Este documento presenta información biográfica y las contribuciones de cuatro importantes matemáticos: Leonard Euler, Pierre Simon Laplace, Sophie Germain y Carl Friedrich Gauss. Describe eventos clave en sus vidas como su educación y descubrimientos. Resalta que realizaron avances fundamentales en áreas como el cálculo, la teoría de números, la mecánica celeste y las probabilidades.

1. Colegio de Bachilleres del Estado de
Hidalgo
CALCULO DIFERENCIAL I
TRABAJO DE INVESTIGACION 1
Nombre: Yessica Yurai Mosca
Marcelino.
Grupo: 5101
Profesora: Concepción

2. Leonard Euler
Euler nació en Basilea (Suiza), hijo de Paul Euler, un pastorcalvinista, y de
Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas llamadas
Anna María y María Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia se
trasladó de Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pasó su infancia. Por su
parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de matemáticos
entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya
considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia
sobre el joven Leonard.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes
descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos.
También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática,
particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción
de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de
la mecánica, óptica y astronomía.
La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron
a vivir con su abuela materna. A la edad de 13 años se matriculó en la Universidad
de Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertación
comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces,

3. Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la
tarde, quien descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para las
matemáticas.4
En aquella época Euler se dedicaba a estudiar teología, griego y hebreo siguiendo
los deseos de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser también pastor.
Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonard estaba
destinado a ser un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su Doctorado con una
tesis sobre la propagación del sonido bajo el título De Son5 y en 1727 participó en
el concurso promovido por la Academia de las Ciencias francesa por el cual se
solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el
mástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que es
conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiría
ganar ese premio hasta en doce ocasiones
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras
completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación
atribuida a Pierre Simón Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos
posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10
francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como
alemanes y rusos. El asteroide(2002) Euler recibió ese nombre en su honor.
Aportaciones en las matemáticas
Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría,
cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua,
teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, aportó de manera relevante
a la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.
Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de
publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su

4. época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra
completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus
trabajos, llamados Opera Omnia,comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a
publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en
72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y
artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se
imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia
fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes. Además, y según el matemático
Hans Peter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no
se ha estudiado más de un 10% de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler
está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.
Se cree que fue el que dio origen al pasatiempos Sudoku creando una serie de
pautas para el cálculo de probabilidades.
Pierre Simón Laplace
Nacido en una familia de granjeros de la baja Normandía, marchó a estudiar en la
Universidad de Caen donde fue recomendado a D'Alembert, quien, impresionado
por su habilidad matemática, lo recomendó para un puesto de profesor en la
Escuela Militar de París en 1767, donde tuvo entre sus discípulos a Napoleón[cita
requerida]
. En 1785 es nombrado miembro de la Academia de Ciencia y en 1795,
miembro de la cátedra de matemáticas del Nuevo Instituto de las Ciencias y las
Artes, que presidirá en 1812. En 1795 empieza a publicar el primero de los cinco

5. volúmenes que constituirán su Mecánica celeste y en 1796 imprime su Exposition
du système du monde, donde revela su hipótesis nebular sobre la formación del
sistema solar.
En 1799 fue nombrado ministro del interior durante el Consulado, aunque no
estuvo en el cargo sino seis semanas. Su antiguo alumno Napoleón I le confirió en
1805 la legión de honor y en 1806 el título de conde del Imperio. En 1812 publica
su Teoría analítica de las probabilidades y en 1814 su Ensayo filosófico sobre la
probabilidad. En 1816 fue elegido miembro de la Academia Francesa. A pesar de
su pasado bonapartista, tras la restauración de los Borbones fue lo bastante hábil
como para conseguir ser nombrado marqués en 1817.2
En Exposition du système du monde (Exposición del sistema del mundo, 1796)
expuso una teoría sobre la formación del Sol y del sistema solar a partir de una
nebulosa o remolino de polvo y gas. Aunque con mucho mayor detalle y múltiples
refinamientos, esta "Hipótesis nebular" permanece en nuestros días como el
fundamento básico de toda la teoría de la formación estelar. Por otra parte,
demostró también la estabilidad del sistema solar, sentó las bases científicas de la
teoría matemática de probabilidades (en su obra Théorie analytique des
probabilités, donde, entre otros logros, formuló el método de los mínimos
cuadrados que es fundamental para la teoría de errores) y formuló de manera muy
firme e influyente la imagen de un mundo completamente determinista.
Es recordado como uno de los máximos científicos de todos los tiempos, a veces
referido como el Newton de Francia, con unas fenomenales facultades
matemáticas no poseídas por ninguno de sus contemporáneos.3
Su obra más importante, Traité de mécanique céleste (Tratado de mecánica
celeste, 1799-1825, 5 vols.), es un compendio de toda la astronomía de su época,
enfocada de modo totalmente analítico, y donde perfeccionaba el modelo de
Newton, que tenía algunos fenómenos pendientes de explicar, en particular
algunos movimientos anómalos que seguían sin solución: Júpiter estaba sometido
a una aceleración aparente mientras que Saturno parecía frenarse poco a poco y

