1. BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
LIC. MATEMÁTICAS
ERICK SALGADO MATIAS
FRACTALES
22-NOVIEMBRE-2012

2. INTRODUCCIÓN
Este ensayo está dirigido, principalmente, a estudiantes que hayan finalizado sus
estudios a nivel bachillerato u equivalente, y que tengan el deseo de estudiar en
alguna facultad de ciencias, o a todas aquellas personas que estén realizando
estudios a nivel licenciatura y quieran tener noción alguna sobre el tema de
fractales. Sin embargo, también está dirigida a cualquiera que encuentre en las
matemáticas el lenguaje universal con el cual se pueden explicar los fenómenos
en nuestro entorno y, por supuesto, a todos los que ven en ella una puerta que los
llevará hacia la búsqueda del conocimiento orientado al desarrollo científico y
tecnológico.
Se pretende introducir, con un nivel básico, el tema de fractales. Me interesa dar a
conocer el tema desde una perspectiva informal, para que no se haga abundante
el tema, logrando así que el lector se motive a realizar una investigación más
exhaustiva por su propia cuenta. Sin olvidar la esencia matemática del tema.
Los fractales constituyen un tema matemático de actualidad y se han convertido
en algo muy popular en los últimos años. Las figuras fractales se obtienen de
repetir una y otra vez el mismo procedimiento, típicamente un fractal es algo
irregular, pero lo más importante es que si lo ampliamos arbitrariamente, él aún
sigue irregular. Para nosotros, los fractales serán en general figuras geométricas
que se caracterizan por su auto-semejanza sin embargo existen otros, como la
frontera del conjunto Mandelbrot, que son fractales no auto-semejantes.
Son estructuras infinitas y resultan de utilidad en el análisis de una gran diversidad
de fenómenos como turbulencias, bolsa de valores, dispersión del humo, etc.,
además de sintetizar imágenes como montañas, nubes, costas rocosas, ríos y
plantas entre otras.
TEMARIO

3. 1. DEFINICIÓN, TIPOS Y CARACTERISTICAS
2. DIMENSIÓN FRACTAL Y AUTOSEMEJANZA
2.1 AUTOSEMEJANZA
2.2 DIMENSIÓN TOPOLÓGICA
2.3 DIMENSIÓN FRACTAL
3. CONSTRUCCIÓN FRACTALES
3.1 CONJUNTO DE CANTOR
3.2 LA CURVA DE KOCH
4. APLICACIONES Y EJEMPLOS
4.1 EJEMPLOS EN LA NATURALEZA
4.2 APLICACIONES CIENCIA

4. 1. DEFINICIÓN, TIPOS Y CARACTERÍSTICAS
El primer problema que se nos presenta es explicar qué se entiende por conjunto
fractal, para lo que en principio nos podemos limitar a nombrar algunos ejemplos
como son: el conjunto de Cantor, el conjunto de Mandelbrot, el triángulo de
Sierpinski, curva de Koch.
La palabra fractal, referida a conjuntos matemáticos, apareció por primera vez en
el año 1977 cuando Benoit Mandelbrot la utilizó en su libro [0], para referirse a
ciertos conjuntos con todas o algunas de las siguientes propiedades:
Tienen detalles a todas las escalas, entendiendo por esto que mirados a
cualquier nivel de escala (zoom) manifiestan detalles ya observados a nivel
global.
Son auto-semejantes, es decir, que están formados por partes que son
semejantes al conjunto total.
Tienen una descripción algorítmica simple, entendiendo por ello que su
construcción se basa en un algoritmo sencillo en algunos casos.
Dentro de la geometría fractal podemos distinguir dos tipos de fractales:
Fractales regulares. Objetos construidos a partir de copias exactas
(escaladas) de sí mismos.
Fractales no regulares. Objetos auto-semejantes, pero que no están
construidos sólo a partir de copias exactas de sí mismos.
Fractales regulares
Se definen generalmente de la siguiente manera:
Se parte de una figura inicial.
Se aplican unas reglas de transformación, que generan nuevas figuras a
partir de la inicial.
A cada una de las nuevas figuras se le aplica de nuevo las reglas de
transformación, y así hasta el infinito.
Sólo podemos dibujar aproximaciones finitas (unas cuantas iteraciones).
Fractales no regulares
Algunos se pueden definir, igual que los regulares como el límite de una sucesión
de conjuntos:
Se parte de una figura inicial (conjunto de puntos).

