Geometría y sistema de proyección. Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Maita Reyes, Luis Octavio > Ingeniería Civil, Semestre I.

1. GEOMETRIA Y SISTEMA DE
PROYECCIÓN
LUIS OCTAVIO MAITA REYES
C.I. V: 27.505.857
INGENIERÍA CIVIL, SEMESTRE I.
Instituto Universitario
Politécnico Santiago Mariño

2. INTRODUCCION
Desde la antigüedad, se han observado manifestaciones de dibujo. Como es natural,
los seres humanos intentaban representar los elementos de la naturaleza y aún lo
intentan hacer, a través de las matemáticas y sus avances científicos. La palabra
geometría que proviene del latín, significa medición de la tierra, geo – tierra ; metría
– medición. La geometría estudia las diferentes figuras que conforman al universo, es
una de las ramas especializadas de las matemáticas. Sin embargo, existen muchos
tipos de geometría como la analítica, la proyectiva y la descriptiva. Todas ellas, son
importantes para el desarrollo humano ya que un gran descubrimiento científico
brindan una comodidad universal.
La geometría tiene diferentes campos de aplicación, y aunque generalmente todas
estudian lo mismo, abarcan un determinado problema desde perspectivas
diferentes; aquí vamos a conocer una de las más grandes ramificaciones de las
matemáticas, conoceremos de historia científica y observaremos varios ejemplos
ilustrativos. A continuación: La geometría y los sistemas de proyección.

3. PROYECTIVA
PLANA
DESCRIPTIVA
ANALITICA
DEFINICIONES
GEOMETRIA
METRICA
EUCLIDIANA

4. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Es una rama de la geometría, que representa objetos tridimensionales
(poseen tres dimensiones: ancho, largo, profundidad) en una superficie
plana bidimensional (dos dimensiones: ancho, longitud).
El matemático Gaspar de Monge es considerado el padre de la Geometría
Descriptiva, ya que aplicó la Geometría en general para la construcción,
dando los primeros comienzos. Sin embargo, las primeras manifestaciones
de dibujos datan 2.450 años AC. La Geometría Descriptiva es uno de los
fundamentos para los ingenierios y arquitectos, ya que permite representar
no sólo objetos ya existentes, sino los que se imaginan y exhibirlos en un
plano para sus posteriores estudios.

5. GEOMETRÍA ANALÍTICA
Es una rama de la geometría y de las matemáticas, que estudia los
elementos que conforman a una figura geométrica a través del lenguaje
algebraico. Estos elementos son rectas, puntos, curvas, entre otras. Y cada
una de ellas pueden representarse a través del sistema de coordenadas,
también conocido como plano cartesiano (en honor a René Descartes,
considerado como el padre de la Geometría Analítica. Sin embargo, Pierre
de Fermat también es considerado uno de sus máximos representantes).
En el sistema de coordenadas, podemos representar figuras a través de
fórmulas matemáticas, por ejemplo, la ecuación general de la línea recta
ax+by=c, y en la actualidad, se dice que el nacimiento de la Geometría
Analítica impulsó el desarrollo de las matemáticas modernas.

6. GEOMETRÍA PLANA
También conocida como Geometría Clásica o Euclidiana (en honor a Euclides
quién la postuló) fue uno de los primeros tipos de geometrías y estudia las
propiedades de los cuerpos geométricos que satisfagan los axiomas de
Euclides, los tipos de geometrías que no satisfagan estos axiomas se le
conocen como geometrías no euclidianas.
En la geometría plana, representamos objetos bidimensionales; al
representarlos sobre una superficie dan la impresión de que son planos, ya
que carecen de volumen. Los elementos fundamentales de la geometría
plana son: el punto, la recta y el plano.

7. GEOMETRÍA MÉTRICA
Se aplica en los espacios Euclídeos, basados en los teoremas de Thales
de Mileto y Pitágoras de Samos. Y se trata del estudio y cálculo de
distancias entre las posiciones de figuras representadas en un plano,
además, se estudian las curvas y superficies que componen a algunos
cuerpos como las circunferencias y conos. Las nociones que se aplican
son intuitivas, es decir, no son rigurosas y están sujetas a
modificaciones a través de los avances matemáticos y científicos.

