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Razones trigonométricas de cualquier magnitud

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Razones trigonométricas de cualquier magnitud
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL.
Llamado también ángulos en posición canónica ó estándar, es aquel ángulo
Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema de coordenada.
Su lado inicial coincide con el semi-eje positivo de las abscisas ( eje X ) y su lado
final se ubica en cualquier región del plano.
Ejemplo:
Definición de las R.T. de un ángulo en posición normal.
1.Sea P ( x ; y ) perteneciente al primer cuadrante y a un ángulo en posición normal.
y
sen
r
a 
cos
x
r
a 
tan
y
x
a 
x
ctg
y
a 
sec
r
x
a 
csc
r
y
a 
2. Encuentra las R.T. para P ( - x ; y ), P ( - x ; - y ) y P ( x ; - y ) con un ángulo «a»
en posición normal.
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Problemas resueltos
1. Siendo un punto que pertenece al lado final de un ángulo en
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2. Si ctg a = 2,4 además Halla:IIICa 
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 
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Razones trigonométricas de cualquier magnitud

  • 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL. Llamado también ángulos en posición canónica ó estándar, es aquel ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema de coordenada. Su lado inicial coincide con el semi-eje positivo de las abscisas ( eje X ) y su lado final se ubica en cualquier región del plano. Ejemplo:
  • 3. Definición de las R.T. de un ángulo en posición normal. 1.Sea P ( x ; y ) perteneciente al primer cuadrante y a un ángulo en posición normal. y sen r a  cos x r a  tan y x a  x ctg y a  sec r x a  csc r y a 
  • 4. 2. Encuentra las R.T. para P ( - x ; y ), P ( - x ; - y ) y P ( x ; - y ) con un ángulo «a» en posición normal. SIGNO DE LAS R.T.
  • 5. Problemas resueltos 1. Siendo un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal «a», halla sen a ( 5; 2)P   Desarrollo: y x 5 - 2 a - 2 3 2 3 sena  
  • 6. 2. Si ctg a = 2,4 además Halla:IIICa  1 2 cos 4 M sena a  Desarrollo: 24 12 10 5 ctg       - 12 - 5 13 5 1 12 2 13 4 13 M               10 3 13 13 M     13 13 M   M = - 1
  • 7. 3. Si , 270°< q < 360°. Halla: 2 25 169 sen q  12tan 13cos 2M q q   Desarrollo: 25 169 senq  5 13 senq   - 5 13 12 5 12 12 13 2 12 13 M               5 12 2M     9M  M = 3
  • 8. 4. Indica el signo de:         2 2 200 cos400 tan 100 sec 600 csc300 cos500 sen M        Desarrollo: 200 IIIC Sen 200° ( - ) 400 IC Cos 400° ( + ) 100 IIC 2 tan 100 ( + ) 600 IIIC 2 sec 600 ( + ) 300 IVC Csc 300° ( - ) 500 IIC Cos 500° ( - ) Reemplazando los signos:         M        M     
  • 9. ÁNGULO CUADRANTAL. Un ángulo en posición normal se llama cuadrantal cuando su lado final coincide con un semieje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantales son: 0°, 90°,180°, 270° y 360° y todo ángulo cuadrantal tiene como medida un múltiplo de 90°.
  • 10. R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES. I. R.T.para 90° De la figura se observa: y = r x = 0 y sen r q  cos x r q  tan y x q  cot x y q  sec r x q  csc r y q  90 1 y sen y    0 cos90 0 y    tan90 . 0 y N D   0 cot90 0 y    sec90 . 0 r N D   csc90 1 y y   
  • 11. R.T. de 180° -x = - r y = 0 y sen r q  cos x r q  tan y x q  cot x y q  sec r x q  csc r y q  0 180 0sen r    cos180 1 r r      0 tan180 0 r     cot180 . 0 r N D     sec180 1 r r      csc180 . 0 r N D  
  • 12. y sen r q  cos x r q  tan y x q  cot x y q  sec r x q  csc r y q  R.T. para 270° x = 0 - y = - r 270 1 r sen r      0 cos270 0 r    tan 270 . 0 r N D     0 cot 270 0 r     sec270 . 0 r N D   csc270 1 r r     
  • 13. y sen r q  cos x r q  tan y x q  cot x y q  sec r x q  csc r y q  R.T.para 360° y 0° x = r y = 0 0 360 0sen r    cos360 1 r r    0 tan360 0 r    cot360 . 0 r N D   sec360 1 r r    c360 . 0 r cs N D  
  • 14. Sen tan cot sec csc 0° 90° 180° 270° 360° 0 1 0 - 1 0 1 0 - 1 0 1 0 N.D 0 N.D 0 N.D 0 N.D 0 N.D 1 N.D - 1 N.D 1 N.D 1 N.D - 1 N.D
  • 15. Ejemplos: 1. Halla el valor de : 2 cos0 . 270 2cos180 .tan45M sen     Desarrollo:       2 1 1 2 1 1M     M = 1 + 2 = 3 2. Halla el valor de:   30 90 sec180 sen M sen       1 21 1M        1 22M  2M 
  • 16. Dos ángulos en posición normal se llamarán coterminales si sus lados finales coinciden. a Y q son coterminales 420° y 60° son coterminales.
