1. Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Física
Introducción a la Física (Fis-100)
Problemas Resueltos de Análisis Dimensional
eleazar.madariaga@alumnos.usm.cl
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Antes de iniciar con los problemas resueltos, presentare un resumen con
aspectos importantes de este tema, que muchas veces por su carácter
básico no es muy tratado y a veces olvidado.
Magnitudes Físicas
En nuestra vida cotidiana todos tenemos la necesidad de medir
longitudes, contar el tiempo o pesar cuerpos, por ejemplo
podemos medir la longitud de una tubería, el volumen de un
barril, la temperatura del cuerpo humano, la fuerza de un atleta, la
velocidad del bus; todas estas son magnitudes o cantidades
físicas, luego:
Magnitud es todo aquello que podemos medir directa o
indirectamente y asignarle un número y unidad.
Existe una gran cantidad de magnitudes, en forma general estas se
clasifican de acuerdo a su origen y de acuerdo a su naturaleza.
POR SU ORIGEN:
- Magnitudes fundamentales
- Magnitudes derivadas
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2. POR SU NATURALEZA:
- Magnitudes escalares
- Magnitudes vectoriales
Magnitudes Fundamentales
Medir una magnitud es
compararla con otra magnitud
homogénea tomada como
unidad de medida.
Las magnitudes fundamentales son aquellas que no se pueden
expresar en función de otras, estas se toman arbitrariamente y
sirven de base para el desenvolvimiento de la ciencia.
Las magnitudes fundamentales son aquellas tomadas
convencionalmente y sirven de base para las demás magnitudes.
En función de estas magnitudes fundamentales pueden escribirse
muchas otras magnitudes como: El área, la velocidad, la densidad,
la presión… etc.
Cuando se mezclan magnitudes fundamentales se obtienen otras
magnitudes denominadas DERIVADAS.
Actualmente se emplea un sistema fundamental denominado
Sistema Internacional de Unidades (SI), que esta basado en el
sistema métrico decimal, en este sistema se consideran siete
magnitudes fundamentales y dos auxiliares.
Conforme la ciencia se desarrolla es necesario medir nuevas
magnitudes, luego el numero de magnitudes fundamentales debe
ir aumentando, en el siglo XVI solamente se conocían y
empleaban; la longitud (L), la masa (M) y el tiempo (T).
El análisis dimensional fue introducido en las ciencias físicas de
Occidente por Jean Baptiste Joseph, barón de Fourier (1768 1830) en su obra Theorie analytique de la chaleur.
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3. La siguiente tabla muestra las unidades del sistema internacional
(SI)
Magnitud Física
Símbolo de la
magnitud
Longitud
Masa
Tiempo
Intensidad de
corriente
Temperatura
termodinámica
Intensidad
luminosa
Cantidad de
sustancia
Nombre de la
Unidad
Símbolo de la
unidad
Metro
kilogramo
Segundo
Amperio
m
kg
s
A
ߠ
Kelvin
K
J
Candela
cd
N
Mol
mol
L
M
T
I
También se emplean dos magnitudes auxiliares
Magnitud auxiliar
Nombre de la Unidad
Símbolo de la unidad
Angulo plano
Angulo solido
Radian
Estereorradián
rad
sr
Ecuaciones Dimensionales
Empleando las magnitudes fundamentales se pueden escribir otras
magnitudes denominadas derivadas, la ecuación dimensional
muestra simplemente la relación que existe entre las magnitudes
derivadas y las fundamentales, matemáticamente se representa
como un monomio algebraico, es decir, es de la forma:
ܮ ܯ ܶ ߠ ௗ ܫ ܬ ܰ
Donde ܰ ,ܬ ,ܫ ,ߠ ,ܶ ,ܯ ,ܮson las magnitudes fundamentales y
ܽ, ܿ, ݀, ݁, ݂, ݃ son exponentes enteros.
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4. NOTACION
[B]: Se lee ecuación dimensional de la magnitud B.
Las ecuaciones dimensionales tienen el siguiente objetivo:
I.
Escribir las magnitudes derivadas en función de las
magnitudes fundamentales.
II.
Demostrar la validez de una formula.
III. Determinar formulas empíricas.
OBSERVACION: La ecuación dimensional de una magnitud
fundamental es la misma magnitud fundamental.
