SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 4
Descargar para leer sin conexión
184
9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
El análisis matemático de muchos problemas en ciencias e ingeniería conduce a la obtención
de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). El estudio clásico de las EDO ha enfatizado el
estudio de técnicas de resolución pero que solamente son aplicables a un número reducido de
EDO. Programas como MATLAB ya incorporan instrumentos para obtener y graficar estas
soluciones analíticas. Los métodos numéricos son una opción importante para resolver estas
ecuaciones especialmente cuando la solución analítica es muy complicada o imposible obtener.
Estos métodos instrumentados computacionalmente proporcionan soluciones aproximadas
para analizar el comportamiento de la solución con respecto al problema propuesto.
Adicionalmente se puede experimentar numéricamente con la convergencia y la estabilidad.
Un problema importante es determinar las condiciones para que la solución exista y sea única,
y conocer el dominio en el que la solución tiene validez. Otros temas relacionados son la
sensibilidad de la solución a los cambios en la ecuación o en la condición inicial y la estabilidad
de la solución calculada, es decir el estudio de la propagación de los errores en el cálculo
numérico. Sin embargo, el objetivo principal es resolver la ecuación.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una ecuación del tipo:
F(x, y, y’, y’’, ..., y
(n-1)
, y
(n)
) = 0
En donde y es una función de la variable independiente x. El orden de la ecuación diferencial
es el de su derivada más alta.
Si es que es posible expresar la ecuación diferencial en la forma:
y
(n)
+ a1y
(n-1)
+ … + an-1y' + any = b
en donde los coeficientes a1, a2,…an, b son constantes o solamente dependen de x, entonces
es una ecuación diferencial lineal explícita de orden n
Una EDO es una ecuación funcional en la que la incógnita es una función y(x) que satisface a
la ecuación en cierto dominio, y a las condiciones que normalmente se suministran para
particularizar la ecuación. Los métodos numéricos proporcionan puntos de la función como una
aproximación a la solución analítica, con precisión estimada.
Ejemplo. Un cuerpo de masa m sujeto a un extremo de un resorte con constante de
amortiguación k, con el otro extremo fijo, se desliza sobre una mesa con un coeficiente de
fricción c. A partir de un estado inicial, las oscilaciones decrecen hasta que se detiene. La
ecuación del movimiento es
xma F cv kx= =− −∑
En donde a es la aceleración, v es la velocidad, x es desplazamiento horizontal, t tiempo:
d x c dx k
x
dt m dt m
+ + =
2
2
0
Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Su solución describe el
desplazamiento x en función del tiempo t partiendo de alguna condición inicial.
Obtener y graficar la solución con la función dsolve de MATLAB con los siguientes datos:
m=5, c=0.25, k=0.8, x(0)=1, x'(0)=0
>> y=dsolve('D2x+0.25/5*Dx+0.8/5*x=0','x(0)=1,Dx(0)=0','t')
y =
cos((255^(1/2)*t)/40)/exp(t/40) + (255^(1/2)*sin((255^(1/2)*t)/40))/(255*exp(t/40))
>> digits(6)
>> y=vpa(y) Solución en formato decimal con 6 dígitos
y =
cos(0.399218*t)/exp(0.025*t) + (0.0626224*sin(0.399218*t))/exp(0.025*t)
>> ezplot(y,[0,50]),grid on
185
En el gráfico se observan las oscilaciones del desplazamiento amortiguado.
9.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden
con la condición en el inicio
Estas ecuaciones tienen la forma general siguiente:
F(x, y, y’) = 0, con la condición inicial y(x0) = y0
Se puede escribir en la siguiente forma, si es una ecuación diferencial explícita:
y’(x) = f(x, y), y(x0) = y0
En la notación común:
dy
f(x,y)
dx
= , y(x0) = y0
Su solución es una función y(x) definida en algún intervalo, que satisface a la ecuación e
incluye a la condición inicial. La solución de esta ecuación se puede obtener integrando:
x x x
x x x
dy f(x,y)dx y(x) y(x ) f(x,y)dx= ⇒ = +∫ ∫ ∫0 0 0
0
Los métodos numéricos permiten obtener una solución aproximada cuando no es posible o es
muy complicado obtenerla en forma explícita. Es conveniente comparar la solución numérica
