Este documento presenta conceptos fundamentales de la teoría de fluidos y problemas asociados. Introduce la definición de mecánica de fluidos y su ubicación dentro de la mecánica para ingenieros. Explica la hipótesis del medio continuo y define magnitudes, dimensiones y unidades fundamentales como masa, longitud y tiempo, y secundarias como velocidad, aceleración y presión.

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UNIDAD I
PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
1. INTRODUCCIÓN
La mecánica de fluidos, como todas las demás ciencias aplicadas, nace por el interés
que pone el hombre para solucionar, de una manera más eficaz y técnica, una serie de
problemas planteados por él, que le permitan satisfacer sus necesidades de la forma más
sencilla y apropiada.
Un primer problema planteado fue el de ¿cómo llevar el agua desde una fuente hasta
otro u otros puntos donde se le necesita, sin utilizar recipientes? Para dar solución a este
y otros problemas planteados el hombre empieza a interesarse por la Mecánica de
Fluidos, sin embargo, por mucho tiempo sus conocimientos los obtuvo en base a
observaciones tediosas, aproximaciones y empirismo, con soluciones bastante limitadas.
Es a partir del siglo XVIII que algunos estudiosos dieron solución analítica a muchos
problemas relacionados con el movimiento de fluidos, gracias a la concepción de
hipótesis simplificatorias, motivo por el cual dichas soluciones tuvieron poca identidad
con el fenómeno real.
En la actualidad, si bien es cierto, muchos problemas referente al movimiento de fluidos
permanecen todavía sin resolver, la Mecánica de Fluidos permite resolver problemas
particulares en vase a un análisis Teórico-Experimental, haciendo posible el diseño de
variadas y grandes obras de ingeniería en lo que respecta a Dinámica de Fluidos, cave
destacar aquí la contribución del Análisis Dimensional, la Teoría de Modelos, los
Métodos Numéricos y la Computación, disciplinas que contribuyeron al gran despegue
de la Mecánica de Fluidos Moderna.
1.1 Definición de Mecánica de Fluidos
Puede definirse como parte de la Mecánica General, que utiliza las leyes y principios
básicos de aquella para aplicarlos al estudio del comportamiento de los fluidos, tanto en
reposo como en movimiento. De acuerdo con esta definición, la Mecánica de Fluidos es
una ciencia aplicada y por esta razón es menester e indispensable que el estudiante de
esta materia posea los suficientes conocimientos de mecánica general y de otras ciencias
que tienen implicancia con ésta, tal es el caso específico de análisis matemático, física,
métodos numéwricos y de algunas leyes de la termodinámica. Con todo esto, unido a la
experimentación, se está en la posibilidad de aplicar los fenómenos observados y
predecir, por lo menos de una manera aproximada, el comportamiento de los fluidos
bajo ciertas condiciones especificadas.

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1.2 Ubicación de la Mecánica de Fluidos dentro de la Mecánica para
Ingenieros
Se define a la Mecánica General, como la ciencia que describe y predice las condiciones
de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. La Mecánica se divide
en campos que, teniendo algo en común, interesa en formas diferentes a físicos,
astrónomos e ingenieros.
Para los Ingenieros, los campos importantes de la Mecánica son los que se aprecian en
el diagrama siguiente:
MECÁNICA PARA INGENIEROS
1.3 Los fluidos y el medio continuo
El medio continuo o simplemente “el Continuo” es una hipótesis que consiste en
suponer a la materia, que conforma un fluido, como distribuida en forma contínua y
uniforme, prescindiendo de los espacios vacíos o intersticios entre moléculas, cuya
presencia se da en una distribución real de la materia.
Para estudiar el comportamiento de un fluido, ya sea en reposo o en movimiento, es
indispensable asociar a cada punto de la región del espacio ocupado por el fluido, un
escalar, un vector o un tensor; resultando campos escalares, vectoriales o tensoriales,
respectivamente. Si concebimos la distribución real de la materia, con sus espacios
vacíos, existirán puntos del espacio, que en determinado instante, no están ocupados por
partícula alguna (puntos muertos) y entonces a estos puntos no les correspondería
ningún vector, escalar o tensor; esta discretización de la materia haría muy dificultoso y
hasta imposible el estudio de los fluidos. Se evita este dilema si suponemos una
distribución continua de la materia, sin la existencia de los espacios vacíos.
La hipótesis del medio continuo se ve plenamente justificada por el número muy grande
de moléculas que existen en un volumen muy pequeño de fluido; es decir, que las
MECÁNICA DE SÓLIDOS MECÁNICA DE FLUIDOS
MECÁNICA DE LOS
CUERPOS RÍGIDOS
MECÁNICA DE LOS
CUERPOS DEFORMABLES
FLUIDOS
COMPRESIBLES
FLUIDOS
INCOMPRESIBLES
ESTÁTICA DINÁMICA
CINEMÁTICA
TEORÍA DE
ELASTICIDAD
RESIST. DE
MATERIALES
TEORÍA DE
PLASTICIDAD
CINÉTICA

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distancias intermoleculares son demasiado pequeñas. Para tener una idea clara de lo que
se está afirmando basta saber que, aproximadamente, la distancia media molecular está
dada por:
3
3
1 1
n
n
d 
 
(1)
Siendo “d” la distancia media molecular (cm) y “n” el número de moléculas que hay en
un centímetro cúbico de fluido. De aquí en adelante trataremos a los fluidos como
medios continuos, por que a la par que es justificable tal suposición facilita
enormemente el estudio mediante la obtención de campos escalares, vectotriales y
tensoriales. Son ejemplos de campos escalares en los fluidos, la densidad, el peso
específico, la presión, la temperatura etc., son ejemplos de campos vectoriales, las
velocidades, aceleraciones, cantidad de movimiento, impulso, momento cinético, etc.,
todo en un campo de flujo (criterio de Euler).
1.4 MAGNITUDES, DIMENSIONES Y UNIDADES
• Magnitudes
Son cantidades cuantificables mediante unidades de comparación. Se ha llegado a la
conclusión que existen magnitudes fundamentales y magnitudes secundarias o
derivadas; estableciéndose que el número de las magnitudes fundamentales
independientes son tres: fuerza, longitud y tiempo; o bien masa, longitud y tiempo.
Cuando se usan las tres primeras el sistema se llama gravitacional y cuando se usan las
tres últimas se dice que el sistema es absoluto.
Las cuatro magnitudes mencionadas anteriormente, están relacionadas mediante la
segunda Ley de Newton, de las cuales tres de ellas son independientes y una
dependiente.
En el campo de la electricidad aparece una cuarta magnitud fundamental que es la carga
eléctrica y en el campo de la termodinámica la cuarta unidad fundamental es la
temperatura.
Las magnitudes secundarias o derivadas resultan ser función de las fundamentales y
son en número muy grande.
Cada una de las magnitudes fundamentales se las define de la manera siguiente:
➢ FUERZA, es toda acción tendiente a alterar o cambiar el estado de
reposo o movimiento de un cuerpo.
➢ LONGITUD, es el espacio de una sola dimensión.
➢ MASA, es la cantidad de materia que posee un cuerpo.

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Son ejemplos de magnitudes secundarias, el esfuerzo, la presión, el trabajo, la potencia,
la velocidad, la aceleración, el momento, la cantidad de movimiento, etc.
• Dimensiones
Se llama dimensión al símbolo o símbolos que dan la representación literal de una
magnitud (fundamentale o secundaria). Al igual que las magnitudes, las dimensiones
pueden ser: fundamentales y secundarias o derivadas, según que representen a las
magnitudes fundamentales o secundarias, respectivamente.
Las dimensiones de las magnitudes fundamentales son las que a continuación se
muestran:
MAGNITUD DIMENSIÓN
Fuerza F
Longitud L
Tiempo T
Masa M
Carga Eléctrica q
Temperatura 0
Las dimensiones de las magnitudes secundarias o derivadas se escriben en función de
las dimensiones fundamentales. Algunas de estas magnitudes y dimensiones se
presentan en el Cuadro 1.
Cuadro 1. Magnitudes y dimensiones
MAGNITUDES
DIMENSIONES
Sistema Absoluto Sistema Gravitacional
Velocidad LT-1
LT-1
Aceleración LT-2
LT-2
Momento de reflexión, trabajo, energía ML2
T-2
FL
Presión, esfuerzo, módulo de elasticidad ML-1
T-2
FL-2
Densidad ML-3
FL-4
T-2
Peso específico ML-2
T-2
FL-3
Tensión superficial MT-2
FL-1
Viscosidad dinámica ML-1
T-1
FTL-2
Viscosidad cinemática L2
T-1
L2
T-1
etc., etc.
• Unidades
Se llama unidad al patrón de comparación que sirve para medir las magnitudes. El
resultado de la medición de una magnitud queda determinado por el número de veces
que la unidad está contenida en dicha magnitud, seguida de la unidad de medida.
Existen diversas unidades con las que pueden medirse una misma magnitud, así por
ejemplo las unidades más frecuentes usadas para medir las magnitudes fundamentales y
que son conocidas como unidades fundamentales son:

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Para la fuerza: el kilogramo fuerza (kg), el Newton (New), la libra fuerza (Lb), la
tonelada fuerza (Tn), el gramo fuerza (gr), la dina, etc.
Para la longitud (L): el metro (m), el pie (ft), la yarda, la milla, el centímetro (cm), la
pulgada, etc.
Para el tiempo (T): el segundo (s), la hora (h), el minuto (min.), etc.
Para la temperatura (0): el grado centígrado (ºC), el grado farenheit (ºF) el grado
Kelvin o absoluto (ºK), el grado Rankine (ºR), etc.
Las unidades secundarias se expresan en función de las fundamentales.
1.5 Unidades, dimensiones y factores de conversión para las unidades
fundamentales
Uno de los primeros problemas con que se enfrenta el estudiante de Mecánica de los
Fluidos es, sin duda, la conversión de unidades; problema que se torna simple mediante
el uso del Análisis Dimensional.
El análisis Dimensional o Teoría Dimensional constituye una herramienta muy útil en la
Mecánica moderna y trata de las relaciones de las dimensiones y de las magnitudes. La
teoría de las dimensiones tiene su aplicación importante en:
• La conversión de unidades de un sistema a otro.
• La comprobación dimensional de las relaciones físicas deducidas.
• La deducción de las ecuaciones que describen fenómenos físicos.
• La reducción o selección del número de variables requeridas en un
programa experimental.
• El establecimiento de los principios para el diseño de modelos.
Veremos aquí las dos primeras aplicaciones por ser de urgente necesidad, en cambio las
tres últimas las trataremos más adelante.
Análisis de las dimensiones fundamentales
Las cuatro dimensiones, que representan a las cuatro magnitudes consideradas como
fundamentales, están relacionadas mediante una función en la que tres de ellas son
independientes y una dependiente. Se ha adoptado que sea la masa o la fuerza las
magnitudes dependientes, en cambio la longitud y tiempo sean siempre magnitudes
independientes. La función a la que hemos hecho referencia es la expresión matemática
de la segunda Ley de Newton, que escrita en forma escalar es la ecuación (2).

