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FUNDAMENTOS DE MÁTEMATICA FUNDAMENTOS DE MÁTEMATICA LOS NÚMEROS REALES
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS Los  Números naturales  ( N )  son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....  Los  Números enteros (Z)   son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,.... Los  Números fraccionarios (a/b)   donde a no es múltiplo de b Decimales exactos: a,bc Decimales periódicos puros: a,bcbcbc..... Decimales periódicos mixtos: a,bcccc.... Los  Números racionales (Q)   : incluyen los enteros y los fraccionarios Los  Números irracionales (I)   : son aquellos que no son racionales: Decimales no periódicos  1.1 – Clasificación de los números reales
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 1.1 – Clasificación de los números reales
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL Se efectúa la división: 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN Números decimales exactos 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero Simplificar la fracción, si es posible Despejar N 100N = 238
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Números decimales periódicos puros 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa N = 2,383838... 100N = 238,3838... Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo Restarlos Simplificar la fracción, si es posible Despejar N 99N = 236
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Números decimales periódicos mixtos 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa N = 2,3888... 10N = 23,888... Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con el mismo periodo. Simplificar la fracción, si es posible Despejar N 90N = 215 100N = 238,888... Restarlos
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS SIGNIFICATIVAS 1.3 – Números aproximados Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas. Se llaman  cifras significativas   a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste. Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras significativas recurrimos  al redondeo , si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO 1.3 – Números aproximados Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error. El  Error Absoluto   es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición Llamamos  cotas de los errores   a cantidades mayores o iguales que los errores con menor o igual número de cifras significativas. Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición| El  Error Relativo   es el cociente entre el error absoluto y el valor real
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4.1 – DEFINICIÓN 1.4 – Notación científica Un número puesto en notación científica consta de: Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades). El resto de cifras significativas puestas como parte decimal. Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número . Si n es positivo, el número N es “grande”. Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.4 – Notación científica Sumas y restas :  Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro). Potencias :  Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10, teniendo en cuenta las reglas de las potencias: Productos y cocientes :  Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.4 – Notación científica Parte entera - Notación científica con 3 cifras significativas: MODE + 8 + 3 - Quitar la notación científica MODE + 9 Parte decimal Exponente de  base 10
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD 1.4 – Notación científica Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños), existen algunos prefijos: Giga  Nano Mega  Micro Kilo Mili Hecto Centi Deca Deci
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Los números no racionales se llaman  irracionales  y son aquellos que no se pueden poner como cociente de dos números enteros: 1.5 – Números no racionales En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números irracionales.
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de  números reales  y se designa por R 1.6 – Los números reales Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos  recta real . 1.6.1 - DEFINICIÓN 1.6.2 – LA RECTA REAL
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS 1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS 2   2,69 0 +1 +3 +2 +4 +6 – 5  +5 – 4  – 3  – 2  – 1  – 6  0 1 3 2 4 6 – 5  5 – 4  – 3  – 2  – 1  – 6  2,5 2,6 2,8 2,7 2,9 3 2,1   2,2   2,3   2,4   2,65 2,66 2,68 2,67 2,7 2,61   2,62   2,63   2,64   2,6
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS Se divide cada unidad en tantas partes como tenga el denominador y se toman tantas como tenga el numerador. O U 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS Se utiliza el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa es lo que queremos dibujar.
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS 0 1 3 2 4 6 – 5  5 – 4  – 3  – 2  – 1  – 6  2,5 2,6 2,8 2,7 2,9 3 2,1   2,2   2,3   2,4   2 2,65 2,66 2,68 2,67 2,69 2,7 2,61   2,62   2,63   2,64   2,6
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS 1.8 – Intervalos y semirrectas Intervalo abierto:   (a, b) = {x  R / a < x < b} a b Intervalo cerrado:   [a, b] = {x  R / a    x    b} a b Números comprendidos entre a y b Números comprendidos entre a y b, incluidos a y b
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS 1.8 – Intervalos y semirrectas [a, b) = {x  R / a    x < b} a b ( a, b] = {x  R / a < x    b} a b Números comprendidos entre a y b, incluido a Números comprendidos entre a y b, incluido b
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8.3 – SEMIRRECTAS 1.8 – Intervalos y semirrectas (  , a) = {x  R / x < a}  Números menores que a a ( a,   ) = {x  R / a < x}  Números mayores que a a (  , a] = {x  R / x    a}  Números menores o iguales que a a [ a,   ) = {x  R / a    x}  Números mayores o iguales que a a
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8.4 – Entornos 1.8 – Entornos E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r) :  Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a) E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a} :  Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r) a-r a+r a a-r a+r a a-r a a+r
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.9.1 – DEFINICIÓN:  El valor absoluto de un número real, a, es el propio número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo. 1.9 – Valor absoluto de un número real 1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:  Se iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS 1.10 – Potencias
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.11.1 – DEFINICIÓN 1.11 – Raíces  1.11.2 – PECULIARIDADES 1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES n a b b =   = a radical radicando Índice n
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA 1.11 – Raíces
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES 1.12 – Propiedades y operaciones con raíces Suma o diferencia de radicales :  Tienen que ser los radicales iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas) Producto o cociente de radicales :  Tienen que tener el mismo índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común) Racionalizar  :  Quitar las raíces del denominador Si no hay sumas: Multiplicar  y dividir por la raíz adecuada, para que se vaya la raíz del denominador. Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO 1.13 – Logaritmos Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama  logaritmo en base a de P , al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. 1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS 1.13 – Logaritmos Logaritmo decimal   o en base 10 : Logaritmo neperiano   o en base e :

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Numeros Reales

  • 1. FUNDAMENTOS DE MÁTEMATICA FUNDAMENTOS DE MÁTEMATICA LOS NÚMEROS REALES
  • 2. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS Los Números naturales ( N ) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,.... Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,.... Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b Decimales exactos: a,bc Decimales periódicos puros: a,bcbcbc..... Decimales periódicos mixtos: a,bcccc.... Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales no periódicos 1.1 – Clasificación de los números reales
  • 3. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 1.1 – Clasificación de los números reales
  • 4. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL Se efectúa la división: 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
  • 5. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN Números decimales exactos 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero Simplificar la fracción, si es posible Despejar N 100N = 238
  • 6. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Números decimales periódicos puros 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa N = 2,383838... 100N = 238,3838... Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo Restarlos Simplificar la fracción, si es posible Despejar N 99N = 236
  • 7. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Números decimales periódicos mixtos 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa N = 2,3888... 10N = 23,888... Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con el mismo periodo. Simplificar la fracción, si es posible Despejar N 90N = 215 100N = 238,888... Restarlos
  • 8. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS SIGNIFICATIVAS 1.3 – Números aproximados Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas. Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste. Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras significativas recurrimos al redondeo , si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.
