Actividad competencias básicas sistemas de ecuaciones
1.
2. Adrián Chaves Nº5 3ºA
En un corral hay conejos y gallinas, ¿cuántos de cada especie hay sabiendo que juntos
tienen 43 cabezas y 116 patas?
A los conejos les atribuiremos la letra “x” y a las gallinas “y”.
Sabiendo que juntos suman 43 cabezas, deducimos que hay 43 animales, es decir, la
suma de los conejos (x) y de las gallinas (y) es igual a 43.
Teniendo en cuenta que los conejos tienen 4 patas mientras que las gallinas tienen 2,
podemos sacar que 4 por el número de conejos, mas 2 por el número de gallinas es igual
al total de patas, 116.
4x + 2y = 116
Ahora podemos averiguar el número de individuos de cada especie mediante un sistema
de ecuaciones, el cual resolveremos por sustitución:
=+
=+
11624
43
yx
yx
Calculamos el valor de x en la primera ecuación: yx −= 43
Sustituimos en la segunda ecuación.
28
562
11624172
1162)43(4
=
−=−
=+−
=+−⋅
y
y
yy
yy
Una vez que sabemos el número de gallinas, sustituimos la y por 28 en la primera
ecuación. Así sabremos el número de conejos.
152843 =⇒−= xx
Por tanto, hay 15 conejos y 28 gallinas en el corral.
Resuelve: 025204 2
=+− xx
Empleamos la fórmula de ecuaciones de segundo grado teniendo en cuenta que: a= 4,
b= -20 y c= 25
a
acbb
x
2
42
−±−
=
Aplicando los datos a la fórmula obtenemos:
3. 8
2544)20(20 2
⋅⋅−−±
=x
8
40040020 −±
=x
2
5
8
20
==x (Solución doble)
Resuelve: 04092
=++ xx
Para resolver esta ecuación utilizamos la fórmula de ecuaciones de segundo grado,
sabiendo que: a= 1, b= 9 y c= 40
a
acbb
x
2
42
−±−
=
Aplicamos los datos a la fórmula:
2
401499 2
⋅⋅−±−
=x
2
160819 −±−
=x = ∃
No existe debido a que la raíz cuadrada tiene un radicando negativo.
En un camping hay 120 menores entre niños y niñas. Si se van 40 niños el número de
niños y de niñas es igual. ¿Cuántos niños y niñas hay en el camping?
Le atribuimos a los niños la letra “x” y a las niñas la “y”
El total es la suma de niños y niñas, por lo que si hay 120 menores,
deducimos que x + y =120
Al irse 40 niños, el número de niños y de niñas es igual. Por lo que x - 40 = y
Ahora resolvemos el problema mediante un sistema de ecuaciones, el cual resolveremos
por sustitución:
=−
=+
yx
yx
40
120
4. Para resolver el sistema calculamos el valor de x en la primera ecuación: yx −=120
Sustituimos la x de la segunda ecuación por dicho valor.
40
2
80
240120
40120
=⇒=
=−
=−−
yy
y
yy
Ahora que sabemos el número de niñas si lo restamos al total obtenemos el número de
niños. Por tanto, 80 niños.
Solución: Hay 80 niños y 40 niñas.
5. Pablo González, nº 17, 3ºB
En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas,
son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
Para este problema llamé x al número de gallinas e y al número de conejos. Al plantear
este problema, creamos un sistema de ecuaciones como el siguiente:
X+y=50
2x+4y=134
Esto es así porque el número de gallinas más el número de conejos es igual a 50, y el
número de patas de las gallinas es 2 (2x) mientras que los conejos tiene 4 patas (4y). Esto
lleva a pensar en un error en los datos del problema, conclusión a la que llegué después
de hacerlo muchas veces y que explicaré un poco más adelante.
Al resolver el sistema, obtenemos que x=50-y; 4y=134-2x; y= (134-2x)/4; x= 50-[(134-
2x)/4]; x=(200-134-2x)/4; x= (66-2x)/4; 4x=66-2x; 4x+2x=66; 6x=66; x=11.
11+y=50; y=50-11; y=39.
Y aquí está el que en mi opinión es un error en el propio enunciado del problema, puesto
que de ninguna manera se cumple un mismo valor de y para las dos ecuaciones del
sistema (el relacionado con cabezas y el relacionado con patas).
Resuelve:
Para solucionarlo, a ser una raíz cuadrada, recurrimos al sistema de la fórmula para este
tipo de raíces sustituyendo a, b y c por los números correspondientes. Como c no tiene
un valor, se le asigna 0 y operamos.
6. En esta ocasión, se da el caso de que la solución es doble ya que tanto al sumar como al
restar la solución es 1/3.
Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la
cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que
es igual al primero menos 27.
En primer lugar, hay que plantear un sistema de ecuaciones para poder resolver el
problema. En el enunciado se nos dice que la primera cifra (decenas) más la segunda
(unidades) suman 5, por lo que asignamos x a la primera cifra e y a la segunda y decimos
que x+y=5.
En segundo lugar, se nos dice que si invertimos el orden de las cifras el número
resultante será igual al primero menos 27. Como x es decenas e y unidades, cambiamos
estos roles y decimos que 10y+x=10x+y-27.
Así obtenemos el siguiente sistema:
x+y=5
10y+x=10x+y-27
Ahora resolvemos el sistema para obtener los valores de x e y.
X=5-y
10y=10x-x+y-27
10y=9x+y-27
9y=9x-27;
Luego y=x-3
X=5-(x-3)
X=5-x+3
2x=8
X=4
Y=4-3=1
Comprobamos sustituyendo las letras por sus valores y comprobamos que es correcto.
