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3.2 Método del punto fijo
Sea f: R→R. Dada la ecuación f(x)=0, encuentre r tal que f(r)=0
El método del punto fijo, también conocido como método de la Iteración funcional es el
fundamento matemático para construir métodos eficientes para el cálculo de raíces reales de
ecuaciones no lineales.
Este método consiste en re-escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x). Esta nueva
ecuación debe ser consistente con la ecuación original en el sentido de que debe satisfacerse
con la misma raíz:
r = g(r) ⇔ f(r)=0
3.2.1 Existencia de una raíz real con el método del punto fijo
Suponer que la ecuación f(x) = 0, se sustituye por la ecuación x = g(x). Suponer además que
g es una función continua en un intervalo [a, b] y que g(a) > a y g(b) < b como se muestra
en el siguiente gráfico
Sea h(x) = g(x) - x una función, también continua, en el intervalo [a, b]
Entonces h(a) = g(a) - a > 0,
h(b) = g(b) - b < 0
Por la continuidad de h, (Teorema de Bolzano), existe algún valor r en el intervalo [a, b], en el
cual h(r)=0. Entonces g(r) - r = 0. Por lo tanto g(r)=r ⇒ f(r)=0, y r es una raíz real de f(x)=0
3.2.2 Algoritmo del punto fijo
La ecuación x=g(x) se usa para construir una fórmula iterativa xi+1 = g(xi), i = 0, 1, 2, 3, . . .
con la que se genera una sucesión de valores xi esperando tienda a un valor que satisfaga la
ecuación x = g(x):
1) Asignar un valor inicial a x,
2) Evaluar g(x)
3) Asignar este resultado a x, sustituyendo al valor anterior.
4) Repetir los pasos 2) y 3) hasta que la sucesión converja o diverja
Si el método converge, entonces la sucesión tiende hacia un valor que satisface a la ecuación
x = g(x) lo cual implica que la ecuación f(x)=0 también se satisface.
Se usará un índice para indicar la secuencia de valores calculados:
xi+1 = g(xi), i = 0, 1, 2, 3, . . .
Esta expresión constituye una fórmula iterativa, siendo x0 el inicial con el que comienza el
proceso de cálculo. Si el método converge i
i
x r
→∞
→
28
Ejemplo. Calcule una raíz real de f(x) = e
x
- πx = 0 con el método del punto fijo.
Un gráfico de f nos muestra que la ecuación tiene dos raíces reales en el intervalo [0, 2]
Re-escribir la ecuación en la forma x = g(x).
Tomando directamente de la ecuación (puede haber varias opciones)
a) x = g(x) = ex
/π
b) x = g(x) = ln(πx)
c) x = g(x) = e
x
– πx + x, etc
Usaremos la primera
Escribir la fórmula iterativa:
xi+1 = g(xi) = i
x
e /π, i = 0, 1, 2, 3, . . .
Elegir un valor inicial x0 = 0.6 (cercano a la primera raíz, tomado del gráfico)
Calcular los siguientes valores
x1 = g(x0) = 0x
e /π = 0.6
e /π = 0.5800
x2 = g(x1) = 1x
e /π = 0.5800
e /π = 0.5685
x3 = g(x2) = 0.5685
e /π = 0.5620
x4 = g(x3) = 0.5620
e /π = 0.5584
x5 = g(x4) = 0.5584
e /π = 0.5564
x6 = g(x5) = 0.5564
e /π = 0.5552
. . .
La diferencia entre cada par de valores consecutivos se reduce en cada iteración. En los
últimos la diferencia está en el orden de los milésimos, por lo tanto podemos considerar que el
método converge y el error está en el orden de los milésimos.
29
Para calcular la segunda raíz, usamos la misma fórmula iterativa:
xi+1 = g(xi) = i
x
e /π, i = 0, 1, 2, 3, . . .
El valor inicial elegido es x0 = 1.7 (cercano a la segunda raíz, tomado del gráfico)
Calcular los siguientes valores
x1 = g(x0) = 0x
e /π = 1.7
e /π = 1.7424
x2 = g(x1) = 1x
e /π = 1.7424
e /π = 1.8179
x3 = g(x2) = 1.8179
e /π = 1.9604
x4 = g(x3) = 1.9604
e /π = 2.2608
x5 = g(x4) = 2.2608
e /π = 3.0528
x6 = g(x5) = 3.0528
e /π = 6.7399
x6 = g(x5) = 6.7399
e /π = 269.1367
. . .
La diferencia entre cada par de valores consecutivos aumenta en cada iteración. Se concluye
que el método no converge.
