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1. Ecuaciones clásicas y problemas
de valores en la frontera
Integrantes: Angamarca Andrés, Iván
Molina, Marlon Piarpuezán

2. INTRODUCCIÓN
• Vamos a encontrar las soluciones para las
ecuaciones clásicas, dichas ecuaciones son
diferenciales parciales de segundo orden:

4. Este tipo de ecuaciones también se denominan
como
• ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DEL CALOR
• ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE LA ONDA
• ECUACIÓN BIDIMENCIONAL DE LAPLACE
Unidimensional se refiere a que x expresa una
dimensión espacial, mientras t el tiempo.
Bidimensional se refiere a que x y y son
dimensiones espaciales.

5. Si la ecuación de Laplace se abrevia como
, donde:
Y se suele llamar Laplaciano Bidimensional a la
función de u en tres dimensiones:

6. Ecuación de calor o ecuación de
difusión de calor
T(x,t)
Ecuación general
del calor
Ecuación general del
calor sin generación de E
Ecuación general
unidimensional de calor

7. Ecuación de Onda
• Consideraremos ahora las vibraciones
transversales de una cuerda extendida entre
dos puntos, 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿. El movimiento se
produce en el plano 𝑥𝑦 de manera tal que
cada punto de la cuerda se mueve en
dirección perpendicular al eje 𝑥.
• 𝑢(𝑥, 𝑡) denota el desplazamiento de la cuerda
para 𝑡 > 0 medidos desde el eje x

8. Además suponemos que:
•La cuerda es perfectamente flexible
•La cuerda es homogénea, es decir, su masa por unidad
de longitud 𝞀 es constante
•Los desplazamientos u son pequeños en
comparación con la longitud de la cuerda
•La pendiente de la curva es pequeña en todos los
puntos
•La tensión T actúa en dirección tangente a la cuerda y
su magnitud T es igual en todos los puntos
•La tensión es grande en comparación con la
fuerza de gravedad
•No actúan otras fuerzas externas sobre la
cuerda

9. • La fuerza vertical neta que actúa sobre el elemento
correspondiente Δs de la cuerda es:
T*senθ2 – T*senθ1 ≡ T*tanθ2 – T*tanθ1
T*senθ2 – T*senθ1 ≡ T*[ux(x+Δx, t) – ux(x, t)]
• Ahora 𝞀*Δs ≡ 𝞀*Δx es la masa de la cuerda en
[x,x+Δx], por la segunda ley de Newton nos da:
T*[ux(x+Δx, t) – ux(x, t)] = 𝞀*Δx*utt

11. ECUACIÓN DE LAPLACE
• Se presenta en problemas independientes del
tiempo que involucran potenciales como el
electrostático, el gravitacional, y la velocidad
en mecánica de fluidos. Además la solución de
la ecuación, también puede interpretarse
como la distribución de temperatura de estado
estable.
• Se puede representar esta solución, u(x,y) de
la ecuación

12. • En donde la temperatura varia de un punto a
otro (aunque no con el tiempo) de una placa
rectangular.
G. ZILL, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, fig. 5,3 pág. 16

13. CONDICIONES INICIALES
• Como las soluciones de las diferentes ecuaciones
dependen del tiempo, se debe establecer lo que sucede
en t=0, por lo que se debe proporcionar condiciones
iniciales.
• para una cuerda vibratoria, podemos especificar su
desplazamiento inicial f(x) , así como su velocidad inicial
g(x), en términos matemáticos, se esta buscando una
función u(x,t) que satisfaga a en dos
condiciones iniciales.

14. Como se indica en la siguiente figura, la cuerda podría estar pulsando,
liberándose del reposo en g(x)=0.
G. ZILL, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, fig. 5,4 pág. 16

15. Condiciones de frontera
• Consideremos el siguiente ejemplo:
• Se puede interpretar mediante 2 condiciones
de borde:
• U(0,t) = 0 , U(L,t) = L

16. - 3 tipos de condiciones de frontera
asociados con las ecuaciones clásicas.
• En una frontera se podrá especificar uno de
los siguientes valores:
• i) Condición de Dirichlet
• ii) Condición de Neumann
• Iii) Condición de Robin

17. Variaciones

20. Ejemplo
• En una barra se tiene que el extremo
izquierdo se mantiene a una temperatura de 0
y el derecho se encuentra aislado. En todo el
proceso, la temperatura inicial es f(x)

21. Ejemplos de valores de frontera
G. ZILL, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, pág. 318

22. Bibliografía
• Zill D, Matematicas avanzadas para ingeniería, 3ra
edición, vol II,
• Quiroga J, Analisis de Fourier, Bogota, 2007.
• Incropera F, Fundamentos de transferencia de calor,
Prentice Hall, 4ta edición, Mexico, 1996
• http://blog.espol.edu.ec/rdcv/files/2010/09/Ecuaci%
C3%B3n-unidimensional-de-la-Onda.pdf
• https://es.scribd.com/doc/83359550/126/Ecuacion%
C2%A0de%C2%A0onda%C2%A0unidimensional