8. GEOMETRÍA PROYECTIVA
También conocida como geometría de la falsa posición, estudia las
proyecciones o sombras que hacen los cuerpos geométricos tridimensionales
en un plano bidimensional. La geometría proyectiva es la base para el estudio
de las proyecciones. Se aplican conceptos abstractos que son de gran utilidad
para los cálculos que se realizan como los de la geometría métrica para
estudiar superficies, longitudes, distancia entre varios puntos, etc.
Los inicios de la geometría proyectiva tienen su origen en los artistas del
Renacimiento, donde se dio una gran evolución en la pintura de los diferentes
elementos de la naturaleza, uno de ellos fue Leonardo Da Vinci.

9. GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Fue desarrollada por Euclides de Alejandría, en el año 300 A.C. Euclides,
recopiló muchos conocimientos acerca de la geometría y las matemáticas de
aquella época, e hizo su mayor obra en un libro llamado Elementos (uno de
los libros más estudiados de la historia, superado sólo por la Biblia), dando
origen a lo que conocemos como Geometría Euclidiana.
Euclides nos presenta nociones intuitivas y abstractas acerca de las figuras
que conforman a la naturaleza, con sus construcciones y demostraciones.
Actualmente, el estudio de las áreas, perímetro, superficies, longitud, entre
otros, corresponden a los elementos de Euclídes y sus teoremas.

10. PROYECCIONES CILÍNDRICAS
PROYECCIÓN CÓNICA
SISTEMA DE PROYECCIÓN
PROYECCIÓN
DEFINICIONES
GEOMETRIA
PROYECCIÓN CILÍNDRICA
ORTOGONAL
PROYECCIONES CILÍNDRICAS
OBLICUAS

11. SISTEMA DE PROYECCIÓN
Un sistema de proyección es una representación gráfica y visual, que
corresponde a la sombra de un cuerpo tridimensional en una superficie
bidimensional. Es decir, cualquier objeto en la naturaleza que tenga ancho,
largo y profundidad podrá ser proyectado y representado en un plano que
sólo tenga ancho y largo.
Los sistemas de proyección son muy importantes en la Ingeniería y
Arquitectura, ya que nos permiten visualizar un objeto para posibles
modificaciones.
Le atribuímos el sistema de construcción general para crear sistemas de
proyecciones al científico Gaspard Monge, en su obra titulada Géometrie
descriptive, en el año 1799.

12. PROYECCIÓN
Es una técnica de dibujo que se utiliza para representar un objeto sobre una
superficie llamado plano. El resultado de esta técnica es un gráfico la cual es
considerada como la figura obtenida sobre la superficie mediante el
conjunto de rectas, partiendo de un punto. El conjunto de rectas se le
denominan rectas proyectantes y el punto de salida se le denomina foco.

13. PROYECCIÓN CÓNICA
Es un tipo de representación gráfica que permite
reproducir de una manera eficaz las imágenes, ya que
ofrece un resultado semejante a lo que percibe el ojo
al observar un objeto desde cualquier punto.
La proyección cónica representa un cuerpo
tridimensional sobre un plano, donde las rectas
proyectantes se reúnen en un mismo punto; esto nos
garantiza, que obtendremos una proyección del
objeto como si nos encontráramos en ese punto
determinado.
1. Perspectiva cónica
2. Perspectiva angular

14. PROYECCIÓN CÓNICA
1. Perspectiva cónica:
es la representación de un objeto tridimensional que más se asemeja a la
visión humana ya que es capaz de representar sobre la superficie, la
profundidad del objeto y así valorar la posición particular de cada figura
en el espacio. Generalmente, esta perspectiva es utilizada para estudiar y
observar el volumen de un objeto, ya que se puede apreciar muy bien.

