1. 1 Cap II Leyes Eléctricas

2. 2 2.1 introducción Los circuitos en esencia son elementos interconectados entre sí, el elemento básico es la resistencia que se define en base a la resistividad, propiedad de los materiales de resistir el flujo de corriente: R=ρ*L/A Donde ρ es la resistividad, L la longitud y A la sección transversal. La resistencia de un material depende de sus cualidades físicas, como longitud, área transversal y material. Es el elemento que se utiliza con mayor frecuencia, ya que está presente en todos los materiales, es un elemento pasivo y genera calor. A mayor área (sección transversal) menor resistencia al flujo de electrones

3. 3 2.1.1 resistencias Son elementos pasivos que se oponen al flujo de electrones. Su unidad de medida es el Ohm. En electrónica las resistencias son normalmente identificadas gracias a un código de colores. Ejemplo: Café-Negro-Rojo: 1000 Ohms = 1k Ohm

4. 4 2.2 ley de ohm En 1827 el físico alemán Georg Simon Ohm, basado en sus experimentos enunció, en un artículo que el voltaje en las terminales de un conductor es directamente proporcional a la corriente que fluye a través del mismo: Este fue reconocido muchos años después como la ley de Ohm: V = I * R [Voltios = Amperes * Ohmios] R es la constante de proporcionalidad, denominada resistencia, cuya unidad es el Ohm, representada por la letra griega omega mayúscula (Ω) El símbolo de la resistencia se presenta en las siguientes figuras: Ley de Ohm: V = I * R

5. 5 2.3 otros parámetros Por convención de signos la corriente entra por la terminal de mayor potencial y sale por la de menor potencial, esto indica que este elemento consume energía y la energía perdida la refleja en forma de calor. La razón de cambio de disipación de energía, representada por potencia instantánea, por deducción es: P = V*I = R*I2 = V2/R Pgenerada = Pconsumida: Vgen*Igen = Vcon*Icon Ej: 220V*2A = 110V*4A = 440Watts Al ser R constante se obtiene de su gráfica una línea recta, por esto el resistor se denomina resistencia lineal, como se observa en la figura: El inverso de la resistencia, es la conductancia: G = 1/R Al ser el inverso de la resistencia se puede deducir: I = G*V La potencia se obtiene mediante: P = G*V2 = I2/G La unidad para determinar la conductancia es el Siemens, representada por S (en algunas ocasiones se utiliza otra unidad conocida como mho). Conductancia = 1/Resistencia [Siemens=mho]

6. 6 2.4 circuito abierto y corto circuito Circuito abierto: Se define como una resistencia infinita, es una interrupción del circuito por la cual no puede ir o viajar una corriente, independientemente del voltaje que se aplique entre las terminales que lo forman. Corto circuito: Se define como una resistencia de cero ohms, es la conexión ideal entre dos terminales de un circuito. Por mayor que sea la corriente que fluya sobre esta conexión, el voltaje sobre sus terminales será 0.

7. 7 2.5 arreglo de resistencias Básicamente las resistencias pueden conectarse en: Serie: Req = ∑ Ri Paralelo: 1/Req = ∑ (1/Ri) Serie-Paralelo: combinación de ambos tipos. circuito serie circuito paralelo Circuito con 2 resistencias en serie: Req=R1+R2. Circuito con 2 resistencias en paralelo: 1/Req=(1/R1)+(1/R2)  Req=(R1*R2)/(R1+R2)

8. 8 2.5.1 análisis del circuito de un solo lazo Aplicando la Ley de Ohm tenemos lo siguiente: Vs = i1 * (R1+R2+R3+R4+R5) Generalizando a “n” Resistencias: Vs = i1 * ∑ Ri

9. 9 2.5.2 el circuito con un solo par de nodos Para este caso, los voltajes sobre cada una de las resistencias (que es lo mismo decir la caída de tensión sobre estas) es: vR1 = vR2 = … = vRN La corriente total: If = iR1 + iR2 + … + iRN Nodo 1 iR1 iR2 iRN Nodo Ref. El Nodo de Referencia también suele ser llamado tierra

