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Que son los conjuntos numéricos

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Que son los conjuntos numéricos Document Transcript

  • 1. Videos de matematicas # 1 QUE SON LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS N=0,1,2,3,4,5,6,7,8,….. Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.[cita requerida] Sus características estructurales más importantes son: 1. Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable 2. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden legar a estarlo) 3. Admiten relación de orden 4. Admiten relación de equivalencia 5. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta). 6. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja. 7. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a Los Conjuntos Numéricos son colecciones, agrupaciones o grupos de números con características comunes que los definen como una clase, entre los más comunes están Los Números Naturales, Los Enteros, Los Racionales, Los Irracionales y Los Reales. Los sistemas numéricos son conjuntos de números con unas operaciones y unas relaciones definidas sobre ellos. Por ejemplo el sistema más usual en
  • 2. aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo. El primer conjunto numérico que la humanidad manejó independiente de la cultura fueron los números naturales. Notados por los matemáticos: N = {1,2,3,4,5,......} CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números naturales Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). El conjunto de los números naturales está formado por: N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural. La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo. 5 − 3 3 − 5 El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta. 6 : 2
  • 3. 2 : 6 Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta. Los números enteros Los números enteros son del tipo: = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc. La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero. El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta. 6 : 2 2 : 6 Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural. La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.
  • 4. Los números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no. La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional. Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero. La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo. Los números irracionales Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. = 3.141592653589... Otros números irracionales son:
  • 5. El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. e = 2.718281828459... El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras. Números reales El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .
  • 6. Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero. La recta real A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
  • 7. Números imaginarios Un número imaginario se denota por bi, donde : b es un número real i es la unidad imaginaria: Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo. x2 + 9 = 0 Números complejos Un número complejo en forma binómica es a + bi. El número a es la parte real del número complejo. El número b es la parte imaginaria del número complejo. Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a. Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro. El conjunto de los números complejos se designa por .
  • 8. QUE SON LOS NUEMEROS ENTEROS -3-2-1-0.1.2.3.4 Numeros Enteros ¿Que son los Numeros Enteros? Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = ,…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…- Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…). Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir: • si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; • si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5. El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
  • 9. Suma de Numeros Enteros Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: • Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos: • 7 + 11 = 18 • -7 - 11 = -18 • Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor: • 7 + (-5) = 7 - 5 = 2 • -7 + 5 = - (7 - 5) = -2 • 14 + (-14) = 0 La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a + b = b + a Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0 Multiplicacion de Numeros Enteros Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo: + · + = + + · - = - - · + = - - · - = + La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:
  • 10. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) Conmutativa: a · b = b · a Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a · 1 = a Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a · (b + c) = a · b + a · c Resta de Numeros Enteros Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b) Por ejemplo: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 -2 - 5 = (-2) + (-5) = -7 NUMEROS RACIONALES Los números racionales de supueden llamar a /b numerador y denominador Porque se pueden escribir en forma de decimal o periodica Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.
  • 11. Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener. Definición de números racionales Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción. Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador. Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra Q, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números Q. Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son: Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125. Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas. A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de
  • 12. la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363… Propiedades de los números racionales Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son: Entre las propiedades de la suma y resta están: Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara. ab+cd=ef Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos: (ab+cd)−ef=ab+(cd−ef) Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera: ab+cd=cd+ab Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional. ab+0=ab Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero. ab−ab=0
  • 13. Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son: Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional. ab×cd=ef Esta además aplica con la división ab÷cd=ef Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto. (ab×cd)×ef=ab×(cd×ef) Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona. ab×cd=cd×ab Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo: ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número. ab×1=ab ab÷1=ab
  • 14. Ejemplos de números racionales Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo 57 Aunque también podría ser expresado de esta manera: 5/7 Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo: 3=31 Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta: 155=3 También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo: −6=−61 0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así: 2499 Racionales equivalentes ½ 4/8
  • 15. Números irracionales Es el pi 3.1416 Se caracterizan porque son decimales infinitos no periódicos Números reales Repaso de Álgebra Interactivo (Se puede encontrar esta tema en Sección 0.1 del libros Applied Calculus y Finite Mathematics). 0.1 Números reales Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son √ 2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045 . . . Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí. Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estrá a la derecha del punto que corresponde a a.