5. A partir del conjunto inicial se genera uno nuevo aplicando un conjunto de
funciones, generalmente transformaciones afines:
Ejemplos: hojas, árboles, etc.

6. 2. DIMENSIÓN FRACTAL Y AUTOSEMEJANZA
Cualquiera que sea el método de aproximación al concepto de fractal que
utilicemos hay un concepto central que es el de dimensión, quizás por ello, el
concepto de dimensión fractal esta esparcido por la literatura científica y se utiliza
muchas veces indiscriminadamente creando confusión.
Aquí analizaremos la dimensión fractal abordando previamente el concepto de
dimensión topológica para ser consecuentes con la propia definición de Benoit B.
Mandelbrot, de la que se deduce que la dimensión fractal es mayor que su
dimensión topológica.
Dimensión topológica, es un término que introdujo Henri Poincaré (1854-1912),
físico francés y uno de los principales matemáticos del siglo XIX.
2.1. AUTOSEMEJANZA
Se dice que un objeto es auto-semejante si se puede construir a partir de copias
semejantes, en el sentido de las transformaciones geométricas de sí mismo. La
propiedad de un fractal de poseer los mismos detalles a todas las escalas de
observación, se puede completar indicando que un fractal no tiene ninguna escala
característica o lo que es lo mismo todas las escalas son "buenas" para
representar un fractal.
Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o auto-semejanza a cualquier
escala, es decir, tiene la propiedad de que una pequeña sección suya puede ser
vista como una réplica a menor escala de todo el fractal
2.2. DIMENSIÓN TOPOLÓGICA
La dimensión topológica es fácil de comprender ya que nos habla de la
conectividad de los puntos del objeto de medida. “Se dice que una figura es
unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su
frontera está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta
de superficies”B.Mandelbrot(1997).
Profundizando un poco más y desde un punto de vista topológico sabemos que la
circunferencia y un segmento rectilíneo son la misma curva y encierran el mismo
tipo de superficie pues es posible transformar una en la otra mediante una
deformación continua, ahora bien, desde un punto de vista métrico no son la
misma curva, ya que la circunferencia y el área que encierra, el círculo, son finitos,
y, en cambio, el segmento, aunque es finito, no encierra con su borde un área
finita. Aparece aquí, entonces, una característica moderna de las matemáticas:
intentar clasificar los objetos por lo que se conserva, por los invariantes, y analizar,

7. por otra parte, qué ocurre con lo que no se conserva, cómo hay que analizarlo,
qué hay que hacer con ello, cómo integrarlo en el mundo de los entes
matemáticos. En el ejemplo anterior, lo que se conserva es su carácter topológico,
es decir, su dimensión topológica.
Señalaremos finalmente que el propio concepto dimensión tiene un significado
matemático muy amplio, y por lo tanto se ofrecen un amplio repertorio de
definiciones. Entre ellas existe siempre la noción de recubrimiento del objeto
estudiado, por otra forma matemática cuyo diámetro tiende a cero. Si tenemos en
cuenta la definición inductiva de dimensión topológica dada por Poincaré" un
objeto tiene dimensión topológica "m" cuando cualquier recubrimiento de ese
objeto, tiene dimensión topológica "m"Kenneth F. (1990), debemos añadir que el
conjunto vacío tiene dimensión – 1.
Una definición distinta de dimensión topológica es la definición por semejanza,
llamada también de auto-semejanza, que sugirió FelixHausdorff en 1919,
readaptada posteriormente por Besicovich (dimensión de Hausdorff-Besicovich) y
que se recoge en la definición de fractal que propone Benoit B. Mandelbrot [1].
2.2. DIMENSIÓN FRACTAL
El concepto de dimensión en los fractales como consecuencia de la recursividad o
auto-similitud a cualquier escala que poseen, es algo muy complejo. Los fractales
están compuestos por elementos cada vez más pequeños de sí mismos que se
replican indefinidamente a menor escala, generándose una figura que tiene una
superficie finita con un perímetro de longitud infinita y con un número infinito de
vértices. En el lenguaje matemático diríamos que esta curva no se puede
diferenciar.
Por ello, el concepto de dimensión juega un papel fundamental en la geometría
fractal. Pero la dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a los
conceptos tradicionales de la dimensión euclidiana o dimensión topológica. Más
aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. La dimensión
fractal, se puede definir de diferentes maneras, siendo la más rigurosa la de
Hausdorff y la más intuitiva y más fácil de aplicar es la de semejanza. Antes de
definirla se debe señalar dos aspectos importantes relativos a la escala de
medición y su relación con la expresión del tamaño y con la dimensión topológica
para destacar que:
- El valor del tamaño depende del valor de la escala.
- Los valores de la dimensión topológica son independientes de la escala.