10. 10 2.6 dispositivos de medición Multímetro Es un equipo de prueba que se utiliza para medir voltaje, corriente, resistencia y otras cantidades eléctricas. Existen también elementos de medición especializados: Amperímetro, Voltímetro, Ohmetro, Vatímetro, etc. Osciloscopio Es un dispositivo electrónico especializado, utilizado para estudiar las señales eléctricas. Posee un eje x, donde se representa el tiempo, y un eje y donde se representa el voltaje. Poseen generalmente 2 canales, por lo que se tiene la posibilidad de ver más de una señal a la vez. Pantalla – Eje X – Eje Y – AC/DC – Conexión de Tierra – Canal A

11. 11 2.6.1 uso del téster El tester posee una perilla que nos permite seleccionar el tipo de medición que queremos realizar. Podemos dividir a éste en: ACV: Tensión alterna. DCV: Tensión continua. Q: Transistores. Ω: Resistencias. OFF: Apagado. DCA: Corriente continua.

12. 12 2.6.1.1 escalas En cada zona del tester encontramos diferentes escalas. En la zona que nos permite medir tensión continua (DCV), encontramos los siguientes valores: 1000V, 200V, 20V, 2000mV y 200mV, que son los máximos valores que podemos medir si colocamos la perilla sobre ellos. Si tenemos que medir una batería común de 9V, debemos elegir una escala que sea mayor y que esté lo más cercana posible a este valor, por lo tanto la perilla del tester se debe posicionar en la zona DCV en el valor 20V. En la figura del tester (diapositiva anterior), podemos observar, que existen tres clavijas para conectar las puntas de medición: Clavija de corriente hasta l0 A: en él conectamos la punta de color rojo, solo para medir corriente hasta 10 A. Esta clavija no se utiliza nunca en sistemas. Clavija de V, Ohms, A: aquí conectamos la punta de color rojo, cuando queremos medir tensión, resistencia o corriente. Clavija de masa: en él, se conecta la punta de color negro. Cuanto más cerca se seleccione la escala respecto al valor a leer, más precisa será la medición. Si no conocemos el valor a medir, para no correr con el riesgo de quemar el tester, debemos elegir la escala máxima y realizar la medición. Luego, si esta escala es grande o no nos permite obtener la precisión deseada, elegiremos otra menor y así sucesivamente. Si utilizamos diferentes escalas para medir una tensión continua de 12.23V, obtendremos: El chicotillo rojo se conecta a la clavija o polo “+”, el negro al “–” o “tierra”.

13. 13 2.6.2 simplificación de circuitos Dado el circuito… …se lo va simplificando, mediante las fórmulas para resistencias equivalentes en serie o paralelo, hasta que sólo quede… …una resistencia Req(serie) = ∑Ri 1/Req(paralelo) = ∑ (1/Ri)

14. 14 2.6.3 cálculo de corriente y potencia total Dado el circuito… …se calculará primero la resistencia equivalente: Req = ∑Ri = 40 Ohms Luego se calcula la corriente total: i1 = Vs / Req = 10/40 = 0.25 A Luego la potencia total: P = Vs * i1 = 10*0.25 = 2.5 Watts ó P = i12 * Req = 0.252 *40 = 2.5 Watts Vs = 10 V Los resultados deben coincidir siempre (con un pequeño margen de error)

15. 15 2.7 leyes de kirchhoff La ley de Ohm permite encontrar valores de voltaje y corriente para un elemento de un circuito Los circuitos están conformados por varios elementos interconectados en una malla, la cual utiliza conexiones ideales (elementos que no acumulan carga ni energía en circuitos de elementos de parámetros concentrados). Los puntos donde se unen los dife- rentes elementos, que conforman el circuito se denominan Nodos. Las figuras a y b representan en realidad el mismo circuito, siendo la forma correcta de representar los nodos la figura b. Después de identificar las conexiones o nodos, también se deben observar las trayectorias que se forman, por ejemplo en los circuitos mostrados se tienen trayectorias sencillas que involucran una fuente independiente y una resistencia, esto es un camino cerrado. Para resolver circuitos que contengan más de una resistencia y una fuente de voltaje o corriente, en 1847 el físico alemán Gustav Kirchhoff, postulo dos leyes que llevan su nombre.

