1. FASORES
Adición de tensión y corrientes
senoidales es necesario en análisis
de circuitos de CA.
METODO (1)
Colocar dos formas de ondas en el
mismo conjunto de ejes y sumar
algebraicamente Magnitudes de
cada una en cada punto a lo largo
de abscisa ( c= a + b )

2. METODO 2
A través del radio vector giratorio de
magnitud constante con origen fijo ,
denominado FASOR( cuando se
aplica a circuitos eléctricos )
Vm1 < 30°+Vm2 < 60°=VmT < θT
* Fig.a Diagrama fasorial
* La forma fasorial de corriente o
tensión senoidal es :
V= V < θ
E
I= I < θ
Onda : V e I valores efectivos y θ ángulo
de fase

3. EJEMPLOS DE
CONVERSIÓN
EJEMPLO 1
Convertir del dominio del tiempo al de fasor, los siguientes:
DOMINIO DEL TIEMPO
DOMINIO DEL FASOR
a)√2(50)sen ωt
50 < θ
b)69,6 sen(ωt + 72°)
(0,707)(69,6) < 72° = 49,2 < 72°
c)45cos ωt
(0,707)(45) < 90° = 31,8 < 90°

4. EJEMPLO 2
Escribir la expresión senoidal para los fasores siguientes , si frecuencia
es 60 Hz
De dominio de fasor
a)I = 10 < 30°
a dominio del tiempo
i = √2( 10 ) sen( 2π60t+30°)
= 14,1 sen( 377t+30° )
b) V = 115 < -70°
V = √2( 115 ) sen( 2π60t -78 )
= 163 sen( 377t-70° )

5. EJEMPLO 3
Hallar la tensión de entrada al circuito de la figura , si:
Va = 50 sen ( 377 t + 30° )
Vb = 30 sen ( 377 t + 60° )
SOLUCIÓN
1° De ley de kirchhoff
eent= Va + Vb
2° conversión de dominio de tiempo a la de fasor
Va = 50 sen ( 377 t + 30° ) Va= 0,707(50) < 30°
= 35,3 < 30°
Vb = 30sen (377 t + 60° )  Vb=0,707(30) < 60°
= 21,2 < 6°

6. IDEM. EJEMPLO 3
3° Conversión de la forma polar a la rectangular para luego
sumar
Va = 35,3 < 30° = 35,3 cos30° + j( 35,3 sen30°)
= 30,6 + j 17,7
Vb = 21,2 < 60° = 21,2 cos 60° + j( 21,2 sen60° )
= 10,6 + j18,4
Luego Eent = Va + Vb = ( 30,6 + 10,6 ) + j(17,7 + 18,4)
Eent = 41,2 + j 36,1 = 54,8 < 41,2°

7. IDEM.EJEMPLO 3
4° conversión del dominio del fasor al dominio del tiempo para eent
Eent = 54,8 < 41,2°  eent = √2(54,5) sen(377 t + 41,2°)
Luego : eent = 77,5 sen ( 377 t + 41,2°)
Graficando las tres formas de ondas

8. EJEMPLO 4
Cuantificar la corriente i2 para la red de la figura adjunta.
SOLUCIÓN
1° de la ley de Kirchhoff
iT= i1 + i2
ó i2 = i T – i 1
2° pasando del dominio del tiempo al de fasor
iT = 120 x 10-3 sen(ωt + 60° ) IT = 0,707 ( 120 )x 10-3 < 60°
= 84,8 x 10-3 < 60°
i1 = 80 x 10-3 sen (ωt)  I1 = 0,707 ( 80 ) x 10-3 < 0°
= 56,6 x 10-3 < 0°

9. Continuación del ejemplo 4
3° Conversión de polar a rectangular para la resta
IT = 84,8 x 10-3 < 60° = 84,8 x 10-3 cos 60° + j 84,8 x10-3sen60°
= 42,1 x 10-3 + j 73,4 x 10-3
I1 = 56,6 x 10-3 < 0° = 56,6x 10-3 cos 0° +j56,6 x 10-3sen0°
= 56,6 x 10-3 + j 0
4° entonces : I2 = IT – I1
I2 = -14,2 x 10-3 + j ( 73,4x10-3)
5°Conversión de rectangular a polar
I2 = 74,8 x 10-3 < 101°

10. CONTINUACIÓN EJEMPLO 4
6° Conversión del dominio de fasor al del tiempo.
I2 = 74,8 x 10-3 < 101°
 i2 = Im sen(ωt+ θ)
= √2( 74,8 x 10-3) sen(ωt+101°)
LUEGO : i2 = 105,8x10-3sen(ωt + 101°)
Graficando las tres formas de onda

11. EJEMPLO 5
Hállese la corriente i para el circuito de la figura.
Utilizando el algebra fasorial.
SOLUCIÓN
1° V = 24 senωt  V = 0,707(24) < 0°
Exp. fasorial  V = 16,9 < 0°
2° De ley de ohm
I = V < 0° = V 0° - ΘL
XL < θL XL
= 16,9 < 0° = 5,66 <-90°
3 < 90 °
I = 5,66 < -90°  exp. fasorial

12. CONTINUACIÓN EJEMPLO 5
3° Conversión al dominio del tiempo
i = √2I sen(ωt - θ)
= √2 ( 5,66) sen(ωt - 90°)
i = 8 sen(ωt - 90°)