con la solución analítica de ecuaciones simples, para adquirir confianza al resolver ecuaciones
más complicadas para las cuales ya no se pueda obtener la solución analítica.
9.1.1 Método de la serie de Taylor
Se puede usar este desarrollo para obtener puntos de la solución a partir de la condición inicial
conocida y para estimar el error de truncamiento. Debe elegirse la distancia h entre los puntos:
yi+1 = yi + hy ’i +
2
h
2!
y’’i + ... +
n
h
n!
y(n)
i +
n 1
h
(n 1)!
+
+
y (n+1)
(z), xi ≤ z ≤ xi+1
La ventaja de este enfoque es que se puede mejorar la precisión incluyendo más términos del
desarrollo. Sin embargo, al usar las derivadas de y(x) se obtienen fórmulas aplicables
únicamente para la ecuación especificada. Esto contrasta con el objetivo de los métodos
numéricos que es proporcionar fórmulas generales.
Ejemplo. Obtenga dos puntos de la solución de la siguiente ecuación diferencial utilizando los
tres primeros términos de la serie de Taylor. Use h = 0.1
y’ - y - x + x
2
- 1 = 0, y(0) = 1
Solución
y’ = f(x, y) = y - x
2
+ x + 1, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1
yi+1 = yi + hy ’i +
2
h
2!
y’’i, E =
3
h
3!
y’’’(z) = O(h
3
) = O(0.001) (Error de truncamiento)
186
xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, ...
yi+1 = yi + h(yi - x
2
i + xi + 1) +
2
h
2!
(y’i - 2xi + 1) (Derivar y sustituir y’(x))
yi+1 = yi + h(yi - x
2
i + xi + 1) +
2
h
2
( yi - x
2
i + xi + 1 - 2xi + 1)
Algoritmo para obtener puntos de la solución para el ejemplo anterior
yi+1 = yi + h(yi - x
2
i + xi + 1) +
2
h
2
( yi - x
2
i - xi + 2)
xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, ...
Puntos de la solución:
i=0: y1 = y0 + h(y0 - x
2
0 + x0 + 1) +
2
h
2
( y0 - x
2
0 - x0 + 2)
= 1 + 0.1(1 – 0
2
+ 0 + 1) +
2
0.1
2
( 1 - 0
2
– 0 + 2) = 1.2150
x1 = x0 + h = 0 + 0.1 = 0.1
i=1: y2 = y1 + h(y1 - x
2
1 + x1 + 1) +
2
h
2
( y1 - x
2
1 - x1 + 2)
= 1.2150 + 0.1(1.2150 – 0.1
2
+ 0.1 + 1) +
2
0.1
2
( 1.2150 – 0.1
2
– 0.1 + 2) = 1.4610
x2 = x1 + h = 0.1 + 0.1 = 0.2
Para comprobar la exactitud comparamos con la solución exacta: y(x) = e
x
+ x + x
2
y(0.1) = 1.2152
y(0.2) = 1.4614
El error está en el orden de los diezmilésimos y concuerda con el orden del error de
truncamiento para esta fórmula
En el siguiente gráfico se muestran los dos puntos obtenidos junto con lel gráfico de la solución
analítica exacta. La concordancia es muy buena.
187
Instrumentación computacional
Una función en MATLAB para usar la fórmula deducida para el ejemplo anterior
yi+1 = yi + h(yi - x
2
i + xi + 1) +
2
h
2
( yi - x
2
i - xi + 2)
xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, ...
function [x,y] = taylor2(x,y,h)
y=y+h*(y-x^2+x+1) + h^2/2*(y-x^2-x+2);
x=x+h;
Obtención de puntos de la solución desde la ventana de comandos
>> x=0;y=1;h=0.1;
>> [x, y]= taylor2(x,y,h) Este comando se reutiliza para obtener cada punto
x =
0.1000
y =
1.2150
>> [x, y]=taylor2(x,y,h)
x =
0.2000
y =
1.4610
El uso del método desde la ventana de comandos no es práctico para recibir los resultados.
Conviene guardar los puntos obtenidos. Para esto se puede escribir un programa.
Un programa en MATLAB para calcular m=20 puntos espaciados en una distancia h=0.1 para
el ejercicio anterior con la fórmula de Taylor:
x=0;
y=1;
m=20;
h=0.1;
for i=1:m
[x,y]=taylor2(x,y,h);
u(i)=x;
v(i)=y;
end
Se ha almacenado el programa con el nombre ed1. Los siguientes comandos permiten usar los
vectores u, v que contienen puntos de la solución para visualizarla y compararla con la solución
analítica exacta obtenida con la función dsolve de MATLAB.
>> ed1
>> plot(u, v, 'o'); u, v contienen los puntos calculados
>> g=dsolve('Dy-y-x+x^2-1=0','y(0)=1','x') Obtención de la solución analítica.
g =
x+x^2+exp(x) Solución analítica
>> hold on;
>> grid on;
>> ezplot(g,0,2);
En esta instrumentación se usa directamente la serie de Taylor y la fórmula es parte del
algoritmo. En las siguientes secciones se desarrollarán métodos numéricos generales que se
pueden aplicar a diferentes ecuaciones diferenciales usando el mismo algoritmo sin
modificación.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Sistemas de ecuauciones dif.
Sistemas de ecuauciones dif.Sistemas de ecuauciones dif.
Sistemas de ecuauciones dif.verdonica
 