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n
n a
m
F .
 (2)
Donde Fn es la resultante de todas las fuerzas actuantes sobre los cuerpos; m es la masa
del cuerpo que se mueve y an es la aceleración del cuerpo; n es una dirección cualquiera.
Si las magnitudes de la ecuación (2), se reemplazan por sus dimensiones se llega a la
ecuación (3).
2

 MLT
F (3)
Si en la relación (3), la fuerza es la magnitud dependiente, sus posibles unidades de ésta
se aprecian en el Cuadro 2.
Cuadro 2. Magnitudes dependientes e independientes en el
sistema absoluto.
MAGNITUDES
INDEPENDIENTES
MAGNITUD
DEPENDIENTE
MASA LONGITUD TIEMPO FUERZA
DIMENSIONES (Sistema
absoluto)
M L T MLT-2
UNIDADES
Kgm m s 1 Kgm xm/s2
= 1 Newton
Lbm Pie s
1 Lbm x pie/s2
= 1
poundal
grm cm s 1 grm x cm/s2
= 1 dina
En cambio, si la masa es la dependiente, la ecuación (3) queda: MT2
L-1
, y las posibles
unidades para esta magnitud se presentan en el Cuadro 3.
Cuadro 3. Magnitudes dependientes e independientes en el
sistema gravitacional.
MAGNITUDES
INDEPENDIENTES
MAGNITUD
DEPENDIENTE
FUERZA LONGITUD TIEMPO MASA
DIEMSIONES (Sistema
gravitacional)
F L T FT2
L-1
UNIDADES
Kg m s 1 Kg xs2
/m = 1 UTM
Lb Pie s 1 Lb x s2
/pie = 1 slug
Es de suma utilidad introducir aquí el concepto de gravedad normal o estándar.

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Gravedad normal o estandar
Es el valor de la gravedad (9.81m/s2
), en un determinado lugar de la tierra, que actuando
sobre un kilogramo masa (kgm) le produce una atracción de un kilogramo fuerza (kg).
Reemplazando los valores de esta definición en la ecuación (1.3), en el sistema MKS se
tiene:
1 Kg = 1 Kgm x 9.81 m/s2
= 9.81 Kg x m/s2
= 9.81 Newton.
Donde: 1 Kgm = 1/9.81 Kg x s2
/m; pero 1 Kg x s2
/m = 1 UTM.
Luego: 1 UTM = 9.81 Kgm = 1 Kg x s2
/m
En la unidad inglesa:
1 Lbm x 32.174 pie/s2
= 1 Lb = 32.174 Lbm x pie/s2
.
Otra posibilidad para convertir la ecuación de Newton en dimensionalmente
homogénea, es introduciendo una constante, cuyo valor depende únicamente del sistema
de unidades a utilizar. Llamando g0 a esta constante, la ecuación de Newton queda:
o
n
n
g
a
m
F
*
 (4)
Las dimensiones de o
g son: F-1
MLT-2
. El valor de o
g para el sistema MKS, lo
podemos obtener reemplazando los valores de la definición de kilogramo-fuerza en
función de la gravedad normal, en la ecuación (4):
Fn = 1 Kg; m = 1 Kgm; an = 9.81 m/s2
, que luego de reemplazar
el la ecuación (4) se tiene:
2
2
*
*
81
.
9
81
.
9
*
1
*
s
Kg
m
Kg
Kg
s
m
Kg
Fn
an
m
g m
m
o 


Similarmente, en el sistema inglés se tiene: o
g = 32.174 Lbm pie/Lb*s2
. En forma
idéntica se obtienen los valores de o
g para otros sistemas de unidades utilizados. El
valor o
g es muy útil y necesario para poder expresar correctamente la segunda Ley de
Newton, desde el punto de vista dimensional.
Para facilitar las conversiones, se incluye a continuación las unidades y los factores de
conversión más usados:

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FACTORES DE CONVERSIÓN
LONGITUD:
1 pulgada = 2.54 cm
1 pie = 30.48 cm = 0.3048 m
1 milla = 1609.35 m
1 milla náutica = 1853.35 m
FUERZA:
1 Lb = 32.2 poundals = 4.45 x 105
dinas =
453.6 gr = 0.454 Kg.
1 Newton = 9.81 Kg.
1 Tn. métrica = 1000 Kg.
1 Tn. Corta = 0.907 Tn. Métrica
1 Tn. Larga = 1.016 Tn. Métrica
1 Kg. = 2.20 Lb
MASA:
1 Lbm = 0.454 Kgm
1 slug. = 32.2 Lbm
1 UTM = 9.81 Kgm
El procedimiento para efectuar la conversión de unidades, consiste en encontrar un
número o factor de conversión por el que hay que multiplicar para hacer la conversión
respectiva. Este factor puede introducirse en cualquier punto de la ecuación.
Ejemplo 1. Encuentre el factor de conversión que permita cambiar de unidades de la
constante o
g del sistema ingles al sistema MKS.
 
2
2
*
454
.
0
1
3048
.
0
1
*
454
.
0
1
*
81
.
9
*
*
81
.
9
s
Lb
pie
Lb
s
Kg
m
Kg
g m
m
o 

2
*
174
.
32 s
Lb
pie
Lbm

Para convertir unidades del sistema ingles al sistema MKS hay que multiplicar por el
factor 9.81/32.174 y viceversa.
Comprobación dimensional de las relaciones físicas deducidas
Operación conocida también con el nombre de “principio de homogeneidad
dimensional” y establece que en cualquier ecuación que describa un proceso físico
deberá ser dimensionalmente homogénea, es decir, que las dimensiones de los términos
de un miembro de la ecuación deben ser las mismas que las del otro. Antes de usar una
ecuación o una fórmula de la cual se tenga cierta duda o si se quiere estar seguro de que

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el resultado de una deducción es correcto hay que someterla a un chequeo o análisis
dimensional. La única desventaja es que los parámetros adimensionales escapan a este
control. Las ecuaciones o fórmulas empíricas también, por lo general, escapan a este
control dimensional, pero es posible transformarlas a expresiones homogéneas
introduciendo constantes dimensiónales que sólo dependan del sistema de unidades
utilizadas.
Ejemplo 2. Compruebe si la ecuación de Newton es dimensionalmente homogénea.
Solución: Fn = M * an (ecuación de Newton aplicada a una
dirección cualquiera: forma escalar).
Dimensiones del primer miembro : F
Dimensiones del segundo miembro : MLT-2
Por lo que : F ≠ MLT-2
Lo cual demuestra que dicha expresión no es dimensionalmente homogénea, pero como
hemos visto se convierte en una ecuación homogénea introduciendo la constante
dimensional g0 que tiene por dimensiones MF-1
T-2
y que depende de las unidades
utilizadas. Hemos visto que en el sistema MKS, o
g = 9.81m * Kgm/Kg * s2
.
Ejemplo 3. La ecuación que describe la circulación de un fluido viscoso por una tubería
circular puede escribirse de la forma:

























r
r
r
z
P
F
t
K z
1
1
2
2
Donde: K es una constante adimensional;  la velocidad en el eje de la tubería; Fz la
fuerza del cuerpo por unidad de masa;  es la densidad del flujo y p la presión;  es la
viscosidad dinámica; r el radio de la tubería y t el tiempo.
Compruebe dimensionalmente si la ecuación es correcta.
Solución: de acuerdo con el principio de homogeneidad, todos los términos del 2º
miembro deben tener las mismas dimensiones que el primero.
2
1
: 




LT
T
LT
t
K

(Correcto)
2
2
: 

 LT
M
MLT
Fz (Coreecto)
2
3
2
2
3
2
:
1 









LT
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FL
z
P

(Correcto)

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12
2
2
2
3
2
2
2
1
3
2
2
2
*
*
: 











LT
L
LT
ML
TL
MLT
L
LT
ML
FTL
r



(Correcto)
2
1
3
2
2
1
3
2
*
*
: 











LT
L
LT
L
ML
TL
MLT
L
LT
L
ML
FTC
r
r



(Correcto)
De acuerdo con el análisis de dimensiones realizado, la ecuación es correcta desde el
punto de vista literal; más no podríamos afirmar si es correcto en cuanto a los signos de
cada término y en cuanto al parámetro adimensional k, puesto que escapan ha dicho
control.
Ejemplo 4. La fórmula de Harris para el cálculo de la descarga a través de un vertedero
rectangular de cresta agudas es:
5
.
1
2
5
.
1
27
.
3 LH
d
H
H
C
Q

















Donde: Q se mide en pie3
/s; C, H, d, L, se miden en pies. Preparar la fórmula para
usarse en el sistema MKS.
Solución: por el principio de homogeneidad dimensional, todos los términos entre
corchetes deben tener las mismas dimensiones, reemplazando estas dimensiones por una
incógnita tal como "
"Y se tiene:
    5
.
2
5
.
1
1
* L
Y
L
L
Y
LT 


De donde:   1
5
.
0
1
5
.
2
3 



 T
L
T
L
L
Y
Por lo que todos los términos entre corchetes deben tener por dimensiones L0.5
T-1
,
reemplazando la unidad pies por su equivalente en metros, ya que el segundo (s) es el
mismo en ambos sistemas, se tiene:
    2
1
2
1
5
.
0
2
1
55209
.
0
304
.
0
1 m
m
pie
L 


Por lo que a todos los términos entre el corchete se tendrán que multiplicar por este
factor de conversión, y obtenemos:
5
.
1
2
828
.
0
552
.
0
805
.
1 LH
d
H
H
C
Q
















 Respuesta.

13. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
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I
IE
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A
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13
1.6 Comportamiento de los fluidos
Para definir con más precisión la naturaleza de un fluido examinemos el
comportamiento de un sólido elástico o de Hooke, sustancia que no puede clasificarse
como fluido, para luego establecer diferencias con el comportamiento de un fluido.
Placa móvil
Cuerpo elástico
L
Placa fija
Fig. 1. Sólido elástico en ausencia de la fuerza F
x
F
L
Fig. 2
Fig. 2. Sólido elástico bajo influencia de la fuerza tangencial F
La Fig. 1, muestra un bloque prismático de acero, sustancia que es considerada dentro
del grupo de los sólidos elásticos. Los extremos de este bloque prismático se han unido
a una placa superior que puede experimentar desplazamientos (placa móvil) cuando se
le somete a una fuerza; y a una placa inferior que se mantiene fija. Cuando a la placa
móvil se le somete a una fuerza cortante F, como indica la figura 2, el cuerpo sufre una
deformación angular 
 y un desplazamiento lineal x
 , debido a que la fuerza
cortante F transmite un esfuerzo cortante al bloque.
El esfuerzo cortante  a que está sometida el área de la cara superior del bloque es;
A
F

 , donde A es el área de la cara superior del bloque. Además sabemos que,
dentro del rango elástico, el esfuerzo  es proporcional a la deformación o
desplazamiento unitario, es decir:



14. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
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14
L
x
G

 *
 (a)
L
x
G

 *

Donde G es una constante de proporcionalidad llamada módulo cortante.
En la figura 2, si el ángulo 
 es pequeño, entonces:


 



 Tg
Sen (en radianes); luego
L
x





 



 Tg
Sen
Por lo que: L
x *



 (b)
Reemplazando (b) en (a): 
 
 *
G (c)
Cuando una sustancia obedece a la ecuación (c), se llama sólido de Hooke y se observa
que la deformación angular 
 es proporcional al esfuerzo cortante  .
Si observamos el comportamiento del sólido de Hooke de la figura 1, frente a la
aplicación de la fuerza cortante F, capaz de provocarle deformación (Fig. 2), veremos
que:
• Una vez aplicada la fuerza F, la placa móvil empieza a desplazarse
conjuntamente con el extremo del bloque; pero cuando el cuerpo llega a su
máxima deformación, la placa se detiene. Por lo que podemos afirmar que en los
sólidos de Hooke y dentro del rango elástico, la deformación es finita frente a la
aplicación de una fuerza cortante. También podríamos afirmar que si la fuerza F
es sumamente pequeña, el cuerpo no sufre deformación apreciable.
• Si suprimimos la fuerza F, vale decir, la causa que originó la deformación, el
cuerpo recobra su posición o forma original; lo cual nos lleva a pensar que en los
sólidos elásticos la energía de deformación se conserva bajo la forma de energía
de deformación interna, la misma que hace que el cuerpo recobre su forma
original, desde luego si no se ha excedido los límites de elasticidad.
• Los esfuerzos tangenciales, a los que se encuentran sometidos el cuerpo
dependen de las deformaciones angulares, tal como se aprecia en la ecuación (c).
• Imaginemos ahora que el bloque de acero, colocado entre las placas móvil y fija
se substituye por un fluido y luego repitamos el experimento anterior. Se
observará como se muestra en las figuras siguientes.

15. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
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15
Placa móvil
a b
L - FLUIDO
(Reposo)
a b Placa fija
Fig. 3. Placa sobre el fluido sin influencia de fuerza F
y
dx
Fig. 4
L y Diagrama de velocidades
Fig. 4. Placa sobre el fluido bajo influencia de la fuerza F
• Sea cual fuera el valor de la fuerza (por más pequeña que sea), la placa móvil se
acelera pero muy pronto alcanza su velocidad límite v . Las partículas fluidas
que están en contacto con la placa fija no se mueven, mientras que las partículas
que están en contacto con la placa móvil se adhieren a ésta y se desplazan con
ella (con la misma velocidad v ). Este hecho nos demuestra que en los fluidos la
deformación es continua e indefinida mientras persista la fuerza aplicada.
• Si suprimimos la fuerza F, la sustancia (fluido) ya no recupera su posición
original, lo cual pone de manifiesto que la energía de deformación se disipa
completamente, es decir, que el movimiento de un fluido es un proceso
discipativo.
• Los esfuerzos tangenciales o tensiones cortantes  no dependen de la
deformación, sino de la rapidez con que se producen estas deformaciones, tal
como indica la ecuación o la Ley de Newton de la viscosidad que pasaremos a
deducir (experiencias de Newton).
F
´
a ´
b
v F V
v
a b
x

16. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
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M
MA
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16
Los experimentos han demostrado que la velocidad límite V, que alcanza
la placa móvil es directamente proporcional a la fuerza F y a la distancia
L entre placas; pero inversamente proporcional al área de la placa móvil,
o sea:
A
L
F
V *
 , donde  es signo proporcional
Intercambiando términos:
A
F
L
V
 , pero 

F
F
Luego:
L
V

 (d)
Por definición de velocidad:
Vdt
dx  (e)
Además para pequeños ángulos: 
d
L
dx  (f)
De las relaciones (e), (f): 
d
L
Vdt  ó dt
d
L
V 
 (i)
Comparando (d), (i):
dt
d
L
V
A
F



 






 (h)
Introduciendo una constante de proporcionalidad convertimos la proporcionalidad (h)
en la igualdad:
dt
d
L
V
A
F 


 

 (j)
Para una distribución lineal de velocidades (ver diagrama de la figura 4), obtenemos
mediante relaciones geométricas: y
v
L
V  , de donde y
L
V
v *
 , y diferenciando
miembro a miembro a, dy
L
V
dv *
 ó 
 L
V
dy
dv
constante, expresión que
reemplazando en (j) se obtiene:
dt
d
dy
dv
L
V
A
F 



 


 * (5)
La expresión (5) se la conoce como principio de la Ley de Newton de la viscosidad en
honor a su célebre descubridor. El factor de proporcionalidad  se le conoce como
coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad. Esta ecuación nos demuestra que la
tensión cortante o simplemente cortante es proporcional a la velocidad o rapidez de
deformación y no a la deformación misma, tal como ocurre en los sólidos de Hooke.

17. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
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I
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17
Por inferencia matemática, podríamos denotar a la ecuación (5) refiriéndola al plano xy
de la figura 4 en derivadas parciales, de la siguiente manera:
Para flujo unidireccional en el plano xy en la dirección x:
y
vx
xy


 
 (6)
Para flujo bidireccional en el plano xy:




















x
v
y
v
x
v
y
v y
x
y
x
xy 

 (7)
Para flujo tridimensional en los planos xyz:














x
v
y
v y
x
xy 
 (8)












x
v
z
v z
x
xz 
 (9)














y
v
z
v z
y
yz 
 (10)
En todos los casos, se ha considerado a la viscosidad  como constante, esto que el
campo de Euler es isótropo homogéneo respecto a la temperatura y la presión.
1.7 Definición de fluido
Después de haber observado el comportamiento diferente del fluido, respecto a los
sólidos elásticos, se está en condiciones de definir al fluido; definición que debe incluir
tanto a los gases como a los líquidos, por conformar ambos el grupo de los fluidos.
Fluido, es una sustancia que se deforma continuamente, cuando se le somete a un
campo de tensiones cortantes, por muy pequeña que sea la fuerza que induce.
Es de hacer notar que, a presiones inferiores a la crítica, la diferencia entre líquido y gas
es muy claro, mientras que a presiones superiores a la crítica, no existe diferencia
marcada entre líquidos y vapores.
Diferencia entre fluidos y sólidos elásticos
La diferencia en el comportamiento entre fluidos y cuerpos elásticos sometidos a
tensiones cortantes se consignan en el Cuadro 4.

18. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
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DA
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AD
D
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18
Cuadro 4: Diferencias entre fluidos y sólidos elásticos
SÓLIDOS ELÁSTICOS FLUIDOS
1. La deformación es finita frente a la aplicación de
una fuerza, siempre y cuando no se exceda de los
límites elásticos.
1. La deformación es continua e indefinida por la
aplicación de una fuerza cortante; por pequeña que
esta sea.
2. Recobra su forma original al suprimir la fuerza:
la energía de deformación se conserva (es un
proceso conservativo).
2. No recobra su forma original al suprimir la
fuerza que produjo la deformación: la energía de
deformación se disipa completamente (es un
proceso discipativo).
3. Los esfuerzos tangenciales dependen y son
proporcionales a las deformaciones angulares.
3. Los esfuerzos cortantes dependen y son
proporcionales a la rapidez de deformación angular.
4. Por su constitución molecular, el cambio de las
posiciones relativas de sus moléculas es limitado.
4. Por su constitución molecular pueden cambiar
continuamente las posiciones relativas de sus
moléculas, sin ofrecer gran resistencia al
desplazamiento.
5. Las distancias intermoleculares son muy
pequeñas, razón por la cual las fuerzas de cohesión
son grandes, propiedad que los permite soportar
altos esfuerzos de tracción.
5. Las distancias intermoleculares son grandes, por
lo que las fuerzas cohesivas son muy pequeñas y
por esta razón soportan esfuerzos de tensión
cortante muy pequeños.
1.8 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
En la naturaleza, la materia lo podemos encontrar bajo tres formas o estados: sólido,
líquido y gaseoso, estos dos últimos estados se conocen como fluidos.
Diferencia entre líquido y gas
Siendo los líquidos y los gases los que conforman los fluidos, tienen propiedades
generales, aunque a presiones inferiores a la crítica, existen grandes diferencias entre
ellos tales como las denotadas en el Cuadro 5.
Cuadro 5: Diferencias entre líquidos y gases
LÍQUIDOS GASES
1. Toma la forma del recipiente que lo contiene y
adopta una superficie libre.
1. Llena completamente el recipiente y no adopta
superficie libre.
2. Tiene volumen definido que varía muy poco con
la presión y la temperatura, de allí que sean
considerados como incompresibles.
2. No tienen volumen definido, pues varía con la
presión y la temperatura, de allí que sean
considerados como altamente compresibles.
3. Las distancias intermoleculares son menores.
3. Las distancias intermoleculares son mayores, de
allí la gran movilidad de las partículas fluidas.
Entre las propiedades más importantes de los fluidos, podemos citar a los siguientes:
Viscosidad
La viscosidad es la propiedad más importante de los fluidos y se define como la
resistencia que opone el fluido a su deformación al ser sometido a tensiones cortantes.
Cualquier fluido que satisfaga la Ley o ecuación de Newton de la viscosidad:

19. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
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19
dt
d
dy
dv 


 
 , y en general
y
v


 
 (11)
Todo fluido que satisface la ecuación (11) denomina fluido Newtoniano, en realidad
muchos fluidos, tales como el aire, el agua, la gasolina, son básicamente Newtonianos
en su estado natural. Sin embargo, existen cierto número de fluidos comunes que
definitivamente son no Newtonianos como por ejemplo: la sangre humana, algunos
tipos de aceites lubricantes, pinturas, ciertas suspensiones, etc.
La constante de proporcionalidad  de la ecuación de Newton se llama coeficiente de
viscosidad absoluta o viscosidad dinámica.
Al fenómeno de cohesión se le atribuye ser el responsable de la viscosidad en los
líquidos; por cuya razón ésta desminuye al aumentar la temperatura. Lo manifestado se
explica fácilmente porque al aumentar la temperatura, en los líquidos, las distancias
intermoleculares aumentan con la consiguiente disminución de las fuerzas cohesivas,
por lo que el fluido se deformará más fácilmente, es decir, que oponen menor resistencia
a la deformación; caso contrario ocurre al disminuir la temperatura.
En los gases, en cambio, un aumento de la temperatura, implica un aumento del
movimiento molecular; las moléculas con mayor velocidad chocan con las de otras
zonas más lentas obligándolas a aumentar su velocidad; o al contrario, las moléculas,
con menor velocidad chocan con otras de mayor velocidad obligándolos a reducir su
velocidad, con el consiguiente intercambio de cantidades de movimiento de las
moléculas entre las diversas capas del gas, que son la causa del fenómeno que
interpretamos como esfuerzo tangencial viscoso.
Las dimensiones y unidades de la viscosidad absoluta o dinámica, las obtenemos de la
ecuación (11) despejando  y reemplazando por sus dimensiones. En el sistema
gravitacional, las dimensiones y unidades son:
2
1
2
: 





 FTL
T
FL
y
v


En consecuencia, si la fuerza se mide en Kg, el tiempo en s y la longitud en m, resulta la
unidad de viscosidad: 1 Kg. s/m2
, que se le suele llamar unidad técnica de viscosidad
dinámica por carecer de nombre específico. Si la fuerza se mide Lb, el tiempo en s, y la
longitud en pies, la unidad de viscosidad absoluta resulta: 1 Lb * s/pie2
y por último si a
la fuerza se mide en dinas, el tiempo en s, y la longitud en cm, la unidad que resulta es:
1 dina * s/cm2
, unidad ésta que se denomina poise en honor a Poiseuille.
Para fluidos ligeros o poco viscosos, el poise resulta ser todavía una unidad bastante
grande por cuya razón se ha adoptado una unidad mucho más pequeña que es el centi-
poise y equivale a la centésima parte de un poise.