6. la Luna también mostraba un movimiento acelerado. Si estos movimientos
continuaban indefinidamente, Saturno caería sobre el Sol, Júpiter se escaparía del
sistema solar y la Luna caería sobre la Tierra. Con tan sólo 23 años de edad,
Laplace demostró que la aceleración de Júpiter y el frenado de Saturno eran
movimientos periódicos. Los larguísimos períodos (en torno a mil años) habían
hecho creer hasta entonces que estas variaciones eran continuas e indefinidas
('seculares'); en 1785 demostró que tales anomalías se debían a la posición
relativa de Júpiter y Saturno respecto del Sol. Todo ello necesitó de una cantidad
enorme de cálculos muy detallados. En 1787 Laplace demostró que el movimiento
anómalo de la Luna también era oscilatorio y que estaba ocasionado por
pequeños efectos (de 'segundo orden') en el sistema triple Sol-Tierra-Luna. Las
variaciones eran periódicas y, por tanto, el sistema solar debía ser estable y
autorregulado. Todas estas ideas se recogieron en su obra Exposition du système
du monde publicada en 1796.
Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol
saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era de ,
donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que
esta fórmula, que era conocida como la regla de sucesión, podía aplicarse en
todos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fue
cambiado por lo que no. Aún es usada como un estimador de la probabilidad de
un evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy pocas muestras
de él.
Laplace creía fuertemente en el determinismo causal, tal como puede apreciarse
en la siguiente cita:
Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la
causa de su futuro. Se podría concebir un intelecto que en cualquier momento
dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los
seres que la componen; si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como para
someter los datos a análisis, podría condensar en una simple fórmula el

7. movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal
intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus
ojos.
Este intelecto se refiere al demonio de Laplace (cf. demonio de Maxwell). Los
descubrimientos de la física moderna, especialmente la Física Cuántica y el
principio de incertidumbre prueban que la existencia de tal intelecto es imposible al
menos en principio.
Aportaciones en las matemáticas
Sentó las bases científicas de la teoría matemática de probabilidades (en su obra
Théorie analytique des probabilités, donde, entre otros logros, formuló el método
de los mínimos cuadrados que es fundamental para la teoría de errores) y formuló
de manera muy firme e influyente la imagen de un mundo completamente
determinista.
Atento a los descubrimientos de nebulosas realizados por William Herschel en
Inglaterra, Laplace pensó que el colapso gravitatorio de una nebulosa podría
haber dado origen a la formación del Sol y que el material orbitando en torno al Sol
podría condensarse para formar una familia de planetas. Esta teoría explicaba de
manera natural que todos los planetas orbiten en torno al Sol en el mismo sentido
(de oeste a este) y que sus órbitas estén en un mismo plano. Herschel concordó
con esta idea y la generalizó para explicar la formación y evolución de todas las
estrellas y de sistemas estelares.
Sophie Germain

8. Nacida en París, el 1ro. de abril de 1876 y criada durante los años de turbulencia
en Francia. Sus padres se opusieron a que estudiara matemáticas hasta que no
tuvieron opción y lo aceptaron.
Germain no podía ir a la escuela porque no aceptaban mujeres; pero se las
arreglaba para recibir apuntes de los profesores. A ella le atrajo el análisis de
LaGrange y bajo un nombre ficticio le escribió una composición. A éste le
impresionó tanto, que averiguó quien era y fue a su casa a decirle cuán
impresionado estaba. Esto le sirvió a Germain para tener el coraje de seguir
estudiando matemáticas. Como resultado de un libro escrito por Gauss, Germain
le escribió usando el mismo pseudónimo que había usado con LaGrange. Gauss
se interesó tanto en sus observaciones, que mantuvieron correspondencia por
varios años. En 1807, Gauss se enteró del verdadero nombre de Germain. Ella
temía que a Gauss le sucediera algo y envió unas tropas a la casa de él para
asegurarse de que estuviera bien. Cuando los soldados le hablaron de Germain, él
les dijo que no la conocía. Luego, por cartas se esclareció la situación.
Germain trabajó en el problema de la ley matemática de vibraciones de superficies
elásticas. En 1811 sometió un trabajo al respecto a la Academia Francesa de las
Ciencias (anónimamente); pero fue criticada por la falta de precisión al pasar de
una línea a una superficie. En 1813 sometió otro trabajo del mismo tema y en
1816 ganó el primer lugar situándola entre los mejores matemáticos. Esto hizo que

