Este documento describe la programación lineal, un método de optimización matemática que se puede usar cuando un problema de negocios puede expresarse como una función lineal y está sujeto a restricciones lineales. Explica conceptos como la función objetivo, variables, restricciones, soluciones factibles y óptimas. También describe el método gráfico y el método simplex para resolver problemas de programación lineal.

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PROGRAMACIÓN LINEAL.
Es una parte de la investigación operativa que la podremos aplicar cuando el problema
que tratamos se puede traducir a expresiones matemáticas de tipo lineal y que las
limitaciones o restricciones que tenga el sistema productivo se pueda también traducir
en expresiones matemáticas de tipo lineal. Su empleo es frecuente en aplicaciones de
la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Un problema de programación lineal
tendrá la siguiente forma:
Función Objetivo: Es una expresión matemática lineal que representa el objetivo del
problema. Es la expresión que tendremos que maximizar o minimizar.
Función Objetivo:
(Max. ó Min.) Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
Ecuaciones o Inecuaciones de Restricción: Expresiones matemáticas, ecuaciones o
inecuaciones de tipo lineal que representan las limitaciones del problema.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn >= b2
a31x1 + a32x2 + … + a3nxn ≤ b3
………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones:
x1; x2; xn >= 0
Las variables no tomaran valores negativos.
Conceptos propios de la programación Lineal:
Solución Posible: Es cualquier conjunto de valores de la variable que satisface el
sistema de ecuaciones de la restricción.
Solución Posible Básica: Es aquella solución posible en la que ninguna variable toma
valores negativos.
Solución Básica Posible Degenerada: Solución básica posible en la que al menos
una variable toma el valor cero.
Solución Óptima: Es aquella solución básica posible que optimiza a la función
objetivo.
ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PL
1. FUNCIÓN OBJETIVO Consiste en optimizar el objetivo que persigue una
situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema,
la función objetivo se maximiza o se minimiza
2. VARIABLES DE DECISIÓN. Son las incógnitas del problema, La definición de
las variables es el punto clave y básicamente consiste en l0s niveles de todas
las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

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3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES. Diferentes requisitos que deben
cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones
pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de
materiales, etc.
4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en
algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos
MODELO GENERAL DE PL
OPTIMIZAR Z =
SUJETO A:
GRÁFICA DE DESIGUALDADES Y CONTORNOS
Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos
1. Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique la recta
2. Escoja un punto de ensayo
3. Evalúe el primer miembro de la expresión
4. Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad.
Existen varios métodos de solución entre los cuales tenemos el gráfico, el simplex, el
algebraico, el dual, etc.
EL MÉTODO GRÁFICO.
El método gráfico es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal,
siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más
variables, el método gráfico es imposible.
Consiste en representar geométricamente las restricciones, condiciones técnicas y
función objetivo.
Los pasos necesarios para realizar el método son:

n
j
jj xc
1


n
j
ijij mibxa
1
,......,2,1
njxj ,.......,2,10 

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1. Hallar las restricciones del problema
2. Las restricciones de no negatividad Xi ≥ 0 confían todos los valores posibles.
3. Sustituir ≥ y ≤ por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de
una línea recta.
4. Trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en
cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo define
el signo correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes y después
de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el área
correspondiente
5. El espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible
Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que satisfacen
todas las restricciones, representa un punto factible.
6. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la
asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la
cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
7. La solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta
la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, si es un problema de
minimización la solución óptima es el primer punto factible que toque la función Z, y si
por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de los puntos
factibles que toque la función Z
Hay principalmente cuatro tipos de problemas, de única solución, múltiples soluciones,
solución no acotada y no factible.
CONJUNTO CONVEXO. Un conjunto C es convexo si el segmento rectilíneo que une
cualquier par de puntos de C se encuentra totalmente en C

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CONJUNTO CONVEXO CONJUNTO NO CONVEXO
EJEMPLO DEL MÉTODO GRÁFICO
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de
empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones
pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas
de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40
horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls.
Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de
revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales
disponibles es de 60.
OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.
VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).
Cantidad de liquidaciones (X2).
RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo
Tiempo disponible de revisión
Número máximo de liquidaciones.
Maximizar
Sujeto a:

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La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de
soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que
representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