20. P
P
PR
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20
Las relaciones que hay entre las unidades descritas son:
1 Kg * s/m2
= 981,000 dina * s / 104
cm2
= 98.1 dina * s /cm2
= 98.1
poise.
1 Kg * s /m2
= 2.202 Lb * s / 3.2812
pie2
= 0.205 Lb * s /pie2
.
1 Lb * s/pie2
= 9.81/0.205 poise = 478.5 poise.
Las dimensiones de la viscosidad absoluta, en el sistema absoluto son:
1
1
1
2
2
: 







 T
ML
T
L
MLT
y
v

 ; las unidades en este sistema no
tienen mayor importancia práctica.
Variación de la viscosidad con la presión y la temperatura
Se ha comprobado experimentalmente que la presión no produce cambios notables en la
viscosidad dinámica, tanto en los líquidos como en los gases, dependiendo únicamente
de la temperatura: “en los líquidos disminuye la viscosidad al aumentar la temperatura
y, aumenta al disminuir la temperatura”.
“En los gases la viscosidad dinámica aumenta al aumentar la temperatura y disminuye
al desminuir la temperatura”. En el gráfico que sigue se muestra la variación de la
viscosidad con la temperatura en los gases y líquidos.
TEMPERATURA T
Figura 5. Variación de la viscosidad dinámica con la temperatura
Después de numerosos y variables experimentos Poiseuille y Reynolds establecen una
relación que permite calcular la viscosidad dinámica del agua a cualquier temperatura,
esta ecuación es:
 
 
2
000221
.
0
03368
.
0
1
01779
.
0
T
T 


 (12)
VISCOSIDAD

  LIQUIDO
T :

 
  GAS
T :

 

21. P
P
PR
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21
Donde  es la viscosidad dinámica en poises y T es la temperatura del agua en grados
centígrados (ºC).
Por su parte Helman plantea la siguiente expresión para determinar la viscosidad
absoluta  del aire a diferentes temperaturas:
 
2
4
00000034
.
0
00275
.
0
1
10
*
7155
.
1 T
T 

 
 (13)
Donde  es la viscosidad dinámica en poise y T la temperatura en ºC. El aire y el agua
han sido los fluidos más estudiados por los investigadores debido a la amplia utilización
de éstos en trabajos y diseños de ingeniería.
Fluidez
Es un término que está asociado con la viscosidad dinámica del fluido y cuya magnitud
proporciona una medida directamente proporcional a la facilidad con que se deforma;
salvando de ésta suerte la dificultad que se tiene con la viscosidad, que mientras mayor
es ésta la facilidad de deformación es menor. La fluidez (f) se expresa como la inversa
de la viscosidad dinámica:

1

f (14)
Expresión (14) indica que mientras mayor sea la viscosidad absoluta, el grado de
dificultad del movimiento de las capas del fluido aumenta (menor fluidez), y viceversa.
Viscosidad cinemática o relativa
Esta viscosidad se expresa matemáticamente con la relación entre la viscosidad
dinámica  y la densidad  del mismo fluido, o sea:


  (15)
Este parámetro tiene mucha importancia en el estudio de la dinámica de fluidos y está
relacionado con el estado o régimen de escurrimiento de los mismos, tal como veremos
más adelante.
Las dimensiones y unidades de la viscosidad relativa son:
1
2
4
2
2
: 



 T
L
L
FT
FTL



Si la longitud se mide en m y el tiempo en s, resulta: 1 m2
/s, unidad que no tiene número
específico, pero que muchas veces se le denomina unidad técnica de viscosidad relativa.
Si la longitud se mide en pies y al tiempo en s (sistema norteamericano), la unidad que
resulta es; 1 pie2
/s.

22. P
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PR
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Si la longitud se mide en cm y al tiempo en s, resulta: 1 cm2
/s. Unidad que recibe el
nombre de stoke. 1 stoke = 1 cm2
/s. Ésta unidad resulta, en muchos casos, ser todavía
grande para medir la viscosidad relativa de los fluidos livianos o poco viscosos,
adoptándose para éstos menesteres una unidad mucho menor que es el centi-stoke y que
equivale a la centésima parte del stoke.
Las relaciones que existen entre las unidades mencionadas son:
1 m2
/s = (102
)2
cm2
/s = 104
cm2
/s = 104
stoke.
1 m2
/s = 10.764 pie2
/s.
1 pie2
/s = 929 stokes.
Tal como veremos más adelante, la densidad  y el peso específico  de un fluido
están íntimamente relacionados con la gravedad normal o estándar, mediante:

 
g (16)
Resultando: 



 

g
(17)
Según esta relación, la viscosidad relativa  en los líquidos es prácticamente
independiente de la presión, dependiendo sólo de la temperatura. Siendo la densidad en
los líquidos casi constante, la viscosidad relativa en éstos varía con la temperatura de la
misma forma en que lo hace la viscosidad dinámica. En cambio, en los gases la
densidad varía con la presión y la temperatura, por lo que la viscosidad dinámica varía
con éstos parámetros.
La variación de la densidad, en los gases, con la presión y la temperatura está dada por
la ecuación de estado de los gases perfectos, que estudiaremos posteriormente. Una de
las formas de ecuación del estado es:
0
R
T
P


(18)
Donde P es la presión absoluta,  es la densidad del gas, T es la temperatura absoluta
(en ºC) y 0
R es la constante del gas, que para un mismo gas, el valor de 0
R depende
únicamente del sistema de unidades que se utilice.
Combinando las ecuaciones (17) y (18), resulta:
P
T
R 
 *
0
 (19)
Esta relación pone de manifiesto que la variación de la viscosidad relativa o cinemática,
en los gases, depende de la presión y la temperatura. En ésta ecuación, si se mantiene la
presión constante, la viscosidad relativa resulta ser función única de la temperatura y

23. P
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PR
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Viscosidad
Relativa
υ
Viscosidad
Relativa
υ
Viscosidad
Relativa
υ
aumenta con ella; si por el contrario, se mantiene constante la temperatura, la viscosidad
absoluta es función exclusiva de la presión y disminuye al aumentar ésta y viceversa.
Temperatura T
Figura 6: Variación de la viscosidad cinemática en los líquidos.
Temperatura T
Figura 7: variación de la viscosidad cinemática en los gases con la
temperatura manteniendo constante la presión.
Fig. 4
Presión P
Figura 8: variación de la viscosidad cinemática en los gases con la presión mateniendo
constante la temperatura.
Reología
Tal como se dijo antes, la materia ha sido dividida tradicionalmente en fluidos (líquidos
y gases), y sólidos; pero tal división es un tanto artificial puesto que sabemos, existen en
la naturaleza o creados por el hombre, productos o materiales que no encajan claramente
dentro de este marco rígido de clasificación. Así tenemos por ejemplo, las pinturas el
aceite que son líquidos; sin embargo, su comportamiento es similar al de un sólido
  Líquidos
T :

 
  constante
presión
a
Gas
T :

 
  constante
a
temperatur
a
Gas
P

 

24. P
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plástico; asimismo ciertos sólidos, como el alquitrán y el acero, tienen propiedades que
se califican como viscosos.
Este comportamiento de algunos materiales, que aún siendo sólidos tienen las
propiedades de un fluido o que siendo fluidos tienen las propiedades de sólidos, ha dado
origen a una nueva rama de la ciencia llamada Reología, que estudia precisamente la
formación y el flujo de la materia. El campo de la Reología abarca, por un lado, las
ciencias tradicionales de la resistencia de materiales y elasticidad y por el otro, la
mecánica de fluidos, así como también la visco-elasticidad que estudia todos los casos
intermedios entre sólidos y fluidos.
Las propiedades y el comportamiento de la materia (Reología) se estudian desde el
punto de vista macroscópico (muestras de materia de dimensiones finitas) en
laboratorios mediante la llamada “ciencia de los materiales”. Los resultados de éste
estudio macroscópico, son todavía hasta hoy los más utilizados por el ingeniero en la
solución de muchos problemas concretos que se le presentan.
1.9 El Diagrama Reológico
Los diagramas que se presentan a continuación muestran algunos de los resultados de la
Reología, es decir, el comportamiento mecánico de la materia (sólidos y líquidos).
La función lineal deducida antes y
v
dt
d 



 


 , para un fluido Newtoniano
isotermo (viscosidad constante), conocida como “Ley de Newton de la Viscosidad”, se
la puede generalizar, para cualquier sustancia, en la forma:


















y
v
f
dt
d
f

 (20)
La función anterior da lugar al diagrama reológico de cada sustancia y en particular
tratándose de fluidos.

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ESFUERZO
 

 f
Relación 
:
Deformación unitaria
Figura 9: Diagrama reológico de saólidos
Curva 1 : Acero (sólido elástico).
Curva 2 : Cuerpo elástico-plástico.
Curva 3 : Sólido elástico de Hooke.
Curva 4 : Concreto.
Curva 5 : Cuerpo rígido.
1
2
3
4
5


0


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3 4
2
5
6
Rapidez de Deformación: y
v 


*

Figura 10: Diagrama reológico de los líquidos
Identificación de curvas del diagrama reológico de líquidos
Curva 1 : Fluido plástico de Bingham o plástico ideal.
Curva 2 : Fluido o sustancia tixotrópica.
Curva 3 : Fluido dilatante.
Curva 4 : Fluido aseudoplástico.
Curva 5 : Fluido newtoniano.
Curva 6 : Fluido ideal.
Clases de Fluidos
Los fluidos, de acuerdo con el diagrama reológico, se los suele clasificar en dos grandes
grupos: fluidos Newtonianos y fluidos no newtonianos.
a. Fluidos Newtonianos
Son aquellos fluidos que cumplen la relación lineal entre el esfuerzo cortante  y la
rapidez de formación angular dt
d por medio de la viscosidad: y
v 

 
 , es decir
aquellos fluidos que siguen la Ley de Newton de la viscosidad. Observando esta
1







*
: 
 f
Relación


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expresión se puede ver que su diagrama o gráfica es una línea recta que pasa por el
origen, donde la pendiente de dicha recta es la viscosidad dinámica o absoluta  (ver
curva 5).
a. Fluidos No Newtonianos
Son aquellos fluidos o sustancias que no siguen la relación lineal entre el esfuerzo
cortante  y la rapidez de deformación angular y
v
dt
d 


 
 , tales como:
pinturas, soluciones de algunos polímeros, emulsiones (aceite en agua), suspensiones
(arcillas de perforación), etc. Estos fluidos no se prestan a un análisis tan sencillo y
preciso como en el caso de los fluidos Newtonianos.
Los fluidos no Newtonianos a su vez pueden ser: fluidos independientes del tiempo,
fluidos dependientes del tiempo y fluidos visco-elásticos.
• Fluidos Independientes del Tiempo
Estos fluidos se caracterizan porque la velocidad de deformación angular y
v 


 no
depende del tiempo ni del esfuerzo cortante inicial aplicado al fluido. Estos fluidos a su
vez pueden ser: fluido plástico ideal o de Bingham, fluidos Pseudoplásticos y fluidos
Dilatantes.
Fluidos Plásticos Ideales o de Bingham
Se caracterizan porque para deformarse (entrar en movimiento) es menester vencer una
cierta tensión cortante inicial 0
 . Luego de vencer esta resistencia, los fluidos se
comportan similarmente a los Newtonianos, es decir, existe una relación lineal entre la
tensión cortante  y la velocidad de deformación angular dt
d
  . La expresión
matemática que cumplen estos fluidos es:
y
v



 

 0 (21)
Dos constantes caracterizan a estos fluidos: 0
 , que es el esfuerzo o tensión cortante
inicial, llamado también esfuerzo de fluencia o de cesión, que es el esfuerzo que tiene
que ser excedido para que empiece el flujo. La viscosidad plástica  , es la pendiente
de la porción recta (ver curva 1). Pertenecen a este grupo de fluidos: los plásticos,
algunas pinturas, suspensiones de sólidos finamente pulverizados en agua (lodo de
perforación), etc.
Fluidos Pseudoplásticos
Los fluidos que se agrupan bajo esta denominacción se caracterizan por carecer del
esfuerzo de fluencia 0
 o de cesión; por lo que la viscosidad aparente disminuye en
forma progresiva ( a
 ), la viscosidad aparente es la pendiente a la curva, definida por:

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y
v
a




 (22)
También se caracterizan estos fluidos por cumplir la Ley Potencial de Oswald, denotada
por la ecuación (23).
n
y
v
K 









 *
 (23)
Donde, K y n son constantes para un fluido en particular. K es una medida de la
consistencia del fluido, y n es el exponente, que mide la desviación del fluido respecto a
los newtonianos. Para estos fluidos n < 1.
Debe advertirse, que para un fluido newtoniano 

K y 1

n en la ecuación (23).
Fluidos Dilatantes
Estos fluidos se semejan a los pseudoplásticos por carecer del esfuerzo de fluencia 0
 ;
pero difieren de aquellos porque la viscosidad aparente a
 crece al aumentar la
velocidad de deformación angular y
v 
 . Los fluidos dilatantes son menos comunes
que los pseudoplásticos y, al igual que estos, pueden representarse por el modelo
matemático de la Ley Potencial de Oswald, donde: 1

n
n
y
v
K 









 *

Donde 1

n , K es la medida de la consistencia del fluido (ver curva 3).
• Fluidos dependientes del tiempo
El comportamiento de este tipo de fluidos es mucho más complejo que los
independientes del tiempo, puesto que la viscosidad aparente a
 depende no sólo de la
velocidad de formación angular y
v 


 , sino también del tiempo durante el cual se
aplica la tensión cortante  . Existen dos tipos generales de estos fluidos a saber:
Fluidos tixotropicos o sustancias tixotropicas
En estos fluidos, la tensión cortante  decrece con el tiempo a medida que se esfuerza
el fluido. La viscosidad aparente a
 depende del tiempo y de la velocidad de
deformación angular y
v 


 . La tixotropía es un proceso reversible. Un ejemplo de
fluido tixotrópico es la tinta de imprenta.