  • 17. Si a y q son coterminales tal que a > q entonces se cumple que: 360 ;k k Za q    Ejemplos: 1. 405° y 45° son coterminales por que: 405° - 45° = 360° = 1 vuelta 2. 780° y 60° so coterminales por que: 780° - 60° = 720° = 2 vueltas 3. 330° y – 30° son coterminales por que: 330° - ( - 30° ) = 360° = 1 vuelta. 4. 2200° y 40° son coterminales por que: 2200° - 40° = 2160° = 6 vueltas 5. 1500° y 60° son coterminales por que: 1500° - 60° = 1440° = 4 vueltas. K: número de vueltas
  • 18. R.T. ÁNGULOS COTERMINALES. a Y q son coterminales entonces se cumple:    . .RT RTa q csc r y q  y sen r q  cos x r q  tan y x q  cot x y q  sec r x q  y sen r a  cos x r a  tan y x a  cot x y a  sec r x a  c r cs y a 
  • 19. Ejemplos: 1. 405° y 45° son coterminales 2. 780° y 60° son coterminales. 3. 750° y 30° son coterminales. 4. 330° y – 30° son coterminales. Sen 405° = sen 45° Cos 780° = cos 60° Tan 750° = tan 30° Csc 330° = csc ( - 30° ) En general:    . 360 .RT k RTq q     Ejemplos: 1. Cos 780° = cos ( 720° + 60° ) = cos 60° = 1 2 2. Tan 1500° = tan ( 1440° + 60° ) = tan 60° = 3 3. Sen 900° = sen ( 720° + 180° ) = sen 180° = 0 4. 61 tan tan 20 tan 3 3 3 3             
  • 20. Problemas resueltos: 1.Si A = sen90° + csc 270° y B = tan 180° + sec 360°. Halla el valor de: A B M A B    Desarrollo: A = sen 90° + csc 270° A = 1 + - 1 = 0 B = tan 180° + sec 360° B = 0 + 1 = 1 0 1 0 1 M    M = - 1 2.Encuentra el valor de : 2 3 90 2tan 0 cos180 .sec 360 csc 270 3cot90 tan180 .cos0 sen M          Desarrollo:            2 3 1 2 0 1 1 1 3 0 0 1 M        1 1 1 M    M = - 2
  • 21. 3. Halla: E = cos a. sec b Desarrollo: a Y b son coterminales Como los ángulos son iguales: E = cos a. sec b  1 Veamos:         20 29 . 1 29 20 E    
  • 22.  cos x r a   sec r x a    y sen r a    tan y x a    cot x y a    csc r y a   - Sen a Cos a - Tan a - Cot a Sec a - Ccs a Se observa que el cos y sec de un ángulo negativo es positivo.
