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PRÁCTICA 11. MÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
OBJETIVO.
Se realizará a través de lenguaje C un programa para la interpolación de a
través del método diferencias divididas de Newton.
INTRODUCCIÓN.
Esta es una manera diferente de hacer los cálculos para la interpolación
polinómica. En la interpolación de Lagrange se construye explícitamente p, es
decir, se conocen sus coeficientes. Por medio de las diferencias divididas no se
tiene explícitamente el polinomio, pero se puede obtener fácilmente el valor p(x)
para cualquier x.
Para poder construir el polinomio se necesitan los siguientes coeficientes
b0(x) = f(x0),
b1(x) = f[x1, x0],
b2(x) = f[x2, x1, x0],
b3(x) = f[x3, x2, x1, x0],
…
bn(x) = f[xn, …, x0],
y el polinomio queda de la siguiente manera
Para calcular los coeficientes , es conveniente construir una
tabla de diferencias divididas como la siguiente:
           110102010  nn xxxxxxbxxxxbxxbbxf 
nbbb ,,, 10 

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Ejemplo.
Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:
Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de
interpolación de Newton.
Solución.
Procedemos como sigue:
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es:
)2)(1)(2(3.0)1)(2(25.0)2(24)(  xxxxxxxf

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DESARROLLO.
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void newtonp(){
int n,i,j,k;
printf("Numero de datosn");
scanf("%d",&n);
float a[n];
float b[n];
float copiab[n];
float coef[n];
for(i=0;i<n;i++){
printf("Valores de X%in",i);
scanf("%f",&a[i]);
}
for(i=0;i<n;i++){
printf("Valores de y%in",i);
scanf("%f",&b[i]);
}
coef[0]=b[0];
for(k=0;k<n;k++){
for(j=0;j<n-(1+k);j++){
if(k==(j+k)){
for(i=0;i<n;i++)
copiab[i]=b[i];
}
b[j]=(copiab[j+1]-copiab[j])/(a[j+(1+k)]-
a[j]);
printf("%ft",b[j]);
if(k==(j+k))
coef[k+1]=b[j];
}
printf("n");
}
printf("n");
for(k=0;k<n;k++)
printf("%ft",coef[k]);
float res,x,eval;
/*printf("¿en que punto quiere
evaluar?");
scanf("%f",&x);*/
x=5.2;
eval=coef[0];
for(i=1;i<n;i++){
res=coef[i];
for(j=0;j<i;j++)
res=res*(x-a[j]);
eval=eval+res;
}
printf("el valor de f(x) cuando x=%f es
%fn",x,eval);
}
int main(){
newtonp();
system("pause");
return 0;
}

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CASO DE ESTUDIO.
CONCLUSIÓN.
El método de interpolación por diferencias divididas de Newton es el que
más me parece apropiado para la hacer una interpolación ya que es más exacto
que el de Lagrange.

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PRÁCTICA 12. INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE.
OBJETIVO.
Se realizará a través de lenguaje C un programa para la interpolación de a
través del método interpolación de Lagrange.
INTRODUCCIÓN.
En la interpolación de Lagrange la función f que pasa por los puntos es un
polinomio, pero el polinomio se calcula utilizando polinomios de Lagrange, sin
resolver explícitamente un sistema de ecuaciones. Teóricamente, el polinomio
obtenido por interpolación polinomial (solución de un sistema de ecuaciones) es
exactamente el mismo obtenido por interpolación de Lagrange.
Dados n puntos
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), donde yi = f(xi) = fi, se desea encontrar un polinomio
p ∈ Pn−1 (el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n−1), que pase
exactamente por esos puntos, es decir,
p (xi) = yi , i = 1, 2, ..., n.
Construcción del polinomio de Lagrange
Dados n valores diferentes x1, x2,..., xn, se definen n polinomios de
Lagrange L1,L2, ...,Ln de la siguiente manera:
(5.1)
La construcción de los polinomios de Lagrange, para los datos del último
ejemplo x1 = −1, x2 = 2, x3 = 3, da:

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Es claro que el numerador de (5.1) es el producto de n − 1 polinomios de
grado 1; entonces el numerador es un polinomio de grado, exactamente, n − 1. El
denominador es el producto de n − 1 números, ninguno de los cuales es nulo,
luego el denominador es un numero no nulo. En resumen, Lk es un polinomio de
grado n − 1.
Con los polinomios de Lagrange se construye inmediatamente p,
Por construcción p es un polinomio en Pn−1.
Para el ejemplo,
DESARROLLO.
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void lagrange(){
int n,i,j;
printf("Numero de datosn");
scanf("%d",&n);
float a[n];
float b[n];
for(i=0;i<n;i++){
printf("Valores de X%in",i);
scanf("%f",&a[i]);
}
for(i=0;i<n;i++){
printf("Valores de y%in",i);
scanf("%f",&b[i]);
}
float res,x,eval;
printf("¿en que punto quiere
evaluar?");
scanf("%f",&x);
eval=0;
for(i=0;i<n;i++){
res=b[i];
for(j=0;j<n;j++){

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if(i!=j)
res=res*((x-a[j])/(a[i]-a[j]));
}
eval=eval+res;
}
printf("el valor de f(x) cuando x=%f es
%fn",x,eval);
}
int main(){
lagrange();
system("pause");
return 0;
}
CASO DE ESTUDIO.