15. PROYECCIÓN CÓNICA
2. Perspectiva angular:
También conocida como perspectiva
cónica de un cuerpo rectangular, es la
representación de un cuerpo desde la
definición de dos puntos de fuga en el
horizonte y las líneas paralelas al plano
permanecen de forma vertical

16. PROYECCIONES CILÍNDRICAS
Es el tipo de proyección donde el origen de las
rectas proyectantes viene desde un punto en el
infinito.
Estas rectas proyectantes son paralelas entre sí,
dando la impresión de que formarían un
cilindro.

17. PROYECCIÓN CILÍNDRICA
ORTOGONAL
Es el tipo de proyección utilizado en el sistema
diédrico, en plano acotado y en las perspectivas
axonométricas ortogonales. Aquí, los rayos
proyectantes son paralelos (proyección
cilíndrica) y perpendiculares al plano de
proyección alfa.
1. Proyecciones diédricas
2. Vistas múltiples
3. Proyecciones axonométricas

18. PROYECCIÓN CILÍNDRICA
ORTOGONAL
1. Proyecciones diédricas:
es un método de representación en geometría descriptiva que utiliza una
proyección ortogonal sobre dos planos que se cortan perpendicularmente.
La representación es geométrica y es de objetos tridimensionales sobre
planos bidimensionales.

19. PROYECCIÓN CILÍNDRICA
ORTOGONAL
2. Vistas múltiples:
Es la representación de un objeto tridimensional mediante varias
proyecciones. La representación sería bidimensional y las vistas múltiples
generalmente es representado por el sistema diédrico. Se utiliza el término
vistas múltiples para diferenciarlo de otros tipos de proyecciones que utilizan una
única vista para representar objetos, como, por ejemplo, el cónico y el
axonométrico.

20. PROYECCIÓN CILÍNDRICA
ORTOGONAL
3. Proyecciones axonométricas:
Es la proyección sobre un plano axonométrico que
tiene una posición arbitraria en el espacio; y se
obtiene cuando este plano no es paralelo a ninguno
de los tres ejes principales del objeto que se
observa.

21. PROYECCIONES CILÍNDRICAS
OBLICUAS
Es aquella en la que el centro de proyección de
donde emanan todos los rayos proyectantes se
encuentran en el infinito, es decir, los rayos de
proyección son paralelos y forman un ángulo no
recto respecto del plano de proyección.
1. OBLICUA
2. CABALLERA
3. GABINETE

22. PROYECCIONES CILÍNDRICAS
OBLICUAS
1. Oblicua:
Se obtiene cuando las rectas proyectantes no
son perpendiculares al plano de proyección. Es de
saber que la palabra oblicua hace referencia a algo
que no es perpendicular ni paralela a un ente.

23. PROYECCIONES CILÍNDRICAS
OBLICUAS
2. Caballera:
Es aquella que utiliza la proyección paralela oblicua y cilíndrica. Se
originó en el dibujo de las fortificaciones medievales. Comúnmente, también
se le denomina perspectiva caballera y en ella, dos dimensiones del
volumen a representar que serían el alto y el ancho, se proyectan en
verdadera magnitud (sin alterar las magnitudes). Sin embargo, la tercera
dimensión del volumen del objeto, la profundidad, se reduce de manera
proporcional a las magnitudes de las otras dos dimensiones y se utiliza un
coeficiente para ello.

24. PROYECCIONES CILÍNDRICAS
OBLICUAS
3. Gabinete:
Se le conoce así porque se
utilizó mucho en la industria del
mueble. Este tipo de proyección
permite representar objetos
colocando una de las caras de frente al
punto de observación y las demás
caras son oblicuas al plano del cuadro.
Y, al igual que las caballeras, las los
dimensiones del volumen del objeto
se representan en verdadera
magnitud y se reduce la profundidad.