16. 16 2.7.1 primera ley de kirchhoff La primera ley de Kirchhoff se conoce como la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) y su enunciado es el siguiente: "La suma algebraica de las corrientes que entran o salen de un nodo es igual a cero en todo instante“. Para entenderla mejor se puede asimilar un nodo como la interconexión de una red de acueducto, donde se tiene una conexión en forma T, con tres tubos de los cuales por dos de ellos llega el agua y por el tercero sale la suma de los dos anteriores, si se lleva esto a la teoría de circuitos, la corriente viene siendo representada por el flujo de agua y los conductores por los tubos, dentro de los tubos, no se puede acumular el agua, por lo tanto toda la cantidad que entra en este sistema debe ser la misma que sale, de la misma forma se asume que en los conductores y nodos no se puede acumular carga, ni hay pérdidas de energía por calor, la corriente que entra al nodo debe ser la misma que sale. Otra forma de expresar la ley de corrientes de Kirchhoff es:

17. 17 2.7.2 segunda ley de kirchhoff La segunda ley de Kirchhoff se conoce como la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) y su enunciado es el siguiente: "La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier lazo (camino cerrado) en un circuito, es igual a cero en todo instante“. Para entender mejor esta ley se puede reflejar dentro de un marco físico conservativo como es el gravitacional, donde el desplazamiento de una masa alrededor de una trayectoria cerrada provoca un trabajo resultante de cero sobre la misma. Ejemplo: si se lanza un balón al aire y se lo recibe nuevamente, el balón describe una trayectoria cerrada cuyo trabajo total es cero. Otra forma de expresar la ley de voltajes de Kirchhoff es:

18. 18 2.8 divisores de corriente Sirve para encontrar el voltaje dentro de un conjunto de resistencias en serie Partiendo del circuito de la figura, y aplicando LVK, da como resultado: V = v1 +v2 Aplicando la ley de Ohm: V1 = R1 * I, V2 = R2 * I Combinando las ecuaciones se obtiene: V = R1 * I + R2 * I Despejando i: I = V / (R1 + R2) Si se realiza el mismo cálculo para el circuito con su resistencia equivalente: I = V / Req El anterior resultado, con la resistencia equivalente hace que los 2 circuitos sean equivalentes ya que se presenta entre sus terminales la misma relación de voltaje y corriente. Combinando ec. se obtiene para cada voltaje: V1 = (R1/(R1+R2) * V, V2 = (R2/(R1+R2) * V Para generalizar este resultado se puede imaginar n resistencias en serie y una fuente de voltaje, aplicando el divisor de voltaje para una resistencia iésima, da como resultado: Vi = (Ri/∑R) * V, donde se confirma que el potencial de la fuente se divide entre las resistencias en forma directamente proporcional a ellas. Vi = V*Ri / ∑R. Con divisores de corriente se calcula caídas de tensión

19. 19 Mediante LK y divisores de corriente calcular las caídas de tensión sobre cada una de las resistencias: vR1 = v * R1 / (R1+R3+R8+R11) vR1 = 25*1/(1+3+8+11) vR1 = 1.087 V vR3 = v * R3 / (R1+R3+R8+R11) vR3 = 25*3/(1+3+8+11) vR3 = 3.261 V vR8 = v * R8 / (R1+R3+R8+R11) vR8 = 25*8/(1+3+8+11) vR8 = 8.696 V vR11 = v * R11 / (R1+R3+R8+R11) vR11 = 25*11/(1+3+8+11) vR11 = 11.957 V Se comprueba que (LVK): v = vR1 + vR3 + vR8 + vR11 v = 1.087 + 3.261 + 8.696 + 11.957 v = 25 V 2.8.1 ejemplo LK y divisores de corriente Cálculo de Potencias Disipadas: PR1 = VR1^2/R1 =1.087^2/1000=1.18mW PR3 = VR3^2/R3 =3.26^2/3000=3.54mW PR8 = VR8^2/R8 =8.7^2/8000=9.46mW PR11 = VR11^2/R11 =11.96^2/11000=13mW Ptotal = ∑Pi = 27.18mW La sumatoria de las Potencias disipadas por cada una de las resistencias debe ser igual a la Potencia total disipada por la Resistencia equivalente

