Programacion no lineal

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Politécnico Santiago Mariño
Extensión Maracaibo
Optimización de Sistemas y Funciones
Métodos de Programación No Lineal
Explicados en MAPLE 14 y WINQSB
Integrantes: Kimberly Montilla
Hannerre Serrano
Julio, 2015

2. Optimización no restringida
• Es cuando el problema no tiene restricciones.
– Ejemplo:
Maximizar: 2x-y-y-x²-2y²
La parte sombreada es la región factible. Debido
a que este tipo de optimización no tiene
restricciones, la mayor parte de la figura
resultante de la función objetivo es la región
factible.
Tabla de Resultados en WINQSB
En la tabla se muestra la forma en que se debe ingresar la función objetivo en
WINQSB, para poder realizar el análisis del problema y obtener el resultado
óptimo, planteando las restricciones dadas.

3. Optimización no restringida
En esta segunda tabla, ya se puede observar los resultados óptimos del problema al
evaluarlo en el punto (1,1), que es un punto máximo de la región factible. Los
resultados óptimos obtenidos son x1=0.4270, x2=0.4357 y para la función objetivo el
valor de 0.2457.

4. Optimización restringida linealmente
Si todas las funciones de restricciones son lineales pero la función objetivo es no lineal.
- Ejemplo:

5. • Grafico en maple:
Optimización restringida linealmente

6. Optimización restringida linealmente
Tablas de resultados en WINQSB
En la primera lo que se muestra es únicamente la forma en la que se ingresa la función
objetivo y la restricción del problema.
En la segunda tabla se presentan los resultados óptimos para el problema evaluándolo desde
el punto (1,5) de la región factible que se presento en la primera grafica. Con respecto a este
punto tenemos que para la variable x 1el valor óptimo será de 0.9934 y para x2 será de
4.9797, para arrojar un
resultado óptimo de la función objetivo de 1.0624.

7. Optimización cuadrática
Es un problema restringido linealmente con
función objetivo cuadrática. (Contiene
cuadrados de variables y/o productos de
variables.
Ejemplo:
24-2x1-x1
2
x1≥0
GRÁFICA MAPLE:
La región factible es la que se encuentra marcada
con líneas y dentro de esta se encuentra el valor
factible del problema que se
buscará en el programa de WINQSB.
La función objetivo esta dado por la grafica de
color verde y la región sombreada hace referencia
a la región factible del problema.

8. Optimización cuadrática
TABLA WINQSB: En esta tabla se muestra únicamente la forma en que se escribe
la función objetivo del problema.
TABLA WSB 2: En esta segunda tabla se muestra el valor de la variable
x=0.3962, evaluado en el punto (0,23), arrojando un resultado óptimo para
esta función de 23.0507.

9. Optimización de Programación Convexa
Abarca una amplia clase de problemas,
entre los cuales, como casos especiales,
se puede mencionar todos los tipos
anteriores.
Ejemplo:
Maximizar f(x)= 12x1-x1
2+50x2-x2
2
Sujeta a las siguientes restricciones:
Restricción 1: x1 ≤ 10
Restricción 2: x2 ≤ 15
No negatividad: x1 ≥ y x2 ≥ 0
Plots [Intersactive] (12x1-x1
2+50x2-x2
2)

10. Optimización de Programación Convexa
Con base a lo anterior podemos observar que se cumple que es una gráfica convexa ya
que si trazamos sus tangentes la curva queda sobre ellas. Eso quiere decir que es
convexa. De esta gráfica podemos obtener los intervalos que vamos a utilizar para
trabajar en el programa de WinQSB en el apartado Nonlinear Programming.
Seguidamente introducimos los datos de la siguiente forma en WinQSB:
Evaluando en los puntos x1=0..11 y x2=0..16 de acuerdo las restricciones y a la
gráfica de maple nos arroja la siguiente tabla:
La tabla anterior nos arroja que la función objetiva se maxímiza con 547.2292 para
los valores de x1 y x2 mostrados en la tabla anterior.