Ejemplos:
[Longitud] = L
[Masa] = M
REGLAS DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES
REGLA Nº 1
La adición o sustracción no se aplican a las ecuaciones
dimensionales, sino que sumando o restando magnitudes de la
misma naturaleza obtendremos otra de la misma naturaleza,
ejemplos:
ି ܶܮଶ ି ܶܮଶ ൌ ି ܶܮଶ
ିܮܯଷ െ ିܮܯଷ ൌ ିܮܯଷ
(no se cumple la suma)
(observe que no da cero)
REGLA Nº 2
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5. Las leyes de la multiplicación y la división son aplicables a las
ecuaciones dimensionales, ejemplos:
ܯܮ
ൌ ି ܶܯܮଵ
ܶ
ܶܮ · ܮൌ ܶܮଶ
ܯସ ܶ ଶ
ൌ ܯଷ ܶ ଷ
ିଵ
ܶܯ
REGLA Nº 3
Las constantes matemáticas (números) son aquellas que carecen
de unidades, luego:
La ecuación dimensional de un número es la unidad.
[Numero]= 1
Ejemplos:
- La “función trigonométrica” es un numero:
ሾܿ ߙݏሿ ൌ 1
- La “función logarítmica” es un numero:
ሾlog ܰሿ ൌ 1
- Los “exponentes” son números.
Dado ݕൌ ݁ ௫ tendremos que: ሾ ݔሿ ൌ 1
Como “ܰ” también es un numero, tendremos ሾܰሿ ൌ 1
- Las “constantes matemáticas” en sus diferentes formas son
adimensionales (no tienen unidades)
ሾߨሿ ൌ 1
ൣ√2൧ ൌ 1
- Los “ángulos” son considerados cantidades adimensionales:
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6. ሾߨ ݀ܽݎሿ ൌ 1
ሾ40°ሿ ൌ 1
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD
En una ecuación homogénea de adición o sustracción todos los
términos tienen la misma ecuación dimensional.
Sea una ecuación de adición:
S=A+B+C
tendremos que:
ሾܵሿ ൌ ሾܣሿ ൌ ሾ ܤሿ ൌ ሾܥሿ
El principio de homogeneidad indica que a una fuerza solamente
podremos sumarle fuerzas.
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Problema resueltos
1.- Hallar la ecuación dimensional de:
a) Velocidad
b) Aceleración
c) Área
d) Volumen
e) Fuerza
f) Densidad
g) Trabajo
h) Potencia
i) Presión
j) Frecuencia
k) Carga eléctrica
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7. l) Iluminación
SOLUCION:
a) Sabemos que
ݒൌ
Luego
ሾݒሿ ൌ
ሾ݀ሿ ܮ
ൌ ൌ ି ܶܮଵ
ሾݐሿ ܶ
b) Por definición
ܽൌ
Luego
݀
ݐ
∆ݒ
ݐ
ሾ∆ݒሿ ି ܶܮଵ
ሾܽሿ ൌ
ൌ
ൌ ି ܶܮଶ
ሾݐሿ
ܶ
c) Conociendo que equivale a la base (ܾ) por la altura (݄)
ܣൌܾ·݄
Luego
ሾܣሿ ൌ ሾܾሿሾ݄ሿ