9. la aceptaran entre los círculos de matemáticos. Continuó escribiendo sobre
distintos problemas matemáticos y continuó intercambiando correspondencia con
Gauss. Este pidió a la Universidad de Göttingen que le dieran el grado de doctora;
pero el 26 de junio de 1831 murió, antes de poder recibir el grado.
Aportaciones en las matemáticas
Una de las mayores contribuciones de Germain a la teoría de números fue la
demostración matemática de la siguiente proposición: si x, y, z son enteros y x5 +
y5 = z5, entonces al menos uno de ellos (x, y, o z) es divisible por cinco. Esta
demostración, que fue descrita por primera vez en una carta a Gauss, tenía una
importancia significativa ya que restringía de forma considerable las soluciones del
último teorema de Fermat, el famoso enunciado que no pudo ser demostrado por
completo hasta 1995.
Una de sus más famosas identidades, más comúnmente conocida como Identidad
de Sophie Germain expresa para dos números x e y que:
Carl Friedrich Gauss

10. Johann Carl Friedrich Gauss nació en la ciudad de Brunswick, Alemania, el 30 de
abril de 1777, en una familia muy pobre: Su abuelo era allí un humilde jardinero y
repartidor. Nunca pudo superar la espantosa miseria con la que siempre convivió.
De pequeño, Gauss fue respetuoso y obediente y, en su edad adulta, nunca criticó
a su padre por haber sido tan rudo y violento, que murió poco después de que
Gauss cumpliera 30 años.
Desde muy pequeño, Gauss mostró su talento para los números y para el
lenguaje. Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara, aprendió muy rápido la
aritmética desde muy pequeño. En 1784, a los siete años de edad, ingresó en la
escuela primaria de Brunswick donde daba clases un profesor llamado Büttner. Se
cuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clase
de Aritmética, el profesor propuso el problema de sumar los números de una
progresión aritmética.1 Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente
diciendo «Ligget se'» ('ya está'). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones
y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de
las de sus compañeros.
El matemático Martin Bartels era asistente de Büttner en la escuela de Brunswick
y desde que Gauss lo conoció se aceleraron sus progresos en Matemáticas.
Ambos estudiaban juntos, se apoyaban y se ayudaban para descifrar y entender
los manuales que tenían sobre álgebra y análisis elemental. En estos años se
empezaron a gestar algunas de las ideas y formas de ver las matemáticas, que
caracterizaron posteriormente a Gauss. Se dio cuenta, por ejemplo, del poco rigor
en muchas demostraciones de los grandes matemáticos que le precedieron, como
Newton, Euler, LaGrange y otros más.
A los 12 años ya miraba con cierto recelo los fundamentos de la geometría, y a los
16 tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría.
A los 17 años, Gauss se dio a la tarea de completar lo que, a su juicio, habían
dejado a medios sus predecesores en materia de teoría de números. Así
descubrió su pasión por la aritmética, área en la que poco después tuvo sus