En el ejemplo anterior, las raíces reales de la ecuación f(x)=0 son las intersecciones de f con el
eje horizontal. En el problema equivalente x=g(x), las raíces reales son las intersecciones entre
g y la recta x:
En el cálculo de la primera raíz, la pendiente de g es menor que la pendiente de x y se observa
que la secuencia de valores generados tiende a la raíz. La interpretación gráfica del proceso de
cálculo se describe en la siguiente figura.
30
0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.6
x
x
Para la segunda raíz, la pendiente de g es mayor que la pendiente de x y se puede constatar
que la secuencia de valores generados se aleja de la raíz.
Se puede observar que la convergencia parece relacionada con la pendiente de g(x). Esto se
prueba mediante el siguiente desarrollo
3.2.3 Convergencia del método del punto fijo
Para el método del punto fijo
f(x) = 0, x = g(x) (ecuaciones equivalentes)
Se debe cumplir
r = g(r) ⇔ f(r) = 0 (se satisfacen con la misma raíz)
Fórmula iterativa
xi+1 = g(xi), i = 0, 1, 2, 3, . . .
Definiciones:
Ei = r – xi : Error en la iteración i
Ei+1 = r – xi+1: Error en la iteración i + 1
Suponer que g es continua en el intervalo que incluye a r y a cada punto calculado xi.
Por el Teorema del Valor Medio:
i
i
g(x ) g(r)
g'(z)
x r
−
=
−
, para algún z ∈ (r, xi)
g(x)
x
31
Sustituyendo las definiciones anteriores:
i 1
i
x r
g'(z)
x r
+ −
=
−
= i 1
i
E
E
+
⇒ i 1 iE g'(z)E+ = , i = 0, 1, 2, 3, . . .
Este resultado indica que si en cada iteración, la magnitud de g’( ) se mantiene menor que uno,
entonces +
→∞
→i 1
i
E 0 y por lo tanto, +
→∞
− →i 1
i
r x 0 ⇒ +
→∞
→i 1
i
x r (el método converge).
Se puede extender a los casos en los cuales g tiene pendiente negativa y deducir en general
la condición de convergencia del método del punto fijo: |g’(x)| < 1.
Si g(x) es simple, se puede construir el intervalo en el cual la fórmula converge:
Ejemplo. Encuentre el intervalo de convergencia para el ejemplo anterior.
f(x) = e
x
- πx = 0
x = g(x) = ex
/π
Condición de convergencia: |g’(x)| < 1
g’(x) = ex
/π ⇒ |ex
/π| < 1 ⇒ x < ln(π)
Intervalo de convergencia: ( , ln( ))−∞ π
Con lo que se concluye que la segunda raíz no se puede calcular con esta fórmula.
Ejemplo. Calcule una raíz real de la misma ecuación f(x) = e
x
- πx = 0 con el método del punto
fijo con otra forma de la ecuación de recurrencia x=g(x).
Para este ejemplo se decide usar la segunda forma: x = g(x)=ln(πx)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
x
x
g(x)
Según la condición de convergencia establecida, el gráfico muestra que será imposible calcular
la primera raíz. La segunda raíz si podrá ser calculada. Se puede verificar numéricamente.
3.2.4 Eficiencia del método del punto fijo
El método del punto fijo tiene convergencia lineal o de primer orden debido a que Ei y Ei+1 están
relacionados directamente mediante un factor: i 1 iE g'(z)E+ = , por lo tanto este método tiene
convergencia lineal i 1 iE O(E )+ = y g'(z) es el factor de convergencia. Si su magnitud es mayor
a 1, el método no converge.