La base y la altura son longitudes
ሾܣሿ ൌ ሾܾሿሾ݄ሿ ൌ ܮܮൌ ܮଶ
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8. d) El volumen de una tabla es
ܸ ൌ ݈ܽݐ݈ܽ · ݄ܿ݊ܽ · ݃ݎ
ሾܸሿ ൌ ܮܮܮൌ ܮଷ
e) La fuerza es el producto de la masa (݉) y la aceleración (ܽ)
ܨൌ ݉ܽ
Luego
ሾܨሿ ൌ ሾ݉ሿሾܽሿ ൌ ି ܶܮܯଶ
f) La densidad (ߩ) de un cuerpo es la relación entre la masa (݉) y su
respectivo volumen ( ܸ)
ߩൌ
Luego
ሾߩሿ ൌ
݉
ܸ
ሾ݉ሿ ܯ
ൌ ൌ ିܮܯଷ
ሾܸሿ ܮଷ
g) El trabajo (ܹ) es el producto entre la fuerza ( )ܨy la distancia (݀)
ܹ ൌ ݀ܨ
Luego
ሾܹሿ ൌ ሾܨሿሾ݀ሿ ൌ ି ܶܮܯଶ ܮൌ ܮܯଶ ܶ ିଶ
h) La potencia (ܲ) es la relación entre el trabajo (ܹ) y el tiempo ()ݐ
ܲൌ
ܹ
ݐ
Luego
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9. ሾܹሿ ܮܯଶ ܶ ିଶ
ሾܲሿ ൌ
ൌ
ൌ ܮܯଶ ܶ ିଷ
ሾݐሿ
ܶ
i) La presión (ܲ) relaciona la fuerza ( )ܨy el área ()ܣ
ܲൌ
Luego
ܨ
ܣ
ሾܨሿ ି ܶܮܯଶ
ሾܲሿ ൌ
ൌ
ൌ ିܮܯଵ ܶ ିଶ
ሾܣሿ
ܮଶ
j) La frecuencia (݂) es la inversa del periodo ( ܶ)
݂ൌ
Luego
ሾ݂ሿ ൌ
1
ܶ
1
ൌ ܶ ିଵ
ሾܶሿ
k) La carga eléctrica ( )ݍes el producto de la intensidad de corriente ( )ܫy
el tiempo ()ݐ
ݍൌ ݐܫ
Luego
ሾݍሿ ൌ ሾܫሿሾݐሿ ൌ ܶܫ
l) La iluminación ( ܻ) es la relación entre la intensidad luminosa ( )ܬy el
cuadrado de la distancia (݀)
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11. fuerza de atracción entre dos partículas de masas ݉ଵ y ݉ଶ separadas por
una distancia ݎes:
3.- Según la ley de la gravitación universal, enunciada por Newton, la
ܨൌܩ
Calcule ሾܩሿ.
݉ଵ ݉ଶ
ݎଶ
SOLUCION:
ሾܨሿ ൌ ሾܩሿ
Para la fuerza sabemos que
ሾ݉ଵ ሿሾ݉ଶ ሿ
ሾݎሿଶ
… ሺ1ሻ
ሾܨሿ ൌ ି ܶܮܯଶ
Reemplazando en (1)
ି ܶܮܯଶ ൌ ሾܩሿ
ܶܮܯ
ିଶ
ሾ݉ଵ ሿሾ݉ଶ ሿ
ሾݎሿଶ
ൌ ሾܩሿ
ܯଶ
ܮଶ
ሾܩሿ ൌ ିܯଵ ܮଷ ܶ ିଶ
4.- En la siguiente ecuación, ¿Qué magnitud puede representar ܻ?, se sabe
que ܲ es presión, ܣes área y ݉ es masa.
ܻൌߨ
ܲܣ
݉݊݁ݏሺߙሻ
SOLUCION:
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12. ሾܻሿ ൌ ሾߨሿ
Recordemos que
ሾܲሿሾܣሿ
ሾ݉ሿሾ݊݁ݏሺߙሻሿ
… ሺ1ሻ
ܲ :݊݅ݏ݁ݎሾܲሿ ൌ ିܮܯଵ ܶ ିଶ
:ܽܿ݅ݐܽ݉݁ݐܽ݉ ݁ݐ݊ܽݐݏ݊ܥሾߨሿ ൌ 1
:ܽ݁ݎܣሾܣሿ ൌ ܮଶ
:ܽݏܽܯሾ݉ሿ ൌ ܯ
:ܽܿ݅ݎݐ݁݉݊݃݅ݎݐ ݊݅ܿ݊ݑܨሾ݊݁ݏሺߙሻሿ ൌ 1
Reemplazando en (1)
ሾܻሿ ൌ
ିܮܯଵ ܶ ିଶ ܮଶ
ൌ ି ܶܮଶ ݊݅ܿܽݎ݈݁݁ܿܽ
ܯ
elástico es directamente proporcional a su deformación :ݔ
5.- En la ley de Hooke se establece que la fuerza aplicada a un resorte
Hállese ሾ݇ሿ.
