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Colegio de bachilleres del estado de hidalgo
 

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    Colegio de bachilleres del estado de hidalgo Colegio de bachilleres del estado de hidalgo Document Transcript

    • Colegio de Bachilleres del Estado de Hidalgo CALCULO DIFERENCIAL I TRABAJO DE INVESTIGACION 1 Nombre: Yessica Yurai Mosca Marcelino. Grupo: 5101 Profesora: Concepción
    • Leonard EulerEuler nació en Basilea (Suiza), hijo de Paul Euler, un pastorcalvinista, y deMarguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas llamadasAnna María y María Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia setrasladó de Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pasó su infancia. Por suparte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de matemáticosentre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era yaconsiderado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influenciasobre el joven Leonard.Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantesdescubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos.También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática,particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la nociónde función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos dela mecánica, óptica y astronomía.La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviarona vivir con su abuela materna. A la edad de 13 años se matriculó en la Universidadde Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertacióncomparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces,
    • Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por latarde, quien descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para lasmatemáticas.4En aquella época Euler se dedicaba a estudiar teología, griego y hebreo siguiendolos deseos de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser también pastor.Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonard estabadestinado a ser un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su Doctorado con unatesis sobre la propagación del sonido bajo el título De Son5 y en 1727 participó enel concurso promovido por la Academia de las Ciencias francesa por el cual sesolicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar elmástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que esconocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiríaganar ese premio hasta en doce ocasionesEuler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obrascompletas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmaciónatribuida a Pierre Simón Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticosposteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos comoalemanes y rusos. El asteroide(2002) Euler recibió ese nombre en su honor. Aportaciones en las matemáticasEuler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría,cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua,teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, aportó de manera relevantea la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad depublicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su
    • época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obracompleta está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sustrabajos, llamados Opera Omnia,comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado apublicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos yartículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si seimprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importanciafundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes. Además, y según el matemáticoHans Peter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, nose ha estudiado más de un 10% de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Eulerestá asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.Se cree que fue el que dio origen al pasatiempos Sudoku creando una serie depautas para el cálculo de probabilidades. Pierre Simón LaplaceNacido en una familia de granjeros de la baja Normandía, marchó a estudiar en laUniversidad de Caen donde fue recomendado a DAlembert, quien, impresionado por su habilidad matemática, lo recomendó para un puesto de profesor en la Escuela Militar de París en 1767, donde tuvo entre sus discípulos a Napoleón[cita requerida] . En 1785 es nombrado miembro de la Academia de Ciencia y en 1795, miembro de la cátedra de matemáticas del Nuevo Instituto de las Ciencias y las Artes, que presidirá en 1812. En 1795 empieza a publicar el primero de los cinco
