1. El documento trata sobre conceptos básicos de matemática financiera e introducción a estadística. Explica conceptos como interés simple y compuesto, anualidades, amortizaciones, variables aleatorias y medidas estadísticas. 2. También cubre temas como riesgo en la evaluación de proyectos mediante distribución de probabilidad de VAN y TIR, y métodos de medición de rentabilidad bajo incertidumbre como árboles de decisión y análisis de sensibilidad. 3. Por último, aborda

1. I CONCEPTOS BASICOS DE MATEMATICA FINANCIERA
1.1 Interés Simple.- El capital que genera dicho interés
permanece constante a lo largo del tiempo que dura la
operación.
1.1.1. Capital final o valor futuro. El importe capitalizado
constituye la suma del capital inicial y el interés: S=P+I.
1.1.2. Capital inicial o valor presente. Es aquel que a una
tasa de interés dada alcanzará un monto igual a su valor
futuro igual a la fecha del vencimiento.
PS= 1
1+(ixn)
1.1.3. Tasa de interés.
S-1
n= P
n
1.1.4. Número de periodos que dura la
operación.
S-1
n= P
i
1.2 Interés compuesto. Es aquel que se adiciona al capital
inicial de forma tal que los intereses sucesivos se
computan sobre el nuevo monto capitalizado. Tener en
cuenta estos aspectos:
- Tasa de interés que puede ser, nominal o efectiva.
- El número de periodos de capitalización en el año (m).
1. Interés: previo a pagar por un - El número de periodos de capacitación (n).
capital prestado, es la diferencia
entre el capital y el monto final 1.2.1.Tasas utilizadas en el sistema financiero.
que se devuelve. Depende de:
a) Tasa nominal y tasa proporcional.
• La diferencia entre el - Se aplica directamente a operaciones de interés
capital prestado. simple.
• La tasa de interés simple. - Es susceptible de proporcionarse.
• El tiempo de la duración b) Tasa efectiva
de la operación. puede obtenerse a través de una tasa nominal
• El riesgo del negocio en capitalizable (n) veces del año.
donde se invierte el capital
prestado. i = 1+i n – 1
• Las variables de carácter n
económico, político y c) Tasas equivalente. Dos o mas tasas efectivas
social; que influye en el correspondientes a diferentes unidades de tiempo son
riesgo del negocio equivalente cuando producen la misma tasa efectiva
para un mismo periodo de tiempo.

2. d) Tasa real. Mide en que grado la inflación distorsiona
el valor nominal capitalizable (n) veces en el año.
R = (1 + i) - 1
(1*f)
e) Tasa efectiva en moneda nacional d una operación
extranjera. Se basa en la tasa efectiva en moneda
extranjera y la tasa de devaluación de la moneda
nacional.
iMN = (1+iME) (1+ td) - 15
1.2.2. Cálculo de valor final ó stock final de
efectivo.
S = Px (1 + i)n
1.2.3. Cálculo del capital inicial
P = S(1 + i)-n
1.2.4. Cálculo de la tasa de interés
i= S n/1 -1
P
1.2.5. Cálculo del número de periodos de
capitalización.
Ln S
n= P
Ln 1 + i
1.2.6. Cálculo de interés.
i=S–P
1.3 Relaciones equivalentes Esta propiedad puede
utilizarse tanto cuando se lleva un valor al futuro o
cuando se trae al presente .

3. 2.1 Clasificación de las anualidades.
2.1.1. Anualidades Ciertas. Cuyas
anticipaciones se conocen con anticipación .
2.1.2. Anualidades eventuales o contingentes. Son
aquellas cuyo fecha de inicio.
2.2 Anualidad perpetua.
2.2.1. Renta perpetua. Es una sucesión constante o
infinita de flujos de caja.
2.2.2. Renta perpetua creciente. El incremento
continuará indefinidamente.
2.3 Anualidades vencidas.
2. Anualidades: 2.3.1. Monto futuro de de una anualidad simple.
2.3.2. Valor presente de una anualidad simple.
Es un conjunto de dos o mas flujos de igual 2.3.3. Calculo del valor de las rentas en las
monto equidistantes en el tiempo. anualidades simples.
2.3.4. Cálculo de (n) en una anualidad.
2.4 Anualidades anticipadas.
- Monto o valor futuro de una anualidad simple
anticipada.
- Valor presente de una anualidad simple anticipada.
- Cálculo del valor de las rentas o imposiciones en las
anualidades simples anticipadas.
- Cálculo de (n) en una anualidad anticipada.
2.5 Anualidades diferidas.
- Valor futuro de anualidades diferidas.
- Valor presente de anualidades diferidas.
3.1 Tabla de reembolso de préstamo a servicios de una
deuda.
3. Amortizaciones. 3.2 Sistema de repago de préstamos.
Es un proceso financiero mediante el cual una
deuda u obligación y los interese, se paga - Cuota constante.
progresivamente, por medio e servicios parciales. - Amortización constante.
- Interés constante.