25. SISTEMADE
REPRESENTACIÓN
1. SISTEMA DIÉDRICO
2. CUADRANTE O DIEDROS
3. SISTEMA DE
REPRESENTACIÓN ACOTADO
4. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN
EN PERSPECTIVAS
PERSPECTIVA
ISOMÉTRICA
PERSPECTIVA MILITAR

26. NOMENCLATURAS
Puntos del plano: se representan con las letras del alfabeto, mayúsculas (A,B,C,D…) o
los números (1,2,3,4…)
Rectas: se representan con los puntos que son los segmentos de esa recta, por
ejemplo: (AB) ; (1,3) ; (C,7)
Plano: se representa con tres (3) puntos que definen los segmentos de una recta
(A,C,G), una recta y un punto (Mn), dos rectas que se intercepten o sean paralelas
(mn), las letras del alfabeto griego (α – ALFA) ; (β – BETA).

27. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN
Como ya conocemos, los sistemas de representación tienen el objetivo
principal de representar objetos sobre una superficie bidimensional.
Estos sistemas pueden clasificarse:
1. SISTEMA DIÉDRICO: Es un método gráfico el cual consiste
en obtener la imagen de un objeto (en planta y alzado),
mediante la proyección de las rectas proyectantes
perpendiculares a dos planos principales de proyección. En
el sistema diédrico, así como en otros, el plano es una
superficie ilimitada y plana. El objeto queda representad
por su vista frontal, que es proyección en el plano vertical, y
su vista superior (proyección en el plano horizontal),
además, se puede representar su vista lateral, como
proyección auxiliar.

28. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN
2. CUADRANTE O DIEDROS: Es un sistema de representación de
un objeto con dos planos que se cortan de forma perpendicular.
El resultado es una división de cuatro (4) cuadrantes, diedros o
regiones y en la representación podemos observar dos
proyecciones del mismo objeto; uno en planta y el otro alzado.

29. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN
3. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN ACOTADO:
Es aquel sistema de representación gráfica
donde se representan las medidas
verticales de los objetos mucho más
pequeñas que las horizontales.

30. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN
4. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN
PERSPECTIVAS: La perspectiva, es la forma
de representar por medio del dibujo, en un
plano, los objetos tal como aparecen a la
vista. En la ejecución, los sistemas más
habitualmente utilizados son las siguientes
 PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
 PERSPECTIVA MILITAR

31. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN
PERSPECTIVAS
• Es la forma de proyección gráficas que representa
un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la
que los tres ejes de referencia (x,y,z) tienen
ángulos iguales de 120°, y las dimensiones guardan
la misma escala sobre cada uno de ellos. De forma
específica, este tipo de representación se llama
axonométrica cilíndrica ortogonal.
PERSPECTIVA
ISOMÉTRICA
• Es un caso particular de la perspectiva caballera,
que, a su vez, pertenece al tipo de representación
cilíndricas oblicuas. Es representado por tres ejes
cartesianos (x,y,z). En la representación, el eje Z es
el vertical, mientras que los otros dos X, Y forman
90° entre sí, determinando el plano horizontal
(suelo).
PERSPECTIVA
MILITAR

32. SISTEMA DE COORDENADAS Y SUS
APLICACIONES

33. SISTEMA DE COORDENADAS Y SUS
APLICACIONES
• Es el conjunto de valores que permiten
definir unívocamente la posición de cualquier
punto de un espacio geométrico respecto de
un punto denominado origen. El conjunto de
ejes, puntos o planos que confluyen en el
origen y a partir de los cuales se calculan las
coordenadas de cualquier punto constituyen
lo que se denomina sistema de referencia.
Veamos algunos tipos:

34. TIPOS DE SISTEMA DE COORDENADAS
1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS:
También conocida como sistema de coordenadas rectangulares. Es el sistema
formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente
perpendiculares que se cortan en el origen. Son del tipo coordenadas ortogonales
para espacios euclídeos. Sus aplicaciones se deben en matemáticas y geometría,
para representar funciones, resolución de problemas utilizando integrales y
derivadas y para la representación de objetos geométricos tales como rectas,
curvas, y distancias.