    • volúmenes que constituirán su Mecánica celeste y en 1796 imprime su Exposition du système du monde, donde revela su hipótesis nebular sobre la formación del sistema solar.En 1799 fue nombrado ministro del interior durante el Consulado, aunque noestuvo en el cargo sino seis semanas. Su antiguo alumno Napoleón I le confirió en1805 la legión de honor y en 1806 el título de conde del Imperio. En 1812 publicasu Teoría analítica de las probabilidades y en 1814 su Ensayo filosófico sobre laprobabilidad. En 1816 fue elegido miembro de la Academia Francesa. A pesar desu pasado bonapartista, tras la restauración de los Borbones fue lo bastante hábilcomo para conseguir ser nombrado marqués en 1817.2En Exposition du système du monde (Exposición del sistema del mundo, 1796)expuso una teoría sobre la formación del Sol y del sistema solar a partir de unanebulosa o remolino de polvo y gas. Aunque con mucho mayor detalle y múltiplesrefinamientos, esta "Hipótesis nebular" permanece en nuestros días como elfundamento básico de toda la teoría de la formación estelar. Por otra parte,demostró también la estabilidad del sistema solar, sentó las bases científicas de lateoría matemática de probabilidades (en su obra Théorie analytique desprobabilités, donde, entre otros logros, formuló el método de los mínimoscuadrados que es fundamental para la teoría de errores) y formuló de manera muyfirme e influyente la imagen de un mundo completamente determinista.Es recordado como uno de los máximos científicos de todos los tiempos, a vecesreferido como el Newton de Francia, con unas fenomenales facultadesmatemáticas no poseídas por ninguno de sus contemporáneos.3Su obra más importante, Traité de mécanique céleste (Tratado de mecánicaceleste, 1799-1825, 5 vols.), es un compendio de toda la astronomía de su época,enfocada de modo totalmente analítico, y donde perfeccionaba el modelo deNewton, que tenía algunos fenómenos pendientes de explicar, en particularalgunos movimientos anómalos que seguían sin solución: Júpiter estaba sometidoa una aceleración aparente mientras que Saturno parecía frenarse poco a poco y
    • la Luna también mostraba un movimiento acelerado. Si estos movimientoscontinuaban indefinidamente, Saturno caería sobre el Sol, Júpiter se escaparía delsistema solar y la Luna caería sobre la Tierra. Con tan sólo 23 años de edad,Laplace demostró que la aceleración de Júpiter y el frenado de Saturno eranmovimientos periódicos. Los larguísimos períodos (en torno a mil años) habíanhecho creer hasta entonces que estas variaciones eran continuas e indefinidas(seculares); en 1785 demostró que tales anomalías se debían a la posiciónrelativa de Júpiter y Saturno respecto del Sol. Todo ello necesitó de una cantidadenorme de cálculos muy detallados. En 1787 Laplace demostró que el movimientoanómalo de la Luna también era oscilatorio y que estaba ocasionado porpequeños efectos (de segundo orden) en el sistema triple Sol-Tierra-Luna. Lasvariaciones eran periódicas y, por tanto, el sistema solar debía ser estable yautorregulado. Todas estas ideas se recogieron en su obra Exposition du systèmedu monde publicada en 1796.Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Solsaliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era de ,donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía queesta fórmula, que era conocida como la regla de sucesión, podía aplicarse entodos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fuecambiado por lo que no. Aún es usada como un estimador de la probabilidad deun evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy pocas muestrasde él.Laplace creía fuertemente en el determinismo causal, tal como puede apreciarseen la siguiente cita:Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y lacausa de su futuro. Se podría concebir un intelecto que en cualquier momentodado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de losseres que la componen; si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como parasometer los datos a análisis, podría condensar en una simple fórmula el
    • movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para talintelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente susojos.Este intelecto se refiere al demonio de Laplace (cf. demonio de Maxwell). Losdescubrimientos de la física moderna, especialmente la Física Cuántica y elprincipio de incertidumbre prueban que la existencia de tal intelecto es imposible almenos en principio. Aportaciones en las matemáticasSentó las bases científicas de la teoría matemática de probabilidades (en su obraThéorie analytique des probabilités, donde, entre otros logros, formuló el métodode los mínimos cuadrados que es fundamental para la teoría de errores) y formulóde manera muy firme e influyente la imagen de un mundo completamentedeterminista.Atento a los descubrimientos de nebulosas realizados por William Herschel enInglaterra, Laplace pensó que el colapso gravitatorio de una nebulosa podríahaber dado origen a la formación del Sol y que el material orbitando en torno al Solpodría condensarse para formar una familia de planetas. Esta teoría explicaba demanera natural que todos los planetas orbiten en torno al Sol en el mismo sentido(de oeste a este) y que sus órbitas estén en un mismo plano. Herschel concordócon esta idea y la generalizó para explicar la formación y evolución de todas lasestrellas y de sistemas estelares. Sophie Germain