11. primeros triunfos. Su gusto por la aritmética prevaleció por toda su vida, ya que
para él «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las
matemáticas». Gauss tenía 14 años cuando conoció al duque de Brunswick
Ferdinand. Este quedó fascinado por lo que había oído del muchacho, y por su
modestia y timidez, por lo que decidió hacerse cargo de todos los gastos de Gauss
para asegurar que su educación llegara a buen fin.
Al año siguiente de conocer al duque, Gauss ingresó al Collegium Carolinum para
continuar sus estudios, y lo que sorprendió a todos fue su facilidad para las
lenguas. Aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. Estuvo tres
años en el Collegium y, al salir, no tenía claro si quería dedicarse a las
matemáticas o a la filología. En esta época ya había descubierto su ley de los
mínimos cuadrados, lo que indica el temprano interés de Gauss por la teoría de
errores de observación y su distribución.
Aportes de las matemáticas
Gauss estaba tan orgulloso de la demostración de este resultado que decidió
estudiar Matemáticas por él.
Estando todavía en la universidad Gauss realizó otros importantes
descubrimientos, entre los que destacan los siguientes:
Inventó la aritmética modular (y II), hecho que sirvió para unificar la teoría
de números.
Demostró la ley de reciprocidad cuadrática, enunciada pero no
demostrada completamente por Legendre unos años antes.
Demostró que todo número número entero positivo puede expresarse como
suma de como mucho tres números triangulares (en su diario podía leerse
¡Eureka! núm.= ).
Dos años en Göttingen le bastaron para darse cuenta de que ya nadie podía
hacerle avanzar allí. Por ello volvió a su casa en Brunswick a escribir su tesis

12. doctoral. Como tema central de la misma eligió el teorema fundamental del
álgebra, que dice que todo polinomio de grado con coeficientes complejos tiene
exactamente raíces complejas (aunque bastaría formularlo así: todo polinomio de
grado con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja). Aunque en
la actualidad su primera demostración no está aceptada, las otras tres
demostraciones del mismo resultado que produjo durante su vida sí son
plenamente correctas.
Tales de Mileto
Mileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C.) Filósofo y matemático griego. En su
juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y
astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Dirigió en
Mileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis
y dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímenes, y
contemporáneo de Anaximandro.
Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo,
que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no
buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual
era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas, pues se
constituye en vapor, que es aire, nubes y éter; del agua se forman los cuerpos

13. sólidos al condensarse, y la Tierra flota en ella. Tales se planteó la siguiente
cuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un trozo de mineral
azulado lo hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de la sustancia, piedra,
cobre, ambas? ¿Cualquier sustancia puede transformarse en otra de forma que
finalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de una misma materia?
Tales consideraban que esta última cuestión sería afirmativa, puesto que de ser
así podría introducirse en el Universo un orden básico; quedaba determinar cuál
era entonces esa materia o elemento básico.
Finalmente pensó que era el agua, pues es la que se encuentra en mayor
cantidad, rodea la Tierra, impregna la atmósfera en forma de vapor, corre a través
de los continentes y la vida no es posible sin ella. La Tierra, para él, era un disco
plano cubierto por la semiesfera celeste flotando en un océano infinito. Esta tesis
sobre la existencia de un elemento del cual estaban formadas todas las sustancias
cobró gran aceptación entre filósofos posteriores, a pesar de que no todos ellos
aceptaron que el agua fuera tal elemento. Lo importante de su tesis es la
consideración de que todo ser proviene de un principio originario, sea el agua, sea
cualquier otro. El hecho de buscarlo de una forma científica es lo que le hace ser
considerado como el "padre de la filosofía".
Aportes a las matemáticas
Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples
conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es
históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber
sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es

14. decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo
circunscribe es un triángulo rectángulo.
Semicírculo que ilustra un teorema de Tales.
Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de
sombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias,
aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone además que
Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que
cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo
isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades
relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea
recta perpendicular.
Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y
parcelación de sus terrenos. Más, según los pocos datos con los que se cuenta,
Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) y
mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su geometría un mayor
grado de complejidad y abstracción.
1: ¿porque crees que es importante conocer la historia de las matemáticas?
Es muy importante ya que así nosotros podemos conocer quienes descubrieron
las matemáticas y que aportaciones dio cada uno de los científicos matemáticos.
2: ¿Cuáles crees que son los beneficios que han aportado las matemáticas en la
vida del hombre?
Las matemáticas se usan en todo sin darnos cuentas cuando vamos a la tienda
ocupamos las matemáticas para jugar por que podemos contar lo que sea en los
juegos se usan cuando vamos al banco, en la cocina al hacer cualquier guisado
etc. Para salir, a cualquier parte siempre usamos algo de matemáticas en los
juegos de pelota etc.