ܨൌ ݇ݔ
SOLUCION:
En la ley de Hooke ܭes la constante de rigidez y la deformación ݔes una
distancia, luego:
ሾܨሿ ൌ ሾ݇ሿሾݔሿ
ି ܶܮܯଶ ൌ ሾ݇ሿܮ
ሾ݇ሿ ൌ ି ܶܯଶ
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13. 6.- Se muestra una ecuación homogénea en donde ܤy ܥson magnitudes
desconocidas, ܦes densidad, hállese ሾܵሿ.
ܣൌ ܤ ܥௌ௦ሺఏሻ
SOLUCION:
Recordemos que el exponente ܵ݊݁ݏܦሺߠሻ es un número y su ecuación
dimensional es uno
ሾܵ݊݁ݏܦሺߠሻሿ ൌ 1
ሾܵሿሾܦሿሾ݊݁ݏሺߠሻሿ ൌ 1
ሾܵሿିܮܯଷ ൌ 1
ሾܵሿ ൌ ܮଷ ିܯଵ
7.- Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, donde ܵ: área, ܽ:
aceleración y ܸ: velocidad, halle la ecuación dimensional de .ݕ
ߨ ݕൌ ܵ ݔlog ቀ
ܽݔ
ቁ
ܸ
SOLUCION:
ሾߨሿሾݕሿ ൌ ሾܵሿሾݔሿሾlog ቀ
ሾݕሿ ൌ ሾܵሿሾݔሿ
ሾݕሿ ൌ ܮଶ ሾݔሿ
ܽݔ
ቁሿ
ܸ
… ሺ1ሻ
La función logaritmo se aplica a los números, luego la expresión
௫
es un
número, de modo que su ecuación dimensional es la unidad
ሾܽሿሾݔሿ
ൌ1
ሾܸሿ
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14. ሾܸሿ ି ܶܮଵ
ሾݔሿ ൌ
ൌ
ൌܶ
ሾܽሿ ି ܶܮଶ
Reemplazando en (1)
ሾݕሿ ൌ ܮଶ ܶ
8.- Determine las dimensiones que deben tener ܣy ܤen la siguiente
ecuación homogénea.
ܸ: Volumen
ܲ: Peso
݉: Masa
ܽ: Aceleración
10ܸܲ ൌ ݉ ܣ ܽܤ
SOLUCION:
Usando el principio de homogeneidad en la suma
ሾ10ܸܲሿ ሾ݉ܣሿ ถ
ᇧ ᇧ
ᇤ
ᇣ ᇤ ᇥ ൌ ᇣ ᇥ ൌ ሾܽܤሿ
ሺଵሻ
Igualando (1) y (2)
ሺଶሻ
ሺଷሻ
ሾ10ሿሾܸሿሾܲሿ ൌ ሾ݉ሿሾܣሿ
ܮଷ ି ܶܯܮଶ ൌ ܯሾܣሿ
ሾܣሿ ൌ ܮସ ܶ ିଶ
Igualando (1) y (3)
ሾ10ሿሾܸሿሾܲሿ ൌ ሾܽሿሾܤሿ
ܮଷ ି ܶܯܮଶ ൌ ି ܶܮଶ ሾܤሿ
ሾܤሿ ൌ ܮଷ ܯ
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15. 9.- La velocidad con que cae un cuerpo en el interior de un líquido viscoso
puede calcularse usando la formula:
ܸ ൌ ߙ · ݖ · ݓଶ
En esta expresión ݓtiene dimensiones ܮଶ ܶ ିଵ y la cantidad ݖtiene
dimensiones ିܮଶ ܶ ଷ . Determine, las dimensiones de la constante ߙ.
SOLUCION:
Usando las ecuaciones dimensionales
ሾܸሿ ൌ ሾߙሿ · ሾݓሿ · ሾݖሿଶ
Recordemos que
ሾܸሿ ൌ ି ܶܮଵ
Despejamos ሾߙሿ y reemplazamos
ሾߙሿ ൌ
ሾܸሿ
ሾݓሿሾݖሿଶ
ି ܶܮଵ
ሾߙሿ ൌ ଶ ିଵ ିଶ ଷ ଶ
ܶ ܮሺ ܶ ܮሻ
ି ܶܮଵ
ሾߙሿ ൌ ଶ ିଵ ିସ
ܶ ܮ ܶܮ
ି ܶܮଵ
ሾߙሿ ൌ ିଶ ହ
ܶ ܮ
ሾߙሿ ൌ ܮଷ ܶ ି
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