    • Nacida en París, el 1ro. de abril de 1876 y criada durante los años de turbulenciaen Francia. Sus padres se opusieron a que estudiara matemáticas hasta que notuvieron opción y lo aceptaron.Germain no podía ir a la escuela porque no aceptaban mujeres; pero se lasarreglaba para recibir apuntes de los profesores. A ella le atrajo el análisis deLaGrange y bajo un nombre ficticio le escribió una composición. A éste leimpresionó tanto, que averiguó quien era y fue a su casa a decirle cuánimpresionado estaba. Esto le sirvió a Germain para tener el coraje de seguirestudiando matemáticas. Como resultado de un libro escrito por Gauss, Germainle escribió usando el mismo pseudónimo que había usado con LaGrange. Gaussse interesó tanto en sus observaciones, que mantuvieron correspondencia porvarios años. En 1807, Gauss se enteró del verdadero nombre de Germain. Ellatemía que a Gauss le sucediera algo y envió unas tropas a la casa de él paraasegurarse de que estuviera bien. Cuando los soldados le hablaron de Germain, élles dijo que no la conocía. Luego, por cartas se esclareció la situación.Germain trabajó en el problema de la ley matemática de vibraciones de superficieselásticas. En 1811 sometió un trabajo al respecto a la Academia Francesa de lasCiencias (anónimamente); pero fue criticada por la falta de precisión al pasar deuna línea a una superficie. En 1813 sometió otro trabajo del mismo tema y en1816 ganó el primer lugar situándola entre los mejores matemáticos. Esto hizo que
    • la aceptaran entre los círculos de matemáticos. Continuó escribiendo sobredistintos problemas matemáticos y continuó intercambiando correspondencia conGauss. Este pidió a la Universidad de Göttingen que le dieran el grado de doctora;pero el 26 de junio de 1831 murió, antes de poder recibir el grado. Aportaciones en las matemáticasUna de las mayores contribuciones de Germain a la teoría de números fue lademostración matemática de la siguiente proposición: si x, y, z son enteros y x5 +y5 = z5, entonces al menos uno de ellos (x, y, o z) es divisible por cinco. Estademostración, que fue descrita por primera vez en una carta a Gauss, tenía unaimportancia significativa ya que restringía de forma considerable las soluciones delúltimo teorema de Fermat, el famoso enunciado que no pudo ser demostrado porcompleto hasta 1995.Una de sus más famosas identidades, más comúnmente conocida como Identidadde Sophie Germain expresa para dos números x e y que: Carl Friedrich Gauss
    • Johann Carl Friedrich Gauss nació en la ciudad de Brunswick, Alemania, el 30 deabril de 1777, en una familia muy pobre: Su abuelo era allí un humilde jardinero yrepartidor. Nunca pudo superar la espantosa miseria con la que siempre convivió.De pequeño, Gauss fue respetuoso y obediente y, en su edad adulta, nunca criticóa su padre por haber sido tan rudo y violento, que murió poco después de queGauss cumpliera 30 años.Desde muy pequeño, Gauss mostró su talento para los números y para ellenguaje. Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara, aprendió muy rápido laaritmética desde muy pequeño. En 1784, a los siete años de edad, ingresó en laescuela primaria de Brunswick donde daba clases un profesor llamado Büttner. Secuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clasede Aritmética, el profesor propuso el problema de sumar los números de unaprogresión aritmética.1 Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamentediciendo «Ligget se» (ya está). Al acabar la hora se comprobaron las solucionesy se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas delas de sus compañeros.El matemático Martin Bartels era asistente de Büttner en la escuela de Brunswicky desde que Gauss lo conoció se aceleraron sus progresos en Matemáticas.Ambos estudiaban juntos, se apoyaban y se ayudaban para descifrar y entenderlos manuales que tenían sobre álgebra y análisis elemental. En estos años seempezaron a gestar algunas de las ideas y formas de ver las matemáticas, quecaracterizaron posteriormente a Gauss. Se dio cuenta, por ejemplo, del poco rigoren muchas demostraciones de los grandes matemáticos que le precedieron, comoNewton, Euler, LaGrange y otros más.A los 12 años ya miraba con cierto recelo los fundamentos de la geometría, y a los16 tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría.A los 17 años, Gauss se dio a la tarea de completar lo que, a su juicio, habíandejado a medios sus predecesores en materia de teoría de números. Asídescubrió su pasión por la aritmética, área en la que poco después tuvo sus
    • primeros triunfos. Su gusto por la aritmética prevaleció por toda su vida, ya quepara él «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de lasmatemáticas». Gauss tenía 14 años cuando conoció al duque de BrunswickFerdinand. Este quedó fascinado por lo que había oído del muchacho, y por sumodestia y timidez, por lo que decidió hacerse cargo de todos los gastos de Gausspara asegurar que su educación llegara a buen fin.Al año siguiente de conocer al duque, Gauss ingresó al Collegium Carolinum paracontinuar sus estudios, y lo que sorprendió a todos fue su facilidad para laslenguas. Aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. Estuvo tresaños en el Collegium y, al salir, no tenía claro si quería dedicarse a lasmatemáticas o a la filología. En esta época ya había descubierto su ley de losmínimos cuadrados, lo que indica el temprano interés de Gauss por la teoría deerrores de observación y su distribución. Aportes de las matemáticasGauss estaba tan orgulloso de la demostración de este resultado que decidióestudiar Matemáticas por él.Estando todavía en la universidad Gauss realizó otros importantesdescubrimientos, entre los que destacan los siguientes: Inventó la aritmética modular (y II), hecho que sirvió para unificar la teoría de números. Demostró la ley de reciprocidad cuadrática, enunciada pero no demostrada completamente por Legendre unos años antes. Demostró que todo número número entero positivo puede expresarse como suma de como mucho tres números triangulares (en su diario podía leerse ¡Eureka! núm.= ).Dos años en Göttingen le bastaron para darse cuenta de que ya nadie podíahacerle avanzar allí. Por ello volvió a su casa en Brunswick a escribir su tesis