8. La dimensión definida por Felix Hausdorff en 1919, y perfeccionada más tarde por
Besicovich está recogida en la definición de fractal que propone Mandelbrot: “Un
fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovich es
estrictamente mayor que su dimensión topológica”B.Mandelbrot (1975).
De una forma intuitiva la dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el
número de conjuntos de longitud L que hacen falta para cubrir X por L. Esta
dimensión se representa por la siguiente fórmula:
Donde S es el tamaño del fractal, L la escala de medición y D es la dimensión
fractal que buscamos. Operamos para despejar D:
Como vemos la dimensión de homoteciaHausdorff- Besicovich, es una
generalización de la dimensión euclidiana, que con carácter general, tiene valores
enteros e iguales a la dimensión topológica para las líneas, polígonos y sólidos y
valores fraccionarios y superiores a su dimensión topológica en los fractales.

9. 3. CONSTRUCCIÓN FRACTALES
Los fractales geométricos clásicos tienen su origen a finales del siglo XIX o a
comienzos del siglo XX. Tachados de monstruos matemáticos por algunos
famosos matemáticos de la época como Poincaré, sirvieron para alentar la
búsqueda rigurosa de conceptos como infinito, curva continua o dimensión.
Fueron recopilados por BenoitMandelbrot a mediados del siglo XX, dando origen a
una nueva teoría geométrica: los fractales.
El origen de la geometría fractal y de los fractales, habría que establecerlo hacia
1875-1925, cuando se produce una crisis en la definición de dimensión, y se
discrepa con la idea que se había aceptado hasta entonces, según la cual se
concebía la dimensión como número de coordenadas.
El mejor modo de entender lo que es un fractal consiste en examinar cómo surge
geométricamente a partir de su definición algorítmica. Describiremos a
continuación cómo se puede proceder para construir algunos de los conjuntos
fractales más conocidos o llamados clásicos.
3.1. Conjunto de cantor
El conjunto de Cantor probablemente sea el fractal documentado más antiguo. El
polvo de Cantor es históricamente el primer objeto fractal puro. Fue descrito por el
matemático alemán Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor alrededor de 1872
(recordemos que Cantor fue el inventor de la teoría de los conjuntos). Su
dimensión Hausdorff - Besicovich es ≈ 0,6309297. Este fractal es una de las
excepciones (junto con el triángulo de Sierpinski y la curva de Peano) a la
definición de Mandelbrot ya que la dimensión Hausdorff - Besicovich es menor que
la dimensión topológica, que en una recta es 1.
Para su construcción se parte de un segmento de longitud 1. Se divide en tres
partes iguales y se elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir los
extremos). Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se
eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas. Se procede igual con
cada uno de los cuatro segmentos que quedan. Y se repite el proceso infinitas
veces.

10. 3.2. La curva de Koch
La curva de Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904, como ejemplo de curva
de longitud infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier
punto. La longitud de esta curva evoluciona de acuerdo a la siguiente sucesión: 1,
4/3, 16/9, 64/27, 256/81.... Dado que la sucesión anteriormente indicada no
converge hacia ningún valor, estamos ante una curva de longitud infinita. Su
construcción se hace mediante un proceso similar al del conjunto de Cantor. Se
parte de un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividirlo en tres
intervalos iguales, construir un triángulo equilátero sobre el intervalo central y
suprimir la base de dicho triángulo. El segundo paso de la construcción consiste
en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los
cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el proceso infinitas veces.
Veamos la dimensión de Hausdorff- Besicovich para la curva de Koch.
Recordemos que esta dimensión se representa por la siguiente fórmula:
D = log S / log L
En el caso de la curva de Koch S = 4 y L= 1/3. Así tenemos:
D = log4/log(1/3) = log4/log3 =1,262
Por tanto, es mayor que su dimensión topológica, que en el caso de una línea es 1
y además, tiene valor fraccionario. Cumple por tanto todos los requisitos para
clasificarla como fractal, de acuerdo con la definición de Benoit B. Mandelbrot.
3.3. TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
El triángulo de Sierpinski fue ideado por el matemático polaco WaclawSierpinski
en 1915. Definamos como Triángulo de Sierpinski en la iteración n=0 un triángulo
equilátero de lado 1. En iteraciones sucesivas n=1, 2, 3..., se ira recortando un
triángulo equilátero con la base invertida de lado mitad al de la iteración anterior
del centro del triángulo de la iteración anterior. Para lograr esto en la primera
iteración, se trazará un triángulo equilátero, cuyos vértices, deben coincidir con los

