2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL.
Llamado también ángulos en posición canónica ó estándar, es aquel ángulo
Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema de coordenada.
Su lado inicial coincide con el semi-eje positivo de las abscisas ( eje X ) y su lado
final se ubica en cualquier región del plano.
Ejemplo:

3. Definición de las R.T. de un ángulo en posición normal.
1.Sea P ( x ; y ) perteneciente al primer cuadrante y a un ángulo en posición normal.
y
sen
r
a 
cos
x
r
a 
tan
y
x
a 
x
ctg
y
a 
sec
r
x
a 
csc
r
y
a 

4. 2. Encuentra las R.T. para P ( - x ; y ), P ( - x ; - y ) y P ( x ; - y ) con un ángulo «a»
en posición normal.
SIGNO DE LAS R.T.

5. Problemas resueltos
1. Siendo un punto que pertenece al lado final de un ángulo en
posición normal «a», halla sen a
( 5; 2)P  
Desarrollo: y
x
5
- 2
a
- 2
3
2
3
sena  

6. 2. Si ctg a = 2,4 además Halla:IIICa
1
2 cos
4
M sena a 
Desarrollo:
24 12
10 5
ctg
 
 
 
- 12
- 5 13
5 1 12
2
13 4 13
M
    
    
   
10 3
13 13
M
 
 
13
13
M


M = - 1

7. 3. Si , 270°< q < 360°. Halla:
2 25
169
sen q 
12tan 13cos 2M q q  
Desarrollo:
25
169
senq 
5
13
senq


- 5
13
12
5 12
12 13 2
12 13
M
   
     
   
5 12 2M    
9M 
M = 3

8. 4. Indica el signo de:
   
   
2
2
200 cos400 tan 100
sec 600 csc300 cos500
sen
M
  

  
Desarrollo:
200 IIIC Sen 200° ( - )
400 IC Cos 400° ( + )
100 IIC 2
tan 100 ( + )
600 IIIC
2
sec 600 ( + )
300 IVC Csc 300° ( - )
500 IIC Cos 500° ( - )
Reemplazando los signos:
   
   
M
  

  
M

  


9. ÁNGULO CUADRANTAL.
Un ángulo en posición normal se llama cuadrantal cuando su lado final coincide
con un semieje.
En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos
cuadrantales son: 0°, 90°,180°, 270° y 360° y todo ángulo cuadrantal tiene como
medida un múltiplo de 90°.

10. R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES.
I. R.T.para 90°
De la figura se observa:
y = r x = 0
y
sen
r
q 
cos
x
r
q 
tan
y
x
q 
cot
x
y
q 
sec
r
x
q 
csc
r
y
q 
90 1
y
sen
y
  
0
cos90 0
y
  
tan90 .
0
y
N D  
0
cot90 0
y
  
sec90 .
0
r
N D  
csc90 1
y
y
  

11. R.T. de 180°
-x = - r y = 0
y
sen
r
q 
cos
x
r
q 
tan
y
x
q 
cot
x
y
q 
sec
r
x
q 
csc
r
y
q 
0
180 0sen
r
  
cos180 1
r
r

   
0
tan180 0
r
  

cot180 .
0
r
N D

  
sec180 1
r
r
   

csc180 .
0
r
N D  

12. y
sen
r
q 
cos
x
r
q 
tan
y
x
q 
cot
x
y
q 
sec
r
x
q 
csc
r
y
q 
R.T. para 270°
x = 0 - y = - r
270 1
r
sen
r

   
0
cos270 0
r
  
tan270 .
0
r
N D

  
0
cot270 0
r
  

sec270 .
0
r
N D  
csc270 1
r
r
   


13. y
sen
r
q 
cos
x
r
q 
tan
y
x
q 
cot
x
y
q 
sec
r
x
q 
csc
r
y
q 
R.T.para 360° y 0°
x = r y = 0
0
360 0sen
r
  
cos360 1
r
r
  
0
tan360 0
r
  
cot360 .
0
r
N D  
sec360 1
r
r
  
c360 .
0
r
cs N D  

14. Sen
tan
cot
sec
csc
0° 90° 180° 270° 360°
0 1 0 - 1 0
1 0 - 1 0 1
0 N.D 0 N.D 0
N.D 0 N.D 0 N.D
1 N.D - 1 N.D 1
N.D 1 N.D - 1 N.D

15. Ejemplos:
1. Halla el valor de :
2
cos0 . 270 2cos180 .tan45M sen    
Desarrollo:
     2
1 1 2 1 1M    
M = 1 + 2 = 3
2. Halla el valor de:
  30
90 sec180
sen
M sen

  
 
1
21 1M     
 
1
22M 
2M 

16. Dos ángulos en posición normal se llamarán coterminales si sus lados finales
coinciden.
a Y q son coterminales
420° y 60° son coterminales.