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VARIABLES DE HOLGURA Y VARIABLES DE EXCEDENTE
Variable de holgura.
Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menor o igual que" para
convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede
interpretarse como la cantidad de recurso no usado.
6X + 3Y ≤ 12 6X+3Y+h=24
Variable de Excedente.
Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para
convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable
puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido.
2X + 3Y ≥14 2X+3Y-h =14
Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de NO NEGATIVIDAD
RESTRICCIÓN ACTIVA.
Dada una solución factible, una restricción es activa si al sustituir el valor de las
variables se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o
excedente, según sea el caso es CERO
RESTRICCIÓN INACTIVA.
Dada una solución factible, una restricción es inactiva si al sustituir el valor de las
variables no se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o
excedente, según sea el caso es DIFERENTE A CERO
PROBLEMAS NO ACOTADOS
Hay que distinguir el término “problema no acotado” con el término “conjunto factible no
acotado”, éste último se refiere a una región factible en la que al menos una de las
variables de decisión puede asumir valores indefinidamente grandes. Si un programa
lineal es no acotado, el conjunto factible también debe ser no acotado. Sin embargo, es
posible tener un conjunto factible no acotado sin que el problema sea no acotado
Max z= 5000A + 4000B
S.A. A+B >=5
A-3B<=0

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30 A+10B>=135
A , B >=0
Planteamiento del problema
Cuando la región factible no está acotada la única solución que podemos obtener es un mínimo.
- Construimos una tabla conlos datos del enunciado
Región factible no acotada
Mayorista A Mayorista B Disponible
Naranjas 8 2 16
Plátanos 1 1 5
Manzanas 2 7 20
Distancia 150 300
- Expresamos conecuaciones einecuaciones lineales la informacióndescrita

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- Representamos las restricciones y calculamos los puntos de la región factible

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PROBLEMAS NO FACTIBLES.
Son problemas que tiene un conjunto factible vacío: es decir no existe combinación de
valores para las variables de decisión que satisfaga simultáneamente todas las
restricciones
EL MÉTODO SIMPLEX
El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en
cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en
caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o
disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado
que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará
solución.El algoritmo Simplex requiere que el Modelo Lineal, para ser solucionado,
cumpla las condiciones de Forma Estándar y Sistema Canónico.
La Forma Estándar: Incluye
a) Una Función Objetivo a optimizar
b) Lado derecho de las restricciones con valor positivo
c) Variables de decisión no negativas
d) Las restricciones deben ser expresadas como igualdades.
Para transformar las restricciones en igualdades se deben incorporar las llamadas
variables de holgura. Una variable de holgura tiene coeficiente cero en la Función
Objetivo. Se suman en restricciones del Tipo ≤ .

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En términos matemáticos, expresan la diferencia entre el lado izquierdo y el lado
derecho de las restricciones. Al igual que las variables de decisión deben ser mayores
o iguales a cero.
En términos del modelo representan la cantidad de recurso no utilizado con relación a
un máximo disponible (Parte ociosa de los recursos
El Sistema Canónico En un Modelo Lineal significa que debe existir una variable
básica en cada restricción. Esto permite obtener una primera solución posible que
satisface todas las restricciones.
Una variable básica tiene coeficiente 1 positivo en una restricción y no existe en las
demás.
Las variables de decisión (estructurales) del modelo y las variables de holgura pueden
ser variables básicas. Cuando ninguna de ellas cumple con la condición de ser básica,
se incorpora una variable como artificio matemático, para cumplir con el sistema
canónico y a esa variable se le llama variable artificial. Una variable artificial debe tener
incorporado un coeficiente muy alto en la Función Objetivo, con signo negativo en
maximización y con signo positivo en minimización. Con esto se logra que el
procedimiento Simplex las elimine de la solución en las primeras iteraciones. Estas
variables deben valer cero en la solución óptima del modelo.
Una Tabla Simplex es un resumen detallado de toda la información del modelo para
trabajar más fácilmente con él. La siguiente tabla expresa cómo deben ser recogidos
los datos para resolver el problema de programación líneal por el Método Simplex.
Modelo de Tabla Simplex
Itereración
V.B. Ec. # Coeficientes L.D. Razón
PROCEDIMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE POR EL
MÉTODO SIMPLEX.
FASE I: Preparar el modelo inicial para construir la tabla:
1) Transformar los términos independientes en positivos (multiplicando por -1).
2) Si en alguna restricción, hay un solo proceso que está contenida en ella sola, lo
convertiremos en unitario (dividiendo por su coeficiente) y si no lo hago meteré una
variable de holgura.
3) En las inecuaciones en las que encontramos ≤ introducimos una variable de holgura
sumando.
4) En toda restricción debe haber una variable unitaria positiva.
5) Las variables de holgura, a la hora de introducirlas en la función objetivo lo haremos
siempre con coeficiente cero.
6) Igualar a cero la función objetivo
Construir la tabla y resolver el algoritmo.
Paso 1: Construir la tabla del método Simplex y rellenamos la tabla con los
coeficientes. Comprobamos que las variables básicas tienen un coeficiente de 1 en la
intersección de su renglón y columna correspondiente y cero en los demás renglones
incluido la función objetivo

