12
Nuevos coeficientes de la fila X:
10

11. 1-(1/3x0)1; 1/3-(1/3x1)=0; 0-(1/3x3)=-1; 0-(1/3x0)=0; 1/3+(1/3x2)=1; 8-(1/3x6)=6
Nuevos coeficientes de la fila Z:
0+(1x0)=0; -1+(1x1)=0; 0+(1x3)=3; 0+(1x0)=0; 1-(1x2)=-1; 24+(1x6)=30
Tabla Simlex 3:
Tabla Simplex 3
Base X Y h s d solución
Y 0 1 3 0 -2 6
S 0 0 -7 1 4 12
X 1 0 -1 0 1 6
Z 0 0 3 0 -1 30
Vértice (X=6,Y=6), Z=30. No es el óptimo ya que existen coeficientes en la fila Z
negativos.
Iteración III:
Buscamos el vértice vecino donde más crece la función Z:
Variable de entrada: d
Cocientes de radio: Y/d=6/(-2) (no tiene significado físico), s/d=12/4=3, X/d=6/1=6
Variable de salida: s
Columna Pivote: d, Fila pivote: s Coeficiente Pivote: 4
Nuevos coeficientes de la fila pivote:
0/4=0; 0/4=0; -7/4; 1/4; 4/4=1; 12/4=3
Nuevos coeficientes de la fila Y:
0+(2x0)=0; 1+(2x0)=1; 3-(2x7/4)=-1/2; 0+(2x1/4)=1/2; -2+(2x1)=0; 6+(2x3)=12
Nuevos coeficientes de la fila X:
1-(1x0)=1; 0-(1x0)=0; -1+(1x7/4)=3/4; 0-(1x1/4)=-1/4; 1-(1x1)=0; 6-(1x6)=0
Nuevos coeficientes de la fila Z:
0+(1x0)=0; 0+(1x0)=0; 3-(1x7/4)=5/4; 0+(1x1/4)=1/4; -1+(1x1)=0; 30+(1x3)=33
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12. Tabla Simlex 4:
Tabla Simplex 4
Base X Y h s d solución
Y 0 1 -1/2 1/2 0 12
d 0 0 -7/4 1/4 1 3
X 1 0 3/4 -1/4 0 3
Z 0 0 5/4 1/4 0 33
En la tabla Simplex 4 no existen coeficientes negativos en la fila de la función Z por lo
tanto se ha alcanzado la solución óptima. El valor máximo de la función es Z=33 en el
vértice (X=3, Y=12).
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