17. Si a y q son coterminales tal que a > q entonces se cumple que:
360 ;k k Za q   
Ejemplos:
1. 405° y 45° son coterminales por que:
405° - 45° = 360° = 1 vuelta
2. 780° y 60° so coterminales por que:
780° - 60° = 720° = 2 vueltas
3. 330° y – 30° son coterminales por que:
330° - ( - 30° ) = 360° = 1 vuelta.
4. 2200° y 40° son coterminales por que:
2200° - 40° = 2160° = 6 vueltas
5. 1500° y 60° son coterminales por que:
1500° - 60° = 1440° = 4 vueltas.
K: número de vueltas

18. R.T. ÁNGULOS COTERMINALES.
a Y q son coterminales entonces
se cumple:
   . .RT RTa q
csc
r
y
q 
y
sen
r
q 
cos
x
r
q 
tan
y
x
q 
cot
x
y
q 
sec
r
x
q 
y
sen
r
a 
cos
x
r
a 
tan
y
x
a 
cot
x
y
a 
sec
r
x
a 
c
r
cs
y
a 

19. Ejemplos:
1. 405° y 45° son coterminales
2. 780° y 60° son coterminales.
3. 750° y 30° son coterminales.
4. 330° y – 30° son coterminales.
Sen 405° = sen 45°
Cos 780° = cos 60°
Tan 750° = tan 30°
Csc 330° = csc ( - 30° )
En general:
   . 360 .RT k RTq q    
Ejemplos:
1. Cos 780° = cos ( 720° + 60° ) = cos 60° =
1
2
2. Tan 1500° = tan ( 1440° + 60° ) = tan 60° = 3
3. Sen 900° = sen ( 720° + 180° ) = sen 180° = 0
4. 61
tan tan 20 tan 3
3 3 3
  
 
    
 

20. Problemas resueltos:
1.Si A = sen90° + csc 270° y
B = tan 180° + sec 360°.
Halla el valor de:
A B
M
A B



Desarrollo:
A = sen 90° + csc 270°
A = 1 + - 1 = 0
B = tan 180° + sec 360°
B = 0 + 1 = 1
0 1
0 1
M



M = - 1
2.Encuentra el valor de :
2
3
90 2tan0 cos180 .sec 360
csc 270 3cot90 tan180 .cos0
sen
M
   

   
Desarrollo:
    
     
2
3
1 2 0 1 1
1 3 0 0 1
M
  

  
1 1
1
M



M = - 2

21. 3. Halla: E = cos a. sec b
Desarrollo:
a Y b son coterminales
Como los ángulos son iguales:
E = cos a. sec b  1
Veamos:
 
 
 
 
20 29
. 1
29 20
E

 


22.  cos
x
r
a 
 sec
r
x
a 
 
y
sen
r
a  
 tan
y
x
a  
 cot
x
y
a  
 csc
r
y
a  
- Sen a
Cos a
- Tan a
- Cot a
Sec a
- Ccs a
Se observa que el cos y sec de un ángulo negativo es positivo.

23. Ejemplo:
1. Sen ( - 30° ) = - sen 30° =
2. Cos ( - 30° ) = cos 30° =
3. Tan ( - 60° ) = - tan 60° =
1
2

3
2
3
4.    3tan 60 2sec 45E      
Desarrollo:
3 3 2 2E   
3 2E   
E = - 5

24. Definición:
Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones
trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo
sea.
R.T.( ) R.T.( )
: no es agudo : sí es agudo
CASOS:
1. Ángulos menores que una vuelta. ( 360° )

25. Regla practica:
180°
+ - x
360°
R.T = + - R.T( x)
90°
+ - x
270°
R.T = + - CO . R.T ( x )

26. Ejemplos:
1. Tan 240° = tan ( 180° + 60° ) = tan 60° =
2. Cos 150° = cos ( 180° - 30° ) = - cos 30°= -
3. Cos 120° = cos ( 90° + 30° ) = - sen 30° = -
4. Sen 225° = sen ( 270° - 45° ) = - cos 45° = -
5. Cot 323° = cot ( 360°- 37° ) = - cot 37° = -
6. Sec 300° = sec ( 360° - 60° ) = sec 60° = 2
7. Sen 300° = sen ( 270° + 30° ) = - cos 30° = -
8. Tan 135° = tan ( 90° + 45° ) = - cot 45° = - 1
3
3
2
1
2
1
2
4
3
3
2