Computacion, uls, computacion aplicada
Computacion, uls, computacion aplicadaComputacion, uls, computacion aplicada
Computacion, uls, computacion aplicadaRobert_Hooke
 
Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por los Métodos de Euler, Run...
Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por los Métodos de Euler, Run...Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por los Métodos de Euler, Run...
Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por los Métodos de Euler, Run...Carlos Aguilar
 
Reduccion de orden
Reduccion de ordenReduccion de orden
Reduccion de ordenjackytas7
 
Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)ERICK CONDE
 
Material de introducción a las edo
Material de introducción a las edo Material de introducción a las edo
Material de introducción a las edo Yerikson Huz
 
9.metododegauss
9.metododegauss9.metododegauss
9.metododegaussrjvillon
 
Ecuaciones metodo branislapmatie
Ecuaciones metodo  branislapmatieEcuaciones metodo  branislapmatie
Ecuaciones metodo branislapmatiechestermatie
 
Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)ERICK CONDE
 
La Integral Indefinida
La  Integral IndefinidaLa  Integral Indefinida
La Integral IndefinidaERICK CONDE
 
Cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales
Cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferencialesCuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales
Cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferencialesjose manuel lopez vidal
 

La actualidad más candente (20)

Sistema de ed de primer orden
Sistema de ed de primer ordenSistema de ed de primer orden
Sistema de ed de primer orden
 
Cap1
Cap1Cap1
Cap1
 
Ecuaciones diferenciales 1
Ecuaciones diferenciales 1Ecuaciones diferenciales 1
Ecuaciones diferenciales 1
 
Sistemas de ecuauciones dif.
Sistemas de ecuauciones dif.Sistemas de ecuauciones dif.
Sistemas de ecuauciones dif.
 
Clase 01
Clase 01Clase 01
Clase 01
 
Computacion, uls, computacion aplicada
Computacion, uls, computacion aplicadaComputacion, uls, computacion aplicada
Computacion, uls, computacion aplicada
 
Cap7
Cap7Cap7
Cap7
 
Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por los Métodos de Euler, Run...
Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por los Métodos de Euler, Run...Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por los Métodos de Euler, Run...
Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por los Métodos de Euler, Run...
 
Reduccion de orden
Reduccion de ordenReduccion de orden
Reduccion de orden
 
Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)
 
Material de introducción a las edo
Material de introducción a las edo Material de introducción a las edo
Material de introducción a las edo
 
9.metododegauss
9.metododegauss9.metododegauss
9.metododegauss
 
Tarea remedial-andrés-pastuña
Tarea remedial-andrés-pastuñaTarea remedial-andrés-pastuña
Tarea remedial-andrés-pastuña
 
Ecuaciones metodo branislapmatie
Ecuaciones metodo  branislapmatieEcuaciones metodo  branislapmatie
Ecuaciones metodo branislapmatie
 
Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)Ecuaciones (conceptos)
Ecuaciones (conceptos)
 
La Integral Indefinida
La  Integral IndefinidaLa  Integral Indefinida
La Integral Indefinida
 
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ecuaciones Diferenciales LinealesEcuaciones Diferenciales Lineales
Ecuaciones Diferenciales Lineales
 
Cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales
Cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferencialesCuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales
Cuaderno de ejercicios de ecuaciones diferenciales
 
Ecuacion de clairaut
Ecuacion de clairautEcuacion de clairaut
Ecuacion de clairaut
 
Concepto ecuacion dif...
Concepto  ecuacion dif...Concepto  ecuacion dif...
Concepto ecuacion dif...
 