11. puntos medios de cada lado del triángulo mayor. Donde se retirará o se eliminará
de la figura ese nuevo triángulo invertido, tal que solamente se conservarán los
tres triángulos equiláteros menores y similares. En las sucesivas iteraciones se
aplica el mismo procedimiento de iteraciónpara cada triángulo pequeño,
obteniéndose, como resultado, un triángulo de Sierpinski.
El Triángulo de Sierpinski es un objeto fractal de dimensión Hausdorff -
Besicovitch≈ 1.58496. Este fractal es una de las excepciones a la definición de
Mandelbrot ya que la dimensión Hausdorff - Besicovitch es menor que la
dimensión topológica, ya que en un triángulo es 2.

12. 4. APLICACIONES Y EJEMPLOS
BenoítMandelbrot en 1982 publicó un libro, con gráficos espectaculares creados
con la tecnología informática que, por aquel tiempo, estaba a su disposición:
“TheFractal Geometry of Nature” [2]. En la introducción de la edición en español
de este libro y que se titula como en la versión inglesa: "La geometría fractal de la
naturaleza" [3], BenoítMandelbrot escribe: "¿Por qué a menudo se describe la
geometría como algo "frío" y "árido"?. Sí, es incapaz de descubrir la forma de la
nube, una montaña, una costa o un árbol, porque ni las nubes son esféricas, ni las
montañas cónicas, ni las costas circulares, ni el tronco de un árbol cilíndrico, ni un
rayo rectilíneo".
"Creo que muchas formas de la naturaleza son tan irregulares y fragmentadas que
la naturaleza no sólo presenta un grado mayor de complejidad, sino que ésta se
nos revela completamente diferente"Mandelbrot B. (1990).
En el curso Geometría Fractal que el Profesor Michael FieldingBarnsley imparte en
la 'School of Mathematics' del Instituto de Tecnología de Atlanta, dice en la
presentación del curso:
"La Geometría Fractal les hará ver las cosas de modo diferente. Existe un riesgo si
continúan leyendo. Se juegan la pérdida de su visión de la infancia de las nubes,
bosques, galaxias, hojas, plumas, rocas, montañas, torrentes de agua, ladrillos y
muchas otras cosas. Nunca más su interpretación de estos objetos será la
misma"....
"La esencia de este texto reside en cómo utilizar la geometría fractal para modelar
objetos reales del mundo físico. Más que dedicarse a los aspectos aleatorios en la
generación de un fractal, la intención es comenzar con un objeto natural y buscar
el fractal específico que mejor lo simule"Fielding M. (S. F.).
4.1. NATURALEZA
En la naturaleza los objetos fractales suelen aparecer en relación con dos
circunstancias o situaciones:

13. (1). Frontera, y aquí incluimos todos los casos en que entran en contacto dos
medios humanos, naturales, físicos, químicos, etc. o dos superficies diferentes:
frontera entre países, riberas de los ríos, litoral, nubes.
(2). Árbol. Es decir aquellos casos en que se produce una ramificación con auto
similitud: árboles, arbustos, y plantas, cuencas fluviales con sistemas de río,
afluentes, ramblas, barrancos, riachuelos, etc.
4.2. APLICACIONES CIENCIA
Las aplicaciones fractales en el campo de la tecnología se circunscriben
mayoritariamente en los campos del diseño y compresión de imágenes y en el
campo de las telecomunicaciones.
La aplicación de técnicas fractales para la compresión de imágenes digitales fue
introducida por Michael Barnsley y ArnaudJacquin en 1988.
Ahora haremos mención a las aplicaciones en el campo de la meteorología.
Recordemos el atractor de Lorenz y sus investigaciones en este campo.
Basándonos en la teoría del caos podemos pensar en la atmósfera como un
sistema dinámico de comportamiento caótico
En el campo de las aplicaciones puramente meteorológicas, ShaunLovejoy, del
Departamento de Ciencias de la Tierra y los Planetas de la Universidad McGill de
Montreal (Canadá), ha modelado nubes mediante fractales, relacionando el Área-
Perímetro de nubes con las zonas de precipitación [5]. Los datos se obtienen
mediante satélites geoestacionarios y las áreas de lectura oscilan entre uno y un
millón de Kilómetros cuadrados.
En la página Fractal Geometry de los profesores Michael Frame,
BenoitMandelbrot y Nial Neger de la Universidad de Yale, y dentro del apartado de
Ciencias Sociales recogen algunos ejemplos de aplicación de modelos de análisis
fractal tales como: el estudio de las guerras, la historia de los sumerios y el
moderno Irak, la psicología, y es muy interesante una aplicación de
automatización celular que denomina el dilema del prisionero que ha sido utilizada
como modelo para las relaciones internacionales.
Se señala que modelos similares se han utilizado
para modelar la evolución de las ciudades y para
explicar la organización auto-similar de la
distribución de servicios en las grandes ciudades.
La imagen se ha tomado de Prisoner'sdilemma:
Fractalsbetweenfactions. [7].

14. El profesor Nikos A. Salingaros, [8] del Departamento de Matemáticas Aplicadas
de la Universidad de Texas en San Antonio, señala en una interesante
comunicación Connectingthe Fractal City [9] que la vida en las ciudades tiene unas
características intrínsecamente fractales, pero que la presión de los automóviles y
crecimiento creciente de la población en siglo XX han borrado la ciudad
tradicional conduciéndola hacia tipologías geométricas anti-fractales, con unas
consecuencias desastrosas para la tela urbana. Propone utilizar el criterio fractal
para la geometría de ciudades como una condición para su éxito.
Algunos ejemplos son los siguientes:
-Agrupación de partículas con movimiento browniano (ej. Partículas de hollín):
-Se ha comprobado que la molécula del glucógeno tiene naturaleza fractal:

15. -Una vista aérea de la ciudad Logone-Birni en Camerún. Modelo fractal de la
ciudad y las tres primeras iteraciones del
modelo fractal.

16. CONCLUSIONES
Al concluir éste trabajo, nos queda claro que el concepto de fractalno es algo para
tomarse a la ligera, es decir, para tener una noción clara de lo que es un conjunto
fractal se necesitan conocimientos avanzados para poder desarrollar toda la
teoría de lo que es un fractal, por lo que cabe destacar que si el lector se interesó
en el tema realizará una investigación más profunda y con esto dicho se cumplió el
objetivo de este trabajo. Cabe destacar que algunos de los procesos de la
naturaleza pueden ser simulados mediante modelos computacionales que se
basan en fractales. Y no solo procesos de la naturaleza, sino también, como se
mostró, las aplicaciones que encontramos parecen muy interesantes para que el
lector las consulte y las investigue de una manera más exhaustiva.
Además se espera que el lector aprecie el gran esfuerzo que se ha realizado en
este trabajo para que los conceptos de dimensión y medida fractal se expusieran
de la forma más sencilla posible que desde mi punto de vista son muy vagos aun.
REFERENCIAS
[0] Mandelbrot B. B.(1997).The Fractal Geometry of Nature.(segunda
edición).San Francisco.
[1] Mandelbrot, B. B. (1975). Les objetsfractales: Forme, hassardet dimension.
Paris.Editorial Flammarion.
[2] Mandelbrot B. B. (1982) The Fractal Geometry of Nature. New York. Editorial
W. H. Freeman & Co.
[3] Kenneth F. (1990) Fractal Geometry: Mathematical Foundations and
Applications.Editorial John Wiley and Sons.
[5] Lovejoy S., Mandelbrot B. (1985). Fractal properties of rain, and a fractal
model.Tellus 37-A.Págs, 209-232.
[7] Nowak, Bonhoeffer, May. (s.f). Prisoner's dilemma: Fractals between
factions. Recuperado de:
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/SocialSciences/PrisDil/PrisDil.html
[8] Nikos, A. (s.f)Recuperado de: http://applied.math.utsa.edu/~salingar/
[9] Nikos, A. (2003). Principles of urbanstructure.Connecting the Fractal
City.Recuperado de: http://www.math.utsa.edu/sphere/salingar/connecting.html