Sincronización de robots móviles

Diseño de estrategias de sincronización para el desarrollo
de formaciones en robots móviles

Flabio Dario Mirelez Delgado

Asesores:
Dra. América Berenice Morales Díaz
Dr. Alejandro Rodríguez Ángeles

CINVESTAV, Unidad Saltillo

Viernes 17 de Agosto de 2012

Flabio Dario Mirelez Delgado (CINVESTAV) Diseño de estrategias de sincronización 17/08/2012 1 / 42

Contenido
1 Hipótesis


Contenido
1 Hipótesis
2 Objetivos


Contenido
1 Hipótesis
2 Objetivos
3 Estado del arte


Contenido
1 Hipótesis
2 Objetivos
3 Estado del arte
4 Sincronización a nivel Cartesiano


Contenido
1 Hipótesis
2 Objetivos
3 Estado del arte
5 Sincronización a nivel de rueda


Contenido
1 Hipótesis
2 Objetivos
3 Estado del arte
6 Estabilidad


Contenido
1 Hipótesis
2 Objetivos
3 Estado del arte
6 Estabilidad
7 Sincronización anidada
Configuración I
Configuración II
Configuración III


Contenido
1 Hipótesis
2 Objetivos
3 Estado del arte
6 Estabilidad
Configuración I
Configuración II
Configuración III
8 Experimentos


Contenido
1 Hipótesis
2 Objetivos
3 Estado del arte
6 Estabilidad
Configuración I
Configuración II
Configuración III
8 Experimentos
9 Conclusiones


Contenido
1 Hipótesis
2 Objetivos
3 Estado del arte
6 Estabilidad
Configuración I
Configuración II
Configuración III
8 Experimentos
9 Conclusiones
10 Trabajo a futuro


Hipótesis

Se asume que utilizando esquemas de sincronización de un robot respecto
a sus vecinos cercanos permitirá el desarrollo de formaciones, considerando
el nivel Cartesiano, pero también el nivel de rueda, asegurando una sola
trayectoria para cada robot cuando sus ruedas estén sincronizadas.


Objetivos

Desarrollar un esquema de sincronización que asegure una meta común
para el enjambre con respecto a cada ruta individual en el plano.


Objetivos

Ajustar la posición angular de las ruedas de un robot móvil diferencial
para sincronizar su posición respecto a sus vecinos más cercanos.


Objetivos

Ajustar la posición angular de las ruedas de un robot móvil diferencial
para sincronizar su posición respecto a sus vecinos más cercanos.
Probar el esquema de control en un sistema físico.


Estado del arte (cont.)

Basándose en el tipo de interconexiones en el sistema, la sincronización se
puede deﬁnir en los siguientes tipos:

Sincronización natural.




Auto-sincronización.




Sincronización controlada.




Sincronización interna.




Sincronización interna.
Sincronizacion Externa.



Los esquemas de conﬁguración más comunes para formaciones de robots
móviles son:

Control basado en comportamientoa .

a
T. Balch et al., “Behavior-based formation control for multi-robot systems”.



móviles son:

Estructura virtualb .

a
b
T. Kar-Han et al., “Virtual structures for high-precision cooperative
mobile robotic control”.



móviles son:

Estructura virtualb .
Lider-seguidorc .
a
b
T. Kar-Han et al., “Virtual structures for high-precision cooperative
mobile robotic control”.
c
J. Huang et al., “Localization and follow-the-leader control of
a heterogeneous group of mobile robots”.


Sincronización a nivel Cartesiano

Sincronización a nivel Cartesiano (cont.)

Fig. 1: Detalles importantes de una elipse.


La posición de un robot considerando una formación en elipse está dada
por:


por:

xi a(t)
qi = = Ai (1)
yi b(t)


por:

xi a(t)
qi = = Ai (1)
yi b(t)
donde:
cos(φi ) 0
Ai = (2)
0 sin(φi )


por:

xi a(t)
qi = = Ai (1)
yi b(t)
donde:
cos(φi ) 0
Ai = (2)
0 sin(φi )

a(t) sin(αi )
φi = arctan (3)
b(t) cos(αi )


por:

xi a(t)
qi = = Ai (1)
yi b(t)
donde:
cos(φi ) 0
Ai = (2)
0 sin(φi )

a(t) sin(αi )
φi = arctan (3)
b(t) cos(αi )
yi
αi = arctan (4)
xi
i = 1, 2 . . . n robots



(Cargando...)

Fig. 2: Modiﬁcación de la formación en elipse.


La formación cambia respecto al tiempo porque el eje menor aumenta y el
eje mayor decrece:



La formación cambia respecto al tiempo porque el eje menor aumenta y el
eje mayor decrece:

a = a0 + (af − a0 )(1 − e −t ) (5)
−t
b = b0 + (bf − b0 )(1 − e ) (6)

donde a0 , b0 son los valores iniciales de los ejes y af , bf son los valores
ﬁnales dados en metros.



ei = qid − qi
Error de posición.