13. EJEMPLO 6
Cuantificar la tensión V para el circuito mostrado
utilizando el algebra fasorial.
SOLUCIÓN
1° i = 5 sen ( ωt + 30° )  I = 0,707(5) < 30°
exp. fasorial  I = 3,5 < 30°
2° De V = I XL = ( 3,5 < 30° )(4 < 90°
exp. fasorial V = 14 < 120°
3° Conversión al dominio de tiempo
V = √2 V sen (ωt+ θL)
= √2 (14) sen(ω t + 120°)
V ≈ 20 sen(ωt + 120°)

14. EJEMPLO 7
Halle la corriente i en el circuito utilizando
algebra fasorial
SOLUCIÓN
1° V = 15 sen ωt
 V = 0,707(15) < 0°
V = 10,6 < 0°  exp. fasorial
2° De I = V = V< 0° = V 0° - θC
Xc
XC< θC
XC
I adelanta a V en 90°  θC =-90
luego I = 10,6 < 0° = 5,3<90°
2 < -90

15. CONTINUACIÓN EJEMPLO 7
3° conversión al dominio de tiempo
i = √2 I sen(ωt+ 90°) = √2(5,3)sen(ωt + 90°)
i = 7,5 sen(ωt + 90°)

16. EJEMPLO 8
Determine la tensión V en el circuito adjunto
utilizando el algebra fasorial .
SOLUCIÓN
1° i = 6 sen (ωt – 60°)
I = 0,707(6) < -60°
I = 4,23 < -60  exp. fasorial
2° V = I XC = (I < θ)(XC < θC)
= ( 4,23 < -60°)(0,5 < -90°)
V = 2,12 < -150°  exp. fasorial

17. CONTIN. EJEMPLO 8
3° Conversión al domino del tiempo
V = √2 V sen(ωt + θ)
V = √2 (2,12) sen(ωt - 150)

18. IMPENDACIA – DIAGRAMA FASORIAL
i) En la grafica se muestra la resistencia( R ),
reactancia inductiva(XL) y reactancia capacitiva(XC).
ii) Se denomina impedancia del circuito a cualquiera
de los elementos ó combinación de ellos en un
circuito de CA.
iii) La impedancia , es una medida de la oposición
del circuito al flujo de corriente a través de él .
iV) IMPEDANCIA de los elementos individuales
a) Z = R = R < 0° = R + j 0°
b) Z = XL = XL < 90° = 0 + j XL
C) Z = XC = XC < - 90° = 0 – j XC

19. Ejemplo 1
Hállese la impedancia de entrada a la red en serie
mostrada y trazar diagrama respectivo
SOLUCIÓN
1° ZT = Z1 + Z2 + Z3
= R < 0° + XL < 90° + XC < -90°
= R + jXL – jXC
= R + j(xL - XC)
= 6 + j(10 – 12)
=6– j2
ZT= 6,3< -18
2° graficando diagrama de impedancia .
si 0° < θT <90°  circuito inductivo
si -90°< θT < 0°  circuito capacitivo
si θT = 0
 circuito resistivo

20. R - L - C: NOTACIÓN FASORIAL
1° Circuito R - L - C
e = 70,7senωt
2° Notación fasorial
E= 0,707(70,7)<0°
E= 50<0°
3° ZT = Z1 + Z2 + Z3
= R < 0° + XL<90° + XC<-90°
= 3 + j7 – j3
ZT = 3 + j4  exp. rectangular

21. 4° Intensidad (I)
I = E = 50 < 0° = 10 < -53°
ZT
5 < 53°
5° VR , VL y VC
a) VR = I R = ( 10< -53°)(3 < 0°) = 30 < -53°
b)VL = I XL= ( 10< -53°)(7 < 90°) = 70 < 37°
c) VC = I XC= (10< -53°)(3 < -90°) = 30 < -143°

22. CONTINUACIÓN DE RLC
5° Según ley de tensiones de Kirchhoff :
∑V = E – VR – VL – VC = 0
Entonces : E= VR + RL + VC
Del algebra fasorial : E = 50 +j 0°
luego : E = 50 < 0°
6° DIAGRAMA FASORIAL
i) I está en fase con tensión en resistor ( VR )
ii) I se atrasa en 90° con respecto a la tensión en el inductor ( VL ).
iii) I se adelanta en 90° respecto a tensión en capacitor ( VC ).

23. CONTINUACIÓN DE RLC
7° conversión al dominio de tiempo
a)I = √2(10) sen (ωt - 53°)= 14,1 sen(ωt – 53°)
b) VR = √2(30) sen (ωt -53°) = 42,4 sen (ωt – 53° )
c) VL = √2(70) sen (ωt + 37°) = 99 sen (ωt + 37° )
d) VC = √2(30) sen (ωt – 143°) = 42,4 sen (ωt – 143°)

24. CONTINUACIÓN DE RLC
8° diagrama de tensiones ( VR,VL,VC) y
corriente (i) del circuito R-L-c

25. 9° POTENCIA
I) PT = E I cos θT
PT = (50)(10 )cos53° = 300w
II) PT
= P R + PL + PC
= VR I cos θR + VL I cosθL + VCI cos θc
= (30)(10)cos 0° + (70)(10) cos 90° + (30)(10)cos 90°
PT = 300w
10° FACTOR DE POTENCIA (FP)
FP = cos θT = cos 53° = 0,6
FP = cos θT = R = 3 = 0,6