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Fluidos reopépticos
El comportamiento de este grupo de fluidos es opuesto a los tixotrópicos, pues la
tensión cortante crece con el tiempo a medida que se esfuerza el fluido. Un ejemplo
clásico de este grupo es la clara de huevo.
• Fluidos visco-elásticos
Estos fluidos se caracterizan por exhibir propiedades elásticas y viscosas; el tipo más
simple de éstos es aquel que, en cuanto a la viscosidad es newtoniano y en cuanto a la
elasticidad cumple con la ley de Hooke:





*
0



y
v
(24)
Donde, el numerador del segundo término de esta ecuación es la rapidez de
variación del cortante y el denominador representa el módulo de rigidez; para un flujo
permanente 0

 , y el flujo se comporta como un newtoniano simple; pero al variar el
esfuerzo cortante se manifiesta el efecto elástico.
Fluido Ideal
Como su nombre indica, es un fluido hipotético, en el que se considera que la
viscosidad es nula, en otras palabras, los efectos de la viscosidad no están presentes (se
desprecia la fricción entre partículas) y además es incomprensible. Como podemos
suponer, este fluido no existe, ya que todos los fluidos reales tienen viscosidad y
siempre aceptan alguna deformación por pequeña que sea.
El movimiento o flujo de un “fluido ideal” dio origen a una rama de la Mecánica de
Fluidos que hoy en día se conoce como Hidrodinámica, que es un campo de especial
interés para el Ingeniero y que se define como la ciencia que estudia el movimiento de
los líquidos.
La hipótesis de “fluido ideal” se justifica para aquellos fluidos de viscosidad muy
pequeña y muy poco comprensibles (el agua, principalmente), en los que según Prandtl,
los efectos de la viscosidad son apreciables solamente en una estrecha zona próxima a
los contornos (capa límite). Cuando la capa límite es muy delgada el fluido real puede
suponerse como ideal, sin error apreciable.
De aquí en adelante no se usará el término “fluido ideal” que no tenga la definición dada
anteriormente, para evitar confusiones. Se hace esta aclaración en vista de que muchos
autores de libros llaman por ejemplo “gases ideales o perfectos”, cuyo término ideal no
tiene la misma significación anterior, tal como se verá al estudiar las propiedades de los
gases.

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1.10 Viscosimetría
Se denomina viscosimetría a la medida de la viscosidad. La viscosidad de los líquidos
se mide mediante instrumentos llamados viscosímetros, de los cuale existen diversas
marcas y tipos. En general, la viscosidad se cuantifica mediante coeficientes que se
determinan de acuerdo con el tiempo que cierta cantidad de líquido tarda en fluir por un
tubo corto de dimensiones conocidas, manteniendo ciertas condiciones en cuanto a la
carga con la que ocurre el flujo.
Tipos de Viscosímetros
Un viscosímetro consta básicamente de un tubo corto o boquilla con un pequeño
orificio, por el que circula el fluido, cuya viscosidad se desea medir, desde un recipiente
abierto a la atmósfera. Entre los tipos de viscosímetros más conocidos, por su uso
frecuente, se tienen los siguientes:
➢ Viscosímetro de Engler
Se usa en la mayor parte de países europeos y mide la viscosidad de cualquier líquido,
con respecto a la que tiene el agua a 20 ºC. La unidad de medida de este viscosímetro es
el Grado Engler (ºE). Para determinar la viscosidad de un líquido, primeramente se
halla la constante del instrumento (CI), que es el tiempo en segundos, que tarda un
volumen determinado de agua (200 cm2
) a 20 ºC, en fluir a través del aparato.
Suponiendo que este tiempo es 75 segundos; entonces CI = 75 seg. Repetimos la misma
operación con el líquido problema y bajo el supuesto que medimos, t = 450 seg;
entonces la viscosidad que tendría el líquido, medida en este tipo de viscosímetro es:
E
Engler
Grados
CI
t º
6
6
75
450 


➢ Viscosímetro Saybolt
Este tipo se usa frecuentemente en los EE.UU. La viscosidad medida en este tipo de
viscosímetro se llama viscosidad saybolt y se mide directamente por el tiempo, en
segundos, que tardan en fluir 60 cm3
de líquido a través del tubo de diámetro
determinado. Existen dos variantes de este tipo de viscosímetros que difieren solamente
en el diámetro de la boquilla:
a. Viscosímetro Saybolt Universal.
Es usado para medir la viscosidad de líquidos ligeros o de viscosidad media; el diámetro
del tubo es 1.765 mm. La unidad de medida de este viscosímetro es el segundo Saybolt
universal (SSU). En realidad se trata del mismo viscosímetro con tubos adaptables de
diferente diámetro.
b. Viscosímetro Saybolt Furol
Es empleado para medir viscosidades de líquidos pesados o de alta viscosidad; el
diámetro de la boquilla es de 3.150 mm. La unidad de medida es el segundo Saybolt
furol (SSF). Como se dijo antes, se trata del mismo viscosímetro con tubos adaptables o
desmontantaje, lográndose caudales de escurrimiento 10 veces mayores que los que se

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obtienen con la boquilla de diámetro menor (viscosímetro saybolt universal), para una
misma sustancia y para la misma carga hidráulica.
➢ Viscosímetro Redwood
Este viscosímetro se usa mayormente en Inglaterra y mide la viscosidad por el tiempo,
en segundos, que tardan en fluir 50 cm3
de líquido a través del tubo de diámetro
conocido. Al igual que el Saybolt, este viscosímetro tiene 2 variantes que sólo difieren
en el diámetro del tubo de salida, el mismo que es desmontable.
a. Viscosímetro Rewood Nº 1
Es empleado para medir la viscosidad de líquidos livianos o de viscosidad media; el
diámetro del tubo es de 1.62 mm. La unidad de medida es el grado o segundo Rewood
Nº 1, (GR Nº 1).
b. Viscosímetro Rewood Nº 2
Utilizado para fluidos pesados; el diámetro del tubo es 3.80 mm. La unidad de medida
es el segundo Rewood Nº 2 ó también el grado Redwood Nº 2 (GR Nº 2)
➢ Viscosímetro de Poiseuille
Este viscosímetro, que lleva el nombre de su inventor, puede usarse para determinar la
viscosidad de cualquier líquido. Consta de un cuerpo o depósito y de un tubo corto de
diámetro conocido por el que circula el fluido con una carga constante (flujo
permanente). Al tubo corto se ha adaptado dos piezómetros separados una distancia L,
que permiten medir la caída de presión, tal como muestra el esquema adjunto.
Piezómetro
H
Líquido
T
D X
Depósito L
Figura 11: Esquema del viscosímetro de Poiseuille
La ecuación que permite el cálculo directo de la viscosidad dinámica y que fuera
deducida matemáticamente, por primera vez, por el propio Poiseuille, es la ecuación
(25).
L
Q
D
H
H
L
Q
D
P
H
128
~
128
*
*
~ 4
4

 

 (25)
TUVO LISO TRANSPARENTE
FLUJO LAMINAR

32. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
ES
S
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D
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L
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F
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I
ID
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S
S
T
T
TE
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O
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R
RÍ
Í
ÍA
A
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Y
Y P
P
PR
R
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B
BL
L
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E
EM
M
MA
A
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S
S
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32
Donde,  es el peso específico del líquido (Kg/m3
); D, el diámetro del tubo; H, la caída
de presión (m); Q , el caudal, el mismo que se determina por métodos volumétricos; L,
la distancia entre piezómetros (m) y,  , la viscosidad dinámica (Kg. s/m2
).
Fórmulas de conversión de unidades
Para relacionar las distintas viscosidades, de acuerdo con el tipo de viscosímetro
utilizado, existen fórmulas empíricas que permiten pasar de una unidad a otra. Las
fórmulas de conversión son sencillas y, generalmente de la forma:
T
b
aT 

 (26)
Donde,  , es la viscosidad cinemática o relativa, en stokes (cm2
/s); T, la viscosidad en
ºE, SSU, SSF, GR Nº 1 ó GR Nº 2; a y b son constantes que varían según la reducción
de que se trate y de los límites de utilización de la ecuación.
Cuando la viscosidad cinemática es mayor que 0.5 stokes  
5
.
0

 , como ocurre para
gran mayoría de fluidos, la influencia del término correctivo b se hace despreciable y la
ecuación (26) queda:
aT

 (27)
De donde se desprnden las relaciones siguientes:
 = 0.076 ºE (b) ºE = viscosidad en grados Engler.
 = 0.0022 S (c) S = viscosidad en SSU.
 = 0.00247 R (d) R = viscosidad en GR Nº 1.
 (Poise) = (0.00226t-1.95/t) r
 , válida para t ≤ 100 SSU.
 (Poise) = (0.00220t-1.30/t) r
 , válida para t > 100 SSU.
 (Poise) = (0.0224t-1.84/t) r
 , válida para 25 ≤ t ≤ 40 SSF.
 (Poise) = (0.0216t-0.60/t) r
 , válida para t > 40 SSF.
En estas ecuaciones,  es la viscosidad dinámica en poises; t, es la viscosidad en SSU (
ó en SSF; r
 , la densidad relativa del líquido a la temperatura de la prueba, también se
conoce como gravedad específica.
La densidad relativa o gravedad específica r
 se obtiene dividiendo el peso específico
del líquido, a la temperatura de la prueba, entre peso específico del agua a 4 ºC y a una
atmósfera de presión (1.033 Kg/cm2
). A estas condiciones de presión y temperatura se
denomina “condiciones normales o estándar”.

33. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
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S
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L
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1.11 Densidad (  ), peso específico ( ) y volumen específico ( s
 )
• Densidad (  )
La densidad  de un fluido se define como la masa contenida en unidad de volumen.
En Mecánica de Fluidos tiene especial interés la definición de densidad, en un punto,
que en forma matemática se la expresa de la siguiente relación:
Densidad




M
Lím
 (28)
Cuando el denominador tiende a cero, esta ecuación puede expresarse en forma
derivada:


d
dM
 (29)
Donde, M
 es la masa de fluido contenida en el elemento de volumen mínimo 
 que
rodea al punto para el cual es aplicable el concepto de “medio continuo” ya estudiado.
La densidad es una magnitud cuyas dimensiones y unidades en los sistemas absoluto y
gravitacional son:


d
dM
 : 3

 ML
 Sistema absoluto; pero 2
1
T
FL
M 
 , luego
4
2 
 L
FT
 , sistema gravitacional
De esto se deriva que las posibles unidades de la densidad son:
Kgm / m3
, grm /cm3
, Lbm / pie3
, etc, en el sistema absoluto.
Kg * s2
/m4
, gr * s2
/cm4
, Lb * s2
/pie4
, dina * s2
/cm4
, etc., en el sistema
gravitacional.
Otras de las unidades muy usadas, en el sistema absoluto, es la unidad técnica de masa
(UTM):
3
1 m
UTM ó 3
1 pie
UTM , comparada con las unidades del sistema
gravitacional, se tiene:
1Kg * s2
/m4
= 1Kg * s2
/m * 1/m3
= 3
1 m
UTM ó m
s
Kg
UTM 2
*
1
1 
Cabe hacer recordar nuevamente, que el subíndice “m” indica unidad de masa para
diferenciarlo de las unidades de fuerza que se usan aquí sin ningún subíndice; esta
convensión lo adaptaremos durante todo el desarrollo de este texto.
La densidad de un gas perfecto esta dada por la conocida “ecuación de estado” esto es:

34. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
ES
S
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34
0
R
T
P
T
P 

  (31)
De lo cual se deduce:

1

s (32)
Donde, el primer miembro de la ecuación (32) es el volumen específico, el mismo que
se define como el volumen que ocupa la unidad de masa y viene dado por la inversa de
la densidad y sus dimensiones son: 1
3 
M
L . Las unidades del volumen específico son
también las inversas de las unidades que corresponden a la densidad.
• Peso Específico ( )
El peso específico de un fluido es peso por unidad de su volumen y tiene especial
interés en el estudio de la estática de fluidos o líquidos con superficie expuesta a la
atmósfera. Al igual que la densidad, es peso específico en un punto es de suma
importancia para el estudio de los fluidos, que en forma matemática queda definido
por:



 W
Lím
 (33)
0



Cuando el denominador de esta ecuación tiende a cero, se convierte en una derivada:

 d
dW
 (34)
Donde W
 es el peso del fluido contenido en el elemento de volumen mínimo 
 que
rodea al punto.
De acuerdo con su definición, las dimensiones del peso específico son:

 d
dW
 : 3

FL ; las posibles unidades están dadas por:
Kg/m3
, Tn/m3
, gr/cm3
, Lb/pie3
, etc.
• Relación entre el peso específico y la densidad
Ambas propiedades de los fluidos están estrechamente relacionadas mediante una
ecuación que resulta de la aplicación de la 2ª Ley de Newton a la unidad de volumen de
fluido, es decir:

d
dM 
: (i)

 d
dW  (ii)
Pero: g
dM
dW *
 (iii) (segunda ley de Newton)
Donde, g es la aceleración o gravedad normal o estándar  
2
81
.
9 s
m
g  .
Reemplazando (i), (ii) en (iii):

35. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
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IE
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A
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35
g
*

  (35)
El peso específico y la densidad del agua, en condiciones normales (4 ºC y P at = 1.033
Kg/cm2
) son:
Peso específico: 3
1000 m
Kg


Densidad:
 
 
3
4
2
2
3
93
.
101
*
93
.
101
81
.
9
1000
m
UTM
m
s
Kg
s
m
m
Kg
g 


 

Valores que corresponden al agua pura.
La densidad y, por lo consiguiente el peso específico de los líquidos, depende de la
temperatura y son prácticamente independientes de la presión, por lo que se puede
considerar a estos como “incompresibles”. En cambio, en los gases la densidad y el
peso específico varían con la temperatura y la presión, de acuerdo a la ecuación de
estado de los gases perfectos.
El peso específico depende, además, de la aceleración de la gravedad g, cabe señalar
que estas propiedades (densidad y peso específico) se ven alteradas por el contenido de
sales o sedimentos en disolución o en suspensión.
El peso específico y la densidad del aire, en condiciones normales (condiciones
normales para el aire: 15 ºC y P at. = 1.033 Kg/cm2
), son:
Peso específico:
 
 
3
0
2
225
.
1
288
*
º
27
.
29
10330
m
Kg
K
K
m
m
Kg

Densidad:
 
 
3
4
2
2
3
125
.
0
*
125
.
0
81
.
9
225
.
1
m
UTM
m
s
Kg
s
m
m
Kg


Los gráficos que siguen muestran la variación de la densidad y el peso específico con la
presión y la temperatura, tanto en los líquidos como en los gases.

36. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
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D
DA
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M
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36
TEMPERATURA T TEMPERATURA T
TEMPERATURA T TEMPERATURA T
PRESIÓN P PRESIÓN P
Figura12: Variación del peso específico y la densidad de los líquidos con
la temperatura
P = cte. P = cte.
Figura 13: Variación del peso específico y la densidad de los gases con la
temperatura manteniendo constante la presión.
T = cte. P = cte.
Figura 14: Variación del peso específico y la densidad de los gases con la
presión mateniendo constante la temperatura.
• Densidad y peso específico relativos
A esta propiedad de los fluidos se le llama también gravedad específica.
DENSIDAD

PESO
ESPECÍFICO

PESO
ESPECÍFICO
〥
DENCIDAD

PESO
ESPECÍFICO

DENCIDAD




  Líquido
T :

    Líquido
T :

 



  presión
a
Gas
T :

 
constante
  presión
a
Gas
T :

 
constante
T
R
P 0

 T
R
P 0


  a
temperatur
a
Gas
T :

 
constante
  a
temperatur
a
Gas
T :

 
constante
T
R
P 0

 T
R
P 0



37. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
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D
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S
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S
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37
Se define la densidad relativa r
 de un fluido como la densidad que posee (en ciertas
condiciones de presión y temperatura), comparada con la que tiene el agua en
condiciones normales o estándar (4 ºC, Pat. = 1.033 Kg/cm2
):
o
s
r 

  (36)
Donde s
 es la unidad de la sustancia y o
 es la unidad del agua en condiciones
normales.
El peso específico relativo r
 , es la relación entre el peso específico de la sustancia s

y el peso específico del agua en condiciones normales o
 :
o
s
r 

  (37)
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (36) y (37):
s
o
o
s
r
r






*
*
 ; pero: g
*

 
Luego: 1
*
*
*
*


g
s
o
o
s
r
r







Por lo tanto: r
r 
  ó o
s
o
s 


  (38)
La ecuación (38), pone de manifiesto que el peso específico relativo es equivalente a la
densidad relativa o gravedad específica. Tanto el peso específico como la densidad
relativa son cantidades adimensionales, puesto que resultan de dividir dos cantidades de
la misma dimensión.
Si bien es cierto para los líquidos la sustancia estándar de comparación es el agua en
condiciones normales (4 ºC y P at.); para los gases el estándar de comparación es el
hidrógeno a 0 ºC y una atmósfera de presión o bien el aire en condiciones normales
(temperatura, 15 ºC, Pat, una atmósfera).
1.12 TEMPERATURA
Es otra propiedad muy importante de los fluidos de la materia en general, que pone de
manifiesto el estado o grado de calor que posee una sustancia. La temperatura se define
de una manera bastante indirecta; hablándose más bien de “igualdad de temperatura”
entre dos sustancias que de la temperatura de una de ellas. Esta igualdad de temperatura
se logra, poniendo en contacto térmico a dos sustancias y observando los cambios de
sus propiedades físicas. Cuando no hay cambios posteriores en sus propiedades, se dice
que las sustancias tienen la misma temperatura.
Pues como se sabe, las mediciones de la temperatura se hacen tomando como base
cuatro escalas: Celsius, Fahrenheit, Kelvin o Absoluta y Rankine. Las relaciones entre
las escalas Celsius (ºC) y Kelvin (ºK,); Fahrenheit (ºF) y Rankine (ºR) son:

38. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
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S
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M
MA
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38
ºK = ºC + 273.18 (39)
ºF = 1.8 (ºC) + 32 (40)
ºR = F + 459.67 (41)
La temperatura es importante porque altera el valor de otras propiedades de los fluidos.
1.13 COMPRESIBILIDAD Y ELASTICIDAD: Módulo de
elasticidad volumétrico (EV)
La compresibilidad es otra propiedad muy importante de los fluidos y de los sólidos
elásticos en general, que se manifiesta por un cambio de volumen y, por tanto, de su
densidad, cuando se la somete a diversas presiones.
La Figura 15, muestra una determinada masa de fluidos (M) confinada dentro de un
cilindro de paredes rígidas y que se puede comprimir mediante un pistón; durante el
proceso de compresión, la masa 
 *

M permanece constante; diferenciando esta
expresión se tiene:
0




 
 d
d
dM
Dividiendo por la masa total 
 *

M
0
*
*









 d
d


d
d 



Pero: g

  y 
 d
g
d *
1
 (i)
Luego: 


 d
d
d 



 (ii)
FLUIDO
P


Figura 15: Esquema de un fluido contenido en un cilindro de paredes rígidas y comprimido mediante
un émbolo desplazable.
Esta expresión anterior muestra que al comprimir la masa fluida se ha producido un
incremento en la presión dP y como consecuencia un decremento en el volumen 
 d y
un incremento en la densidad 
d y peso específico 
d . El signo menos indica, que

39. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
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39
para una masa constante de fluido, un incremento en la presión provoca un decremento
en el volumen y consecuentemente un incremento en la densidad y peso específico; cosa
inversa sucede frente a un decremento en la presión.
Invirtiendo ambos miembros de la ecuación (ii) y multiplicando dichos miembros por el
incremento de presión dP que ocasionó el cambio de volumen, se tiene:



 d
dP
d
dP
d
dP
EV 




 (39)
El denominador de la ecuación (39) es adimensional, por lo que las dimensiones del
módulo de elasticidad volumétrico EV son las misma que corresponden a la presión, es
decir, FL-2
, siendo las posibles unidades: Tn/m2
, Kg/m2
, Newton/m2
, Kg/cm2
, Lb/pie2
,
etc, etc.
Al primer miembro de la ecuación (39) EV se le conoce con el nombre de Módulo de
Elasticidad Volumétrico del fluido, el mismo que tiene mucha similitud con el módulo
de elasticidad (E) de los sólidos elásticos.
En los líquidos el cambio de volumen, por efecto de la variación en la presión, aún
siendo ésta demasiado grande, es muy pequeño por lo que el módulo de elasticidad
volumétrico en los líquidos es bastante grande, siendo ésta la razón para que se les
considere como incompresibles. En los gases en cambio, por ser muy compresibles el
módulo de elasticidad volumétrico es pequeño comparado con el de los líquidos.
En consecuencia, EV en los líquidos, es prácticamente independiente de la presión y
dependiente de la temperatura, en cambio en los gases, depende de la presión y de la
temperatura.
El agua tiene prácticamente una perfecta elasticidad de volumen. Sufre una compresión
sensible bajo grandes presiones, pero evidentemente regresa a su volumen original al
quitarse la presión, tratándose de agua pura.
Como se dijo antes, el módulo de elasticidad volumétrico varía con la temperatura,
correspondiendo un valor, para el agua en condiciones estándar, de 2.1*108
Kg/m2
,
valor que comparado con el módulo de elasticidad del acero (2.1*1010
Kg/m2
), el agua
es 100 veces más compresible que el acero; en cambio el valor estándar para el aire es
de 0.000105 * 108
Kg/m2
, esto es, unas 20 000 veces, aproximadamente, más
compresible que el agua.
El módulo de elasticidad volumétrico, desde el punto de vista de la ingeniería, carece de
significación práctica, sobre todo tratándose de líquidos, salvo en aquellos fenómenos
en que se producen incrementos violentos de presión, tal es el saso del fenómeno de
golpe de ariete y otro fenómenos periódicos, que trataremos con mas detenimiento al
estudiar el movimiento de fluidos en conductos forzados; sin embargo haremos aquí un
breve comentario.