4. II CONCEPTOS DE ESTADISTICA
1.1 Población. Conjunto de unidades elementales que poseen unas
características en común que se desea estudiar.
1.2 Muestra. Subconjunto de unidades elementales.
1.3 Variables. Es la característica en estudio de una población o
1. Conceptos Básicos muestra.
1.4 Observación. Es un dato proporcionado por la unidad
elemental correspondiente a la variable de estudio.
1.5 Medidas Estadísticas. Son indicadores para describir, analizar
y resumir el comportamiento de una variable.
2.1 Organización de variables cualitativas.
- Frecuencia Absoluta.
2. Organización de datos - Frecuencia relativa.
2.2 Organización de variables cuantitativas.
- Variables cuantitativas discretas.
- Variables cuantitativas continuas.
3.1 Medidas de tendencia central.
- Medida aritmética simple.
- Medida aritmética ponderada.
- Medida geométrica.
- Mediana.
- Moda.
3.2 Medidas de posición no central. Determina en lugar que
3. Medidas descriptivas ocupan las observaciones en la recta real, cuando estas han
sido previamente ordenadas en forma creciente.
3.3 Medidas de variable o dispersión. Proporcionan información
sobre la posición de la dispersión.
- Rango.
- Varianza.
- Desviación estándar.
- Coeficiente de variabilidad.
3.4 Simetría y Asimetría.
4.1 Experimento aleatorio.
- Puede ser repetido bajo las mismas condiciones.
- Se puede describir el número de resultados posibles.
- Se puede establecer un modelo matemático asociado.
4.2 Espacio muestral.
- Finitos.
4. Teoría de la probabilidad - Infinitos.
4.3 Punto muestral o suceso. Al realizar un experimento
aleatorio se obtiene una muestra o suceso.
4.4 Evento. Es un sub conjunto del espacio muestral.
4.5 Probabilidad.
- Propiedades y teoremas básicos de probabilidad.
- Independencia de eventos.

5. 5.1 Tipos de variables.
5. Variables aleatorias - Variable aleatoria discreta.
unidimensionales. - Variable aleatoria continua.
5.2 Función de probabilidad. Depende del tipo de variable en
Es una función que asigna un estudio.
número real a cada elemento de - f(xi) = P(x = xi)
un espacio muestral. - f(x) = >= 0 para todo (x) real.
6.1 Esperanza matemática. Resuelve una de las
preocupaciones mas frecuentes que se tiene a cerca
de una variable aleatoria.
6.2 Varianza. Considera las desviaciones elevados al
cuadrado de los posibles valores de la variable
respecto a su esperanza matemática.
6. Medidas de tendencias y 6.3 Covarianza. Sirve para determinar la existencia y el
dispersión de las variables tipo de relación directa o inversa, entre dos variables.
aleatorias. 6.4 Coeficiente de correlación. Es una medida estadística
que mide el grado de correlación o de asociación
entre dos variables.
6.5 Propiedades de las medidas de tendencia.
- E(a) = a
- E(ax) = aE(x)
- Var(a) = 0
- Var(ax) = a2 Var(x) a2O2