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Paso 2: La S.B.F. es óptima, si y sólo si todos los coeficientes del renglón (Z) son no
negativos. De lo contrario se debe iterar. En
Paso 3: Si comprobamos que hay coeficientes negativos en el renglón (Z), marcamos
el mayor en valor absoluto y esta será la variable no básica que entra a la base. Para
determinar la variable básica que sale de la base, divida cada elemento del lado
derecho para cada elemento del vector entrante debe ser mayor que cero (POSITIVO)
c) Se identifica el renglón con la menor razón
La variable básica para este renglón es la que sale y se le da el nombre de renglón
pivote. La intersección entre la columna pivote y el renglón pivote lo denominamos
número pivote. El patrón de coeficientes en la columna de la variable que entra en la
base, debe quedar como actualmente está el patrón de coeficientes de la variable que
sale.
Paso 4: Calculamos los nuevos coeficientes de la matriz:
a) Coeficientes del renglón de la variable que entra: Dividimos el renglón pivote
entre el número pivote y el resultado serán los coeficientes del nuevo renglón de
la variable que entra.
b) Coeficientes de los demás renglones : Dividimos el nuevo renglón de la variable
que entra por menos el coeficiente del de la variable que entra en el renglón que
estamos calculando y al resultado, le sumamos el renglón que teníamos
inicialmente
Paso 5: Construimos la tabla con los resultados.
Paso 6: En la nueva matriz, comprobamos los coeficientes del renglón Z, si todavía
existen coeficientes negativos, se sigue iterando, de lo contrario hemos terminado y
hallamos la solución óptima.
Exsiten problemas de programación lineal que no proporcionan una solución básica
inicial. Esta situación se presenta cuando al menos una de las restricciones es del tipo
(<=) o (=). Para este propósito se desarrollan 2 métodos basados en el uso de
variables artificiales: El método M o de penalización y la técnica de 2 fases.
METODO M O DE PENALIZACIÓN.
Los pasos básicos del método M son los siguientes:
1. Exprese el problema en forma estándar transformando las inecuaciones en
ecuaciones introduciendo variables de holgura.
2. Agregue variables no negativas al lado izquierdo de cada una de las ecuaciones
correspondientes a las restricciones de tipo (>=) o (=). Estas variables se denominan
variables artificiales y su adición hace que las restricciones correspondientes.

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Esta dificultad se elimina asegurando que las variables sean 0 en la solución final. Esto
se logra asignando una penalización muy grande por unidad a estas variables en la
función objetivo. Tal penalización se designará como –M para problemas de
maximización y +M para problemas de minimización.
3. Utiliza las variables artificiales en la solución básica inicial; sin embargo la función
objetivo de la tabla inicial se prepara adecuadamente para expresarse en términos de
las variables no básicas únicamente. Esto significa que los coeficientes de las variables
artificiales en la función objetivo deben ser 0 un resultado que puede lograrse sumando
múltiplos adecuados de las ecuaciones de restricción al renglón objetivo.
4. Proceda con los pasos regulares del método simplex.
MINIMIZACIÓN.
Para resolver problemas de minimización mediante el algoritmo simplex existen dos
procedimientos que se emplean con regularidad.
- El primero, que a mi juicio es el más recomendable se basa en un artificio aplicable al
algoritmo fundamentado en la lógica matemática que dicta que "para cualquier función
f(x), todo punto que minimice a f(x) maximizará también a - f(x)". Por lo tanto el
procedimiento a aplicar es multiplicar por el factor negativo (-1) a toda la función
objetivo.
a continuación se resuelve el algoritmo como un problema de maximización.
- El segundo procedimiento, el cual pretende conservar la minimización consiste en
aplicar los criterios de decisión que hemos esbozado con anterioridad, en los casos de
la variable que entra, que sale y el caso en el que la solución óptima es encontrada.
Aquí recordamos los procedimientos según el criterio dado el caso "minimizar".