  • 9. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO 1.3 – Números aproximados Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error. El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los errores con menor o igual número de cifras significativas. Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición| El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real
  • 10. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4.1 – DEFINICIÓN 1.4 – Notación científica Un número puesto en notación científica consta de: Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades). El resto de cifras significativas puestas como parte decimal. Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número . Si n es positivo, el número N es “grande”. Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
  • 11. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.4 – Notación científica Sumas y restas : Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro). Potencias : Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10, teniendo en cuenta las reglas de las potencias: Productos y cocientes : Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
  • 12. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.4 – Notación científica Parte entera - Notación científica con 3 cifras significativas: MODE + 8 + 3 - Quitar la notación científica MODE + 9 Parte decimal Exponente de base 10
  • 13. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD 1.4 – Notación científica Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños), existen algunos prefijos: Giga Nano Mega Micro Kilo Mili Hecto Centi Deca Deci
  • 14. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se pueden poner como cociente de dos números enteros: 1.5 – Números no racionales En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números irracionales.
  • 15. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de números reales y se designa por R 1.6 – Los números reales Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real . 1.6.1 - DEFINICIÓN 1.6.2 – LA RECTA REAL
  • 16. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS 1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS 2 2,69 0 +1 +3 +2 +4 +6 – 5 +5 – 4 – 3 – 2 – 1 – 6 0 1 3 2 4 6 – 5 5 – 4 – 3 – 2 – 1 – 6 2,5 2,6 2,8 2,7 2,9 3 2,1 2,2 2,3 2,4 2,65 2,66 2,68 2,67 2,7 2,61 2,62 2,63 2,64 2,6
  • 17. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS Se divide cada unidad en tantas partes como tenga el denominador y se toman tantas como tenga el numerador. O U 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5
  • 18. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS Se utiliza el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa es lo que queremos dibujar.
  • 19. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real 1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS 0 1 3 2 4 6 – 5 5 – 4 – 3 – 2 – 1 – 6 2,5 2,6 2,8 2,7 2,9 3 2,1 2,2 2,3 2,4 2 2,65 2,66 2,68 2,67 2,69 2,7 2,61 2,62 2,63 2,64 2,6
  • 20. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS 1.8 – Intervalos y semirrectas Intervalo abierto: (a, b) = {x  R / a < x < b} a b Intervalo cerrado: [a, b] = {x  R / a  x  b} a b Números comprendidos entre a y b Números comprendidos entre a y b, incluidos a y b
  • 21. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS 1.8 – Intervalos y semirrectas [a, b) = {x  R / a  x < b} a b ( a, b] = {x  R / a < x  b} a b Números comprendidos entre a y b, incluido a Números comprendidos entre a y b, incluido b
  • 22. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8.3 – SEMIRRECTAS 1.8 – Intervalos y semirrectas (  , a) = {x  R / x < a} Números menores que a a ( a,  ) = {x  R / a < x} Números mayores que a a (  , a] = {x  R / x  a} Números menores o iguales que a a [ a,  ) = {x  R / a  x} Números mayores o iguales que a a
  • 23. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8.4 – Entornos 1.8 – Entornos E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r) : Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a) E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a} : Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r) a-r a+r a a-r a+r a a-r a a+r
  • 24. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo. 1.9 – Valor absoluto de un número real 1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
  • 25. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS 1.10 – Potencias
  • 26. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.11.1 – DEFINICIÓN 1.11 – Raíces 1.11.2 – PECULIARIDADES 1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES n a b b =  = a radical radicando Índice n
  • 27. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA 1.11 – Raíces
  • 28. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
  • 29. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES 1.12 – Propiedades y operaciones con raíces Suma o diferencia de radicales : Tienen que ser los radicales iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas) Producto o cociente de radicales : Tienen que tener el mismo índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común) Racionalizar : Quitar las raíces del denominador Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para que se vaya la raíz del denominador. Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.
  • 30. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO 1.13 – Logaritmos Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P , al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. 1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
  • 31. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS 1.13 – Logaritmos Logaritmo decimal o en base 10 : Logaritmo neperiano o en base e :