La programación no lineal involucra maximizar o minimizar funciones no lineales sujetas a restricciones. Algunos métodos para resolver problemas no lineales incluyen el uso de programación lineal con formulaciones especiales, ramificación y poda, y métodos de optimización convexa cuando la función objetivo es cóncava o convexa y las restricciones son convexas. La localización de instalaciones es un ejemplo común que se puede modelar como un problema de optimización no lineal para minimizar la distancia a varias ubicaciones.

2. • En matemáticas, Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución
de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de
restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un
función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las
restricciones o la función objetivo no son lineales.
PROGRAMACIÓN NO
LINEAL
• Programación no lineal: Se tiene que encontrar los puntos extremos,
críticos o estacionarios lo que es solución optima f(x)=0.
• Función Cóncava: En la primera derivada de un punto máximo.
• Función Convexa: Da como resultado un punto máximo.
• Máximo local: Punto en el cual una función tiene un valor local
mínimo. Si x* es un maximizador local entonces f(x)<=f(x*)para toda
x de una variedad de x*(optima)
• Máximo global: Punto en el que una función tiene un valor global
máximo. Si x* es un maximizador global entonces f(x)<=f(x*) para
toda x.
CONCEPTOS
BÁSICOS

3. Programación Lineal Programación No Lineal
Variables elevadas al
exponente 1.
Elevadas al exponente n.
Número producto de
variables
Si hay productos de
variables
Proporcionalidad No siempre hay
proporcionalidad
Solución óptima es factible No siempre es factible
Aditividad
DIFERENCIAS ENTRE
PROGRAMACIÓN
LINEAL Y
PROGRAMACIÓN NO
LINEAL

4. FORMA ESTANDAR DEL
MÓDELO
Sujeta a las restricciones:
a11x1 + a12x2 +….+ a1nxn < b1
a21x1 + a22x2 +….+ a2nxn < b2
am1x1 + am2x2 +….+ amnxn <
bm
X1 ³ 0, X2 ³0, …, Xn ³0.
En Datos necesarios para un modelo de
programación lineal que maneja la
asignación de recursos a actividades
particular, este modelo consiste en elegir
valores de x1,x2,….,xn
Para: Optimizar (maximizar o minimizar)
Z = c1x1 + c2x2 +….+ cnxn.
• FUNCIÓN CÓNCAVA:
Función cóncava: en ese punto si f”(x) <0.
Función estrictamente cóncava: si f”(x) <0.
Función cóncava: si f”(x) <= 0.
• EJEMPLO
Una compañía importa aceite de coco de su pueblo natal. Usa
este aceite para poder producir 2 clases de crema; tostado y
quemado. El precio por libra de lo que pueda vender depende de
la cantidad que produzca. En concreto si la compañía produce
x1 Libras de tostado y x2 Libras de quemado, podrá vender todo
lo que produzca a los siguientes precios en dólares:
Precio/libra de tostado: = 80 -3 x1
Precio/libra de quemado:= 60-2×2
El costo de fabricación de x1 de pan tostado y x de quemado es:
12×1+ 8×2+ 4×1+ x2
Suponiendo que puede vender todo lo que produzca, la
compañía desea determinar cuantas libras da cada crema debe
programar el la producción que maximice su ganancia.
Condiciones de Concavidad
y Convexidad
• FUNCIÓN CONVEXA:
Función convexa: en ese punto si g”(x)>0.
Función estrictamente convexa: en ese punto si g”(x) <0.
Función convexa: si g´(x)>=0.

5. MODELO DETERMINÍSTICO
El modelo de PL involucra únicamente tres
tipos de parámetros: C, a, y b, de ahí su
sencillez y gran aplicación. Sin embargo,
el valor de dichos parámetros debe ser
conocido y constante. Cuando el valor de
los parámetros tiene un cierto riesgo o
incertidumbre, pude utilizarse la
programación paramédica, la
programación estocástica, o realizarse un
análisis de sensibilidad.
DIVISIBILIDAD
Las variables de decisión en un modelo de
programación lineal pueden
tomar cualquier valor, incluyendo valores no
enteros, que satisfagan las restricciones
funcionales y de no negatividad. Así, estas
variables no están restringidas a sólo
valores enteros. Como cada variable de
decisión representa el nivel de alguna
actividad, se supondrá que las actividades
se pueden realizar a niveles fracciónales.
LIMITACIONES DEL MODELO
DE PROGRAMACIÓN LINEAL
MODELO ESTÁTICO
En algunos modelos matemáticos se han
empleado con éxito las ecuaciones diferenciales,
para inducir la variable tiempo en ellos. En este
sentido, puede decidirse que la PL utiliza un
modelo estático, ya que la variable tiempo no se
involucra formalmente. Adquiriendo un poco de
experiencia en la formulación de modelos de PL,
puede imbuirse la temporabilidad mencionada,
con el uso de subíndices en las variables
MODELO QUE NO SUB-OPTIMIZA
Debido a la forma que se plantea el modelo de PL, o encuentra
la solución óptima o declara que ésta no existe. Cuando no es
posible obtener una solución óptima y se debe obtener alguna,
se recurre a otra técnica más avanzada que la PL, la cual se
denomina programación lineal por metas

6. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMA
Si la función objetivo f
es lineal y el espacio
restringido es un poli
topo, el problema es
de Programación lineal
y puede resolverse
utilizando alguno de
los bien conocidos
algoritmos de
programación lineal.
Existe una variedad de
métodos para resolver
problemas no convexos. Uno
de ellos consiste en utilizar
formulaciones especiales de
problemas de programación
lineal.
Otro método implica el
uso de técnicas de
Ramificación y poda,
cuando el problema se
divide en subdivisiones
a resolver mediante
aproximaciones que
forman un límite
inferior del coste total
en cada subdivisión.
Mediante
subdivisiones
sucesivas, se obtendrá
una solución cuyo
coste es igual o inferior
que el mejor limite
inferior obtenido por
alguna de las
Esta solución es óptima, aunque posiblemente
no sea única. El algoritmo puede ser parado
antes, con la garantía de que la mejor solución
será mejor que la solución encontrada en un
porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en
problemas importantes y especialmente difíciles
y cuando el problema cuenta con costes inciertos
o valores donde la incertidumbre puede ser
estimada en un grado de fiabilidad apropiado.
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
proporcionan las condiciones necesarias para
que una solución sea óptima.
Si la función objetivo es
cóncava (problema de
maximización), o convexa
(problema de
minimización) y el
conjunto de restricciones
es convexo, entonces se
puede utilizar el método
general de Optimización
convexa

7. PROGRAMACÓN NO LINEAL
RESTRINGIDALos problemas de optimización no
restringida no tienen restricciones,
por lo que la función objetivo es
sencillamente
Maximizar f(x)
sobre todos los valores x=
(x1, x2,…,xn). Según el repaso del
apéndice 3, la condición necesa-
ria para que una solución específica
x = x* sea óptima cuando f(x) es
una función diferenciable es
Cuando f (x) es cóncava, esta
condición también es suficiente,
con lo que la obtención de x* se
reduce a resolver el sistema de
las n ecuaciones obtenidas al
establecer las n derivadas parciales
iguales a cero. Por desgracia,
cuando se trata de funciones no
lineales f (x), estas ecuaciones
suelen ser no lineales también, en
cuyo caso es poco probable que se
pueda obtener una solución
analítica simultánea.
¿QUÉ SE PUEDE HACER EN ESE CASO? Las
secciones 13.4 y 13.5 describen procedimientos
algorítmicos de búsqueda para encontrar x* primero
para n = 1 y luego para n > 1. Estos procedimientos
también tienen un papel importante en la solución de
varios tipos de problemas con restricciones, que se
describirán en seguida. La razón es que muchos algo-
ritmos para problemas restringidos están construidos de
forma que se adaptan a versiones no restringidas del
problema en una parte de cada iteración.
Cuando una variable Xj tiene una
restricción de no negatividad, x- >
0, la condición necesaria (y tal vez)
suficiente anterior cambia
ligeramente a
para cada j de este tipo. Esta
condición se ilustra en la figura
13.11, donde la solución óptima de
un problema con una sola variable
es x= 0 aun cuando la derivada ahí
es negativa y no cero. Como este
ejemplo tiene una función cóncava
para maximizar sujeta a una
restricción de no negatividad, el
que su derivada sea menor o igual
a 0 en # = 0, es una condición
necesaria y suficiente para
que x= 0 sea óptima.
Un problema que
tiene algunas
restricciones de no
negatividad y que no
tiene restricciones
funcionales es un
caso especial (m =
0) de la siguiente
clase de problemas.

8. EJEMPLOS DE PROGRAMACION NO
LINEAL
 Respuesta: Si consideramos como variables de
decisión X e Y que correspondan a las respectivas
coordenadas de la bodega a instalar, se puede
definir el siguiente modelo de optimización no
lineal sin restricciones, donde la siguiente función
objetivo de minimización de distancia (Min f(x,y))
Existen múltiples aplicaciones típicas para modelos no lineales. A continuación se
resume una
• Localización de Instalaciones:
Considere que una empresa
distribuidora de productos
farmacéuticos requiere determinar la
localización de una bodega que
funcionará como centro de distribución
y abastecimiento para sus locales en
el país. En especial se busca estar a
la menor distancia de los 3 principales
locales de venta al público
denominados A, B y C,
respectivamente. Las coordenadas
geográficas de dichos locales se
presentan en el siguiente gráfico:
Formule y resuelva un modelo de
optimización que permita determinar la
localización óptima de la bodega y que
minimize la distancia a los distintos
locales de la empresa. Asuma que la
bodega puede ser ubicada en cualquier
coordenada o punto del mapa.

9. Planteamiento de problemas de Programación no lineal
y optimización
Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función
objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se
cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos
economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción,
en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar
problemas de programación no lineal.
De una manera general, el problema de
programación no lineal consiste en
encontrar x=(x1,x2,…,xn) para
maximizar ƒ(x),
No se dispone de un algoritmo que resuelva
todos los problemas específicos que se ajustan
a este formato. Sin embargo, se han hecho
grandes logros en lo que se refiere a algunos
casos especiales, haciendo algunas
suposiciones sobre las funciones, y la
investigación sigue muy activa.