40. P
P
PR
R
RO
O
OP
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DA
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M
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40
Fenómeno de golpe de ariete
Se llama así al choque violento que se produce sobre las paredes de una tubería, cuando
el movimiento del fluido es modificado bruscamente. En otras palabras, consiste en la
sobre-presión que las tuberías reciben, cuando por ejemplo, se cierra una válvula,
interrumpiéndose bruscamente el flujo.
LÍNEA DE CARGA ha = SOBRE
PRESIÓN
V V
V = 0
V
Figura 16: Esquema mostrando la sobrepresión generada en una tubaría al cerrarse
bruscamente una válvula ubacada en el extremo de la tubería.
En el caso de cierre de una válvula, la fuerza viva o dinámica del flujo se convierte en
trabajo, determinando en las paredes de la tubería presiones superiores a la carga inicial:
t
F
V
M *
* 
Donde, M es la masa; V, la velocidad media del flujo, y F, la fuerza dinámica.
Cuando 0

t , se produce el cierre instantáneo y considerando que el agua fuese
incompresible y la tubería rígida (no elástica), la sobre presión tendría un valor infinito.
En la práctica, el cierre siempre lleva algún tiempo, por pequeño que sea, y la energía
que se absorbe se transforma en esfuerzos de compresión del agua y deformación de las
paredes de la tubería. El estado de régimen se alcanza después de una serie de
oscilaciones amortiguadas de presión y velocidad. La celeridad de propagación de las
ondas de compresión y depresión es muy semejante al del sonido en el líquido que
circula por el conducto. Este fenómeno está relacionado con la compresibilidad del
líquido y la elasticidad del material del que está hecha la tubería y, en general, el
fenómeno depende de la celeridad del sonido; de la elasticidad del líquido; de la
elasticidad, longitud, diámetro y espesor del conducto y de la forma en que se desarrolla
la maniobra en el tiempo. Este fenómeno se presenta a menudo en conductos forzados
de las centrales hidroeléctricas, donde la longitud de la tubería es apreciable.
Compresibilidad
Como se puede observar, mientras mayor sea el valor numérico del módulo de
elasticidad volumétrico de una sustancia, menor será la compresibilidad y viceversa,
una magnitud que es directamente proporcional al grado de deformabilidad de un fluido
es la Compresibilidad (  ), que se denota matemáticamente mediante:
VÁLVULA
CERRADA
VÁLVULA
ABIERTA
V2
/2g

41. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
ES
S
S D
D
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L
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O
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S
S F
F
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L
LU
U
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D
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S
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T
TE
E
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R
RÍ
Í
ÍA
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Y
Y P
P
PR
R
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O
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B
BL
L
LE
E
EM
M
MA
A
AS
S
S
Ingº Oswaldo Ortiz Vera
41
V
E
1

 (40)
De lo cual se deduce que el módulo de elasticidad volumétrico altos indican una baja
compresibilidad del fluido y viceversa.
Las dimensiones y unidades de la compresibilidad (  ) son las inversas de las
correspondientes al módulo de elasticidad volumétrico (EV).
El módulo de elasticidad de un gas depende de la naturaleza del proceso termodinámico.
Se entiende por proceso termodinámico, al conjunto de estados por el que atraviesa un
sistema, tales como cambios en la velocidad, presión, densidad, temperatura, cota, etc.
Desde el punto de vista de la termodinámica, se llama sistema a una determinada
cantidad de materia que permanece constante en el tiempo. El tamaño y forma del
sistema pueden variar con el tiempo, pero la masa permanece constante.
Para un proceso isotermo (proceso a temperatura constante), tomando logaritmos en la
“ecuación de estado” de los gases perfectos: T
R
P o
*

 , para T = constante se tiene:
 
T
R
L
L
p
L o
n
n
n 
  ,
que es la forma logarítmica de la ecuación de estado. En esta ecuación, para proceso
isotérmico, T
Ro = constante, el diferencial es:


d
P
dP  (i)
Pero,
 



 d
dP
d
dP
d
dP
EV 




 (ii)
Reemplazando (i) en (ii):
  P
d
Pd
EV 





(iii)
Esta última ecuación nos indica que, el módulo de elasticidad volumétrico para una
compresión isoterma es igual a la presión absoluta.
Para un proceso adiabático (proceso sin transferencia de calor), la ecuación de estado
es: K
P  = Constante,
Donde, K = constante adiabática, que para el aire es 1.4
La forma logarítmica de esta ecuación es:
n
n
n L
KL
P
L 
  (constante), cuyo diferencial es:




 d
K
P
dP
d
K
P
d 


 0
Donde, reemplazando a la ecuación (iii):

42. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
ES
S
S D
D
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L
LO
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S
S F
F
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L
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P
PR
R
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B
BL
L
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E
EM
M
MA
A
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S
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Ingº Oswaldo Ortiz Vera
42
  KP
d
d
KP
EV 





*
(41)
Esta última ecuación que nos indica, que para una compresión adiabática o isoentrópica,
el módulo de elasticidad volumétrico es equivalente a la constante adiabática k
multiplicada por la presión absoluta P.
Velocidad de las ondas Sonoras en el seno de un fluido
Las perturbaciones de presión, como las ondas sonoras, se transmiten en el interior de
un fluido en todas las direcciones modificando la densidad del medio por efecto de la
compresibilidad.
En la ecuación:
   


d
dP
d
dP
EV 




La Magnitud:
2
1








v
E
S (42)
El primer miembro de la ecuación (42), que tiene dimensiones 1

LT , representa una
propiedad muy importante del fluido, que es la velocidad de las ondas sonoras. En esta
ecuación, S, es la velocidad de las ondas sonoras (m/s); EV, es el módulo de elasticidad
volumétrico del fluido (Kg/m2
) y  es la densidad del fluido (Kg * s2
/m4
).
Teórica y experimentalmente se demuestra que S representa justamente la velocidad de
las ondas sonoras o mejor dicho la celeridad con que se transmiten dentro del fluido. En
los líquidos, el valor de S depende principalmente de la temperatura. En los gases, los
cambios de densidad causados por las ondas de presión ocurren prácticamente sin
fricción y adiabáticamente (Isoentrópicamente), o sea:

 V
E
KP
S 
 (43)
Donde las magnitudes P y  , están relacionadas por la ecuación de estado siguiente:
T
R
P o
*


Por lo que:
T
KR
T
R
K
S o
o 
 
 (44)
Ecuación anterior demuestra que la velocidad del sonido en un gas perfecto (en proceso
adiabático) depende sólo de su temperatura.
Ejemplo 4. Determinar la velocidad de las ondas sonoras en el agua y en el aire, en
condiciones normales.

43. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
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Ingº Oswaldo Ortiz Vera
43
Solución:
- Condiciones normales para el agua: Temperatura = 4 ºC, Presión = 1 atmósfera; para
estas condiciones se tiene:
Densidad:
 
 
4
2
2
3
*
94
.
101
81
.
9
1000
m
s
Kg
s
m
m
Kg



Módulo de elasticidad volumétrico: 2
8
10
*
1
.
2 m
Kg
EV 
Reemplazando valores en la ecuación:
 
 
4
2
2
8
*
94
.
101
10
*
1
.
2
m
s
Kg
m
Kg
S  = 1435.3 m/s
- Las condiciones normales para el aire son:
Temperatura = 15 ºC = (15 + 273) ºK 5 = 288 ºK;
Presión = 1 atmósfera = 1.033 Kg/cm2
.
Además:
Constante del aire Ro = 29.27 m * Kg/Kgm * ºK, pero, 1 Kgm = 1/9.81 Kg * s2
/m
Por lo que:
  2
2
*
º
1387
.
287
º
*
*
81
.
9
*
27
.
29
s
K
m
m
K
s
*
Kg
Kg
m
R 2
o 









La constante adiabática para el aire, es: 4
.
1

K
Reemplazando valores en la ecuación:
ºK
s
ºK
m
S 288
*
*
1387
.
287
4
.
1 2
2

 = 340.2 m/s
Como se puede ver, la velocidad del sonido en el agua es, aproximadamente, unas 4
veces mayor que la que tiene lugar en el aire, y en general, mientras mayor sea el
módulo de elasticidad volumétrico EV del fluido, mayor será la celeridad de las ondas
sonoras en dicho medio.
1.14 COHESIÓN Y ADHERENCIA: tensión superficial y
capilaridad
La cohesión y adherencia son también propiedades de los fluidos, que inciden
directamente en las características del movimiento de los mismos.

44. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
ES
S
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P
PR
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B
BL
L
LE
E
EM
M
MA
A
AS
S
S
Ingº Oswaldo Ortiz Vera
44
Cohesión, es la atracción entre las moléculas de una misma sustancia, por esta
propiedad las moléculas de los líquidos y sólidos se mantienen juntas. Esta atracción
intermolecular que aumenta ligeramente en cantidad, permite a los líquidos resistir
esfuerzos de tensión muy pequeños.
Adhesión, es la atracción entre las moléculas de sustancias o cuerpos diferentes. En la
superficie de contacto entre líquido y gas parece formarse en el líquido una película o
capa especial, debido posiblemente a la atracción intermoleculares de la capa por debajo
de la superficie libre crean una fuerza de cohesión resultante hacia el líquido, por lo
reducido de las fuerzas de cohesión del medio que se encuentra encima de la superficie
libre (medio gaseoso).
La propiedad de la película superficial de ejercer una tensión se llama tensión
superficial ( ) y es la fuerza necesaria para mantener la unidad de longitud de película
en equilibrio, es decir, la tensión superficial es la fuerza que produce efectos de tensión
en la superficie de los líquidos, allí donde el fluido entra en contacto con otro o con un
contorno sólido; el origen de esta fuerza es la cohesión intermolecular y la fuerza de
adhesión del fluido hacia el sólido. Las características de la película superficial son:
- La tensión superficial tiene la misma magnitud en todos los puntos de la
superficie de frontera o intercara y es independiente de la dirección, de allí
que se le considera como magnitud escalar y sólo depende de los medios a
ambos lados de la superficie de frontera y de la temperatura.
- La tensión superficial, hace inestable la superficie plana de frontera en la
que se manifiesta, lo que queda demostrado que la forma esférica que
adquiere una gota de líquido cuando se libera hacia el aire y trata de
adaptar la mínima superficie exterior de configuración estable para su
volumen.
Si un líquido está limitado por una pared sus moléculas son atraídas no sólo por las
fuerzas del medio superior, sino además por las de la propia pared. Si las fuerzas
moleculares de la pared son mayores que las de las moléculas vecinas del líquido; éste
se extenderá sobre la pared; es decir, la moja. Si acontece lo contrario (caso del
mercurio) el líquidopareciera que repele a la pared y en consecuencia no la moja (ver
figura 17).
P
1 GAS (aire) 1 GAS (aire)
 
3 SÓLIDO
(vidrio) LIQUIDO
SÓLIDO 2 LÍQUIDO 3 (mercurio)
(vidrio) (agua) P 2
Figura 17: Esquema que muestra la influencia de la cohesión y adherencia de los líquidos en contacto
con los sólidos.



45. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
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M
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Ingº Oswaldo Ortiz Vera
45
El ángulo formado  en el punto de P entre las tangentes a la pared y el líquido se llama
ángulo de contacto. Este ángulo de contacto  se puede obtener a partir de las
condiciones de equilibrio de la tensión superficial sobre las fronteras de los medios en
contacto; según la Figura 18. Estableciendo el equilibrio:
13
P
Sólido Gas
3 1

23 12
2 Líquido
Figura 18: Esquema del equilibrio de la tensión superficial entre fronteras en contacto.