35. TIPOS DE SISTEMA DE COORDENADAS
2. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES:
Es un tipo de coordenadas bidimensionales que está constituido por un eje que
pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen
y un punto, mientras que la segunda, es el ángulo que forman el eje y la recta que
pasa por ambos puntos. En este sistema, es posible determinar la posición de un
punto en el espacio, además, se utiliza para calcular longitudes de diferentes
entes geométricos como curvas, rectas y algún fenómeno que pudiese presentar
en un punto central determinado. Generalmente, se utiliza en Navegación, Física
y Matemáticas, trabajando con vectores y expresiones algebraicas, para
determinar velocidades, direcciones y sentidos de aeronaves, barcos y otros
cuerpos.

36. TIPOS DE SISTEMA DE COORDENADAS
3. SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS:
Es la generalización del sistema de coordenadas polares planas, en el que
se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos, estos
ejes son x,y,z. Es muy útil para solucionar problemas geométricos del tipo
cilíndricos o azimutal que generalmente son problemas de simetría. En
geometría analítica y descriptiva, es muy útil, ya que es el indicado para
estudiar y calcular distancia dentro del cuerpo geométrico y modificar, si
fuese necesario, los valores; por esta razón, es necesario para el
ingeniero, geómetra y arquitecto.

37. CONCLUSIONES
Actualmente, el desarrollo tecnológico es exponencial. Los países en desarrollo tienen un gran
crecimiento económico y sus empresas cada vez exigen a ingenieros más capaces de realizar
grandes edificaciones y proyectos ambiciosos. El arquitecto, el ingeniero, el empresario, el
ciudadano común… se han beneficiado de las aportaciones que ha hecho la geometría y las
matemáticas a lo largo de los años. Desde el plano más pequeño, al proyecto más grande, exige
de las matemáticas y a su vez, de la geometría en general.
El conocimiento que actualmente tenemos sobre esta disciplina, se debe a un gran periodo de
investigaciones exhaustivas que los grandes de la ciencia clásica y moderna se han dignado a
regalarnos. Desde los caldeos, babilonios, egipcios, chinos; pasando por Apolonio, Aristóteles,
Pitágoras, Euclides, Eratóstenes, Thales de Mileto, Arquímedes hasta René Descartes, Carl
Gauss, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler, Blaise Pascal y los matemáticos
destacados de la antigua Unión Soviética, especializados en geometría como, Mijaíl Postnikov,
Alekséi Pogorélov, Víktor Zalgaler y uno de lo mejores preparados Grigori Perelman, nos han
dado mayores posibilidades de desarrollo humano y tecnológico. Actualmente, existe una
exploración activa de una nueva rama de las matemáticas similar a la geometría, la topología,
conocida también como la geometría de la goma elástica, que tiene orígenes antiguos, con
Euclides y Arquímedes, pero empezó a desarrollarse formalmente desde Leonhard Euler, luego
August Möbius y Johann Listing, Giuseppe Peano, Henri Poincaré, y finalmente Pável Urysón y
Karl Menger.

38. ANEXOS
https://www.youtube.com/watch?v=GS89L7ZGSOI (Canal: Ayudinga! ; Duración del
video: 58:23 min. ; Título: Historia de la Geometría |Parte I.)
https://www.youtube.com/watch?v=mxCz0CqWcT4 (Canal: Ayudinga! ; Duración del
video: 53:39 min. ; Título: Historia de la Geometría | Parte II.)
https://www.youtube.com/watch?v=liHSekRz3UE (Canal: Universidad Nacional
Abierta y a Distancia UNAD ; Duración del video: 13:04 min. ; Título: Sistemas de
Proyección.)
https://www.youtube.com/watch?v=ztbJvE7ty1w (Canal: Hugo César Gómez Tone ;
Duración del video: 33:35 min. ; Título: Sistemas de Representación de Objetos y
Proyecciones.)
https://www.youtube.com/watch?v=HChhMmqfA_E (Canal: Andrés Monsalve ;
Duración del video: 12:47 min. ; Título: Vistas de un sólido con planos inclinados por
proyecciones ortogonales.)