1. RESEÑA HISTÓRICA
De acuerdo con estudios realizados por cienơficos, es aceptado
que el hombre prehistórico probablemente sólo tenía nociones
muy vagas de los conceptos de número y medida; que para con-
tar, usaba los dedos y para medir longitudes las comparaba con
ciertas partes de su cuerpo como el pie, el brazo, la mano. En
algunas cavernas de Europa, recientemente se han descubierto
grabados y pinturas que datan de Ɵempos prehistóricos y que
muestran un conocimiento de la proporción y de la dimensión,
pero no existen indicios de sus métodos de medida.
BABILONIA. En Mesopotamia, situada entre los ríos Tigris y Éufrates,
exisƟó una civilización cuya anƟgüedad se remonta aproximadamente
a LVII siglos. Los primeros indicios de un sistema de medidas provienen
de ellos. Los babilonios fueron los inventores de la rueda, fueron los pri-
meros en encontrar que la relación entre la longitud de la circunferencia
y su diámetro era igual a tres (1 Reyes; 5, 23); también fueron los pri-
meros en perfeccionar la agrimensura. Además; poseían métodos para
determinar el área de algunas figuras sencillas, entre estas, el círculo.

2. La mayoría de documentos encontrados señalan que los métodos y
conocimientos acerca de las medidas surgieron como una necesidad de
la medida de la Ɵerra y de las construcciones de edificaciones. CulƟvaron
la Astronomía, suponían que la esfera celeste giraba alrededor de la Tie-
rra y que el año tenía aproximadamente 360 días; dividieron la circunfe-
rencia en 360 partes iguales obteniendo de esa forma el actual sistema
de medida de ángulo basado en los grados (sistema sexagesimal).
EGIPTO. Una gran canƟdad de conocimientos de AritméƟca, Álgebra y
medidas que hoy día tenemos es legado de los Egipcios. La base de ésta
civilización fue la agricultura. La aplicación de los conocimientos geomé-
tricos a la medida de la Ɵerra, permite dar el nombre de Geometría, que
significa medida de la Ɵerra.
Los reyes de Egipto dividían las Ɵerras en parcelas; después de sus
inundaciones periódicas del río Nilo, necesitaban encontrar el límite de
los campos, los agrimensores tenían que rehacer las divisiones y calcu-
lar el impuesto que debía pagar el dueño de la parcela, ya que este era
proporcional a la superficie de la Ɵerra culƟvada. Los sacerdotes egip-
cios también culƟvaban la geometría aplicándola a la construcción de
pirámides, tumbas y palacios.
La “Gran Pirámide” construida hace más de XX siglos por el pueblo
Egipcio, es sin lugar a duda una gran prueba de los conocimientos de
Geometría y Astronomía, debido a la perfección de sus dimensiones y
orientación. Los anƟguos manuscritos egipcios como el papiro de Ah-
més, data del 1.700 a. C, se cree que el original fue escrito en el año
2.300, la copia se conserva en el Museo Británico. En él se encuentran
problemas sobre las medidas de varias figuras geométricas como el área
de un triángulo isósceles, de un trapecio isósceles y de un círculo, con
un valor de ஠ = 3,1605
Era tanta la fama y la sabiduría que su conocimiento se extendió
por todo el mundo civilizado de ese Ɵempo y los eruditos de otros paí-
ses iban a estudiar a Egipto. Entre ellos, los Griegos, quienes quedaron
impresionados por los métodos empleados por los Egipcios en la agri-
mensura y el cálculo; al conjunto de estos métodos le dieron el nombre
de Geometría.
GRECIA. La Geometría de los egipcios era eminentemente empírica,
puesto que no se basaban en un sistema lógico deducido a parƟr de