32
3.2.5 Práctica computacional
Calcular la segunda raíz de la ecuación: f(x)=exp(x)-πx
Mediante la fórmula de recurrencia: x=g(x)=ln(πx)
>> syms x
>> g=inline(log(pi*x));
>> ezplot(x,[0,2]),grid on,hold on Graficar x vs. g(x)
>> ezplot(g,[0,2]) Produce el gráfico de la página anterior
>> x=1.6; Valor inicial para la segunda raíz
>> x=g(x)
x =
1.6147
>> x=g(x) Reusar el comando
x =
1.6239
>> x=g(x)
x =
1.6296
>> x=g(x)
x =
1.6330
……
>> x=g(x) Valor final luego de 15 iteraciones
x =
1.6385
Nota: En algunas versiones de MATLAB la función inline requiere que la expresión
matemática sea de tipo texto. Para esto puede usarse la siguiente definición:
>> syms x
>> g=inline(char(log(pi*x)));
También se puede definir directamente:
>> g=inline('log(pi*x)');

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Método del punto fijo

  • 1. 27 3.2 Método del punto fijo Sea f: R→R. Dada la ecuación f(x)=0, encuentre r tal que f(r)=0 El método del punto fijo, también conocido como método de la Iteración funcional es el fundamento matemático para construir métodos eficientes para el cálculo de raíces reales de ecuaciones no lineales. Este método consiste en re-escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x). Esta nueva ecuación debe ser consistente con la ecuación original en el sentido de que debe satisfacerse con la misma raíz: r = g(r) ⇔ f(r)=0 3.2.1 Existencia de una raíz real con el método del punto fijo Suponer que la ecuación f(x) = 0, se sustituye por la ecuación x = g(x). Suponer además que g es una función continua en un intervalo [a, b] y que g(a) > a y g(b) < b como se muestra en el siguiente gráfico Sea h(x) = g(x) - x una función, también continua, en el intervalo [a, b] Entonces h(a) = g(a) - a > 0, h(b) = g(b) - b < 0 Por la continuidad de h, (Teorema de Bolzano), existe algún valor r en el intervalo [a, b], en el cual h(r)=0. Entonces g(r) - r = 0. Por lo tanto g(r)=r ⇒ f(r)=0, y r es una raíz real de f(x)=0 3.2.2 Algoritmo del punto fijo La ecuación x=g(x) se usa para construir una fórmula iterativa xi+1 = g(xi), i = 0, 1, 2, 3, . . . con la que se genera una sucesión de valores xi esperando tienda a un valor que satisfaga la ecuación x = g(x): 1) Asignar un valor inicial a x, 2) Evaluar g(x) 3) Asignar este resultado a x, sustituyendo al valor anterior. 4) Repetir los pasos 2) y 3) hasta que la sucesión converja o diverja Si el método converge, entonces la sucesión tiende hacia un valor que satisface a la ecuación x = g(x) lo cual implica que la ecuación f(x)=0 también se satisface. Se usará un índice para indicar la secuencia de valores calculados: xi+1 = g(xi), i = 0, 1, 2, 3, . . . Esta expresión constituye una fórmula iterativa, siendo x0 el inicial con el que comienza el proceso de cálculo. Si el método converge i i x r →∞ →
  • 2. 28 Ejemplo. Calcule una raíz real de f(x) = e x - πx = 0 con el método del punto fijo. Un gráfico de f nos muestra que la ecuación tiene dos raíces reales en el intervalo [0, 2] Re-escribir la ecuación en la forma x = g(x). Tomando directamente de la ecuación (puede haber varias opciones) a) x = g(x) = ex /π b) x = g(x) = ln(πx) c) x = g(x) = e x – πx + x, etc Usaremos la primera Escribir la fórmula iterativa: xi+1 = g(xi) = i x e /π, i = 0, 1, 2, 3, . . . Elegir un valor inicial x0 = 0.6 (cercano a la primera raíz, tomado del gráfico) Calcular los siguientes valores x1 = g(x0) = 0x e /π = 0.6 e /π = 0.5800 x2 = g(x1) = 1x e /π = 0.5800 e /π = 0.5685 x3 = g(x2) = 0.5685 e /π = 0.5620 x4 = g(x3) = 0.5620 e /π = 0.5584 x5 = g(x4) = 0.5584 e /π = 0.5564 x6 = g(x5) = 0.5564 e /π = 0.5552 . . . La diferencia entre cada par de valores consecutivos se reduce en cada iteración. En los últimos la diferencia está en el orden de los milésimos, por lo tanto podemos considerar que el método converge y el error está en el orden de los milésimos.
  • 3. 29 Para calcular la segunda raíz, usamos la misma fórmula iterativa: xi+1 = g(xi) = i x e /π, i = 0, 1, 2, 3, . . . El valor inicial elegido es x0 = 1.7 (cercano a la segunda raíz, tomado del gráfico) Calcular los siguientes valores x1 = g(x0) = 0x e /π = 1.7 e /π = 1.7424 x2 = g(x1) = 1x e /π = 1.7424 e /π = 1.8179 x3 = g(x2) = 1.8179 e /π = 1.9604 x4 = g(x3) = 1.9604 e /π = 2.2608 x5 = g(x4) = 2.2608 e /π = 3.0528 x6 = g(x5) = 3.0528 e /π = 6.7399 x6 = g(x5) = 6.7399 e /π = 269.1367 . . . La diferencia entre cada par de valores consecutivos aumenta en cada iteración. Se concluye que el método no converge. En el ejemplo anterior, las raíces reales de la ecuación f(x)=0 son las intersecciones de f con el eje horizontal. En el problema equivalente x=g(x), las raíces reales son las intersecciones entre g y la recta x: En el cálculo de la primera raíz, la pendiente de g es menor que la pendiente de x y se observa que la secuencia de valores generados tiende a la raíz. La interpretación gráfica del proceso de cálculo se describe en la siguiente figura.