Error de
sincronización. εi = ci ei + ci+1 ei+1



Error de
t
sincronización
acoplado. Ei = ci ei + βc (εi ( ) − εi−1 ( ))d
0



ei = qid − qi
Error de posición.
Error de
sincronización. εi = ci ei + ci+1 ei+1
Error de
t
sincronización
acoplado. Ei = ci ei + βc (εi ( ) − εi−1 ( ))d
0



Fig. 3: Relación entre vecinos de los n robots.



La ecuación de aceleración Cartesiana que permite que el enjambre se man-
tenga en la formación es:
qi = τci
¨ (7)



qi = τci
¨ (7)
El controlador se deﬁne como:

τci = ci −1 (ui − ci qi ) + Kri ci −1 ri + ci T Kε (εi − εi−1 )
˙ ˙ ˙ (8)



qi = τci
¨ (7)
El controlador se deﬁne como:

τci = ci −1 (ui − ci qi ) + Kri ci −1 ri + ci T Kε (εi − εi−1 )
˙ ˙ ˙ (8)

Donde ci es la matriz de acoplamiento, Kri , Kε son ganancias positivas, εi
es el error de sincronización y ri , ui son variables auxiliares deﬁnidas como:

ui = ci qid + ci ei + βc (εi − εi−1 ) + ΛEi
˙ ˙ (9)
˙ ˙
ri = ui − ci qi = Ei + ΛEi (10)

Λ es una ganancia positiva.


Sincronización a nivel de rueda

El modelo cinemático de un robot móvil diferencial sujeto a una restricción
no-holónoma1 está dado por:

1 Ir Ver deﬁnición de restricción no-holónoma


x = V cos(θ)
˙ (11)
y = V sin(θ)
˙ (12)
˙
θ=ω (13)



x = V cos(θ)
˙ (11)
y = V sin(θ)
˙ (12)
˙
θ=ω (13)

Donde θ es el ángulo de orientación y V , ω son la velocidad lineal y angular
del móvil respectivamente, se deﬁnen como:
˙ ˙
(rw ψ1 + rw ψ2 )
V = (14)
2
˙ 2 − rw ψ1 )
(rw ψ ˙
ω= (15)
2R
Donde 2R es la distancia entre ruedas y rw es el radio de cada una.

Sincronización a nivel de rueda (cont.)

La matriz Jacobiana de un robot móvil diferencial es:



   r cos(θ) rw cos(θ)

w
x
˙ 2 2 ˙
rw sin(θ) rw sin(θ) ψ1
 y =
˙   (16)
 
2 2
 ˙
ψ2
˙
θ − 2Rrw rw
2R



   r cos(θ) rw cos(θ)

w
x
˙ 2 2 ˙
rw sin(θ) rw sin(θ) ψ1
 y =
˙   (16)
 
2 2
 ˙
ψ2
˙
θ − 2Rrw rw
2R
˙ ˙
Donde ψ1 , ψ2 son las velocidades angulares de la rueda derecha y rueda
izquierda respectivamente.


Si se considera un robot móvil diferencial y una trayectoria deseada.

Fig. 4: Robot móvil diferencial y una trayectoría deseada.


Si se considera un robot móvil diferencial y una trayectoria deseada.

Fig. 4: Robot móvil diferencial y una trayectoría deseada.

Se puede usar el concepto de sincronización entre ruedas para asegurar
que el robot móvil siga la trayectoria deseada.


ej = ψj − ψjd
Error de posición.



Error de
sincronización. = D1 e1 + D2 e2



Error de
t
sincronización
acoplado. sj = ej + βa ( (w ))dw
0



ej = ψj − ψjd
Error de posición.
Error de
Error de
t
sincronización
0



ej = ψj − ψjd
Error de posición.
Error de
Error de
t
sincronización
0

j = 1, 2



La ecuación dinámica de las ruedas está dada por:
¨
Hj ψj = τrj (17)



¨
Hj ψj = τrj (17)

El controlador que garantiza el seguimiento de la trayectoria está deﬁnido
como:
¨
τrj = hj (ψrj − Kd sj − Kp sj )
˙ (18)



¨
Hj ψj = τrj (17)

como:
¨
˙ (18)
Kd , Kp son ganancias positivas, hj es un componente de la matriz de inercia
(H = diag[h1 , h2 ]) y sj es la derivada del error de sincronización acoplado:
˙



¨
Hj ψj = τrj (17)

como:
¨
˙ (18)
Kd , Kp son ganancias positivas, hj es un componente de la matriz de inercia
(H = diag[h1 , h2 ]) y sj es la derivada del error de sincronización acoplado:
˙
˙ ˙
sj = ψj − ψjd + βa
˙ (19)