 Cos
12
23
13 
 (45)
 
12
23
13






Cos (46)
Esta ecuación es conocida como “Ley de la capilaridad” y permite calcular el ángulo 
si se conocen las tensiones superficiales de los tres medios en contacto.
El término:   a


 
 23
13 , se llama tensión adherencia.
Si: 12

 
a no existe condición de equilibrio y la pared es mojada por el
líquido para 0


a

 
12 ,  
 , el ángulo 0 es agudo, tal es el caso de agua y vidrio,
a

 
12 ,  
 , el ángulo 0 es obtuso  
º
90

 , tal es el caso del mercurio y
vidrio, para los que º
138

 .
El fenómeno de tensión superficial, que se debe a la actuación simultanea de los
fenómenos de cohesión, no tiene mucha importancia desde el punto de vista práctico,
debido a que las fuerzas de tensión superficial son demasiado pequeñas comparados con
las otras fuerzas que intervienen en fenómenos estáticos y dinámicos sobre estructuras.
La única importancia que tiene este fenómeno es en el estudio de la hidráulica de suelos,
que trata del movimiento del agua en el suelo; este movimiento se debe
fundamentalmente a los fenómenos y tensión superficial y capilaridad.
Como una ilustración, cabe señalar, que en la superficie libre del agua en contacto con
el aire a lo largo de una línea de 60 m, la fuerza total debida a la tensión superficial no
llega a un valor de 0.5 Kg.


 

46. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
ES
S
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P
PR
R
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OB
B
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L
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M
MA
A
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S
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46
Presión en el interior de una gota debido a la tensión superficial
Por la acción de la tensión superficial aumenta la presión dentro de una gota de un
líquido. Consideramos el caso más general, es decir, el de una gota con dos radios de
curvatura.
Figura 19: Diagrama de cuerpo libre de una película de tensión superficial de área diferencial.
Eestableciendo el equilibrio de fuerzas:
  2
*
*
2
*
*
2 1
2 




 d
Sen
d
r
d
Sen
d
r
dA
P
P e
i 


Para ángulos pequeños:
2
2
2 

 d
d
Tg
d
Sen 
 (radianes)
2
2
2 

 d
d
Tg
d
Sen 
 (radianes)
Reemplazando:
  2
*
*
2
*
2
*
2
* 1
2
2
1 





 d
d
r
d
d
r
d
r
d
r
P
P e
i 


Simplificando y dividiendo por 2
1 *r
r :
2

d
dF
2
r 1
r
2

d

d
2

d

 d
r
d
r
dA 2
1 *


d
1
0
2
0
i
P
e
P
2

d





47. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
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D
DE
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B
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L
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47
  2
1 r
r
P
P e
i 
 

 (47)  que es la ecuación general.
Para una gota perfectamente esférica: r
r
r 
 2
1 (ver figura 20) y la ecuación (47)
queda:
  r
P
P e
i 
2

 (48)
Donde, r es el radio de la esfera.
También se llega a la misma expresión si establecemos el equilibrio de fuerzas de la fig.
12
  

 r
r
P
P e
i 2
2

 ,
Donde:   r
P
P e
i 
2


Figgura 20. Diagrama de cuerpo libre de una gota esférica de líquido
Presión en el interior de un pequeño chorro debida a la tensión superficial
La ecuación, para este caso, lo podemos obtener a partir de la ecuación general (47)
haciendo: 
 r
r1 radio del cilindro 
 
2
r infinito.
  r
P
P e
i 

 (49)
También se puede obtener estableciendo el equilibrio de fuerzas del diagrama de cuerpo
libre de la Fig. 21.
e
P
i
P
r
esfera
semi 


48. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
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D
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L
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M
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Ingº Oswaldo Ortiz Vera
48
Figura 21. Diagrama de cuerpo libre de un chorro cilíndrico de líquido
  
 L
rL
P
P e
i 2
2 
 , donde:
  r
P
P e
i 

 (50)
Las ecuaciones 1.34a y 1.34b demuestran que la presión es tanto mayor cuanto menor es
el radio de la gota o del cilindro, respectivamente.
En una burbuja, el comportamiento es diferente al de una gota, ya que en la primera
existen dos intercaras, por lo que la expresión general queda:
  2
1 2
2 r
r
P
P e
i 
 
 (51)
Para la burbuja esférica: 
 2
1 r
r radio de la burbuja y la ecuación (51) se transforma
en:
  r
P
P e
i 
4

 (52)
Capilaridad
La atracción se origina por el fenómeno de tensión superficial y por el valor de la
relación de la adherencia entre el líquido y el sólido a la cohesión del líquido. Cuando la
adhesión predomina sobre la cohesión, el líquido moja al sólido; en este caso la acción
de la tensión superficial es causa de la formación de meniscos y de que el líquido se
eleve dentro de un tubo de diámetro muy pequeño, vertical que se sumerja parcialmente
en él, llamado tubo capilar.
El movimiento de agua en el suelo se considera que tiene lugar por capilaridad ya que la
estructura física del mismo se puede considerar como formado por un número muy
grande de de tubos capilares.
e
P
i
P
L

49. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
ES
S
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PR
R
RO
O
OB
B
BL
L
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E
EM
M
MA
A
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49
Para líquidos que no mojan al sólido, la tensión superficial tiende a hacer descender en
un tubo capilar. Cuando el ángulo de contacto entre al líquido y el sólido se conoce, la
altura capilar “h” puede calcularse, si se supone una cierta forma del menisco.
Figura 22: Esquema de tubo capilar vertical sumergido verticalmente en un líquido.
Estableciendo el equilibrio de fuerzas en la Figura 22, se tiene:
  


 h
D
Cos
D 4
2

De donde:
 



D
Cos
h
4
 (53)
En esta ecuación: h, es la altura capilar media;  , la tensión superficial;  , el ángulo
que hace la tensión con la pared del tubo; D, el diámetro del tubo capilar; y δ el peso
específico del líquido.
Si el valor de la tensión superficial depende de la cohesión intermolecular del líquido, es
lógico pensar que esta magnitud dependa de la temperatura.
1.15 Presión
Esta propiedad de los fluidos se define como la fuerza por unidad de área. Es de
sumo interés la presión en un punto en el seno de un fluido en reposo, que en
forma matemática se expresa como:
A
F
Lím
P



0

 A
En el límite, esta expresión puede expresarse como una derivada:
h
 

50. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
ES
S
S D
D
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L
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S
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F
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D
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S
T
T
TE
E
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R
RÍ
Í
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A
A Y
Y
Y P
P
PR
R
RO
O
OB
B
BL
L
LE
E
EM
M
MA
A
AS
S
S
Ingº Oswaldo Ortiz Vera
50
dA
dF
P  (54)
Conviene aclarar que el esfuerzo, magnitud con el que podría confundirse, es una
cantidad vectorial que tiene tanto magnitud como dirección; mientras que la presión es
una magnitud escalar. El vector esfuerzo del elemento de área se puede descomponer en
tres componentes naturales perpendiculares; las dos componentes situadas en el plano
del área son los esfuerzos tangenciales o tensiones cortantes ya estudiadas y la
componente normal al área, que es constante si el fluido está en reposo, se llama presión
P en un punto del fluido. Esta propiedad de los fluidos lo estudiaremos más
detenidamente al ocuparnos de la Estática de los Fluidos.
Las propiedades más importantes de la presión son:
1º. La presión en un punto en el seno de un fluido en reposo tiene el mismo
valor en todas direcciones. Esta propiedad es conocida como principio
de Pascal y priva a la presión de todo carácter direccional, razón por la
cual esta variable se considera como una magnitud escalar.
2º. La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal
(plano equipotencial), en el seno de un fluido en reposo, tiene el mismo
valor.
3º La estática de los fluidos reales no se diferencia en nada de la estática de
los fluidos ideales. Los resultados obtenidos de las deducciones
matemáticas en estática se verifican exactamente en los fluidos reales.
4º. La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal.
Tomando como (+) el signo de compresión, la presión absoluta nunca
puede ser (-).
5º. La fuerza debida a la presión sobre un contorno sólido se dirige siempre
hacia dicho contorno, es decir, es una compresión; jamás una tracción.
Las dimensiones y unidades de la presión son las mismas que corresponden al módulo
de elasticidad volumétrico, sin embargo, hay otras unidades de uso frecuente que las
estudiaremos más adelante.
1.16 Tensión de vapor o presión de vapor
En la superficie libre de un líquido a cualquier temperatura hay un constante
movimiento de moléculas que escapan de dicha superficie, es decir, el líquido se
evapora. Si el liquido se encuentra en un recipiente cerrado, y sobre su superficie queda
un espacio libre, este espacio quedará saturado de vapor y ya no se evaporará más
líquido, en estas condiciones, la presión que ejerce el vapor encima de la superficie libre
se llama presión de vapor o presión de saturación (Pv) del vapor a esa temperatura; o
lo que es lo mismo, a cada presión corresponde una temperatura (tV) llamada
temperatura de vapor o de saturación.

51. P
P
PR
R
RO
O
OP
P
PI
I
IE
E
ED
D
DA
A
AD
D
DE
E
ES
S
S D
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S F
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U
UI
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ID
D
DO
O
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S
T
T
TE
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RÍ
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A
A Y
Y
Y P
P
PR
R
RO
O
OB
B
BL
L
LE
E
EM
M
MA
A
AS
S
S
Ingº Oswaldo Ortiz Vera
51
Para que la ebullición ocurra es necesario igualar o exceder la presión de vapor encima
de la superficie libre incrementando la temperatura. La ebullición ocurre también por
una reducción de la presión encima de la superficie libre hasta que sea igual o menor a
la presión de vaporización (manteniendo constante la temperatura). Lo manifestado
explica el hecho de que el agua al nivel del mar ( 2
/
033
.
1 cm
Kg
PV  ) entre en
ebullición (hierve) a los 100 ºC, mientras en otros lugares de mayor altura sobre el nivel
del mar ( 2
/
033
.
1 cm
Kg
PV  ) hierva a menor temperatura (en Cajamarca hierve
aproximadamente a los 85 ºC).
El fenómeno descrito se presenta en la práctica cuando en el movimiento de fluidos
(líquidos) ocurren grandes descensos locales de la presión, por debajo de la presión
atmosférica local. Es el caso de las grandes caídas de presión en los alabes de las
turbinas hidráulicas, en las turbinas de succión de las bombas hidráulicas (ala entrada de
la bomba) o en conductos forzados en aquellos puntos altos situados por encima de la
línea de alturas piezométricas; las bajas presiones generadas allí (menores que la presión
atmosférica local) dan origen a la formación de vapores, cuya aparición y consecuencias
se conoce como cavitación. Efectos semejantes al de vaporización ocurren si el líquido
contiene gases disueltos.
Cavitación
Este fenómeno es indeseable en todo diseño de ingeniería, y de ser posible siempre
deber evitarse por los efectos dañinos que produce. De no ser posible evitarlo habrá
necesidad de controlar este fenómeno.
La cavitación es un fenómeno que se produce siempre que la presión en algún punto o
zona de la corriente de un líquido descienda por debajo de cierto valor límite o mínimo
admisible (presión de vapor Pv). El fenómeno puede producirse tanto en estructuras
hidráulicas estáticas (tuberías) como en maquinas hidráulicas (bombas, turbinas, etc.).
Por los efectos destructivos que en las estructuras y maquinas hidráulicas mal
proyectadas o mal instaladas produce la cavitación es preciso estudiar este fenómeno
para conocer sus causas y controlarlo.
Para que no se produzca cavitación la presión P en cualquier punto de la corriente debe
ser mayor que la presión de vapor Pv a la temperatura que se encuentra en el fluido:
P > Pv : No se producirá cavitación.
P < Pv : Se producirá cavitación en esa zona o punto
En la tabla que sigue se dan algunos valores de la presión de saturación o presión de
vapor PV del agua a diversas temperaturas de saturación ts;