1. En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a
los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a losnúmeros
irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera
fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas
simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de
matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo
matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una
base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el
formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite»,
«se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y
problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa
para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque
ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se
describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de
equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de
Dedekind.

2. Número racional
Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).
En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como
el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 )
es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El
término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números
racionales se denota por Q (o bien , en Blackboardbold) que deriva de «cociente»
(Quotienten varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números
enteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o
bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal),
también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente,
todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es
un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de
los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a
una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional
a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son
una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de
equivalencia sobre .
Número entero
Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números
naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2,
−1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres»,
etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la
diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante
de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es
positivo.

3. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0,
+1, +2, +3, ...}, que proviene del alemánZahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:
−783 y 154 son números enteros
45,23 y −34/95 no son números enteros
Al igual que los números naturales, los números enteros
pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin
embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas.
Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de
primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron
a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también
puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por
debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el
contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir,
su altura se puede expresar como −423 m.
Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural cuando
el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, sólo
pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en
rojo).
Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3−5=?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede
realizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números
negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000
pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $
1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice
que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada
caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron

4. mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden
expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer
caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 −
2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.
Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan
para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números
negativos:
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2,
3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3,
etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un
signo más («+») delante y se les llama números positivos.
Un número entero positivo es un número natural como 1, 2,
3,... precedido de un signo más. «+».
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin
signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda
esta colección de números son los llamados «enteros».
Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo
(positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también
escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :
La recta numérica
Artículo principal: Recta numérica.
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que
el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños
cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A
este número se le llama el valor absoluto:

5. El valor absoluto de un número entero es el número natural
que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es
simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «| |».
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
El orden de los números enteros se define como:
 Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor
que el positivo: −b < +a.
 Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números
es:
 El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
 El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
 El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que
puede hacerse con los números naturales.
Suma
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor
absoluto del resultado.
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el
tamaño del círculo y su color.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del
resultado del siguiente modo:

6.  Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del
resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los
sumandos.
 Si ambos sumandos tienen distinto signo:
 El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
 El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto
y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) +
(−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de
números naturales:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
 Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b)
+ c y a + (b + c) son iguales.
 Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las
sumas a + b y b + a son iguales.
 Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al
sumarles 0: a + 0 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8

7. Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no
tienen los números naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a,
existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a +
(−a) = 0.
[editar]Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular
de la suma.
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se
realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.
Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4)
− (−8) = (−4) + (+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
[editar]Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar
por separado el signo y valor absoluto del resultado.
En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el
signo del resultado de la siguiente manera:
 El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
 El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
Regla de los signos
 (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.
 (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.
 (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.
 (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) =
+18.

8. La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la
de números naturales:
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
 Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos
(a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
 Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los
productos a × b y b × a son iguales.
 Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al
multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los
números naturales, por la propiedad distributiva:
Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el
producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son
idénticos.
Ejemplo.
 (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
 [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
[editar]Propiedades algebraicas
Artículo principal: Propiedades de los números enteros.
El conjunto de los números enteros, considerado junto con
sus operaciones de suma y producto, tiene una estructura que en matemáticas se
denomina anillo.

9. Más allá de su estructura algebraica, el conjunto de los números enteros tiene
una relación de orden.
Los números enteros pueden además construirse a partir de los números
naturales mediante clases de equivalencia.
Número natural
Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas,
tres manzanas, …).
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los
elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que
utilizó el ser humano para la enumeración
Convenios de notación
Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede
considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos.
Dependiendo del autor, el conjunto de los números naturales puede presentarse
entonces de dos maneras distintas:
 Definición sin el cero:
 Definición con el cero:
donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".
Ambas presentaciones son utilizadas en distintas áreas de las matemáticas.
Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en
el siglo XII con la invasión musulmana de la Península Ibérica,1 pero no se
consideraba un número natural.2

10. Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se
incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención
prevalece en dicha disciplina,3 y otras, como la teoría de la computación.4 En
particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.4 Sin embargo, en la
actualidad ambos convenios conviven.5
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por
ejemplo, incluyendo el cero en los naturales, a los números naturales sin el cero,
o enteros positivos se les denota como:
6
Número primo
Este artículo trata sobre primos en los números enteros. Para la generalización
a anillos, véase elemento primo y elemento irreducible.
La distribución de los números primos (línea azul) hasta el 400
En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene
únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos se
contraponen asía los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor
natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni
primo ni compuesto.
Los números primos menores que cien son los
siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,61, 67, 71, 7
3, 79, 83, 89 y 97.1
La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número
primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es
el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números
primos por .
El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números,
la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números enteros.
Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales
como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los
números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si
se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos

11. aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes
bien definidas.
Teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene
una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un
mismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces
como un producto vacío.
Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se
construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número
23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244
como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los
factores.
La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del
conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el
enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.
A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros
conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo,
el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así,
 El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos
comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en
factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su
máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y
12=22·3 es 60=22·3·5.
 El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores
comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su
mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12
es 2.
 Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen
ningún factor primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un
número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea
múltiplo de él mismo.
Otras propiedades
 En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5
acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos
los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que
es coprima con la base.
 De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la
forma 4n + 1 o bien 4n - 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y
el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.