Similar a 9 métodos EDO

Funciones CuadráTicas
Funciones CuadráTicas Funciones CuadráTicas
Funciones CuadráTicas Carmen Batiz
 
resolucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB
resolucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB resolucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB
resolucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB Raul Ibañez
 
Ecuaciones diferenciales parciales
Ecuaciones diferenciales parciales Ecuaciones diferenciales parciales
Ecuaciones diferenciales parciales Kike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales ordinarias Parte 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias Parte 2Ecuaciones diferenciales ordinarias Parte 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias Parte 2Kike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Yerikson Huz
 
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...
Microsoft word   7.sistemas de ecuaciones diferenciales      en derivadas par...Microsoft word   7.sistemas de ecuaciones diferenciales      en derivadas par...
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...iverd
 
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)Beat Winehouse
 
NÚMEROS REALES II
NÚMEROS REALES IINÚMEROS REALES II
NÚMEROS REALES IICESAR V
 
DERIVACION_INTEGRACION 1.pdf
DERIVACION_INTEGRACION 1.pdfDERIVACION_INTEGRACION 1.pdf
DERIVACION_INTEGRACION 1.pdfLpezPinIsaac
 
Metodos numericos capitulo 4
Metodos numericos capitulo 4Metodos numericos capitulo 4
Metodos numericos capitulo 4Juan Timoteo Cori
 
Derivación numérica (Series de Taylor)
Derivación numérica (Series de Taylor)Derivación numérica (Series de Taylor)
Derivación numérica (Series de Taylor)Armany1
 
FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)
FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)
FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)Videoconferencias UTPL
 
SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONESAlveiro's Castro
 
Apuntes metodos-numericos-aproximacion-funcional-e-interpolacion
Apuntes metodos-numericos-aproximacion-funcional-e-interpolacionApuntes metodos-numericos-aproximacion-funcional-e-interpolacion
Apuntes metodos-numericos-aproximacion-funcional-e-interpolacionmiguelcasa
 
Funciones cuadrticas
Funciones cuadrticasFunciones cuadrticas
Funciones cuadrticasjuan5vasquez
 
Ecuaciones diferenciales03
Ecuaciones diferenciales03Ecuaciones diferenciales03
Ecuaciones diferenciales03jllp64
 

Similar a 9 métodos EDO (20)

Ecuaciones direneciales con matlab
Ecuaciones direneciales con matlabEcuaciones direneciales con matlab
Ecuaciones direneciales con matlab
 
Funciones CuadráTicas
Funciones CuadráTicas Funciones CuadráTicas
Funciones CuadráTicas
 
resolucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB
resolucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB resolucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB
resolucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB
 
Ecuaciones diferenciales parciales
Ecuaciones diferenciales parciales Ecuaciones diferenciales parciales
Ecuaciones diferenciales parciales
 
Ecuaciones diferenciales ordinarias Parte 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias Parte 2Ecuaciones diferenciales ordinarias Parte 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias Parte 2
 
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
 
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...
Microsoft word   7.sistemas de ecuaciones diferenciales      en derivadas par...Microsoft word   7.sistemas de ecuaciones diferenciales      en derivadas par...
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...
 
Metodos numericos euler_euler_modificado
Metodos numericos euler_euler_modificadoMetodos numericos euler_euler_modificado
Metodos numericos euler_euler_modificado
 
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
 
NÚMEROS REALES II
NÚMEROS REALES IINÚMEROS REALES II
NÚMEROS REALES II
 
DERIVACION_INTEGRACION 1.pdf
DERIVACION_INTEGRACION 1.pdfDERIVACION_INTEGRACION 1.pdf
DERIVACION_INTEGRACION 1.pdf
 
Metodos numericos capitulo 4
Metodos numericos capitulo 4Metodos numericos capitulo 4
Metodos numericos capitulo 4
 
Derivación numérica (Series de Taylor)
Derivación numérica (Series de Taylor)Derivación numérica (Series de Taylor)
Derivación numérica (Series de Taylor)
 
Optimizacion
OptimizacionOptimizacion
Optimizacion
 
FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)
FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)
FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)
 
Resolucion resonancia oannes
Resolucion resonancia oannesResolucion resonancia oannes
Resolucion resonancia oannes
 
SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
 
Apuntes metodos-numericos-aproximacion-funcional-e-interpolacion
Apuntes metodos-numericos-aproximacion-funcional-e-interpolacionApuntes metodos-numericos-aproximacion-funcional-e-interpolacion
Apuntes metodos-numericos-aproximacion-funcional-e-interpolacion
 
Funciones cuadrticas
Funciones cuadrticasFunciones cuadrticas
Funciones cuadrticas
 
Ecuaciones diferenciales03
Ecuaciones diferenciales03Ecuaciones diferenciales03
Ecuaciones diferenciales03
 

Más de Kike Prieto

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenKike Prieto
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceKike Prieto
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por seriesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Kike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesKike Prieto
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricasKike Prieto
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierKike Prieto
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorKike Prieto
 
Ejercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasEjercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasKike Prieto
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorKike Prieto
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitasKike Prieto
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralKike Prieto
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definidaKike Prieto
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definidaKike Prieto
 

Más de Kike Prieto (20)

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferenciales
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por series
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricas
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de Fourier
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de Taylor
 
Ejercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasEjercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricas
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de Taylor
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitas
 
Series
SeriesSeries
Series
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la Integral
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
 
Sucesiones
SucesionesSucesiones
Sucesiones
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
 

Último

MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfMEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfJosé Hecht
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdflizcortes48
 
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptxEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptxduquemariact
 
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsaPresentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsaFarid Abud
 
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.monthuerta17
 
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)LizNava123
 
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.Edith Liccioni
 
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptxTALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptxMartaChaparro1
 
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................ScarletMedina4
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2Gonella
 
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptxERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptxduquemariact
 
FÍSICA - FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.
FÍSICA - FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.FÍSICA - FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.
FÍSICA - FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.CarlosAlfredoMalavCa
 
5º SOY LECTOR PART1- MD EDUCATIVO.pdfde
5º SOY LECTOR PART1- MD  EDUCATIVO.pdfde5º SOY LECTOR PART1- MD  EDUCATIVO.pdfde
5º SOY LECTOR PART1- MD EDUCATIVO.pdfdeBelnRosales2
 
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).hebegris04
 
Filosofía del gobierno del general Alfaro
Filosofía del gobierno del general AlfaroFilosofía del gobierno del general Alfaro
Filosofía del gobierno del general AlfaroJosé Luis Palma
 

Último (20)

MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfMEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
 
El Bullying.
El Bullying.El Bullying.
El Bullying.
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
 
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptxEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
 
Unidad 2 | Teorías de la Comunicación | MCDIU
Unidad 2 | Teorías de la Comunicación | MCDIUUnidad 2 | Teorías de la Comunicación | MCDIU
Unidad 2 | Teorías de la Comunicación | MCDIU
 
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsaPresentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
 
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
 
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
 
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
Libro Ecuador Realidad Nacional ECUADOR.
 
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptxTALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
 
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
 
Acuerdo segundo periodo - Grado Once.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Once.pptxAcuerdo segundo periodo - Grado Once.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Once.pptx
 
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptxERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
 
FÍSICA - FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.
FÍSICA - FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.FÍSICA - FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.
FÍSICA - FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.
 
5º SOY LECTOR PART1- MD EDUCATIVO.pdfde
5º SOY LECTOR PART1- MD  EDUCATIVO.pdfde5º SOY LECTOR PART1- MD  EDUCATIVO.pdfde
5º SOY LECTOR PART1- MD EDUCATIVO.pdfde
 
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
 
Filosofía del gobierno del general Alfaro
Filosofía del gobierno del general AlfaroFilosofía del gobierno del general Alfaro
Filosofía del gobierno del general Alfaro
 
Mimos _
Mimos                                       _Mimos                                       _
Mimos _
 
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptxAcuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
 

