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1. Progresiones
Geométricas
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Se denomina Progresión Geométrica a aquella sucesión en la que
cada término se obtiene multiplicando al anterior por una
constante llamada razón.
Ejemplo:
En la progresión geométrica: 3; 12; 48; 192; 768; …
Se observa que:
• El segundo término que es 12, se obtuvo de multiplicar por 4 el
primer término.
• El tercer término que es 48, se obtiene de multiplicar el segundo
término por 4, y así sucesivamente.

3. TérminoGeneral
Según la definición anterior y el ejemplo de progresión geométrica
que se ha presentado, se verifica:
a2 = a1 ∙ r
a3 = a2 ∙ r = a1 ∙ r ∙ r = a1 ∙ r2
a4 = a3 ∙ r = a1 ∙ r2 ∙ r = a1 ∙ r3
Donde a1; a2; a3; … son los términos de la progresión geométrica.
Luego, reemplazando se tiene: a1; a1 ∙ r2; a1 ∙ r3; …; a1 ∙ rn-1

4. Es decir, que el término enésimo o término general se obtiene de la
siguiente forma:
an = a1 ∙ rn-1
Ejemplo:
¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 5; 15; 45; 135; 405;…?
Resolución:
La razón se obtiene dividiendo cualquiera de los términos por el
anterior, por ejemplo: 15 ÷ 3 = 5. Si se divide otro par de números se
tiene 135 ÷ 45 = 5.

5. Observa que el cociente de cualquier término entre el anterior es siempre de 5.
Por lo tanto la razón de la progresión es 5.
Ejemplo:
¿Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que el primer
término es 2 y la razón es 3?
Resolución
Una forma sería multiplicando el primer término por la razón, y seguir el
mismo procedimiento con el siguiente término hasta obtener el quinto
término: 2 x 3 = 6; 6 x 3 = 18; 18 x 3 = 54; 54 x 3 = 162. Luego, el quinto término
es 162.

6. Otra forma de obtener el quinto término sería utilizando la fórmula
del enésimo término: an = a1 ∙ rn-1 donde:
an: quinto término
a1: primer término
r: razón de la progresión geométrica
n: cantidad de términos, en este caso son 5 términos.
Luego, se reemplaza en la fórmula:
a5 = 2(3)5-1 = 2(3)4 = 162

7. Interpolación deTérminos
Consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Para poder
realizar esta operación se necesita calcular la razón. Los términos
interpolados se denominan medios geométricos.
Ejemplo:
Supongamos que se quiere intercalar entre 3 y 96, cuatro números
a, b, c y d de manera que 3; a; b; c; d; 14 estén en progresión
geométrica.
Se tiene que a1 = 3; a6 = 96 y el número de términos n = 6.

8. Aplica la expresión del término general de una progresión
geométrica y se tiene que:
a6 = a1 ∙ r5 → 96 = 3 ∙ r5 → r = 2
Ahora se puede multiplicar cada término para obtener el siguiente
y resulta la progresión geométrica:
3; 6; 12; 24; 48; 96

9. Ejercicios resueltos
1. El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25%
cada hora. Si al principio había 300 000, ¿cuántas bacterias
habrá al cabo de 5 horas?
Resolución:
De los datos del problema se tiene: a1 = 300 000; r = 0,25 y piden S5.
Entonces, aplica la fórmula: 𝑆 𝑛 =
𝑎1(1−𝑟 𝑛)
1−𝑟
𝑆5 =
300 000 (1 − 0,255
)
1 − 0,25
= 399 609,37

10. 2.Un padre proyecta colocar en un baúl S/ 1 el día que su hijo
cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en
todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su
hijo cumpla 18?
Resolución:
De los datos se tiene: a1 = 1; r = 2. Piden a18.
a18 = a1 ∙ r 17 = 1 ∙ 217 = 131 072
Luego, el día que su hijo cumpla 18 años tendrá que colocar 131 072
soles.

11. 3. Una máquina costó inicialmente S/ 10 480. Al cabo de unos años
se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años, volvió a
venderse por la mitad, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó la
máquina al quinto propietario?
Resolución:
De los datos: a1 = 10 480; r = 0,5. Piden a5.
a5 = a1 ∙ r4 → a5 = 10 480(0,5)4 = 655
Luego, la máquina le costó S/ 655 al quinto propietario.