Este documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Los fractales tienen propiedades como una complejidad infinita y una dimensión fraccional. Son generados mediante métodos iterativos y se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como helechos y copos de nieve. El documento también discute el historial de los fractales y sus aplicaciones visuales.

1. Fractales Geovanni Pérez 12-1 23 de marzo de 2007 Sra. M. Rivera Escuela Juan Alejo de Arizmendi Quebradillas, Puerto Rico

2. ¿Qué son los fractales? A primera vista un fractal parece un diseño enredado, complicado y de gran belleza. Pero lo que lo hace singular es su estructura infinitamente detallada y su complejidad sin límites. Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repiteen diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 .

3. Tipos de fractales Algunos fractales pueden ser generados mediante varios de los métodos descritos, pero tras todos esas formas siempre se esconden la realimentación y la iteración: Tiempo de Escape Iterated Function Systems (IFS) Escape de Atractor Finito Orbitales Caóticos o Atractores Bifurcaciones L - Systems Aleatorios

4. En 1919 Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones y medidas de los fractales, el llamado medida y dimensión Hausdorff. Al año siguiente Besicovitch, interesado por el trabajo de Hausdorff, en particular por la dimensión Hausdorff 1 creó la teoría geométrica de la medida. En 1987, el matemático inglés Michael F. Barnsley descubrió la transformación fractal, capaz de detectar fractales en fotografías digitalizadas. Los fractales quizá no hubieran sido objeto de estudio si no hubieran existido ordenadores. Historia de los fractales

5. Algunas características Los fractales son figuras geométricas, al igual que los triangulos y los rectágulos, pero con unas propiedades especiales que los distiguen de éstos. Son muy complejos, a cualquier tamaño. Pueden dividirse en partes que son copias reducidas del total. Su dimensión es una fracción a diferencia de otras figuras geométricas. Los fractales frecuentemente lucen como objetos de la naturaleza.

6. Tiene detalle en escalas arbitrariamente pequeñas. Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Tiene auto-similaridad exacta o estadística. Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch no es entera. Puede ser definido recursivamente. Fractales matemáticos

7. La dimensión fractal Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, el concepto de longitud no está claramente definido: Cuando se quiere medir una linea fractal con una unidad, o con un instrumento de medida determinado, siempre habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad de la regla o el instrumento utilizado, y también a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea.

8. La longitud de la curva que ocupa el espacio inicial va aumentando en cada paso su longitud de forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior: Ejemplo de la dimensión fractal

9. Una de las características más triviales aplicaciones de los fractales son sus efectos visuales. No solamente engañan la vista, sino que también de algún modo confunden a la mente. Las imágenes fractales son usadas para producir paisajes fabulosos. Efectos visuales de Fractales

10. Los fractales frecuentemente lucen como objetos de la naturaleza. Muchos objetos naturales, como los helechos, copos de nieve, las costas de los países, rocas, tienen formas parecidas a los fractales. No son fractales auténticos pues su complejidad no es infinita. Fractales en la naturaleza

11. La geometría euclidiana ha simplificado las irregularidades. Se ha descubierto que la naturaleza es caótica, de manera que un ligero aumento de temperatura en un lugar de la Tierra puede tenerconsecuencias previsibles pero indeterminadas. La naturaleza es irregular. Por ese motivo surgió lo que hoy conocemos como geometría fractal, una parte de la matemática que se encarga de encontrar un orden y una regla en ese caos natural igual que Dedekind racionalizó el número irracional. La necesidad de una nueva geometría

12. Existen muchos métodos de generar fractales, desde transformaciones geométricas (como el triángulo de Sierpinski) hasta las iteracciones de funciones en el plano complejo (conjunto de Mandelbrot). Esta actividad permite a los alumnos darse cuenta de la gran utilidad que representa el disponer de métodos y modelos matemáticos directamente aplicables a los fenómenos naturales. Fractale y naturaleza

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15. Por: Geovanni Pérez Pérez marzo 2007