  • 4. 30 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6 x x Para la segunda raíz, la pendiente de g es mayor que la pendiente de x y se puede constatar que la secuencia de valores generados se aleja de la raíz. Se puede observar que la convergencia parece relacionada con la pendiente de g(x). Esto se prueba mediante el siguiente desarrollo 3.2.3 Convergencia del método del punto fijo Para el método del punto fijo f(x) = 0, x = g(x) (ecuaciones equivalentes) Se debe cumplir r = g(r) ⇔ f(r) = 0 (se satisfacen con la misma raíz) Fórmula iterativa xi+1 = g(xi), i = 0, 1, 2, 3, . . . Definiciones: Ei = r – xi : Error en la iteración i Ei+1 = r – xi+1: Error en la iteración i + 1 Suponer que g es continua en el intervalo que incluye a r y a cada punto calculado xi. Por el Teorema del Valor Medio: i i g(x ) g(r) g'(z) x r − = − , para algún z ∈ (r, xi) g(x) x
  • 5. 31 Sustituyendo las definiciones anteriores: i 1 i x r g'(z) x r + − = − = i 1 i E E + ⇒ i 1 iE g'(z)E+ = , i = 0, 1, 2, 3, . . . Este resultado indica que si en cada iteración, la magnitud de g’( ) se mantiene menor que uno, entonces + →∞ →i 1 i E 0 y por lo tanto, + →∞ − →i 1 i r x 0 ⇒ + →∞ →i 1 i x r (el método converge). Se puede extender a los casos en los cuales g tiene pendiente negativa y deducir en general la condición de convergencia del método del punto fijo: |g’(x)| < 1. Si g(x) es simple, se puede construir el intervalo en el cual la fórmula converge: Ejemplo. Encuentre el intervalo de convergencia para el ejemplo anterior. f(x) = e x - πx = 0 x = g(x) = ex /π Condición de convergencia: |g’(x)| < 1 g’(x) = ex /π ⇒ |ex /π| < 1 ⇒ x < ln(π) Intervalo de convergencia: ( , ln( ))−∞ π Con lo que se concluye que la segunda raíz no se puede calcular con esta fórmula. Ejemplo. Calcule una raíz real de la misma ecuación f(x) = e x - πx = 0 con el método del punto fijo con otra forma de la ecuación de recurrencia x=g(x). Para este ejemplo se decide usar la segunda forma: x = g(x)=ln(πx) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x x x g(x) Según la condición de convergencia establecida, el gráfico muestra que será imposible calcular la primera raíz. La segunda raíz si podrá ser calculada. Se puede verificar numéricamente. 3.2.4 Eficiencia del método del punto fijo El método del punto fijo tiene convergencia lineal o de primer orden debido a que Ei y Ei+1 están relacionados directamente mediante un factor: i 1 iE g'(z)E+ = , por lo tanto este método tiene convergencia lineal i 1 iE O(E )+ = y g'(z) es el factor de convergencia. Si su magnitud es mayor a 1, el método no converge.
  • 6. 32 3.2.5 Práctica computacional Calcular la segunda raíz de la ecuación: f(x)=exp(x)-πx Mediante la fórmula de recurrencia: x=g(x)=ln(πx) >> syms x >> g=inline(log(pi*x)); >> ezplot(x,[0,2]),grid on,hold on Graficar x vs. g(x) >> ezplot(g,[0,2]) Produce el gráfico de la página anterior >> x=1.6; Valor inicial para la segunda raíz >> x=g(x) x = 1.6147 >> x=g(x) Reusar el comando x = 1.6239 >> x=g(x) x = 1.6296 >> x=g(x) x = 1.6330 …… >> x=g(x) Valor final luego de 15 iteraciones x = 1.6385 Nota: En algunas versiones de MATLAB la función inline requiere que la expresión matemática sea de tipo texto. Para esto puede usarse la siguiente definición: >> syms x >> g=inline(char(log(pi*x))); También se puede definir directamente: >> g=inline('log(pi*x)');