6. IX RIESGO DE EVALUACION DE PROYECTOS
Causas de riesgo.
1. El riesgo y la incertidumbre - No existe un número suficiente de inversiones
Cuando no se tiene certeza sobre los similares para poder promediar los resultados.
valores que tomarán los flujos netos - Un cambio en el ambiente económico externo
futuros de una inversión. El riesgo se que invalide experiencias anteriores.
presenta cuando una variable puede - Error en el análisis como en el de las tendencias
tomar distintas variables. en los datos y en su validación que indican al
evaluador a favorecer escenarios optimistas o
pesimistas.
- La liquidez de los activos de la inversión.
2. La medición del riesgo es un - La obsolescencia.
proyecto.
Cuando el factor riesgo está presente 3.1 Distribución del VAN. Para conocer el
en la evaluación de un proyecto uno movimiento pro balístico de VAN podemos aplicar
de los objetivos que interesa alcanzar el teorema del límite central, el cual afirma que una
es maximizar la esperanza de VAN o combinación lineal de variables aleatorias tiene una
la TIR. distribución normal cuando el número de variables
tiende a infinito.
3.1.1 La probabilidad de que el VAN sea mayor a
un valor dado.
Para determinar si el VAN sea >;< ó = a un valor
dado (VAN)que estandariza la variable aleatoria
VAN.
Z0 = VAN0 - E VAN
0 (VAN)
3. Distribución de probabilidad
de VAN y la TIR. 3.1.2 Intervalos de confianza. Se constituye un
intervalo centrado sobre la media de la variable
dado un determinado nivel de confianza.
RIESGO EN LA 3.2Distibución del TIR. Para el caso de proyectos
EVALUACION DE comunes de inversión el VAN es una función
PROYECTOS decreciente respecto al COK. Es decir, mientras
mayor sea el COK, menor será el VAN. El intervalo
de confianza para la distribución de la TIR es (con
un nivel de confianza del 95%)
- Límite superior de intervalo
E(TIR) + 1.96 * o(TIR)= 34.5% +1.96 * 13.99%
=61.57%
- Límite inferior de intervalo.
E(TIR)-1.96* o (TIR) = 34.15% -1.96 *13.99%
=6.76%

7. 4.1 Método de ajuste de la tas de descuento.
Una forma de incorporar el riesgo en el análisis de
proyectos es ajustar la tasa de descuento. El COK es la
4. Métodos de medición de la tasa de rentabilidad de la mejor alternativa especulativa
de inversión de igual riesgo.
rentabilidad de una inversión bajo
4.2 Método del equivalente a la incertidumbre.
situaciones riesgosas. Un método alternativo para incorporar el riesgo en el
análisis de proyectos de inversión es ajustar los flujos
de caja en función del riesgo involucrado.
Xt = FCt Cierto
FCt Incierto
5.1 Árboles de Decisión Permite representar y analizar
decisiones secuenciales a lo largo del periodo
considerado permite descomponer un problema grande
y difícil de evaluar en varios problemas pequeños y de
fácil comprensión.
5.1.1 Árb. de decisión determinístico ya que los
resultados de cada nada son absolutamente ciertos y no
hay ningún factor aleatorio en ellos.
5.1.2 Árb. De decisión con resultados probalísticos Es
necesario incorporar los riesgos a las decisiones
secundarias.
5.1.3 Con probabilidades condicionales. Establece que la
probabilidad de que ocurra un evento “A” si “B” ya
ocurrió es igual a la probabilidad de que ocurran A y B
juntos dividida entre la probabilidad de que ocurra B.
5.2 Análisis de la sensibilidad se trata de medir la
sensibilidad de la rentabilidad calculada ante posibles
variaciones de los factores que definen un proyecto de
inversión.
5. Métodos de análisis de 5.2.1 Análisis de la sensibilidad cuando se desconocen
rentabilidad ajo situaciones de las probabilidades de ocurrencia y los rangos de
incertidumbre. variación. Es unidimensional y pretende identificar el
valor límite de la variable analizada.
a) Análisis de sensibilidad de VAN.
b) Análisis de sensibilidad utilizando el TIR como
criterio.
5.2.2 análisis de necesidad ante cambios porcentuales
esperados para las variables de interés. Se busco
conocer como varia el VAN y la TIR tanto cambios
porcentuales en determinadas variables de interés.
- variación de la inversión.
- Variación del flujo de caja.
- Variación del COK.
5.2.3 Análisis de sensibilidad cuando se conoce la
distribución de probabilidad de las variables
5.3 Método simulador de Monte Carlo. Se puede definir
como un método de ensayos estadísticos por ser una
técnica de simulación de situaciones.

