Ejercicios y-problemas-de-ecuaciones-y-sistemas-3c2ba

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 3º
Una casa rectangular cuyos lados miden 14m y 18m, se encuentra rodeada por un jardín de anchura constante,
superficie es de 228 m2
. ¿Qué anchura tiene el jardín?
Solución:
Anchura del jardín: x
Área del jardín: El perímetro de la casa por el ancho, más los cuatro cuadrados de las esquinas.
228x4x)182142( 2
=+⋅+⋅
Operando y simplificando obtenemos: .057x16x2
=−+
Resolvemos:



−
=
±−
=
+±−
=
3
19
2
2216
2
22825616
x .
La solución x = - 19 no tiene sentido en este problema.
x=3 m
Un ciclista marcha escapado en una carrera, pasando por un punto situado a 30 Km. de la meta a 48 Km./h. El pelotón pasa por dic
punto 7 minutos después, a una velocidad de 60 Km./h. ¿Cuánto tarda el pelotón en alcanzar al escapado, si mantienen constantes s
velocidades? ¿Ganará el escapado la carrera?
Solución:
Representamos por x el tiempo desde que pasa el pelotón por el punto del enunciado, hasta que lo alcanza, expresado en h
Los espacios (velocidad por el tiempo) recorridos por el ciclista escapado y el pelotón, desde el punto del enunciado hasta q
pelotón lo alcanza, son iguales: x60)
60
7
x(48 =+
Operando: x)4860(
60
7
48 −= utosmin28horas
60
28
60·12
48·7
x ===⇒
La distancia recorrida será:
km28h
60
28
·h/.km60 = .
El escapado no ganará la carrera, le alcanzan a 2 Km de la meta.
Al dividir la cifra de las decenas entre la de las unidades de un número de dos cifras, obtenemos de cociente 2 y resto 1. Si cambiam
orden las dos cifras, obtenemos un número que doblado sobrepasa en una unidad al número dado. Halla dicho número.
Solución:
Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.
El número en cuestión es: 10x+y.
El número con las cifran en orden inverso: 10y+x. Y el doble menos 1: 2(10y+x) - 1.
Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:




−+=+
+=
1)xy10(2yx10
1y2x
Sustituyendo la 1ª ecuación en la 2ª:
10(2y + 1) + y = 20y + 2(2y + 1) - 1 → 21y + 10 = 24y + 1

Obtenemos para y el valor 3; para x, 7; por lo tanto, el número es 73.
Si dividimos un número de dos cifras por la cifra de las unidades, obtenemos 8 de cociente y 2 de resto. Cambiando el orden de las c
de dicho número, se obtiene un número 9 unidades mayor. ¿De qué número se trata?
Solución:
El número con las cifran en orden inverso: 10y+x.




++=+
+=+
9yx10xy10
2y8yx10
Agrupando los términos y simplificando, resulta:




=+−
=−
1yx
2y7x10
Multiplicando por 10 la 2ª ecuación y sumando: 3y = 12 → y = 4, x = 3.
El número pedido es el 34.
Un depósito tiene dos grifos de llenado y un desagüe. Uno de los grifos lo llena en 3 h, el otro en 4, y si se dejan abiertos los grifos y e
desagüe se llena al cabo de 2,5 h. ¿Cuánto tarda en vaciarlo el desagüe?
Solución:
Representamos el tiempo pedido expresado en horas por x.
En una hora los grifos llenan
4
1
y
3
1
, respectivamente, del depósito; el desagüe
x
1
− .
La suma de las fracciones individuales debe ser igual a la fracción del conjunto:
5
2
x
1
4
1
3
1
=−+
Multiplicamos por el m.c.m.(3, 4, 5)= 60: 24
x
60
1520 =−+ horas
11
60
x11
x
60
=⇒=⇒ .
La suma de las edades en años de los cuatro miembros de una familia es 100. Si el padre es 2 años mayor que la madre, y la misma diferenc
entre la hija mayor y su hermano, que nació cuando su madre tenía 28 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Solución:
Representamos con x la edad de la madre.
El padre tendrá x+2 años, el hijo pequeño x - 28 y la hija x - 26. La suma es: (x + 2)+ x + (x - 26) +(x - 28) =100
Agrupamos y resolvemos:
4x = 152 38x =⇒ años.
Las edades del padre, la hija y el hijo son: 40, 12 y 10 años, respectivamente.
Un depósito de 12 m3
de capacidad tiene dos grifos, A y B, y un desagüe que vierte la misma cantidad de agua por minuto que mana
grifo B. Los dos grifos manando juntos llenan el depósito en 4 h., y si se dejan abiertos el grifo A y el desagüe, el depósito se llena de
de 9 h. ¿Qué cantidad de agua por minuto vierten los grifos?
Solución:
Sean x e y el número de litros de agua por minuto que manan A y B, respectivamente.
En 4 h.= 240 minutos, A y B manan 12.000 litros.: 240x+240y = 12.000

En 9 h. A llena el depósito y compensa lo que vierte el desagüe: 540x = 12.000 + 540y
Simplificando, resulta el sistema de ecuaciones:




=−
=+
200y9x9
50yx
Multiplicando la 1ª ecuación por 9, y sumando: 18x = 650 utomin/litros1,36
18
650
x

==→
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación: utomin/litros8,13
9
125
y

==
Para que las soluciones de 0bxax2
=+ , a ≠ 0 , sean números enteros, ¿qué condición deben cumplir a y b?
Solución:
Se trata de una ecuación incompleta de segundo grado, cuyas soluciones se obtienen sacando factor común:
x(ax + b) = 0 → x = 0,
a
b
x
−
= . Para que la última sea un número entero, b debe ser un múltiplo de a.
Un triángulo rectángulo tiene las medidas de sus lados iguales a tres números pares consecutivos. ¿Cuáles son?
Solución:
Sean los tres números pares consecutivos: 2x, 2x - 2 y 2x + 2.
El teorema de Pitágoras dice: 222
)2x2()2x2()x2( +=−+
Operando llegamos a la ecuación incompleta: .0x4x2
=−
Las soluciones son: x = 0; x = 4. La primera no tiene sentido en este problema. La segunda nos da para los lados los valores
y 10.
Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras, el número disminuye en 9. ¿Qué número es?
Solución:
El número con las cifran en orden inverso: 10y+x.



−+=+
=+
9yx10xy10
9yx
Agrupando los términos y simplificando, resulta:



−=+−
=+
1yx
9yx
Sumando las dos ecuaciones: 2y = 8 → y = 4, x = 5.
El número pedido es el 54.
La edad de una mujer era hace 10 años cinco veces la de su hija, y dentro de 11 años será solamente el doble. ¿Qué edades tienen
actualmente?
Solución:
Llamamos x e y a las edades actuales de madre e hija, respectivamente.

En el pasado, las edades cumplían la condición siguiente: x - 10 = 5(y - 10)
En el futuro, la relación que da el enunciado es: x + 11 = 2(y+11)
Agrupando los términos obtenemos:




=−
−=−
11y2x
40y5x
Restamos las ecuaciones: 3y = 51 → y = 17. Con este valor la 2ª ecuación nos da: x = 11+34 = 45.
La edad de la mujer es 45 años, y la de su hija 17años.
Marta tiene 7 años. Cuando alcance la edad de su madre, la suma de ambas edades será de 104 años. ¿Cuál es la edad actual de su
madre?
Solución:
Si x es la edad actual de la madre, el tiempo que ha de transcurrir para que Marta tenga la edad de su madre es x− 7.
Edad actual Edad dentro de x− 7 años
Marta 7 7+x− 7=x
Madre x x+x− 7=2x− 7
Dentro de x− 7 años la suma de sus edades será 104: x+2x− 7=104 ⇒ x=37
La madre tiene ahora 37 años.
Halla un número, tal, que la suma de su mitad, su tercera parte y su quinta parte, resulta cuatro unidades mayor que dicho número
Solución:
Representamos el número pedido con x.
Escribimos el enunciado en lenguaje algebraico:
4x
5
x
3
x
2
x
+=++
Multiplicamos por m.c.m.(2, 3, 5) = 30: 15x + 10x + 6x = 30x+120
x = 120.
Halla dos números cuya suma sea 50, y la diferencia entre el mayor y el menor sea la mitad del menor.
Solución:
Sean los números pedidos: x e y, con x>y.
El enunciado nos da las dos condiciones siguientes:





=−
=+
2
y
yx
50yx
En la segunda podemos despejar x:
2
y3
x = . Sustituyendo en la primera: 50y
2
y3
=+ → y = 20
Sustituyendo el valor hallado: x = 30. Los números pedidos son: 30 y 20.
El perímetro de un campo rectangular mide 340 m., y su superficie es de 7000 2
m . Halla sus dimensiones.
Solución:
Sea x uno de los lados del rectángulo.
Dos lados contiguos del rectángulo (semiperímetro) suman 170 m., luego, el segundo lado del rectángulo es 170 - x.
La superficie nos proporciona la siguiente ecuación: x(170 - x) = 7000.

Operando obtenemos: .07000x170x2
=+−
Resolvemos:




=
±
=
−±
=
70
100
2
30170
2
2800028900170
x .
Los lados del rectángulo miden 100 m y 70 m.
Divide 64 en dos sumandos, de modo que al dividir el mayor entre el menor se obtenga 3 de cociente y 8 de resto.
Solución:
Representamos con x el mayor de los sumandos (dividendo), el otro será 64 - x.
El planteamiento se obtiene de la ley de la división: Dividendo = Cociente · divisor + resto: x = 3(64-x) + 8
Operando: 4x = 200 50x =⇒ . El segundo sumando será 14.
La suma de un número más su inverso es 13/6. Calcúlalo.
Solución:
Lamamos x al número pedido.
El enunciado dice:
6
13
x
1
x =+
Quitamos denominadores y ordenamos los términos: 06x13x6 2
=+−
Resolvemos:







=
±
=
−±
=
3
2
2
3
12
513
12
14416913
x .
Si a cada uno de los dos términos de una fracción le sumamos 3, la fracción resultante es equivalente a
11
10
; pero si a cada uno le
restamos 4, resulta otra fracción equivalente a
4
3
. Halla la fracción.
Solución:
Si la fracción es
y
x
⇒
( ) ( )
( ) ( ) 


=−
−=−
⇒



−=−
+=+
⇒






=
−
−
=
+
+
4y3x4
3y10x11
4y34x4
3y103x11
4
3
4y
4x
11
10
3y
3x
Por reducción, multiplicando la primera ecuación por −r y la segunda por 11:
7x28x448·3x48y56y7
44y33x44
12y40x44
=⇒=⇒=−⇒=⇒=