    • doctoral. Como tema central de la misma eligió el teorema fundamental delálgebra, que dice que todo polinomio de grado con coeficientes complejos tieneexactamente raíces complejas (aunque bastaría formularlo así: todo polinomio degrado con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja). Aunque enla actualidad su primera demostración no está aceptada, las otras tresdemostraciones del mismo resultado que produjo durante su vida sí sonplenamente correctas. Tales de MiletoMileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C.) Filósofo y matemático griego. En sujuventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, yastronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Dirigió enMileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halisy dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímenes, ycontemporáneo de Anaximandro.Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo,que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, nobuscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cualera el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas, pues seconstituye en vapor, que es aire, nubes y éter; del agua se forman los cuerpos
    • sólidos al condensarse, y la Tierra flota en ella. Tales se planteó la siguientecuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un trozo de mineralazulado lo hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de la sustancia, piedra,cobre, ambas? ¿Cualquier sustancia puede transformarse en otra de forma quefinalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de una misma materia?Tales consideraban que esta última cuestión sería afirmativa, puesto que de serasí podría introducirse en el Universo un orden básico; quedaba determinar cuálera entonces esa materia o elemento básico.Finalmente pensó que era el agua, pues es la que se encuentra en mayorcantidad, rodea la Tierra, impregna la atmósfera en forma de vapor, corre a travésde los continentes y la vida no es posible sin ella. La Tierra, para él, era un discoplano cubierto por la semiesfera celeste flotando en un océano infinito. Esta tesissobre la existencia de un elemento del cual estaban formadas todas las sustanciascobró gran aceptación entre filósofos posteriores, a pesar de que no todos ellosaceptaron que el agua fuera tal elemento. Lo importante de su tesis es laconsideración de que todo ser proviene de un principio originario, sea el agua, seacualquier otro. El hecho de buscarlo de una forma científica es lo que le hace serconsiderado como el "padre de la filosofía". Aportes a las matemáticasSe atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiplesconocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no eshistóricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el habersostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es
    • decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que locircunscribe es un triángulo rectángulo.Semicírculo que ilustra un teorema de Tales.Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación desombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias,aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone además queTales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de quecualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triánguloisósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedadesrelacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línearecta perpendicular.Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división yparcelación de sus terrenos. Más, según los pocos datos con los que se cuenta,Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) ymucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su geometría un mayorgrado de complejidad y abstracción.1: ¿porque crees que es importante conocer la historia de las matemáticas?Es muy importante ya que así nosotros podemos conocer quienes descubrieronlas matemáticas y que aportaciones dio cada uno de los científicos matemáticos.2: ¿Cuáles crees que son los beneficios que han aportado las matemáticas en lavida del hombre?Las matemáticas se usan en todo sin darnos cuentas cuando vamos a la tiendaocupamos las matemáticas para jugar por que podemos contar lo que sea en losjuegos se usan cuando vamos al banco, en la cocina al hacer cualquier guisadoetc. Para salir, a cualquier parte siempre usamos algo de matemáticas en losjuegos de pelota etc.