3. Reseña Histórica
axiomas y postulados. Su interés sólo estaba basado en su uƟlidad. Los
Griegos por el contrario, fueron los grandes pensadores, no se sinƟeron
saƟsfechos con su uƟlidad; sino que la estudiaron, perfeccionaron y la
aplicaron como una rama del saber, por el amor al descubrimiento de
la verdad, obteniendo explicaciones racionales de las cuesƟones en ge-
neral y parƟcularmente de la geometría. Los sabios Griegos, luego de
regresar de Egipto, se dedican a la enseñanza de la Geometría en sus
escuelas, naciendo así un gran interés por los nuevos conocimientos.
Los Griegos fueron los primeros en realizar muchas construcciones
geométricas. A ellos debemos las construcciones con regla y compás
que conocemos; gracias a ellos es posible bisecar un ángulo, construir
polígonos, construir las cónicas y muchas cosas más. Sin embargo, algu-
nos problemas se resisƟeron por muchos años a su solución y todo lo
que se hizo fue en vano. Los tres grandes problemas que se resisƟeron a
su solución, fueron: La duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y
la trisección del ángulo. Sobre la trisección del ángulo con regla y com-
pás los griegos no encontraron la jusƟficación, del porque su no cons-
trucción. Sólo hasta hace poco se demostró que era imposible; pero con
el uso de algunos instrumentos que construyeron, lograron trisecar un
ángulo, entre ellos se destacan: Nicomedes, que uƟlizó “La Concoide”;
Arquímedes, uƟlizó la “Espiral”; Hipias, la “Trisectriz o Cuadratriz”. Con
“la escuadra del carpintero”, instrumento construido en el siglo III d. C,
también lograron trisecar el ángulo.
La Geometría comienza como una ciencia deducƟva, estudian las
propiedades de las figuras geométricas y sus relaciones; realizan las de-
mostraciones uƟlizando la lógica para llegar a nuevas verdades parƟen-
do de las ya conocidas. Se dedican a la escritura de documentos y libros
de tratados de ésta área.
Pronto, todos los agrimensores y astrónomos griegos empiezan a
hacer uso de los nuevos conocimientos y a aplicarlos a otras ciencias,
la aplican en las bellas artes y otras dando origen a la Trigonometría y
la Geodesia.
ERATÓSTENES. Fue uno de los primeros griegos que logró determinar
muy aproximadamente la circunferencia y el diámetro de la Ɵerra con
un error de unas pocas centenas de kilómetros, calculó con mucha
aproximación la duración del año y sugirió un calendario, llamado hoy
Calendario Juliano, que fue usado en muchos países hasta hace poco

4. Ɵempo. Posteriormente se dedicó a enseñar en Egipto, luego de ser
conquistada por Alejandro el Grande.
El imperio romano conquista militarmente a Grecia, tomando de
ellos la Geometría PrácƟca y dan poca atención a la Geometría DeducƟ-
va, lo que implica que en nada contribuyeron a su desarrollo.
TALES DE MILETO. Nació en la ciudad de Miletos en el año 640 a.C.
se cree que vivió 90 años. Es considerado el primer filósofo. Fue uno
de los “Siete Sabios de Grecia”. En sus largos viajes por Egipto (como
comerciante) aprendió mucho y reunió abundante material para sus
reflexiones. Predijo un eclipse de Sol que tuvo lugar en 585 a.C. Se
cree que enseñó a sus maestros a medir la altura de las pirámides va-
liéndose de la sombra que proyectaban.
Se dedicó al estudio y enseñanza de la Filosoİa y de la Geometría;
logró determinar la igualdad de los ángulos de la base en un triángulo
isósceles, el valor del ángulo inscrito y la demostración de los teoremas
que llevan su nombre relaƟvos a la proporcionalidad de segmentos de-
terminados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelas. Uno
de sus discípulos y amigo fue Anaximandro, quien es el primero que
intenta clasificar las diferentes partes de la geometría, escribiendo un
libro sobre esto.
PITÁGORAS DE SAMOS. Nació en Samos en el
año 569 a.C. y muere en 500 a.C. Según los his-
toriadores fue discípulo de Tales; se estableció
en Trotona al sur de Italia y funda una especie
de orden denominada “los pitagóricos”, cuyos
miembros buscaban un enriquecimiento inte-
lectual. Esta orden comprendía varios “gra-
dos”, en los que se ingresaba después de haberse someƟdo a ciertas
pruebas yasisƟr a determinadas ceremonias. El emblema de su her-
mandad es una estrella de cinco puntas dibujada sin levantar la pluma
del papel en cada punta de la estrella había una letra griega que for-
maban la palabra “salud”. Al estudiar las propiedades de esta figura,
los pitagóricos descubren muchas propiedades de los triángulos y de
los pentágonos. Sin lugar a dudas Pitágoras era un verdadero sabio:
MatemáƟco, invesƟgador de las Ciencias Naturales y de la Astronomía,
Filósofo e invesƟgador cienơfico en general; también un moralista. Se