=−
=+−

La fracción buscada es
8
7
Con el número de fichas cuadradas que tengo, al formar un cuadrado me sobran 15, y si quiero formarlo con una ficha más por lad
faltan 26. ¿Cuántas fichas tengo?
Solución:
Sea x el número de fichas en uno de los lados del cuadrado completo.
El número de fichas que tengo es: 15x2
+ .
El cuadrado incompleto tiene: 26)1x( 2
−+ fichas, que también son las que tengo
Igualando las expresiones anteriores: 26)1x(15x 22
−+=+
Operando y agrupando los términos obtenemos: 2x = 40, es decir, x = 20.
Tengo, por lo tanto, 415 fichas.
Un cuadrado tiene 144 2
m más de superficie que otro, y éste 4 m menos de lado que el primero. Halla los lados de di
cuadrados.
Solución:
Sea x el lado del cuadrado mayor. El lado del segundo cuadrado es: x - 4.
La relación que hay entre las superficies es: .144)4x(x 22
+−=
Operando y simplificando queda: 8x = 160, es decir, x = 20.
El lado del primer cuadrado mide 20 m y el del segundo 16 m.
La diagonal de un rectángulo mide 35 cm y sus lados son proporcionales a 3 y 4. Halla sus lados.
Solución:
Sea la constante de proporcionalidad x.
Los lados del rectángulo serán: 3x y 4x.
Por el teorema de Pitágoras: 222
35)x4()x3( =+ → 22
35x25 =
Resolvemos la ecuación: 7
5
35
x 2
2
±=±= . La solución negativa no tiene sentido en este problema.
Los lados miden 21 cm y 28 cm.
En un edificio se dedican a garaje 2/7 del número de plantas que tiene, para oficinas se dedican 2/5 de las restantes, y para vivienda
seis últimas. ¿Cuántas plantas tiene?
Solución:
Representamos el nº de plantas del edificio con x.
Garaje + Oficinas + Viviendas, se plantea: x6)x
7
2
x(
5
2
x
7
2
=+−+
Multiplicando por el m.c.m.(5, 7) = 35, y operando: 10x + 14x - 4x + 210 = 35x
Agrupando términos:
15x = 210 14x =⇒ .
Halla dos números pares consecutivos tal que la diferencia de sus cuadrados sea 100.
Solución:
Los números pares pedidos los representamos con 2n y 2n+2.
El enunciado dice: .100)n2()2n2( 22
=−+

Operamos y obtenemos la ecuación: 100n44n8n4 22
=−++ → 8n = 96 → n = 12
Los números son: 2n = 24 y 2n + 2 = 26. También lo cumplen - 26 y - 24.
Queremos mezclar dos aceites industriales, A y B, de densidades 1,1kg/litro y 1,3 kg/litro, respectivamente, para obtener 50 litros de
aceite cuya densidad sea 1,16kg/litro. ¿Qué cantidad de aceite se debe tomar de cada clase?
Solución:
Llamamos x e y a las cantidades en litros de aceite A y B, respectivamente.
El volumen debe ser el mismo antes y después de la mezcla: x + y = 50.
Lo mismo debe ocurrir con el peso: 1,1x + 1,3y = 1,16·50.
Multiplicamos por 10 la última, y resulta el sistema:




=+
=+
580y13x11
50yx
Sustituimos y = 50 - x en la 2ª ecuación:
11x + 13(50 - x) = 580 → 2x = 70 → x = 35 litros
Sustituyendo: y = 15 litros.
Divide el número 392 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menor obtengas 11 de cociente y 8 de resto.
Solución:
Sean x e y con x > y las partes buscadas del número dado: x + y =392
La ley de la división aplicada a los datos del enunciado nos da: x = 11y + 8
Debemos resolver el sistema:




=−
=+
8y11x
392yx
Restamos la segunda de la primera:
12y = 384 → y = 32. Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 360.
En un campamento de verano hay tiendas dobles y triples. Si en total hay 20 tiendas y 52 sacos de dormir, ¿cuántas tiendas hay de c
clase?
Solución:
Si x es el número de tiendas dobles e y el de triples:
Hay 20 tiendas: 20yx =+
Hay 52 sacos de dormir: 52y3x2 =+
Por sustitución despejando y en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:
( )


=−+
−=
52x203x2
x20y
Resolviendo la segunda ecuación: 8x52x360x2 =⇒=−+
Sustituyendo ese valor en la primera ecuación: 12820y =−=
Hay 8 tiendas dobles y 12 triples.
La densidad del alcohol puro es 0,79 kg./litro y la del agua 1 kg./litro. Si tenemos un alcohol cuya densidad es de 0,86 kg./litro, ¿qué
proporción de alcohol puro y de agua contiene?
Solución:
Llamamos x e y a las cantidades de alcohol y de agua, respectivamente, en un litro del alcohol del problema.
Entonces: x + y = 1, y la igualdad de pesos por litro nos da la ecuación: 0,79x + y = 0,86.
Multiplicamos por 100 la última, y tenemos el sistema:





=+
=+
86y100x79
1yx
Sustituimos x = 1 - y en la 2ª ecuación: 79(1 - y) + 100y = 86 → 21y = 86 - 79 = 7 →
3
1
y =
Sustituyendo:
3
2
3
1
1x =−= .
Es decir, contiene 2/3 de alcohol puro y 1/3 de agua.
Un cesto tiene 72 unidades entre manzanas, peras y naranjas. Sabiendo que el número de manzanas es cinco veces el de peras y que
naranjas es la semisuma de los otros dos, halla las unidades de cada tipo de fruta que contiene el cesto.
Solución:
Número de peras, x
Número de manzanas, 5x
Número de naranjas,
2
x5x +
En el cesto hay 72 unidades: 72
2
x5x
x5x =
+
+
Multiplicando por 2 y quitando denominadores: 144x5xx10x2 =+++
Despejando: x = 8
Por tanto, el cesto tiene 8 peras, 40 manzanas y 24 naranjas.
Los lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 5, 12 y 13, y su área es 2
cm270 . Calcu
lados.
Solución:
Llamamos x a la constante de proporcionalidad.
Los lados son: 5x, 12x y 13x, los menores serán los catetos.
El área es: 270
2
x12·x5
= 3x9x2
±=→=→ . La solución negativa no tiene sentido en este problema.
Los lados son: 15, 36 y 39.
Al dividir dos números obtenemos de cociente 3 y 6 de resto. Si el divisor disminuye tres unidades, los nuevos cociente y resto aume
en una unidad cada uno. Halla dichos números.
Solución:
Sean D y d, dividendo y divisor, respectivamente, los números buscados.
Aplicando la ley de la división las dos veces que propone el enunciado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaci




+−=
+=
7)3d(4D
6d3D
.
Igualando los segundos miembros de ambas: 3d+6 = 4d - 5 → d = 11
Sustituyendo el valor calculado en la 1ª ecuación: D = 39.
Un padre tiene 47 años y su hijo 20. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era cuatro veces la del hijo?
Solución:

Representamos el nº de años transcurridos con x.
Hace x años sus edades eran: 47 - x y 20 - x, respectivamente.
El enunciado dice: 47 - x = 4(20 - x)
3x = 33 11x =⇒ años.
Halla un número tal que el triple de él sea la sexta parte de su cuadrado.
Solución:
Representamos el número pedido con x.
El enunciado dice:
6
x
x3
2
= .
Operamos y obtenemos una ecuación de segundo grado incompleta: 0xx18 2
=−
Resolvemos sacando factor común: x(18 - x) = 0 → x = 0; x = 18.
Un ganadero quiere mezclar cierta cantidad de maíz de 0,17 euros el kilo, con 300 kilos de cebada de 0,13 euros el kilo, para obtene
pienso para gallinas que resulte a 0,15 euros el kilo. ¿Qué cantidad de maíz necesitamos?
Solución:
Representamos la cantidad de maíz con x.
El coste del pienso debe ser igual al valor del mismo después de la mezcla: 300·0,13 + 0,17·x = 0,15(300 + x)
Agrupando términos y resolviendo:
0,02x = 6 300x =⇒ kilos.
La suma de un número más la mitad de su cuadrado es 84. Calcúlalo.
Solución:
Llamamos x al número pedido.
El enunciado dice: 84
2
x
x
2
=+
Quitamos denominadores: 0168x2x2
=−+
Resolvemos:




−
=
±−
=
+±−
=
14
12
2
262
2
67242
x .
Hay dos números que lo cumplen, 12 y -14.
En la última temporada, un equipo marcó 88 goles. En casa marcó el triple que fuera. ¿Cuántos goles marcó fuera?
Solución:
Si x es el número de goles que marcó fuera, 3x es el número de goles que marcó en casa.
La ecuación a resolver es: 88x3x =+
La solución de la ecuación: x = 22
Por tanto, marcó 22 goles fuera.
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 60 y cuya altura es 2 unidades mayor que la base.
Solución:

Si x es la base e y, la altura, el sistema a resolver es:



=+−
=+
⇒



+=
=+
2yx
30yx
2xy
60y2x2
Por reducción:
14x3016x16y32y2
2yx
30yx
=⇒=+⇒=⇒=




=+−
=+
La base mide 14 cm y la altura,16 cm.
Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.
Solución:
Si x e y son los dos números, el sistema a resolver es:



=−
=+
67yx
19yx
Por reducción:
62y129191y191y129129x258x2
67yx
19yx
=⇒−=⇒=+⇒=⇒=




=−
=+
Los números son 129 y 62
Al aumentar 3 cm el lado de un octógono regular, su perímetro resulta ser de 104 cm. ¿Cuál era el lado del octógono primitivo?
Solución:
Llamando x al lado del octógono inicial, x+3 es el lado del nuevo octógono
La ecuación es: ( ) 1043x8 =+
Su solución: x = 10
Por tanto, el lado del octógono inicial era de 10 cm.
Si 3 periódicos y 4 revistas cuestan 11 euros, y que 1 periódico y 2 revistas cuestan 5 euros, ¿Cuánto valen cada periódico y cada rev
Solución:
Sean x el precio de un periódico e y el de una revista.
El sistema a resolver es:



=+
=+
5y2x
11y4x3
Por reducción, multiplicando la segunda ecuación por -2:






=⇒−=⇒=+⇒=
−=−−
=+
2y15y25y211x
10y4x2
11y4x3
El precio de un periódico es 1 euro y el de una revista 2 euros.
El perímetro de un rectángulo mide 90 m. Si el lado mayor mide 5m más que el menor, ¿cuánto miden sus lados?
Solución:
Representamos el lado menor del rectángulo con x. El mayor será x+5.
El perímetro es: 2x + 2(x+5) = 90
Agrupando los términos:
.m20x804x =⇒=
La suma de tres números pares consecutivos es 54. Halla dichos números.
Solución:
Si el primer número es 2x, el segundo es 2x+2 y el tercero 2x+4

La ecuación es: 544x22x2x2 =++++
Resolviendo se obtiene: x=8
Los números son: 16, 18 y 20

1 Resolver la siguiente ecuación:
6
x14
4
x1
5
x41
4
1x3 −
−
−
=
−
−
−
Solución:
Multiplicamos por el m.c.m.(4, 5, 6)=60: 15(3x-1) - 12(1-4x) = 15(1-x) -10(14 -x)
Quitamos los paréntesis:
45x - 15 - 12 +48x = 15 - 15x -140+10x
98x = -98 ⇒ x = -1.
2 Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
a) 5x469 2
=−
b) x12x3 2
=
Solución:
a) Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta. Despejamos:
416
4
569
x ±=±=
−
±=
b) Pasamos el término del segundo miembro al primero, y sacamos factor común al ser incompleta:
3x(x-4) = 0, de donde x = 0; x = 4.
3 Resolver la siguiente ecuación de segundo grado sin usar la fórmula:
22
x295x6 +=+
Solución:
Pasando todos los términos al primer miembro y agrupando los semejantes: 04x4 2
=−
Despejando: 11x1
4
4
x2
±=±=⇒==
4 Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado, formando un cuadrado perfecto: 027x6x2
=−+ .
Solución:
Buscamos el cuadrado de un binomio con los términos con x: ( 2
x +2·3x + ) - - 27 = 0
Lo completamos con el cuadrado del segundo término del binomio: ( 2
x +2·3x + 9) - 9 - 27 = 0
Despejamos el paréntesis en:
(x + 3)2
- 36 = 0




−=
=
→±=+→
9x
3x
363x .
5 Resuelve la siguiente ecuación:
2
x
15
3x
10
=−
−
Solución:
Multiplicamos por x(x - 3): 10x - 15(x - 3) = 2x(x - 3)
Operamos y agrupamos términos: 10x - 15x + 45 = x6x2 2
− → 045xx2 2
=−−
Resolvemos:




=
±
=
+±
=
−
2
9
5
4
191
4
36011
x .