21. 21 Mediante LK y divisores de voltaje calcular las corrientes que circulan por cada una de las resistencias: iR3 = is * R5 / (R3+R5) iR3 = 2*5/(3+5) iR3 = 1.25 A iR5 = is * R3 / (R3+R5) iR5 = 2*3/(3+5) iR5 = 0.75 A Se comprueba que (LCK): is = iR3 + iR5 is = 1.25 + 0.75 is = 2 A 2.9.1 ejemplo LK y divisores de voltaje Cálculo de Potencias Disipadas: PR3 = iR3^2*R3 =1.25^2*3000=4.69kW PR5 = iR5^2*R5 =0.75^2*5000=2.81kW Ptotal = ∑Pi = 7.5kW La sumatoria de las Potencias disipadas por cada una de las resistencias debe ser igual a la Potencia total disipada por la Resistencia equivalente

22. 22 2.10 análisis de nodos Cuando se tiene un circuito con más de un nodo, donde no se puede reducir a un circuito más sencillo, se puede utilizar el método de Análisis de Nodos. Para analizar un circuito de n nodos se requieren n-1 ecuaciones, que se obtienen aplicando LCK a cada nodo, excepto al nodo de referencia, este nodo en particular se escoge para utilizarlo como referencia de todos los voltajes del circuito. Generalmente el nodo de referencia se escoge como el que el mayor número de elementos tiene conectados, esto se realiza con el fin de simplificar el proceso de escribir las ecuaciones y su análisis. Como se observa en la figura, se tiene un circuito con una fuente independiente de corriente y un par de resistencias en paralelo, en este caso se selecciona como nodo de referencia el nodo N2 y utilizando LCK, en el nodo N1, obtenemos: is = i1 + i2 is = (v1-v2)/R1 + (v1-v2)/R2 Como en el nodo de referencia asume voltaje igual a cero, la anterior ecuación queda: is= v1/R1 + v1/R2 = v1 (G1 + G2) v1 = is / (G1+G2) is y los valores de las conductancias G1 y G2 se conocen, por lo tanto el valor de v1 se conoce y es igual para R2 por estar en una conexión en paralelo. El análisis de nodos permite calcular voltajes de nodo

23. 23 2.10.1 análisis con leyes de kirchhoff

24. 24 2.10.1.1 ejemplo utilizando leyes de kirchhoff 3A = i1 + i3 (1) LKC en nodo 1 i3 = i2 + 6A (2) LKC en nodo 2 3A = V1/50 + (V1-V2)/40 (1) expresando con voltajes (V1-V2)/40 = V2/10 + 6A (2) 3A = 0.045V1 – 0.025V2 (1) simplificando -6A = -0.025V1 + 0.125V2 (2) V1 = 45V soluciones del sistema V2 = -39V de ecuaciones 2*2 V1 V2 i3 i1 i2 Para resolver un sistema con “n” incógnitas se requieren “n” ecuaciones

25. 25 2.10.2 análisis con ambos tipos de fuentes Para este caso las fuentes de voltaje que se conectan entre un par de nodos, hacen que estos terminales se conviertan en lo que se denomina un supernodo y la ecuación entre estos dos nodos esta dada por el voltaje de la fuente conectada entre ellos, se desarrollara el siguiente ejemplo:

26. 26 2.10.2.1 ejemplo con ambos tipos de fuentes De la gráfica se obtiene que: Para el nodo N4: Para el supernodo (que se encuentra resaltado):