  • 23. Ejemplo: 1. Sen ( - 30° ) = - sen 30° = 2. Cos ( - 30° ) = cos 30° = 3. Tan ( - 60° ) = - tan 60° = 1 2  3 2 3 4.    3 tan 60 2sec 45E       Desarrollo: 3 3 2 2E    3 2E    E = - 5
  • 24. Definición: Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea. R.T.( ) R.T.( ) : no es agudo : sí es agudo CASOS: 1. Ángulos menores que una vuelta. ( 360° )
  • 25. Regla practica: 180° + - x 360° R.T = + - R.T( x) 90° + - x 270° R.T = + - CO . R.T ( x )
  • 26. Ejemplos: 1. Tan 240° = tan ( 180° + 60° ) = tan 60° = 2. Cos 150° = cos ( 180° - 30° ) = - cos 30°= - 3. Cos 120° = cos ( 90° + 30° ) = - sen 30° = - 4. Sen 225° = sen ( 270° - 45° ) = - cos 45° = - 5. Cot 323° = cot ( 360°- 37° ) = - cot 37° = - 6. Sec 300° = sec ( 360° - 60° ) = sec 60° = 2 7. Sen 300° = sen ( 270° + 30° ) = - cos 30° = - 8. Tan 135° = tan ( 90° + 45° ) = - cot 45° = - 1 3 3 2 1 2 1 2 4 3 3 2
  • 27. Problemas resueltos. 1. Indica la verdad o la falsedad de las proposiciones: a) Sen ( 360° - x ) = - sen x b) Cos ( 360° - x ) = cos x c) Tan ( 180° + x ) = tan x d) Sen ( 270° - x ) = - sen x e) Cot ( 90° + x ) = - tan x 2. Reduzca : cos ( 90° + x ) + sen ( 180° - x ) Desarrollo: - Sen x + sen x = 0 V V V F V 3. reduzca la expresión:         tan 90 cos 360 tan 270 270 x x E x sen x       Desarrollo:
  • 28. cot cos cot cos x x E x x     E = - 1 – 1 E = - 2 4.Halla el resultado de:     csc40 .cos 50 1 tan 45 E        Desarrollo: csc40 .cos50 1 tan 45 E      csc40 . 40 1 tan 45 sen E      1 1 1 E   1 2 E  5.Hallar el valor de:           30 tan 45 cos 60 sec 120 tan 225 sen E               Desarrollo: 30 tan 45 cos60 sec60 cot 45 sen E         Sec ( 120° ) = - sec ( 180°- 60° ) Tan ( 225° ) = tan ( 270° - 45° ) Recuerda: Entonces: 1 1 1 2 2 2 1 E       1 1 E    E = 1
  • 29. 2. Ángulos mayores que una vuelta. Si el ángulo es mayor que 360°, se divide el ángulo entre 360° y se trabaja con el residuo y aplicamos los casos antes visto. Sea a > que una vuelta N° de vueltas residuo Entonces: R.T. ( a ) = R.T. b
  • 30. Ejemplos: 1. Encuentra el valor de tan 780° Desarrollo: Dividiendo 780° entre 360° se tiene: 780° = 2( 360° ) + 60° Tan 780° = tan 60°= 3 2. Halla el valor de cos 1230° Desarrollo: Dividiendo 1230° entre 360° se tiene: 1230° = 3 ( 360° ) + 150° 150 II Cos 150° = - ( 180° - 30° ) = - cos 30° = 3 2  3. Halla el valor de sen 1320° Desarrollo: Dividiendo 1320° entre 360° 1320° = 3 ( 360° ) + 240° 240 III Sen 240° = - ( 270° - 30° ) = - sen 30° = 1 2  impar  1. Sen 1634°  = par 0 Sen 0° = 0 Cos  = - 12. Cos 1773° = 3. Tan ( 2236°  + x ) = par 0 Tan x
  • 31. 4. Cot ( 1679°  – x )= impar  Cot (  – x ) = - cot x 5. 7 4 sen  2 4 sen         2 4 2 sen     IV C 6. 5 tan 3  tan 2 3          tan 3    3 IV C 7. cos 4 2          cos 2   0 9 cos 2 
  • 32. 8. tan 4          tan 1 4   III Cimpar 9. 1117 tan 4  tan 279 4          117 cot 2 x       cot 58 2 x           par cot 2 x        tan x Problemas resueltos. 1.Hallar el 19 cos 4       Desarrollo: cos 5 4         cos 4         II C cos 4    1 2 22   
  • 33. 2.Halla el resultado de : cos2 tan3 sec tan5 sen N          Desarrollo: cos2 tan3 sec tan5 sen N          cos0 tan sec tan sen N         0 1 0 1 0 N      N = - 1 3. Simplifica la expresión:     25 7 sec . 2 2 csc 15 .cos 5 x sen x E x x                    Desarrollo: Primero: 25 13 2 2           7 4 2 2           Entonces:
  • 34.     sec 13 . 4 2 2 csc 15 .cos 5 x sen x E x x                            sec . 2 2 csc .cos x sen x E x x                      csc .cos csc . cos x x E x x   E = -1