Estabilidad

Para la sincronización a nivel Cartesiano:


Estabilidad

n
1 −1 T −1 1 T
Vc = ci ri ci ri + εi Kε εi
2 2
i=1
 t
T  t

n n
1
+  (εi ( ) − εi−1 ( ))d  ΛβKε  (εi ( ) − εi−1 ( ))d  (20)
2
i=1 i=1
0 0
n n n

˙ −1 T −1 −1 T T
Vc = ci ri −Kri + ci
˙ ci ci ri − εi ΛKε εi − (εi − εi+1 ) βKε εi (εi − εi+1 ) (21)

i=1 i=1 i=1


Estabilidad

n
1 −1 T −1 1 T
Vc = ci ri ci ri + εi Kε εi
2 2
i=1
 t
T  t

n n
1
+  (εi ( ) − εi−1 ( ))d  ΛβKε  (εi ( ) − εi−1 ( ))d  (20)
2
i=1 i=1
0 0
n n n

˙ −1 T −1 −1 T T
Vc = ci ri −Kri + ci
˙ ci ci ri − εi ΛKε εi − (εi − εi+1 ) βKε εi (εi − εi+1 ) (21)

i=1 i=1 i=1

∴ λmin (Kri ) ≥ λmax (ci−1 ci )
˙


Estabilidad

Para la sincronización a nivel de rueda:


Estabilidad

1 1
Vr = sjT p1 sj + sjT p3 sj
˙ ˙ (22)
2 2
p1 = p2 Kp = 1
p3 = Kd
˙ = − (ej + βa )T Kd (ej + βa )
V ˙ ˙
 t
T

− ej + βa ( (ς))dς  (ej + βa )(Kp − Kd )
˙ (23)
o


Estabilidad

1 1
Vr = sjT p1 sj + sjT p3 sj
˙ ˙ (22)
2 2
p1 = p2 Kp = 1
p3 = Kd
˙ = − (ej + βa )T Kd (ej + βa )
V ˙ ˙
 t
T

− ej + βa ( (ς))dς  (ej + βa )(Kp − Kd )
˙ (23)
o

∴ Kp > Kd , βa > (|ej |, |ej |)
˙


Sincronización anidada (cont.)

La formación sincronizada genera trayectorias para cada robot.



El control de sincronización a nivel de rueda asegura el seguimiento
de la trayectoria.



de la trayectoria.
Para la unión de ambos enfoques se utiliza la pseudo-inversa de la
matriz Jacobiana de un robot móvil diferencial.



de la trayectoria.
 
x
˙ ˙
ψ1
 y =J
˙  (24)

˙
ψ2
˙
θ



de la trayectoria.
 
x
˙ ˙
ψ1
 y =J
˙  (24)

˙
ψ2
˙
θ

 
˙ x
˙
ψ1
= J#  y 
˙  (25)

˙
ψ2 ˙
θ


Sincronización anidada

Fig. 5: Metodología para unión de los esquemas de sincronización.


Simulación I

A nivel Cartesiano se consideran cuatro robots en la frontera de una elipse,
sus coordenadas iniciales son:

Robot Posición X [m] Posición Y [m] Ángulo
I 2.64 0.70 15
II -0.39 1.48 105
III -2.64 -0.70 195
IV 0.39 -1.48 285
Tabla 1: Condiciones iniciales para la simulación 1.


Simulación I (cont.)

Parámetro o ganancia Valor
βa 500
βc 0.5
Kε 1
Kd 100
Kp 1000
Kri 100
Λ 20
rw 0.035 [m]
R 0.13 [m]
H diag[0.50, 0.52][kg · m2 ]
Tabla 2: Ganancias de los controladores y parámetros de los robots.



(Cargando...)

Fig. 6: Cuatro robots en una formación de elipse a 15◦ , 105◦ , 195◦ y 285◦ .



Fig. 7: Resultados para la simulación 1.

Simulación II

Para esta simulación los robots son colocados en:

Robot Posición X [m] Posición Y [m] Ángulo
I 1.34 1.34 45
II -1.34 1.34 135
III -1.34 -1.34 225
IV 1.34 -1.34 315
Tabla 3: Condiciones iniciales para la simulación 2 y 3.


Simulación II (cont.)

(Cargando...)

Fig. 8: Cuatro robots en una formación de elipse a 45◦ , 135◦ , 225◦ y 315◦ .


Simulación II (cont.)


Simulación III

Los cuatro robots están localizados en las mismas condiciones iniciales que
la simulación dos.