12.  Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números
enteros ab, entonces p es divisor de a o de b.
 Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural
diferente de 1, entonces ap - a es divisible por p.
 Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su
representación decimal, de periodo p − 1 o un divisor de p − 1. Esto se puede
deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en
base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no
sea un factor primo de q.
 Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo
si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n. Asimismo, un número natural n > 4
es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible porn.
 La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.
 Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pn es la mayor
potencia de p que divide el orden de G. Entonces, existe un subgrupo de G de
orden pn.
 Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide
al orden de G, entonces G contiene un elemento de orden p.
 La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida
por concatenación de los números primos en el sistema decimal, es un número
irracional.
 El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da
como una continuación meromorfa de una función definida por un producto
sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:
En la región donde es convergente, este producto indexado por los números
primos se puede calcular, obteniéndose diversos valores, algunos de ellos
importantes en teoría de números. Los dos primeros son:
(Correspondiente a la serie armónica, relacionado con
la infinitud de números primos).
(Correspondiente al problema de Basilea).
En general es un número racional cuando n es un número entero
positivo par.

13.  El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo
si y solo si υ(p) = p − 1.
 Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es
primo.
 Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la
primera especie Tn(x), dividido entre x, es irreducible en . Además, Tn(x) ≡
n
x si y sólo si n es primo.
Números primos y funciones aritméticas
Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre
un conjunto de números naturales, desempeñan un papel crucial en la teoría de
números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son aquellas
funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene
.
Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función υ de Euler, que a
cada n asocia el número de enteros positivos menores y coprimos con n, y las
funciones τ y σ, que a cada nasocian respectivamente el número de divisores
de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de
números primos es
,
,
.
Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse
fácilmente a partir del valor que toman en las potencias de números primos. De
hecho, dado un número naturaln de factorización
se tiene que
con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las
potencias de los números primos que dividen n, valores que son generalmente
más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, para conocer
el valor de la función υ sobre n=450=2·32·52 basta con calcular
.
Características del conjunto de los números primos
Infinitud de los números primos
Véase también: Infinitud de los números primos.

14. Existen infinitos números primos. Euclides realizó la
primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX de su
obra Elementos16 Una adaptación común de esta demostración original sigue así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se
considera el producto de todos ellos más uno, .
Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la
lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un
número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es
compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es
alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la
diferencia , pero ningún número primo divide a 1,
es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto
original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya
que existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del
conjunto finito que se tome.
Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.
Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos,
entonces , donde pn# es lo que se
llama primorial de pn. Un número primo de la forma pn# +1 se denomina número
primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puede elaborar una
demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de
números primos menos uno, el lugar del producto de esos números
primos más uno. En ese sentido, se denomina número primo primorial a un
número primo de la forma pn# ± 1.
No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue
de la demostración anterior, todos los factores primos deberán ser mayores que n.
Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509
Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con
diversos métodos procedentes de áreas de las matemáticas tales como al álgebra
conmutativa y la topología.17Algunas de estas demostraciones se basan en el uso
de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es
coprimo con todos los demás, por lo que se crea unabiyección entre los términos
de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.
Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que
deriva de la demostración euclídea de la infinitud de los números primos, ya que
cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeño de uno
más el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester se
define de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a uno más
el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta última sucesión
no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los
demás, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por

15. ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será un conjunto infinito cuyos
términos son todos primos.
Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos
Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los
números primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que
la serie esdivergente. Uno de los teoremas de
Mertens concreta más, estableciendo que
18
donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -
C y C para n mayor que n0, donde los valores de C y n0 no están especificados.19
Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:
En toda progresión
aritmética an = a + n·q, donde los
enteros positivos a, q ≥ 1
son primos entre sí, existen
infinitos términos que son
primos.
El postulado de Bertrand enuncia así:
Si n es un número natural mayor
que 3, entonces siempre existe
un número primo p tal
que n < p < 2n- 2.
Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número
natural mayor que 1, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p <
2n. Esto supone que, en unaprogresión geométrica de primer término entero
mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente,
se tiene al menos un número primo.