9 métodos EDO

  • 1. 184 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS El análisis matemático de muchos problemas en ciencias e ingeniería conduce a la obtención de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). El estudio clásico de las EDO ha enfatizado el estudio de técnicas de resolución pero que solamente son aplicables a un número reducido de EDO. Programas como MATLAB ya incorporan instrumentos para obtener y graficar estas soluciones analíticas. Los métodos numéricos son una opción importante para resolver estas ecuaciones especialmente cuando la solución analítica es muy complicada o imposible obtener. Estos métodos instrumentados computacionalmente proporcionan soluciones aproximadas para analizar el comportamiento de la solución con respecto al problema propuesto. Adicionalmente se puede experimentar numéricamente con la convergencia y la estabilidad. Un problema importante es determinar las condiciones para que la solución exista y sea única, y conocer el dominio en el que la solución tiene validez. Otros temas relacionados son la sensibilidad de la solución a los cambios en la ecuación o en la condición inicial y la estabilidad de la solución calculada, es decir el estudio de la propagación de los errores en el cálculo numérico. Sin embargo, el objetivo principal es resolver la ecuación. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una ecuación del tipo: F(x, y, y’, y’’, ..., y (n-1) , y (n) ) = 0 En donde y es una función de la variable independiente x. El orden de la ecuación diferencial es el de su derivada más alta. Si es que es posible expresar la ecuación diferencial en la forma: y (n) + a1y (n-1) + … + an-1y' + any = b en donde los coeficientes a1, a2,…an, b son constantes o solamente dependen de x, entonces es una ecuación diferencial lineal explícita de orden n Una EDO es una ecuación funcional en la que la incógnita es una función y(x) que satisface a la ecuación en cierto dominio, y a las condiciones que normalmente se suministran para particularizar la ecuación. Los métodos numéricos proporcionan puntos de la función como una aproximación a la solución analítica, con precisión estimada. Ejemplo. Un cuerpo de masa m sujeto a un extremo de un resorte con constante de amortiguación k, con el otro extremo fijo, se desliza sobre una mesa con un coeficiente de fricción c. A partir de un estado inicial, las oscilaciones decrecen hasta que se detiene. La ecuación del movimiento es xma F cv kx= =− −∑ En donde a es la aceleración, v es la velocidad, x es desplazamiento horizontal, t tiempo: d x c dx k x dt m dt m + + = 2 2 0 Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Su solución describe el desplazamiento x en función del tiempo t partiendo de alguna condición inicial. Obtener y graficar la solución con la función dsolve de MATLAB con los siguientes datos: m=5, c=0.25, k=0.8, x(0)=1, x'(0)=0 >> y=dsolve('D2x+0.25/5*Dx+0.8/5*x=0','x(0)=1,Dx(0)=0','t') y = cos((255^(1/2)*t)/40)/exp(t/40) + (255^(1/2)*sin((255^(1/2)*t)/40))/(255*exp(t/40)) >> digits(6) >> y=vpa(y) Solución en formato decimal con 6 dígitos y = cos(0.399218*t)/exp(0.025*t) + (0.0626224*sin(0.399218*t))/exp(0.025*t) >> ezplot(y,[0,50]),grid on
  • 2. 185 En el gráfico se observan las oscilaciones del desplazamiento amortiguado. 9.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con la condición en el inicio Estas ecuaciones tienen la forma general siguiente: F(x, y, y’) = 0, con la condición inicial y(x0) = y0 Se puede escribir en la siguiente forma, si es una ecuación diferencial explícita: y’(x) = f(x, y), y(x0) = y0 En la notación común: dy f(x,y) dx = , y(x0) = y0 Su solución es una función y(x) definida en algún intervalo, que satisface a la ecuación e incluye a la condición inicial. La solución de esta ecuación se puede obtener integrando: x x x x x x dy f(x,y)dx y(x) y(x ) f(x,y)dx= ⇒ = +∫ ∫ ∫0 0 0 0 Los métodos numéricos permiten obtener una solución aproximada cuando no es posible o es muy complicado obtenerla en forma explícita. Es conveniente comparar la solución numérica con la solución analítica de ecuaciones simples, para adquirir confianza al resolver ecuaciones más complicadas para las cuales ya no se pueda obtener la solución analítica. 