15. Unidad 2
¿Cómo se originó el cálculo?
Las matemáticas aparecen como herramienta utilitaria en las civilizaciones
mesopotámicas y egipcias. Siglos después los griegos las utilizan con dos
aspectos diferenciados, el de herramienta práctica y como ciencia para el
desarrollo de la inteligencia; dualidad que sigue vigente
Las matemáticas de la antigüedad eran la aritmética, ciencia de los números,
y la geometría, ciencia de la forma y de las relaciones espaciales. Platón
define como geometría en su República: "Es el conocimiento de lo que
siempre existe". Definición que puede aplicarse a toda la Matemática
Los textos de matemáticas más antiguos proceden de Mesopotámica, textos
matemáticos cuneiformes de hace más de 5 000 años. Sumerios y babilonios ya
utilizaban complejos sistemas de numeración y otros procedimientos
matemáticos. Los conocimientos matemáticos de los egipcios fueron
rudimentarios pero muy prácticos. Su principal texto fue el papiro de Rhind,
debido a un escriba del reinado de Ekenre Apopi, hacia 1 600.
En el año 1 899 apareció, cerca de Bagdad (Irak), las ruinas de la Babilonia
de Nabucodonosor,
Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer
milenio a. C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la
aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de
conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a. C., muestran un sistema
de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10
(1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se
representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el
número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y

16. así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades,
las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en
duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.
Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (Œ), junto con la fracción ',
para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, “era la suma de las fracciones y
~. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas
aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En
geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos,
rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por
supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un
cuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene
utilizando la constante pi (3,14.
El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el
babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña
(cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha
representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos
símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El
número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a
partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número
completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el
del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismo
principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el
ejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (†), o 2 + 27 × (†) +
10 × (†)-2. Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil
como el sistema decimal (base 10.
Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas
que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de
segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas
ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando
el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas,

17. incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de
interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones
aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados.
También obtuvieron una buena aproximación de Ã.
LOS EUROPEOS DOMINARON EN EL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS
DESPUÉS DEL RENACIMIENTO.
Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las
matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el
descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper);
su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir, dos
siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les
había duplicado la vida.
La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la
época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII
basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de
Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría de
números. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen
soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor
que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado
gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.
En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El
primero fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su
descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra
(desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas
(Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El Discurso del
método, junto con una serie de pequeños tratados con los que fue publicado,
ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El
segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el
ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría
proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el

18. científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran
entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el
desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del
matemático francés Jean Víctor Poncelet
Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la
teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat
sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos.
Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christian Huygens a
escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue
publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli.
Tanto Bernoulli como el francés Abraham de Moivre, en su Doctrina del azar de
1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su
teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de
seguros.
Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin
lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e
integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos
compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros
matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann
van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, el
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en
publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy
en el cálculo.
DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS
Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del
tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas
por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin
mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema
de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10

19. (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se
representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el
número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y
así sucesivamente. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y
la división era el proceso inverso.
Los egipcios utilizaban sumas de fracciones, junto con la fracción, para expresar
todas las fracciones
.
LAS MATEMÁTICAS DURANTE EL RENACIMIENTO
Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios
matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue
hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de
trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las
ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático
italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a los
matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de
soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta
búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a
finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste
Galois a principios del XIX.
También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos
matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo
importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron
gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de
Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.
AVANCES EN EL SIGLO XVII
Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las
matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el
descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper);

20. su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir, dos
siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les
había duplicado la vida. La ciencia de la teoría de números, que había
permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los
avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad
clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes
descubrimientos en la teoría de números.
LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XIX
En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque
lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en
cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un
nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de
cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático
alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los
números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la
actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass
también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más
importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle
—estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de la
palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier
aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien
propuso su definición en los términos actuales.
Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de
entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo
importantes avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss
dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números
formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de
Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann. Otro importante
avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de
expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de

21. Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en
las aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a
series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una
aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor, que fue considerada como
demasiado abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas se
curarán pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y
recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes
turbulentas en fluidos.
Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo
fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos
rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a
ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia
que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y
publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y
por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su
forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas.
En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también
aplicaciones en física.
LAS MATEMÁTICAS ACTUALES
La Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el
matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en
Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma
sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico
Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en
colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un
repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la
investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho,
han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez
que aparecen noticias de que otro de los “problemas de Hilbert” ha sido resuelto,
la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.

22. pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no
pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable,
primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las
computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo
XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una
máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo
una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación
de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del
relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación
programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso
a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas
finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio
de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan
diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra
abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios
problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el
problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El
teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con
la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Este
teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad
de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que
nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar
teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más
importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin
solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas.
Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.