7. Luego el número es 41.
Ana Álvarez nº1 3ºA
Dentro de 12 años la edad de un padre será el triple de la de su hijo. La diferencia de las
edades es de 30 años. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
a) Planteamiento- hoy.. dentro de 12 años..
hijo – x x + 12
padre – y y + 12
y – x = 30 y + 12 = 3(x + 12)
b) Resolución- sistema de ecuación:
y – x = 30
y + 12 = 3(x + 12)
Resolvemos mediante el método de reducción...
1º - 2º ; es decir y – x = 30
- y – 3x = 24
−
2x = 6 => x = 3
Al conocer el valor de x despejamos y... y – x = 30 => y – 3 = 30 => y = 33
c) Solución: la edad del hijo dentro de 12 años será de 3 años mientras que la del padre
será de 33.
Resuelve: - 10x + 25 = 0
Fórmula general:
Sustituimos valores... => => - 5
Resuelve: - 2x + 3 = 0
Fórmula general:
Sustituimos valores... => =>
Halla dos números cuya suma es 14 y su diferencia 8.
a) Planteamiento-
primer número = x ; segundo número = y
x + y = 14
x – y = 8
b) Resolución-
Sistema de ecuación:
x + y = 14
x – y = 8
Resolvemos mediante el método de reducción:
1º + 2º , es decir... x + y = 14
x – y = 8
8. −
2x = 22 => x = 11
Al conocer el valor de x sustituimos la y...
x + y = 14 => 11 + y = 14 => y = 3
c) Solución: 11 y 3
Luis Méndez Nº 20, 3º A
Encontrar tres números consecutivos tales que si ellos son divididos por 10, 17 y 26
respectivamente, la suma de sus cocientes es 10
50
436
21800
2180043630022100436
221003004362210017085130130221
2210
22100
2210
17085130130221
10
26
2
17
1
10
==⇒
⇒=⇒−=⇒
⇒=+⇒=++++⇒
⇒=
++++
⇒=
+
+
+
+
x
xx
xxxx
xxxxxx
Por lo tanto:
x=50
x+1=51
x+2=52
Observa, razona y resuelve:
Esta ecuación es incompleta porque si multiplicamos la x que hay fuera del paréntesis
por lo de dentro, nos damos cuenta de que le faltaría el término independiente.
Se resolvería igualando x a cero y 3x-1 a cero.
No es conveniente aplicar la fórmula.
Esta ecuación se resolvería igual que la anterior ya que se da el mismo caso. La diferencia
es que en esta, para resolverla, tuvimos que sacar factor común.
( )
3
1
013
0
013
=⇒=−
=
=−
xx
x
xx
( )
707
0
07072
=⇒=−
=
=−⇒=−
xx
x
xxxx
9. Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500€. Si en el primero nos
hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8%
hubiéramos pagado 3170€. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
2 electrodomésticos—3500€
a= precio 1
b=precio 2
( )
2500
2
5000
5002,0
3220317002,031709,092,0322031709,0350092,0
1000250035003500
31709,092,0
3500
==⇒−=−⇒
⇒−=−⇒=+−⇒=+−⇒
=−=⇒−=⇒
=•+•
=+
bb
bbbbb
aba
ba
ba
a
costó 1000€, y b costó 2500€
11. 7121919
12
3
36
36338222238
2
2
19
2
2
19
22
19
=⇒−=⇒−=
=⇒
−
−
=⇒−=−⇒−=−−⇒+=−⇒
+
=−
+
=
−=
⇒
=−
=+
xxyx
yyyyyyy
y
y
y
x
yx
yx
yx
Javier Vallina, nº 30 3º B
¿Cuáles son los números cuya suma es 58 y su diferencia 28?
y+x=58 y=58-x
y-x=28 x-(58-x)=28 x-58+x=28
2x=30 x=30/2 x=15
15+y=58
y= 43
Lo que tienes que hacer es plantear las dos ecuaciones que te da el problema. Después
de haberlas planteado escoges el método por el cual quieres realizarlas. Yo escogí
sustitución. Cuando hallas el valor de una de las incógnitas sustituyes en una de las dos
ecuaciones para hallar el valor de la otra.
Resuelve:
A) 5x2
+14x-3=0
- = - = =
B) 14x2
+5x-1=0
= = =
En estas dos ecuaciones lo único que tienes que hacer es
Utilizar la fórmula y sustituir.
Soluciones: x= 7
S.C.D y=12
X1=- =
X2=
X2= -3
X1= =
X2= =
12. Resuelve:
x+y=14 y=14-x
x-y=8 x-(14-x)=8 x-14+x=8
2x=22 x=11
11+y=14
Y=3
Este problema es hacer lo mismo que en el primero, encontrar las dos ecuaciones y
hacerlas por uno de los tres modos.
Alejandro Ruíz, nº 29 3ºB
Si a 288 se le suma un cierto número el resultado es igual a tres veces el propio
número. ¿Cuál es dicho número?
El enunciado del problema dice que 288 más un número es igual al triple de ese número,
por lo que el planteamiento es 288 + x que es igual a 3x, es decir el triple del número.
Dicho número es 144.
Resuelve:
13. Resolví las 2 ecuaciones de 2º grado mediante la fórmula general.
En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale 1
punto y cada fallo resta 2 puntos, ¿cuántas preguntas ha acertador Juan? ¿cuántas ha
fallado?
<- SISTEMA REDUCCIÓN
–
(+2)
Los paréntesis indican el número por el que se multiplica.
(+1)
x = respuestas acertadas
y = respuestas fallidas
Resolví el sistema por el método de reducción porque me pareció el más simple.
