Descripción comparativa de cinco métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2.

1. CUADRO COMPARATIVO DE LOS MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Solución del sistema dado por los cinco métodos.
2x + y = 5
4x – y = 1
Método Gráfico Métodos analíticos
Suma o resta Sustitución Igualación Determinantes
Una de las formas más rápidas para graficaruna recta es
definir dos puntos por los que pasa.
1.- Para la ecuación 2x + y = 5,
si x=0, 2(0) + y = 5, el primer productoes cero, y
y = 5, entonces, el punto es (0, 5)
si x=2, 2(2) + y = 5
4 + y = 5
y = 5 – 4
y = 1, de donde el otro punto es (2, 1)
En este método lo que se
busca es eliminar una
variable, cuando tiene los
mismos coeficientes y de
signo contrario.
En el caso de las ecuaciones
ejemplo, lo más sencillo es
eliminar las y´s
directamente haciendo la
suma, puesto que tienen
coeficiente1 y -1,
respectivamente.
Pero vamos a eliminar la x,
para ver comose hace
cuando no son iguales.
Consiste en despejar una
incógnita de una de las
ecuaciones y sustituirla
en la otra.
Luego de encontrar el
valor de esa incógnita,
éste se sustituye en la
ecuación despejada y se
obtiene el valor de la
segunda incógnita.
1.- De la ecuación1, se
despeja y, entonces:
y = 5 – 2x (3)
Es un método similar al
de sustitución, sólo que en
lugar de despejar una de
las ecuaciones, se
despejan las dos.
1.- Se despeja una misma
incógnita en ambas
ecuaciones.
Ej. Despejar x.
De la primera ecuación:
𝑥 =
5−𝑦
2
(3)
Dela segunda ecuación:
𝑥 =
1+𝑦
4
(4)
Consiste en usar sólo los
coeficientesde las ecuaciones.
La única condiciónes que las
ecuaciones estén ordenadas tal
y comoestá el sistema –
ejemplo, los términos de x, los
de y,y los independientes en el
lado derecho.
Se deben encontrar primero los
coeficientes∆, ∆ 𝑥 𝑦 ∆ 𝑦.
2.- Para la ecuación4x – y = 1,
si x = 0, 4(0) – y = 1
-y = 1
y = -1 habiendo multiplicado por -1 toda la
expresión. Por tanto, el punto es (0, -1)
1.- Como el 4 es divisible
entre 2, si multiplicamos la
primera ecuación por -2, en
x nos quedaría un
coeficiente-4 que al sumar
con el coeficientepara x en
la segunda ecuación, se
Le llamamos ecuación 3.
2.- Ahora, se sustituye en
la ecuación 2.
4x - (5 – 2x) = 1
2.- Ahora, comovemos
que x tiene un valor en
cada despeje, entonces
podemos igualar los lados
derechos de las
ecuaciones (3) y (4).
Obtenciónde loscoeficientes.
1.- Parael coeficiente ∆,
se toman los coeficientesde x y
los de y.

2. Si x = 2, 4(2) – y = 1
8 – y = 1
-y = 1 – 8
-y = -7
y = 7, habiendo multiplicado por -1.
Entonces, el punto es (2, 7)
3.- Trazando los puntos y las rectas, la intersección de ellas
es el punto solucióndelsistema.
Gráfica.
eliminan.
Entonces, multiplicando
por
-2 la primera ecuación,
queda:
-2(2x + y = 5)
-4x - 2y = -10
2.- Ahora se suma con la
segunda ecuación.
-4x - 2y = -10
4x – y = 1
-----------------
-3y = -9
y = -9/-3
y = 3
3.- Finalmente, el valorde y
se sustituye en una de las
dos ecuaciones originales.
Sustituyendo en la primera
ecuación:
2x + (3)= 5
2x + 3 = 5
2x = 5 – 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Es decir, en lugar de y,
pusimos el valorque le
asocia a y,la ecuación3.
3.- Despejamos x.
4x -5 + 2x = 1
6x – 5 = 1
6x = 1 + 5
6x = 6
x = 6/6
x = 1
4.- A continuación,este
valor se sustituye en la
ecuación 3.
y = 5 – 2(1)
y = 5 – 2
y = 3
5.- Por tanto, la solución
es:
(1, 3)
5 − 𝑦
2
=
1 + 𝑦
4
3.- Se resuelve para y.
4(5-y)= 2(1+y)
20 - 4y = 2 + 2y
20 – 2 = 4y + 2y
18 = 6y
18/6=y
y = 3
4.- Finalmente, el valorde
y se sustituye en
cualquiera de las dos
ecuaciones despejadas
para x.
Sustituyendo y=3 en la
ecuación (3),
𝑥 =
5 − (3)
2
𝑥 =
5 − 3
2
𝑥 =
2
2
x = 1
5.- La solucióndel sistema
es (1, 3)
(Compare conlas ecuaciones)
∆= |
2 1
4 −1
|
Solución.
∆= (2)(−1) − (4)(1)
∆= −2 − 4
∆= −6
2.- Coeficiente ∆ 𝑥,
Se toman los coeficientes
independientes (sustituyen a
los de x) y los de y.
∆ 𝑥= |
5 1
1 −1
|
∆ 𝑥= (5)(−1) − (1)(1)
∆ 𝑥= −5 − 1
∆ 𝑥= −6
3.- Coeficiente ∆ 𝑦,
Se toman los coeficientesde x, y
los independientes (sustituyen
a los de y).
∆ 𝑦= |
2 5
4 1
|
∆ 𝑦= (2)(1) − (4)(5)
PI (1, 3)

3. 4.- Así que la solución es:
(1, 3)
∆ 𝑦= 2 − 20
∆ 𝑦= −18
4.- Último paso.
Con los tres coeficientes
obtenidos, finalmente, se
calculan x y y.
𝑥 =
∆ 𝑥
∆
y
𝑦 =
∆ 𝑦
∆
,
5.- Por lo tanto, sustituyendo los
valores obtenidos:
𝑥 =
−6
−6
, x = 1
𝑦 =
−18
−6
, y = 3
La solución es: (1, 3)