9.1.1 Método de la serie de Taylor Se puede usar este desarrollo para obtener puntos de la solución a partir de la condición inicial conocida y para estimar el error de truncamiento. Debe elegirse la distancia h entre los puntos: yi+1 = yi + hy ’i + 2 h 2! y’’i + ... + n h n! y(n) i + n 1 h (n 1)! + + y (n+1) (z), xi ≤ z ≤ xi+1 La ventaja de este enfoque es que se puede mejorar la precisión incluyendo más términos del desarrollo. Sin embargo, al usar las derivadas de y(x) se obtienen fórmulas aplicables únicamente para la ecuación especificada. Esto contrasta con el objetivo de los métodos numéricos que es proporcionar fórmulas generales. Ejemplo. Obtenga dos puntos de la solución de la siguiente ecuación diferencial utilizando los tres primeros términos de la serie de Taylor. Use h = 0.1 y’ - y - x + x 2 - 1 = 0, y(0) = 1 Solución y’ = f(x, y) = y - x 2 + x + 1, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1 yi+1 = yi + hy ’i + 2 h 2! y’’i, E = 3 h 3! y’’’(z) = O(h 3 ) = O(0.001) (Error de truncamiento)
  • 3. 186 xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, ... yi+1 = yi + h(yi - x 2 i + xi + 1) + 2 h 2! (y’i - 2xi + 1) (Derivar y sustituir y’(x)) yi+1 = yi + h(yi - x 2 i + xi + 1) + 2 h 2 ( yi - x 2 i + xi + 1 - 2xi + 1) Algoritmo para obtener puntos de la solución para el ejemplo anterior yi+1 = yi + h(yi - x 2 i + xi + 1) + 2 h 2 ( yi - x 2 i - xi + 2) xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, ... Puntos de la solución: i=0: y1 = y0 + h(y0 - x 2 0 + x0 + 1) + 2 h 2 ( y0 - x 2 0 - x0 + 2) = 1 + 0.1(1 – 0 2 + 0 + 1) + 2 0.1 2 ( 1 - 0 2 – 0 + 2) = 1.2150 x1 = x0 + h = 0 + 0.1 = 0.1 i=1: y2 = y1 + h(y1 - x 2 1 + x1 + 1) + 2 h 2 ( y1 - x 2 1 - x1 + 2) = 1.2150 + 0.1(1.2150 – 0.1 2 + 0.1 + 1) + 2 0.1 2 ( 1.2150 – 0.1 2 – 0.1 + 2) = 1.4610 x2 = x1 + h = 0.1 + 0.1 = 0.2 Para comprobar la exactitud comparamos con la solución exacta: y(x) = e x + x + x 2 y(0.1) = 1.2152 y(0.2) = 1.4614 El error está en el orden de los diezmilésimos y concuerda con el orden del error de truncamiento para esta fórmula En el siguiente gráfico se muestran los dos puntos obtenidos junto con lel gráfico de la solución analítica exacta. La concordancia es muy buena.
  • 4. 187 Instrumentación computacional Una función en MATLAB para usar la fórmula deducida para el ejemplo anterior yi+1 = yi + h(yi - x 2 i + xi + 1) + 2 h 2 ( yi - x 2 i - xi + 2) xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, ... function [x,y] = taylor2(x,y,h) y=y+h*(y-x^2+x+1) + h^2/2*(y-x^2-x+2); x=x+h; Obtención de puntos de la solución desde la ventana de comandos >> x=0;y=1;h=0.1; >> [x, y]= taylor2(x,y,h) Este comando se reutiliza para obtener cada punto x = 0.1000 y = 1.2150 >> [x, y]=taylor2(x,y,h) x = 0.2000 y = 1.4610 El uso del método desde la ventana de comandos no es práctico para recibir los resultados. Conviene guardar los puntos obtenidos. Para esto se puede escribir un programa. Un programa en MATLAB para calcular m=20 puntos espaciados en una distancia h=0.1 para el ejercicio anterior con la fórmula de Taylor: x=0; y=1; m=20; h=0.1; for i=1:m [x,y]=taylor2(x,y,h); u(i)=x; v(i)=y; end Se ha almacenado el programa con el nombre ed1. Los siguientes comandos permiten usar los vectores u, v que contienen puntos de la solución para visualizarla y compararla con la solución analítica exacta obtenida con la función dsolve de MATLAB. >> ed1 >> plot(u, v, 'o'); u, v contienen los puntos calculados >> g=dsolve('Dy-y-x+x^2-1=0','y(0)=1','x') Obtención de la solución analítica. g = x+x^2+exp(x) Solución analítica >> hold on; >> grid on; >> ezplot(g,0,2); En esta instrumentación se usa directamente la serie de Taylor y la fórmula es parte del algoritmo. En las siguientes secciones se desarrollarán métodos numéricos generales que se pueden aplicar a diferentes ecuaciones diferenciales usando el mismo algoritmo sin modificación.