27. 27 2.10.3 análisis matricial Mediante el análisis matricial se puede generalizar el método de las tensiones de nodo, de tal manera de utilizarlo computacionalmente, aplicando los teoremas matriciales requeridos. Por la ley de Ohm con conductancias se cumple matricialmente: [ G ] * [ V ] = [ I ] Despejando [ V ] tenemos: [ V ] = [ G ]-1 * [ I ] Donde [ G ]-1, es la inversa de la matriz de conductancias. Para hallar la inversa de una matriz se debe utilizar un método específico para este fin, por ejemplo Gauss-Jordan. Una forma práctica de hallar los valores de voltajes de nodo sin necesidad de invertir la matriz es utilizando el método de Cramer. [ V ] = [ G ] -1* [ I ]

28. 28 2.10.3.1 ejemplo utilizando análisis matricial V1 V2 Si estuviese la fuente en sentido contrario, entonces se cambiaría el signo (solo aquí).

29. 29 2.10.3.2 equivalencia con fuentes de corriente Como vimos anteriormente, una fuente de voltaje ideal puede ser representada por una fuente de corriente ideal y viceversa:

30. 30 2.11 análisis de mallas Se basa principalmente en la aplicación de la ley de Kirchhoff para voltajes (LKV) alrededor de una trayectoria cerrada. Una trayectoria cerrada se obtiene empezando en un nodo y regresando al mismo sin pasar por un nodo intermedio mas de una vez. Este análisis solo se puede usar en aquellas redes que son planas. Un circuito plano se distingue, si es posible dibujar el diagrama del circuito en una superficie plana de tal forma que ninguna rama quede por debajo o por encima de ninguna otra rama, ver figura a. Como se puede observar en la figura b, una red no plana no se puede dibujar sobre una superficie plana sin, por lo menos una yuxtaposición o cruce entre conductores. El análisis de mallas permite calcular corrientes de malla

31. 31 Corriente de malla Se define como la corriente que fluye a través de los elementos de la malla. La corriente en un elemento común a dos mallas es la suma algebraica de las corrientes de malla. Se indica por una flecha curva Aunque su dirección es arbitraria es recomendable elegir siempre corrientes de malla que circulen en el sentido de las manecillas del reloj. 2.11.1 análisis con leyes de kirchhoff

32. 32 2.11.1.1 ejemplo utilizando leyes de kirchhoff Para resolver un sistema con “n” incógnitas se requieren “n” ecuaciones

33. 33 2.11.2 análisis con ambos tipos de fuentes Al incorporar fuentes de corriente en los circuitos, el método de análisis sufre un leve cambio, debe tenerse en cuenta una nueva corriente de malla cuyo valor depende de la magnitud de la fuente incluida que para este caso es igual al negativo de la fuente de corriente. Se puede escribir: i2 = -if Sabiendo esto sólo hace falta la primera corriente de malla, por medio de la LKV se obtiene: (R1+R2) * i1 - R2 * i2 = vf Reemplazando las ecuaciones: i1 = (vf-R2*if) / (R1+R2) Donde i2=-if son de magnitud conocida (dato de la fuente)

34. 34 2.11.2.1 ejemplo con ambos tipos de fuentes

35. 35 2.11.3 análisis matricial Mediante el análisis matricial se puede generalizar el método de las corrientes de malla, de tal manera de utilizarlo computacionalmente, aplicando los teoremas matriciales requeridos. Por la ley de Ohm con conductancias se cumple matricialmente: [ R ] * [ I ] = [ V ]. Despejando [ I ] tenemos: [ I ] = [ R ]-1 * [ V ] Donde [ R ]-1, es la inversa de la matriz de resistencias. Para hallar la inversa de una matriz se debe utilizar un método específico para este fin, por ejemplo Gauss-Jordan. Una forma práctica de hallar los valores de voltajes de nodo sin necesidad de invertir la matriz es utilizando el método de Cramer. Cuando se tienen muchas mallas, se utilizan programas computacionales

36. 36 2.11.3.1 ejemplo utilizando análisis matricial R1=10Ω, R2=20Ω, R3=30Ω, Vf=50V Si los sentidos de las corrientes que atraviesan la resistencia son opuestos, entonces el signo aquí es negativo. [ I ] = [ R ] -1 * [ V ].