Ensayo Sobre Geometria

1. ENSAYO
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Por: Cristian Alejandro Vásquez Tituana
Breve reseña histórica
Desde la antigüedad, el hombre ha sentido siempre la necesidad de representar
gráficamente el entorno que le rodea, como lo demuestran los dibujos encontrados en
las cuevas prehistóricas, pero no es hasta el renacimiento cuando se intenta representar
la profundidad.
Las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos
humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que
les permitan representar la realidad. Aquí se enmarcan figuras como Luca Paccioli,
Leonardo da Vencí, Alberto Durero, Leone Battista Alberti, Piero della Francesca y
muchos otros.
Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las
bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometría que ésta implica: la
Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de
Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada
ampliamante ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la
Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía.
El posterior desarrollo de la técnica hizo necesario aplicar las teorías matemáticas a la
práctica, proceso que culminó en 1795 con la publicación de la obra de Gaspard Monge
«Geometría descriptiva».
Aplicaciones
Toda disciplina que requiera la representación de elementos en una superficie plana
(papel) encontrará, en la Geometría Descriptiva, un gran aliado. Es por esto que la
Geometría Descriptiva se encuentra en todos los planes de estudios de la Ingeniería,
Arquitectura, Topografía, entre otras. Una parte de ella estudia la Proyección Acotada,
en la cual se basan los planos topográficos y de vialidad, los cuales son trazados e
interpretados por Geólogos.

2. GEOMETRIA DESCRIPTIVA
La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite
representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional, y por tanto,
resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del
proceso a través de la adecuada lectura.
La geometría descriptiva, que adquirió el carácter de ciencia aplicada ya hace mucho
tiempo, ha tenido un largo proceso de desarrollo; desde las representaciones trazadas en
la edad de piedra y los Elementos de Euclides, pasando por los hallazgos de Descartes
con la geometría analítica; hasta la aparición de Gaspard Monge a finales del siglo
XVIII cuando la formula y la eleva a la condición de ciencia autónoma. Después
llegaron Möbius, Steiner y Leroy, entre otros.
En la época actual se pueden reconocer dos modelos: uno que considera a la geometría
descriptiva como un lenguaje de representación y sus aplicaciones, y otro que la sitúa
como un tratado de geometría. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha
estado asociado al de la Geometría proyectiva
Este arte tiene dos objetos principales.
El primero es representar con exactitud sobre los diseños de dos dimensiones los objetos que
tienen tres, y que son susceptibles de una determinación rigurosa.
Bajo este punto de vista es una lengua necesaria al hombre de genio que concibe un proyecto, a
los que deben dirigir su ejecución y en fin, a los artistas que por sí mismos deben ejecutar sus
partes diferentes.
El segundo objeto de la geometría descriptiva es deducir de la descripción exacta de los cuerpos
todo cuanto se sigue necesariamente de sus formas y de sus posiciones respectivas. En este
sentido es un medio de investigar la verdad; ofrece ejemplos continuamente del paso de lo
conocido a lo desconocido, y porque se halla siempre aplicada a objetos susceptibles de la
mayor evidencia, es necesario que entre en el plan de la educación nacional. No solamente es a
propósito para ejercitar las facultades intelectuales de un gran pueblo; y por lo mismo contribuir
a la perfección de la especie humana, sino que también es indispensable a todos los obreros,
cuyo objeto es dar a los cuerpos ciertas formas determinadas; y los progresos tan lentos de
nuestra industria de deben atribuir a que los métodos de este arte se han difundido hasta ahora
muy poco, o casi se descuidaron enteramente.
La educación nacional pues recibirá una dirección ventajosa familiarizando nuestros jóvenes
artistas con la aplicación de la geometría descriptiva a las construcciones gráficas que son
necesarias al mayor número de artes, y haciendo uso de esta geometría para la representación y
la determinación de los elementos de las máquinas, por medio de las cuales el hombre, poniendo
en contribución las fuerzas de la naturaleza, no se reserva, por decirlo así, en sus operaciones
otro trabajo que el de su inteligencia.
No es menos ventajoso derramar el conocimiento de los fenómenos de la naturaleza, que puedan
convertirse en provecho de las artes.

3. GEOMETRIA NATURAL
Fractales, una geometría natural
La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y
superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos
idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están
llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en
conceptos más sencillos como recta y plano.
Con los fractales, en cierta manera, deshacemos
esa abstracción y nos acercamos un poco más al
objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo
sencillo de un objeto real, como son las costas de
los países, para aproximarnos a los fractales. Son
líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto
parecido cuando cambiamos de escala.
Precisamente estas dos propiedades son las que
definen a un fractal: discontinuidad (rotura,
fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con
el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple
número que llamamos dimensión fractal.
Repasando intuitivamente el concepto de dimensión, observamos que un punto no tiene
medida (dimensión cero); a una recta la medimos en metros o centímetros lineales, lo
que significa asignarle dimensión uno (una sola medida: largo); a una superficie la
debemos medir en metros o centímetros cuadrados (dimensión dos: largo por ancho) y a
un volumen lo medimos en metros o centímetros cúbicos (dimensión tres: largo por
ancho por alto). Un fractal, generalmente, tendrá una dimensión (su dimensión fractal)
que estará entre cero y uno, entre uno y dos o entre dos y tres.
Supongamos el caso más sencillo, una recta fractal representada por un hilo arrugado, e
imaginemos que tiene dimensión fractal 1,25. Si otro hilo tiene dimensión fractal 1,35,
la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que este segundo hilo está
más arrugado que el primero, presenta más irregularidades. La parte entera de la
dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos
es una recta, la parte fraccionaria nos mide su grado de irregularidad.
La dimensión fractal también da la capacidad que tiene el objeto de ocupar el espacio.
El hilo con dimensión fractal 1,35 es capaz de llenar el plano mejor que el de dimensión
1,25. De hecho, si seguimos
arrugándolo más aumentaremos su
dimensión fractal y cuando esté
cercana a 2 habremos conseguido
llenar, casi por completo, una
superficie con el hilo. Un fractal
clásico de este tipo es la llamada
curva de Peano.

4. Los fractales son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador.
Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de
datos, se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El
fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios
informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al
original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos
y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo
mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo
surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con
nuevos datos.
GEOMETRIA DESCRIPTIVA Y GEOMETRIA NATURAL
En la naturaleza existe armonía y belleza, en las formas que observamos
cotidianamente, como puede ser una gota de lluvia resbalando en la superficie del
vidrio, las rocas que construyen una gama inmensa de creaciones inimaginables, las
hojas de los árboles, las diversas estructuras de los animales, etc. En conjunto, forman
un paisaje de belleza y funcionalidad, que reta al humano a crear.
Estas dos geometrías se unen y forman un estado de concordancia entre las dos las dos
son útiles ya que una es el complemento de la otra auque la geometría descriptiva se
refiera a las técnicas de carácter geométrico permitiendo representar el espacio
tridimensional sobre una superficie bidimensional, y por lo tanto, resolver en dos
dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a traves
de la adecuada lectura; y la natural es la geometría tan intuitiva que nos enseñan en la
escuela, basada en líneas, puntos y superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de
abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una
línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para
abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano. Son en
esencia las dos se necesitan mutuamente para hacer una geometría autentica para
satisfacer todas las necesidades suscitadas en el medio en que se desenvuelven.