    • Unidad 2 ¿Cómo se originó el cálculo?Las matemáticas aparecen como herramienta utilitaria en las civilizacionesmesopotámicas y egipcias. Siglos después los griegos las utilizan con dosaspectos diferenciados, el de herramienta práctica y como ciencia para eldesarrollo de la inteligencia; dualidad que sigue vigenteLas matemáticas de la antigüedad eran la aritmética, ciencia de los números,y la geometría, ciencia de la forma y de las relaciones espaciales. Platóndefine como geometría en su República: "Es el conocimiento de lo quesiempre existe". Definición que puede aplicarse a toda la MatemáticaLos textos de matemáticas más antiguos proceden de Mesopotámica, textosmatemáticos cuneiformes de hace más de 5 000 años. Sumerios y babilonios yautilizaban complejos sistemas de numeración y otros procedimientosmatemáticos. Los conocimientos matemáticos de los egipcios fueronrudimentarios pero muy prácticos. Su principal texto fue el papiro de Rhind,debido a un escriba del reinado de Ekenre Apopi, hacia 1 600.En el año 1 899 apareció, cerca de Bagdad (Irak), las ruinas de la Babiloniade Nabucodonosor,Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercermilenio a. C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por laaritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención deconceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a. C., muestran un sistemade numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10(1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números serepresentaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía elnúmero dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y
    • así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades,las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada enduplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (Œ), junto con la fracción ,para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, “era la suma de las fracciones y~. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemasaritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. Engeometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos,rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, porsupuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban uncuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtieneutilizando la constante pi (3,14.El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En elbabilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña(cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecharepresentaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estossímbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. Elnúmero 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y apartir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el númerocompleto. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por eldel 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismoprincipio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que elejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (†), o 2 + 27 × (†) +10 × (†)-2. Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útilcomo el sistema decimal (base 10.Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadasque les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación desegundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunasecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizandoel teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas,
    • incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas deinterés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresionesaritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados.También obtuvieron una buena aproximación de Ã.LOS EUROPEOS DOMINARON EN EL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICASDESPUÉS DEL RENACIMIENTO.Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en lasmatemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con eldescubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper);su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir, dossiglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, leshabía duplicado la vida.La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde laépoca medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVIIbasándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas deDiofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría denúmeros. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existensoluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayorque 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generadogran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. Elprimero fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de sudescubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra(desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas(Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El Discurso delmétodo, junto con una serie de pequeños tratados con los que fue publicado,ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. Elsegundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por elingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometríaproyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el
    • científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el granentusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó eldesarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos delmatemático francés Jean Víctor PonceletOtro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de lateoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermatsobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos.Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christian Huygens aescribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fuepublicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli.Tanto Bernoulli como el francés Abraham de Moivre, en su Doctrina del azar de1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en suteoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías deseguros.Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sinlugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial eintegral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de doscompatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otrosmatemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johannvan Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, elalemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero enpublicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoyen el cálculo. DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICASLas primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan deltercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadaspor la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sinmención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistemade numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10
    • (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números serepresentaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía elnúmero dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, yasí sucesivamente. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas yla división era el proceso inverso.Los egipcios utilizaban sumas de fracciones, junto con la fracción, para expresartodas las fracciones. LAS MATEMÁTICAS DURANTE EL RENACIMIENTOAunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudiosmatemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fuehasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático detrascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de lasecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemáticoitaliano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a losmatemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda desoluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue estabúsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos afinales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés ÉvaristeGalois a principios del XIX.También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signosmatemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a caboimportantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercierongran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre deFermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra. AVANCES EN EL SIGLO XVIIDurante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en lasmatemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con eldescubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper);
    • su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir, dossiglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, leshabía duplicado la vida. La ciencia de la teoría de números, que habíapermanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de losavances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedadclásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantesdescubrimientos en la teoría de números. LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XIXEn 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoquelógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo encantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó unnuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición decálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemáticoalemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para losnúmeros reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en laactualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrasstambién dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema másimportante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle—estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de lapalabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourieraportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quienpropuso su definición en los términos actuales.Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir deentonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a caboimportantes avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich Gaussdio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos númerosformaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos deCauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann. Otro importanteavance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas deexpresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de
    • Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como enlas aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales aseries de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a unaaritmética de números infinitos. La teoría de Cantor, que fue considerada comodemasiado abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas securarán pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas yrecientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientesturbulentas en fluidos.Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempofue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dosrectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece aésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversiaque su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos ypublicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski ypor el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en suforma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas.En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado tambiénaplicaciones en física. LAS MATEMÁTICAS ACTUALESLa Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, elmatemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático enGotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de formasustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásicoFundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática encolaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en unrepaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de lainvestigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho,han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vezque aparecen noticias de que otro de los “problemas de Hilbert” ha sido resuelto,la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.
    • pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert nopudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable,primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de lascomputadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el sigloXVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó unamáquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendouna lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginaciónde Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención delrelé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computaciónprogramable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulsoa ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticasfinitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudiode los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tandiversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebraabstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a variosproblemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como elproblema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. Elteorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, conla condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Esteteorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidadde cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido quenunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formarteorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas másimportantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sinsolución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas.Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.