Simulación III

la simulación dos. La formación se mueve debido a un cambio de posición
del centro de la formación:

Ox = (Oxf )(1 − e −t )
Oy = (Oyf )(1 − e −t )


Simulación III


Ox = (Oxf )(1 − e −t )
Oy = (Oyf )(1 − e −t )

Los valores de las ganancias para está simulación son los mismos que se
usaron en las simulaciones pasadas.


Simulación III


Ox = (Oxf )(1 − e −t )
Oy = (Oyf )(1 − e −t )

Los valores de las ganancias para está simulación son los mismos que se
usaron en las simulaciones pasadas.
La formación tiene como punto ﬁnal de su centro al punto (1 [m], 0 [m]).


Simulación III (cont.)

(Cargando...)

Fig. 10: Cuatro robots en formación de elipse a 45◦ , 135◦ , 225◦ y 315◦ .


Simulación III (cont.)


Experimentos

Fig. 12: Metodología para implementar el esquema de sincronización anidada.


Experimentos (cont.)

Fig. 13: Perﬁles de velocidad.



(Cargando...)

Fig. 14: Sincronización anidada para cuatro iRobot Create, prueba I.



Robot Distancia simulada [m] Distancia recorrida por el Error %
robot [m]
I 1.1947 1.21 1.2807
II 1.1947 1.205 0.8621
III 1.1947 1.215 1.6992
IV 1.1947 1.205 0.8621
Tabla 4: Distancias recorridas por cada robot, prueba I.



(Cargando...)

Fig. 15: Sincronización anidada para cuatro iRobot Create, prueba II.



Robot Sobrepaso [m]
I 0.04
II 0.05
III 0.045
IV 0.05
Tabla 5: Distancia de sobrepaso de cada robot, prueba II.



(Cargando...)

Fig. 16: Sincronización anidada para cuatro iRobot Create, prueba III.



Robot Distancia simulada [m] Distancia recorrida por Error %
cada robot [m]
I 1 0.94 6
II 1 0.938 6.2
III 1 0.945 5.5
IV 1 0.945 5.5
Tabla 6: Distancias recorridas por cada robot, prueba III.


Conclusiones

La unión de dos esquemas de sincronización se ha mostrado en esta
investigación.


Conclusiones

investigación.
Cada controlador es estable en el sentido de Lyapunov.


Conclusiones

investigación.
El error de sincronización y el error de posición en ambos niveles
convergen a valores cercanos a cero.


Conclusiones

investigación.
El enjambre de robots móviles diferenciales mantiene la formación
cuando ésta presenta cambios de forma o de posición en el plano.


Conclusiones

investigación.
El enjambre de robots móviles diferenciales mantiene la formación
cuando ésta presenta cambios de forma o de posición en el plano.
La implementación del nuevo esquema se realizó en modo velocidad.


Trabajo a futuro

Implementación del esquema de manera centralizada.


Trabajo a futuro

Implementación en arquitectura abierta.


Trabajo a futuro

Considerar un modelo Lagrangiano de rueda más completo.


Trabajo a futuro

Integrar estrategias de evación de obstáculos.


Trabajo a futuro

Integrar estrategias de evación de obstáculos.
Completar el esquema permitiendo que los robots inicien en diferentes
posiciones y cumplan la formación.


Bibliografía

A. Rodriguez-Angeles and H. Nijmeijer, “Mutual synchronization of
robots via estimated state feedback: a cooperative approach,” 2004.
D. Sun and C. Wang, “Controlling Swarms of Mobile Robots for
Switching between Formations Using Synchronization Concept,” 2007.
D. Sun and J. K. Mills, “Adaptive Synchronized Control for
Coordination of Multirobot Assembly Tasks,” IEEE Transactions on
Robotics and Automation, Vol. 18, No. 4, August 2002.
T. Balch and R. Arkin, “Behavior-based formation control for
multi-robot systems,” 1998.
J. Huang, S. M. Farritor, A. Qadi, and S. Goddard, “Localization and
follow-the-leader control of a heterogeneous group of mobile robots,”
2006.
M. A. Lewis, and K. H. Tan, “High precision formation control of
mobile robots using virtual structures,” 1997.

No-holonomía

Las restricciones de un sistema en el espacio de conﬁguración conllevan a
que una ruta no siempre sea válida o ejecutable en referencia a los
movimientos del robot. Regresar
Cuando el número de GDL es igual al número de variables de estado,
el robot es holónomo.
Si el número es menor, el robot es no-holónomo.
Si el número es mayor, el robot es redundante.
Un robot no-holónomo posee ligaduras, que típicamente se deben a
un contacto de un elemento con el mundo.
Normalmente un robot móvil tiene ligaduras: La condición de
rodadura ideal de las ruedas en contacto con el suelo (no puede
moverse lateralmente).
x sin(θ) − y cos(θ) = 0
˙ ˙ (26)

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