27. Problemas resueltos.
1. Indica la verdad o la falsedad de las proposiciones:
a) Sen ( 360° - x ) = - sen x
b) Cos ( 360° - x ) = cos x
c) Tan ( 180° + x ) = tan x
d) Sen ( 270° - x ) = - sen x
e) Cot ( 90° + x ) = - tan x
2. Reduzca : cos ( 90° + x ) + sen ( 180° - x )
Desarrollo:
- Sen x + sen x = 0
V
V
V
F
V
3. reduzca la expresión:
 
 
 
 
tan 90 cos 360
tan 270 270
x x
E
x sen x
 
 
 
Desarrollo:

28. cot cos
cot cos
x x
E
x x

 

E = - 1 – 1
E = - 2
4.Halla el resultado de:
 
 
csc40 .cos 50
1 tan 45
E
  

  
Desarrollo:
csc40 .cos50
1 tan45
E
 

 
csc40 . 40
1 tan45
sen
E
 

 
1
1 1
E 

1
2
E 
5.Hallar el valor de:
     
   
30 tan 45 cos 60
sec 120 tan 225
sen
E
       

    
Desarrollo:
30 tan45 cos60
sec60 cot45
sen
E
   

  
Sec ( 120° ) = - sec ( 180°- 60° )
Tan ( 225° ) = tan ( 270° - 45° )
Recuerda:
Entonces:
1 1
1
2 2
2 1
E
  

 
1
1
E



E = 1

29. 2. Ángulos mayores que una vuelta.
Si el ángulo es mayor que 360°, se divide el ángulo entre 360° y se trabaja con el
residuo y aplicamos los casos antes visto.
Sea a > que una vuelta
N° de vueltas
residuo
Entonces:
R.T. ( a ) = R.T. b

30. Ejemplos:
1. Encuentra el valor de tan 780°
Desarrollo:
Dividiendo 780° entre 360° se tiene:
780° = 2( 360° ) + 60°
Tan 780° = tan 60°= 3
2. Halla el valor de cos 1230°
Desarrollo:
Dividiendo 1230° entre 360° se tiene:
1230° = 3 ( 360° ) + 150° 150 II
Cos 150° = - ( 180° - 30° )
= - cos 30° =
3
2

3. Halla el valor de sen 1320°
Desarrollo:
Dividiendo 1320° entre 360°
1320° = 3 ( 360° ) + 240° 240 III
Sen 240° = - ( 270° - 30° ) = - cos 30° = -
impar

1. Sen 1634°  =
par
0
Sen 0° = 0
Cos  = - 12. Cos 1773° =
3. Tan ( 2236°  + x ) =
par
0
Tan x
3
2

31. 4. Cot ( 1679°  – x )=
impar

Cot (  – x ) = - cot x
5.
7
4
sen

2
4
sen

 
 
 
2
4 2
sen

  
IV C
6.
5
tan
3

tan 2
3

 
  
 
tan
3

  3
IV C
7. cos 4
2

 
  
 
cos
2

 0
9
cos
2


32. 8. tan
4

 
  
 
tan 1
4


III Cimpar
9.
1117
tan
4

tan 279
4

 
  
 
117
cot
2
x
 
 
 
cot 58
2
x

 
   
 
par
cot
2
x
 
  
 
tanx
Problemas resueltos.
1.Hallar el
19
cos
4
 
 
 
Desarrollo:
cos 5
4

 
 
 
cos
4

 
 
 
II C
cos
4

 
1 2
22
  

33. 2.Halla el resultado de :
cos2 tan3
sec tan5
sen
N
  
 
 


Desarrollo:
cos2 tan3
sec tan5
sen
N
  
 
 


cos0 tan
sec tan
sen
N
 
 
 


0 1 0
1 0
N
 

 
N = - 1
3. Simplifica la expresión:
   
25 7
sec .
2 2
csc 15 .cos 5
x sen x
E
x x
 
 
   
    
   
 
Desarrollo:
Primero:
25
13
2 2
 
 
  
 
7
4
2 2
 
 
  
 
Entonces:

34.    
sec 13 . 4
2 2
csc 15 .cos 5
x sen x
E
x x
 
 
 
   
      
   
 
   
sec .
2 2
csc .cos
x sen x
E
x x
 

 
   
     
   
 
csc .cos
csc . cos
x x
E
x x


E = -1