5. Reseña Histórica
dedicó al estudio de la geometría, descubriendo varias proposiciones
importantes. Él y sus discípulos dieron las mejores demostraciones de
algunas proposiciones ya conocidas; se dice que fue el primero en de-
mostrar que “el cuadrado construido con un lado igual al mayor de
los lados de un triángulo rectángulo, Ɵene un área igual a la suma
de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los otros dos lados del
triángulo”. Esta proposición la conocemos hoy día como: “Teorema
de Pitágoras”.
También se le atribuye la demostración de la propiedad de la suma
de los ángulos internos de un triángulo. Los pitagóricos resumen su doc-
trina afirmando que “todo lo que conocemos está representado por un
número y sólo podremos llegar a comprender una cosa cuando conoz-
camos su número”.
Es muy poco lo que se sabe de la vida de Pitágoras, no hay escritos
suyos. Lo único que se sabe de él, nos lo han legado sus discípulos. Fue el
primero en atribuirse el nombre de “filósofo” que significa “amante del
saber”, se le conoce como “el primer técnico de las ciencias exactas”.
ARQUITAS. Nació en el año 400 a.C. ConƟnuó con los estudios de los pi-
tagóricos. Fue el primero que resolvió el famoso problema de determi-
nar geométricamente las dimensiones de un cubo con volumen doble
a otro cubo dado, problema conocido como “la duplicación del cubo”.
Se dice que fue el primero en aplicar los principios de geometría a la
mecánica.
HIPIAS DE ELIS. Vivió aproximadamente en la misma época de Arquita.
Fue el primero en resolver los problemas teóricos de dividir un ángulo
en tres partes iguales, problema conocido como “la trisección del ángu-
lo”; y el de “la cuadratura del círculo”, es decir, encontrar un cuadrado
de área igual a la del círculo dado.
HIPÓCRATES DE CHÍOS. Nació en el año 470 a.C. Estudió la solución de
los tres grandes problemas de la geometría. En sus invesƟgaciones des-
cubrió muchas propiedades del círculo y de los ángulos. Escribió un libro
que es considerado como el primer texto de geometría pura.
PLATON. (429-328 a.C.) Considerado uno de los dos más grandes pen-
sadores filósofos griegos de la anƟgüedad; discípulo de Sócrates. En

6. Atenas reunió a un grupo de compañeros y funda una comunidad a la
manera de los Pitagóricos. Vivian en una casa de campo a las afueras
de Atenas; en un lugar dedicado al héroe Akademos; por eso se llamó
al lugar Akademeia, enseñaba a sus discípulos planteando problemas
y cuesƟones cienơficas en largos paseos por los bosques de la acade-
mia, de ahí el nombre de “peripatéƟcos”; así nace la primera acade-
mia del mundo. La Akademeia o Academia era un centro de invesƟga-
ción cienơfica, tanto que es considerada como la primera Universidad.
Platón estaba especializado en filosoİa pura y geometría. InvesƟga-
ciones realizadas dan evidencias que colocó en la puerta un aviso que
expresaba: “Quien no sepa geometría que no entre”, prohibiendo la
entrada a los que no supieran geometría.
ARISTÓTELES. (384-322 a.C.). Discípulo de Platón, abarcó todas las ra-
mas del saber. Fundó su propia escuela filosófica cerca de un campo de
deportes llamado Lykeion, de ahí el nombre del “Liceo”. La grandeza de
su filosoİa radica en la lógica, logra sistemaƟzarla. Señala las leyes que
rigen los fenómenos de la naturaleza y explica su interdependencia. In-
culca a sus discípulos la regla de la experimentación cienơfica, los ense-
ña a observar desde un punto de vista cienơfico. Gracias a él, la ciencia
ocupa un lugar de honor en el progreso humano.
Después de Aristóteles, el centro del saber vuelve a Egipto, que
había sido conquistada por los Griegos bajo el mando de Alejandro el
Grande. Este emperador, construye en el Delta del Nilo la gran ciudad de
Alejandría y funda en ella una gran Universidad y una Biblioteca. Todos
los estudiantes y eruditos del mundo acudían a la Universidad; a Alejan-
dría llegan los mayores sabios de su época, a quienes les pagaban para
que se dedicaran por completo a las ciencias; contando para ello con
toda clase de medios auxiliares para la invesƟgación. El más famoso de
los sabios de Alejandría es Euclides.
EUCLIDES. (330-275 a.C). Durante muchos años enseñó matemáƟcas
en la Universidad de Alejandría y a discípulos parƟculares. SistemaƟ-
zó los conocimientos matemáƟcos de su Ɵempo en un libro conocido
como “Los elementos”, de claridad tan excepcional que muchos países
aún lo uƟlizan como libro de texto. Esta obra abarca parte de la arit-
méƟca, la teoría de los números, el álgebra, las proporciones y todo lo
que se conocía entonces de geometría. Su obra consta de 13 libros; de