8. X OPITIMIZACIÓN
1.1 Momento óptimo de iniciar un proyecto con flujos de
caja crecientes, independientes de inicio del proyecto y
con vida útil infinita.
Es útil empezar identificando el VAN de iniciar en el año
“0” y compararlo con lo correspondiente al año 1.
1. Inicio Optimo: Se buscara iniciar el 1.2 Momento óptimo de iniciar un proyecto con flujos
proyecto en el momento ñeque el VAN de caja creciente independiente del inicio del proyecto y
sea máximo. Esta postergación tendrá con vida útil finita.
sentido si en VAN del beneficio de El negocio dura un número determinado de años se
postergar es > que el valor actual de deberá analizar los costos.
los costos a los que dicha decisión
conduce. 1.3 Momento óptimo de iniciar un proyecto con flujos de
caja crecientes, dependientes del inicio del proyecto y con
Reglas de Decisión: vida útil finita.
Se observará una modificación en los beneficios netos
- Flujo de caja del proyecto. que se reciben cada año motivada por la postergación.
- La inversión.
- Vida útil. 1.4 Momento óptimo de iniciar un proyecto con flujos de
caja creciente, independientes del inicio del proyecto y
con vida útil infinita.
Es posible enfrentar proyectos en los que la inversión
dura mas que un periodo.
2.1 El inversionista quiere maximizar su rentabilidad del
negocio.
Tiene como objeto maximizar su rentabilidad buscando
2. Fin óptimo: la oportunidad de inversión que lo redil... mas en el
Se utiliza un análisis. mercado.
Beneficio - costo de alargar.
2.2 El inversionista quiere maximizar la rentabilidad del
negocio
Se trata de una persona a quien le interesa permanecer
en la línea de inversión.
La rentabilidad de un negocio puede depender de la
3. Tamaño óptimo: escala de inversión del proyecto, es importante averiguar
cuales el tamaño óptimo de inversión de manera que se
obtenga la mayor rentabilidad posible.

9. XI COSTO DE OPORTUNIDAD DEL CAPITAL (COK)
1.1 Estabilidad del COK a través del tiempo.
Para obtener la rentabilidad global de dicho
proyecto se deberían descontar diferentes flujos
de caja con distintos COK.
Errores:
- Suele utilizar una única COK para toda la
vida útil del proyecto.
1. Problemas de determinación del - Algunas veces se pretende castigar los flujos
COK. El COK no necesariamente mas alejados en el tiempo.
a) el costo de capital
permanece constante durante la vida
propio: 1.2 diferencias entre el COK propio y del COK
por un proyecto.
Es aquel que sólo prestado. El valor que tome el COK dependerá
incorpora el costo en el de diversos factores, entre ellos.
que incurre el - Proporción entre el capital propio y el
inversionista por dejar de préstamo.
invertir en proyectos - El costo del capital propio.
alternativos para iniciar - El costo del capital prestado.
un nuevo proyecto. - El riesgo del proyecto en el cual se desea
invertir.
- La variabilidad de las tasas a largo plazo.
2.1 Limitaciones.
a) El método supone que la estructura entre el
2. Costo ponderado de l Capital. capital propio y deuda se mantiene constante
b) El costo del capital
Al utilizar este método se obtiene una a los largo de la vida útil del proyecto.
prestado:
tasa intermedia que resulte de ponderar b) A medida que se cancele la deuda adquirida
Es el interés que tiene que el ratio deuda – capital disminuye, con lo cual
las tasas del costo del capital propio y
pagar el inversionista por el proyecto se hace cada vez menos riesgoso
del capital prestado según la
el capital al que para el inversionista.
participación de cada uno en el capital
comúnmente tiene acceso
total requerido para el proyecto.
o al que potencialmente 3.1 Definición del modelo. Se basa en el
puede recurrir. supuesto que la rentabilidad de cada inversión
3. Método de fijación de precios de esta en función de una tasa libre de riesgo
activos de capital (CAMP) mas una prima que compensa al inversionista
por el riesgo que involucra tal inversión.
Brinda una solución a esta limitación
E(rs) = rf + P
y su principal atracción radica en que
nos proporciona una vía flexible sobre
4.1 Costo del capital prestado. Se debe aplicar
la rentabilidad exigida en una cuando la tas de las oportunidades de
inversión con riesgo. inversión promedio de un inversionista es
menor que el costo del capital prestado.
4.2 Racionamiento del capital. Consiste en hacer
un ranking de los proyectos en orden
4. Métodos de estimación decreciente de rentabilidad.
4.3 Participación de las utilidades en el capital
propio. Una manera aproximada de obtener el
COK de una organización es dividiendo las
utilidades después de impuestos de un
determinado periodo.