11. Optimización de Programación Separable
Es un caso especial de la programación
convexa, en donde el supuesto adicional
es donde todas las funciones son
separables, una función separable es una
función en la que cada término incluye una
sola variable.
Ejemplo:
Maximizar Z= 30x1 – 2x1
2 +35x2 – 3x2
2
Restricción 1: X1
2 +2x2
2 ≤ 250
Restricción 2: x1 + x2 ≤ 20
Restricción 3: x1 ≥ 0
>
De acuerdo al procedimiento de realización
de los problemas de programación
separable la función objetivo la podemos
escribir separando sus variables de la
siguiente forma:
Al introducir la función objetivo y sus
restricciones al programa Maple 14 nos
arroja la siguiente gráfica:

12. Optimización de Programación Separable
De acuerdo a la grafica que nos arrojo Maple utilizaremos los intervalos que muestra la curva
en los ejes para introducirlos en el programa de WinQSB.
Primeramente introducimos la función objetivo y las restricciones:
Evaluando en los puntos x1=0..18 y x2=0..15 de acuerdo a la grafica de maple nos
arroja la siguiente tabla:
Esto significa que la función objetivo se maximiza en 214.5811 para los intervalos
mostrados en los puntos que se muestra en la tabla anterior.

13. Optimización de Programación No Convexa
Incluye todos los problemas de
programación no lineal que no satisfacen
los supuestos de programación conexa.
Ejemplo:
Maximizar 4.x1 – 6.x2 -2.x1.x2 -2.x2
2
Restricción 1: x1 +2.x2 ≤ 2
No negatividad: x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0
Como podemos observar es una curva cóncava o no convexa debido a que si trazamos una
tangente sobre la gráfica, la curva queda debajo de dicha tangente, esta es la definición de
una función cóncava y por lo tanto estamos trabajando con una función de este tipo. En base
a esto se observar que los intervalos que podemos utilizar para trabajar en WinQSB son:
x1=0..2 y x2=0..1.

14. Optimización de Programación No Convexa
Con la información obtenida podemos trabajar en WinQSB, introduciendo los datos en la tabla
de dicho programa y queda de la siguiente forma:
Ejecutando la opción para resolver esta tabla y evaluando desde los parámetros x1=0..2 y
x2=0..1 nos genera la siguiente tabla:
De esta tabla podemos concluir que la función objetivo se maximiza en 2 para los
valores que se muestran en la tabla.

15. Optimización de Programación Geométrica
Cuando se aplica programación no lineal a
problemas de diseño de ingeniería,
muchas veces la función objetivo y las
funcionas de restricción toman la forma.
Ejemplo:
Minimizar 2x-2y-1+y-2
Restricción 1: 4xy +x2y2 ≤ 12
No negatividad: Y x ≥ 0, Y ≥ 0
De acuerdo a la grafica que nos arrojo Maple los intervalos que utilizaremos para
introducir los datos en el programa de WinQSB en el apartado Nonlinear Programming
son: Para x1=-10..10 y x2=-10..10

16. Optimización de Programación Geométrica
Despues introducimos la función objetivo y las restricciones en el programa
WinQSB.
El resultado de los datos anteriores es la siguiente tabla:
La tabla menciona que funcion objetivo se minimiza en -1.0 para los intervalos
x1=-10..10 y x2=-10..10.

17. Optimización de Programación Fraccional
Si la función objetivo se encuentra en la
forma de una fracción.
Ejemplo:
Minimizar
Restricción 1: x1 +x2 < 4
Restricción 2: 2x1 +x2 ≤ 14
Restricción 3: x2 ≤ 6
Y x1, x2 ≥ 0
De acuerdo a la gráfica que nos arrojo Maple los intervalos que utilizaremos para
introducir los datos en el programa de WinQSB en el apartado Nonlinear Programming
son:
Para x1=0..6 y x2=0..7

18. Optimización de Programación Fraccional
De acuerdo a la gráfica que nos arrojo Maple los intervalos que
utilizaremos para
introducir los datos en el programa de WinQSB en el apartado Nonlinear
Programming son:
Para x1=0..6 y x2=0..7
Despues introducimos la función objetivo y las restricciones en el programa
WinQSB:
El resultado de los datos anteriores se muestra en la siguiente tabla:
Esto significa que la función objetivo se minimiza en 25.1126 para los intervalos
introducidos en los puntos que se muestra en la tabla anterior.

19. Referencias
• Luis (2012), Ejercicios de programación no lineal. Instituto Tecnológico superior
de Felipe Carrillo Puerto.