  • 16. Intervalos Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados intervalos, se encunetra frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta para representarlos. Notación de intervalo La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos. Intervalo Descripción Dibujo Ejemplo Cerrado [a, b] Conjunto de números x tales que a ≤ x ≤ b (incluye puntos extremos) [0, 10] Abierto (a, b) Conjunto de números x tales que a < x < b (excluye puntos extremos) (-1, 5) Semiabierto (a, b] Conjunto de números x tales que a < x ≤ b (-3, 1] [a, b) Conjunto de números x tales que a ≤ x < b [-4, -1) Infinito *a, +∞) Conjunto de números x tales que a ≤ x *0, +∞) (a, +∞) Conjunto de números x tales que a < x (-3, +∞) (-∞, b+ Conjunto de números x tales que (-∞, 0+
  • 17. x ≤ b (-∞, b) Conjunto de números x tales que x < b (-∞, 8) (-∞, +∞) Conjunto de todos números reales (-∞, +∞) Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos. Intervalos abiertos no tienen pntos extremos, y cada intervalo semiabierto tiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo. CONC URSO P1 2 es no es un elemento de (-5, 2) AYUDA P2 -5 es no es un elemento de [-5, 2) AYUDA P3 1 es no es el número más grande en (-5, 2) AYUDA P4 [0, +∞) es no es el conjunto de todos los números positivos AYUDA P5 (-∞, 0) es no es el conjunto de todos los números negativos AYUDA P5 0 y 2 son no son los puntos extremos de [0, 2) AYUDA
  • 18. Operaciones Las cinco operaciones más común del conjunto de números reales son: adici ón subtract ion multiplica ción divisi on exponenci ación "Exponenciación" quiere decir elevar un número a un potencia; por ejemplo, 23 = 2. 2. 2 = 8. Cuando escribimos una expreción conteniendo dos o más que dos de las expreciones, por ejemplo 2(3 - 5) + 4 . 5, o 2 . 32 - 5 4 - (-1) , estamos de acuerdo en usar las siguientes reglas para decidir el orden en que hacemos los operacionces: El orden estándar de operaciones 1. Paréntesis y rayas de quebrado Se calcula primero los valores de todas las expreciones entre paréntesis o corchetes (usando el orden estándar de operaciones) avancando de los paréntesis interiores hacía los exteriores, antes de usarlos en otras operaciones. En una fración se calcula por seperado el numerador y el denominador antes de hacer la división. 2. Exponentes A continuación, se eleva todos los números a las potencias indicadas. 3. Multiplicación y división Después, se hace todas las multiplicaciones y divisiones, avancando de izquierda a derecha. 4. Suma y resta
  • 19. Por último, se hace las sumas y restas de izquierda a derecha. Notas sobre tecnología La majoría de las calculadores y hojas de cálcula usan un asterisco * para multilpicación y un virgula ^ para exponenciación. Por ejemplo se ingresa, 3×5 como 3*5, 3x como 3*x, y 32 se ingresa como 3^2. Se usa siempre paréntesis ( ) y nunca parénteses cuadrados [ ], ni corchetes { } para expreciones algebraicas, pues tienen otros significados los últimos. Por ejemplo, se ingresaría 2[(4 + 3)/2] como 2*((4+3)/2) CONC URSO P1 Una válido primer paso en la calculación de (23 - 4) . 5 es A (6 - 4) . 5 B (8 - 4) . 5 C 23 - 20 AYUDA P2 Por tanto, la calculación completo es (23 - 4) . 5 = A 20 B -12 C 36 D 42 AYUDA P3 La cantidad 2/32 -5 es no es igual a 2 32 - 5 AYUDA P4 La cantidad 3*2/3+1 es no es igual a (3*(2/3))+1 . AYUDA P5 La cantidad 4(1 - 4)2 -9(5 - 3)2 is igual a P6 La cantidad 2 3 2 is igual a
  • 20. 4 - 5 P7 Si x = 2, entonces 2*(1+0.1)^2*x is igual a P8 Si x = 2, entonces (2-6/4-2)^x is igual a Captura de Formulas Toda buena calculadora o hoja de cálculo respeta el orden estándar de las operaciones. Sin embargo debemos tener cuidado con división y multiplicación y tenemos frecuentemente que usar paréntesis. La siguiente tabla mustra algunos ejemplos de expresiones matemáticas sencillas y sus formas equivalentes en el formato que se usa en el mayor parte de calculadoras gráficadoras, lenguajes de computadora, y hojas de cálcula. Incluya también algunas que tienen que hacer usted. Expresión matemática Formula para tecnología Comentarios 2 3 - 5 2/(3-5) Nótese el uso de paréntesis en lugar de la raya de quebrado. Si lo omitimos, obtenemos la expreción siguiente. 2 3 - 5 2 - x 3 + x 2 × 5 (2/3)*5 Metiendo primero la fracción entre paréntesis se segura que está calculada primero.
  • 21. 3 2 3x - 5 2x + y 1 + xy 2 3 x y 23x - 2 2^(3*x) - 2 La virgula "^" se seule usar para indicar exponenciación. El par de paréntesis es necesario para contar a la computadora donde impieza y termina el exponente. 23-2 5 2-7 2^(3-2)*5/(2-7) or (2^(3-2)*5)/(2-7) Nótese otra vez el uso de paréntesis para mantener unido el denominador. podríamos encerrar el numerador en paréntesis, pero es opcional (¿porqué?). 3 8 23x-4 e2x - 1
  • 22. 2+e2x-1 Nota sobre acuracio Es importante recordar lo siguiente: Una calculación jamás puede darse una respuesta más exacta que los números con los que empezó. Por regla general, si tenga números para medir algo en el mundo real (tiempo, largo, populación, por ejemplo) y éstos números son exactas hasta un cierto número de digitos, entonces cualquier calculación que se hace con esos números puede ser, en el mejor caso, exacta solo a aquel número de digitos. Por ejemplo, si alguna persona le diga que un cierto rectángulo tiene un largo de 2.2 pie y un alto de 4.3 pie, entonces puede decir que su área is (aproximadamente) 9.5 pies cuadrados. Aúnque una calculadora dirá que la respuesta es 9.46, el tercer digito es probablemente sin sentido. Ahora preuba algunos ejercicios en Sección 0.1 del libra Applied Calculus o Finite Mathematics and Applied Calculus O Bien, pulse "Tutorial siguiente" a la izquierda para irse al proximo tópico.