7. Reseña Histórica
ellos 7 están dedicados a la geometría (I, II, III, IV, VI, XI y XII). El libro XIII
es una especie de suplemento que conƟene algo de Geometría. Se ha
acostumbrado a separar los libros de Geometría de los demás, dándole
a éste conjunto el nombre de “Elementos de Geometría” de Euclides, o
“Los Elementos de Euclides”.
En este libro Euclides enuncia con gran precisión sus fundamentos,
simplifica los enunciados y demostraciones de las proposiciones; clasifi-
ca, ordena y numera todos los principios fundamentales, las definiciones
y proposiciones. Para él, sólo es válido el uso de la regla y el compás, no
permite el uso de otro instrumento; de esta forma sus demostraciones
y soluciones están basadas únicamente a través de la circunferencia y la
línea recta. La geometría desarrollada de esta manera se llama geometría
elemental (de los Elementos) o geometría euclidiana.
Los Elementos de Euclides estudian la geometría plana (figuras que
se pueden dibujar en un plano o superficie “plana”) y de los sólidos
compuestos de superficies planas o caras. Los cuerpos sólidos: esfera,
cilindro y cono, llamados “Los Tres Cuerpos Redondos”, no los estudió.
ARQUÍMEDES. Nació en Siracusa 287-212 a.C. Estudió en Alejandría,
siguió los cursos de algunos discípulos de Euclides. Sin lugar a dudas es
considerado el matemáƟco más grande de la anƟgüedad y uno de los
mayores de todos los Ɵempos. Es conocido por su célebre exclamación
de “¡Eureka!” que significa “lo encontré”. Fue un gran inventor, inventó
máquinas de guerra debido a su gran dominio de la mecánica. Varias de
las leyes de la naturaleza y algunos de sus inventos, llevan su nombre.
De él se considera la frase “Dadme un punto de apoyo y moveré el uni-
verso”, expresando con esto su gran talento mecánico. Su contribución
original a la geometría es mayor que la de ninguna otra persona. Sus
estudios más notables son los relacionados con el área del círculo, el
volumen del cilindro, del cono y de la esfera, descubriendo muchas de
sus propiedades y relaciones existentes entre ellas.
Al igual que Euclides, Arquímedes sistemaƟzó todos sus conoci-
mientos y escribió varios libros sobre estos temas. Se ha descubierto
hace poco de su obra una conclusión sorprendente: Arquímedes en-
contró quizá los principios del cálculo integral que Newton y Leibnitz
descubrieron en el siglo XVIII.
Después de Arquímedes, Alejandría floreció durante unos novecien-
tos años más. Su Gran Biblioteca considerada como la “Cámara del Te-

8. soro” era un depósito de sabiduría y de literatura griega, ahí convergían
todos los matemáƟcos y filósofos.
También sobresalieron por sus aportes Apolonio de Perga, Ptolo-
meo y Pappus entre otros. Apolonio (260-200 a.C.), estudió las seccio-
nes cónicas, dando origen a lo que hoy conocemos como geometría
analíƟca. Ptolomeo (siglo II d. C.), gran geómetra, escribió una gran obra
en trece libros (secciones) que tratan sobre la proyección ortográfica y
estereográfica; dando origen a la geometría descripƟva. En su obra apli-
ca la geometría y la trigonometría a la astronomía. El ơtulo con el que
conocemos esta obra es el “Almagesto” que significa: “El más grande”,
o “La mayor colección”.
PAPPUS. Perfeccionó la geometría superior, teoría sobre las secciones
cónica y enunció algunas proposiciones que son consideradas precur-
soras de los fundamentos del cálculo infinitesimal y la geometría pro-
yecƟva.
Después de Pappus, Alejandría ya no Ɵene interés desde el punto
de vista de la geometría; los árabes conquistan a Alejandría y destruyen
la Universidad e incineran gran parte de la Biblioteca (641 d.C.). Con
ésta destrucción, los eruditos se marcha de Egipto y se esparcen por
todo el mundo, viajando algunos a ConstanƟnopla, otros a Bagdad. En
ConstanƟnopla, el interés por la geometría es poco, comienza a des-
cuidarse, convirƟéndose en un arte, el aporte es poco. De esta manera
se ha retrocedido al nivel de los egipcios. En Bagdad, fueron maestros
y médicos de los árabes. Los árabes obtuvieron los conocimientos de
AritméƟca y Álgebra de los hindúes, y de geometría y astronomía de los
griegos. Los árabes poco contribuyeron al desarrollo de la geometría y
la trigonometría, pero si aplicaron estos conocimientos a la astronomía.
Gracias a ellos, la geometría se introduce a Europa, en la época del Re-
nacimiento.
Durante los siglos XIII y XIV, las MatemáƟcas son enseñadas en las
universidades. Se estudia de manera cienơfica la Trigonometría, la As-
tronomía y especialmente la Geometría. Son traducidos Los elementos
de Euclides al laơn y a algunos idiomas de Europa. Muy pronta la Geo-
metría toma fuerza y es enseñada en todas las escuelas de Europa; se
aplica a las artes y a la ingeniería. El francés Legendre (1752-1833) pu-
blica los “Elementos de Geometría”, en él intenta demostrar el axioma