16. Frecuencia de los números primos
Esta ilustración muestra que el 11 es un número primo, pero el 12 no lo es.
Una vez demostrado la infinitud de los números primos, cabe preguntarse cómo se
distribuyen los primos entre los números naturales, es decir, cuán frecuentes son y
dónde se espera encontrar el n-ésimo número primo. Este estudio lo
iniciaron Gauss yLegendre de forma independiente a finales del siglo XVIII, para el
cual introdujeron la función enumerativa de los números primosπ(n), y
conjeturaron que su valor fuese aproximadamente
.20
El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros
resultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 porChebyshov, quien demostró
utilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dos
constantes A y B tales que
para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite
del cociente de aquellas expresiones, éste debía ser 1.
Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896,
independientemente el uno del otro, usando métodos similares, basados en
el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida
por BernhardRiemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para

17. encontrar una demostración que usara sólo métodos elementales (es decir,
sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada
por Selberg y Erdős. Actualmente, se conoce el teorema como teorema de
los números primos.
El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la
función logaritmo integral:
.
En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete
aproximando de esta forma es
para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado
fue ligeramente mejorado a lo largo de los años. Por otra parte, en
1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se
tenía la siguiente estimación, más precisa:21
Una forma equivalente al teorema de los números primos es que p n, el n-ésimo
número primo, queda bien aproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente
mayor que este valor.
Diferencia entre dos primos consecutivos
Artículo principal: Diferencia entre dos números primos consecutivos.
Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de
los intervalos entre dos primos consecutivos. Este intervalo, con la única salvedad
del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre
dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto
compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que
son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por los números 3, 5 y 7, los
números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de
demostrar: entre tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay
uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los primeros pares de números
primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).
Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser
tan grande como se quiera: dado un número natural n, se
denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los
números naturales comprendidos entre 1 y n. Los números
(n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1

18. son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por
tanto, es compuesto. La sucesión, que comprende n enteros consecutivos, no
contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores corresponden a:
6!+2=722=2·361
6!+3=723=3·241
6!+4=724=4·181
6!+5=725=5·145
6!+6=726=6·121
El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.22 De todas formas, el menor número primo
que dista del siguiente en n es generalmente mucho menor que el factorial, por
ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separados de ocho
unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320.
La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos23 ha sido profusamente
estudiada en matemáticas, y alrededor de este concepto se han establecido
muchas conjeturas que permanecen sin resolver.
Fracción
Para otros usos de este término, véase Fracción (desambiguación).
En matemáticas, una fracción, o número fraccionario, o quebrado (del
vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)1 es la expresión de una
cantidad dividida entre otra; es decir que representa un cociente no efectuado de
números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción
vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es
el conjunto de los números racionales, denotado .
De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente
cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).
Numerador y denominador
Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entre
ambos (barra horizontal u oblícua). En una fracción común el
denominador b representa la cantidad de partes en que se ha fraccionado la
unidad, y el numerador a es la cantidad de estas consideradas.

19. Representación gráfica y analítica
Como se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4.
Suelen utilizarse círculos o rectángulos (los cuales representan la unidad)
divididos en tantas partes como indique el denominador, y se colorean (u omiten)
tantas de estas partes como indique el numerador.
 Notación y convenciones:
 en una fracción común, el denominador se lee como
número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres
quintos»);
 una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción
(ejemplos: -1/4 o , pero no 3/-4);
 una fracción genérica a/b representa el producto de a por
el recíproco (multiplicativo) de b, de tal modo que ; si
tanto a comob son números negativos , el producto es positivo,
por lo que se escribe: a/b;
 toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre
de «fracción».
La expresión genérica representa una división algebraica, por lo que el divisor
debe ser distinto de cero (b ); el cociente de esta división admite un desarrollo
decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal tradicional) que
puede ser finito o infinito peródico (ver Número periódico).

20. Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, su
expansión decimal será infinita no-periódica.
Una fracción común representa un número racional, por lo que las fracciones
comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.
 Ejemplos
; 3/4 ; 3/4 ; (¾) ; fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4,
representa al número decimal 0.75, en porcentaje: 75%;
; fracción: numerador x² y denominador (x+3)(x-3), el valor
decimal dependerá del valor de la variable x.
Clasificación de fracciones
1/2 un medio
 Según la relación entre el numerador y
el denominador: 1/3 un tercio
 Número mixto: suma abreviada de
un entero y una fracción propia: ¼ 1/4 un cuarto
, ½,
 Fracción propia: fracción en que el 1/5 un quinto
denominador es mayor que el
numerador: 1/6 un sexto
 Fracción impropia: fracción en
1/7 un séptimo
donde el numerador es mayor que
el
1/8 un octavo
denominador:
1/9 un noveno
 Fracción reducible: fracción en la
que el numerador y el denominador 1/10 un décimo
no son primos entre sí y puede ser
simplificada: 1/11 un onceavo
 Fracción irreducible: fracción en la 1/12 un doceavo
que el numerador y el denominador
son primos entre sí, y por tanto no
puede ser simplificada:

21.  Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que
se han invertido el numerador y el denominador: y ;
y ;
 Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier
número perteneciente al conjunto de los
enteros: ;
 Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o
los dos) contiene a su vez fracciones.
 Según la escritura del denominador:
 Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra
dada:
 Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo
denominador: y ; y
 Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes
denominadores: y ; y ;
 Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez: 1/10,
2/100... En general: , con a un entero positivo y n un natural.
 Fracción continua: es una expresión del
tipo: .
 Según la escritura del numerador:
 Fracción unitaria: es una fracción común de numerador 1.
 Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el
Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de
fracciones unitarias.
 Fracción
gradual2 :
 Otras clasificaciones:
 Fracción como porcentaje: Un porcentaje es una forma de
expresar un número como una fracción de 100, utilizando el signo
porcentaje %.

22.  Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres para
la la relación que mantienen un par de números que pueden
provenir de una comparación.
 Fracción parcial: véase método de las fracciones parciales para
reducir un cociente de polinomios.
Nota: Una fracción irracional es una término autocontradictorio (dado que
todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones
vulgares). Un número irracional es, por definición, noracional, es decir, no
puede ser expresado como una fracción vulgar.
Número positivo
Un número real n es positivo si no es 0 ni un número negativo. El número 0 se
considera un número neutro.
No obstante, a veces se incluye al mismo número 0 como número positivo. En tal
caso, se dice que los números mayores que 0 son estrictamente positivos.
Para distinguir un número positivo de uno negativo, se suele utilizar el signo +
como prefijo de éste, en comparación al signo - que se utiliza para los negativos.
Así, +3 es positivo, y -3 es negativo. Rara vez veremos +0, pero jamás -0, dado
que en ninguna definición el 0 se considerará negativo.
Número negativo
Si la temperatura a la que el agua se congela es 0 °C, las temperaturas más bajas
se representan con números negativos y las más altas con positivos.
Un número negativo es cualquier número cuyo valor es menor que cero y, por
tanto, que los demás números positivos, como 7, 49/22 ó π. Se utilizan para
representar pérdidas, deudas, disminuciones o decrecimientos, entre otras cosas.

23. Se representan igual que los positivos, pero añadiendo un signo menos «−»
delante de ellos: −4, −2,5, −√8, etc. (estos números se leen: "menos cuatro",
"menos dos coma cinco", etc.) A veces, se añade un signo más «+» a los números
positivos para distinguirlos mejor: +3, +9/12, +4√22, etc. (más tres, más 9
doceavos, etc.)
Uno de los usos de los números negativos es representar pérdidas: si una persona
en un año gana 20 000 pesos pero gasta 25 000, al final del año ha perdido 25
000 − 20 000 = $ 5000; pero también puede decirse que sus ahorros han
aumentado 20 000−25 000 = − $ 5000.
También se utilizan para representar temperaturas y otras magnitudes por debajo
del cero. Cuando la temperatura es de 0 °C (cero grados Celsius)
elagua se congela. Si el ambiente se calienta, la temperatura crece, pero si se
enfría aún más, desciende por debajo de cero: por ejemplo, el mercurio,
un metal líquido, se congela a 39 grados bajo cero, o sea a −39 °C
(aproximadamente).
Número irracional
En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser
expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de
cero y donde esta fracción esirreducible. Es cualquier número real que no
es racional.
Clasificación
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías:
(naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación
de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números
reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los
vacíos que dejan los números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden
expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer
infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número
irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en
números decimales es solo una aproximación en números racionales al número
irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una
aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual
posee infinitas cifras decimales no periódicas.

24. Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos
es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a
1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que
hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante
símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:
1. (Número "pi" 3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y
su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182 ...):
3. (Número "áureo" 1,6180 ...):
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se
representan por un número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa
ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones
inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no
exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, elnúmero
áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica , por lo que
es un número irracional algebraico.
2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de
raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes
(trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir
números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo
definido, respectivamente, como los dos siguientes:
...
...
Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no
pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son
irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.
Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse
en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números
reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.