1 Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:




=−
−=+
16y2x4
1y5x3
Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 5:




=−
−=+
80y10x20
2y10x6
Sumamos y obtenemos: 26x = 78 → x = 3
Sustituimos en la 1ª ecuación el valor hallado:
9 + 5y = -1 → y = -2. Solución: (3, -2).
2 Resuelve utilizando el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:



−=+
=−
8yx
7y4x
Solución:
Se despeja x en las dos ecuaciones:



−−=
+=
y8x
y47x
Se igualan los resultados: 3
5
15
y15y578yy4y8y47 −=
−
=⇒−=⇒−−=+⇒−−=+
Se calcula x: ( ) 53·47x −=−+=
La solución es x = −5, y = −3
3 Resuelve utilizando el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:



−=−
=+
1yx3
15yx4
Solución:
Se despeja y en las dos ecuaciones:



+=
−=
x31y
x415y
Se igualan los resultados: 2
7
14
x14x7151x3x4x31x415 −=
−
=⇒−=−⇒−=−−⇒+=−
Se calcula y: ( ) 52·31y −=−+=
La solución es x = -2, y = -5

4 Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:




=+
=−
55y3x10
15yx5
Solución:
Despejamos y en la 1ª ecuación: y = 5x - 15
Sustituimos en la segunda: 10x + 3(5x - 15) = 55
Operamos y agrupamos términos: 25x = 100 → x = 4
Sustituimos en y: y = 5. Solución: (4, 5).
5 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
( ) ( )




=
−
−
=++−
1
2
1y2
4
x3
02y4x23
Solución:
Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones:



=+−
=++−
42y4x3
08y4x36



=−
−=+−
2y4x3
14y4x3
Sumando:
120
2y4x3
14y4x3
−=



=−
−=+−
Como resulta una igualdad falsa, el sistema no tiene solución





=+
+
=
−
+
−
3y
7
yx
5
3
yx
2
yx
Solución:
Quitando denominadores en las ecuaciones:



=++
=−+−
21y7yx
30y2x2y3x3



=+
=−
21y7x
30y5x5

Dividiendo por −5 la 1ª ecuación y sumando:
8
15
y15y8
21y7x
6yx
=⇒=



=+
−=+−
Se calcula x:
8
63
8
15
6x6
8
15
x =+=⇒=−
La solución es x =
8
63
, y =
8
15





−=
−
−
+−=−−
2y
3
y6x
x2
8)yx2(3y2)6x(3
Solución:
Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones:




−=+−
+−=−−
6y3y6xx6
8y3x6y218x3
Agrupamos los distintos términos:




−=+
=+−
6y3x5
26yx3
(*)
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3, y restamos:




−=+
=+−
6y3x5
78y3x9
→ -14x = 84 → x = -6
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación de (*):
18 + y = 26 → y = 8. Solución: (-6, 8)
8 Escribe un sistema de dos ecuaciones compatible y otro incompatible en los que una de las ecuaciones
sea:
5yx =+
Solución:
Hay muchas soluciones para el enunciado.
Por ejemplo:
Sistema compatible:



=+
=−
5yx
3yx
Sistema incompatible:




=+
=+
2yx
5yx
( ) ( )




=
+
+
=+−+
5
2
y35
x4
91y52x3
Solución:



=++
=−++
10y35x8
95y56x3



=+
=+
5y3x8
8y5x3
Multiplicando por −3 la 1ª ecuación y la 2ª por 5 y sumando:
31
1
x1x31
25y15x40
24y15x9
=⇒=



=+
−=−−
Se calcula y:
31
49
155
245
y
31
245
y5
31
3
8y58y5
31
1
·3 ==⇒=⇒−=⇒=+
La solución es x =
31
1
, y =
31
49
10 Resuelve, si es posible, y comenta los siguientes sistemas:
a)






=−
−=−
=−
0y8x5
1y5x3
1y3x2
b)






=−
−=−
=−
2y2x
1y5x3
1y3x2
Solución:
a) Hallamos x e y con las dos primeras ecuaciones.
Multiplicamos para aplicar el método de reducción:




−=−
=−
2y10x6
3y9x6
Restamos las ecuaciones anteriores: y = 5. Sustituyendo en la 1ª: 2x - 15 =1 → x = 8
Comprobamos si la pareja de números (8, 5) verifica la tercera ecuación: 5·8 - 8·5 = 0, luego, si es solución.
b) Las dos primeras ecuaciones son las mismas. La solución de ambas, (8, 5), ahora, no verifica la tercera ecuación, por lo

tanto, el sistema dado no tiene solución.
( )



=+−
=
+
9xy3x2
5
y
3x
Solución:
( )


=+−
=+
9xy3x2
y53x



=−
=−
9y6x3
3y5x
Multiplicando por −3 la primera ecuación y sumando:
2y18y9
9y6x3
9y15x3
=⇒=



=−
=+−
Se calcula x: 7103x32·5x =+−=⇒−=−
La solución es x = 7, y = 2
( )





+=+
+=+
−
x
3
1
y2
3
x2
y12x2
2
3x5
Solución:



+=+
+=+−
x31y6x2
y66x63x5



=+−
=−
1y6x
9y6x11
Sumando:
1x10x10
1y6x
9y6x11
=⇒=



=+−
=−
Se calcula y:
3
1
6
2
y1y61 ==⇒=+−
La solución es x = 1 y =
3
1
13 Escribe un sistema de dos ecuaciones compatible y otro incompatible en los que una de las ecuaciones
sea
1y5x2 =−
Solución:
Hay muchas soluciones para el enunciado.
Por ejemplo:
Sistema compatible:




−=+
=−
3yx
1y5x2
Sistema incompatible:



=−
=−
4y5x2
1y5x2
( )





−=+
=+
10y
2
x3
3
y
1x2
Solución:
Quitando paréntesis y denominadores:



−=+
=+
20y2x3
y6x6
Como y está despejada en la primera ecuación, se sustituye en la segunda:
( )
15
32
x32x151220x12x3206x62x3
−
=⇒−=⇒−−=+⇒−=++
Se calcula y:
5
34
15
102
y6
15
32
·6y
−
=
−
=⇒+
−
=
La solución es x =
15
32−
, y =
5
34−
15 Justifica que los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes:
a)




=+−
=−
2y6x2
2y10x4
,
b)




=+−
=−
4y12x4
2y10x4
,
c)




=
=−
6y2
2y10x4
Solución:
En el sistema b) se ha multiplicado la segunda ecuación por 2, luego, es equivalente al primero. En el sistema c) la segunda
ecuación se ha obtenido sumando las dos del sistema b), luego, es equivalente al b), y, por lo tanto, también al sistema a).



−=
−=
y220x4
2y2x5

Solución:



=+
−=−
20y2x4
2y2x5
Sumando las dos ecuaciones:
2x18x9
20y2x4
2y2x5
=⇒=



=+
−=−
Sustituyendo en la 2ª ecuación, se calcula y: 6y12y2820y220y22·4 =⇒=⇒−=⇒=+




=+
=
14
3
y4
x5
6x3
Solución:
Quitando denominadores:



=+
=
42y4x15
6x3
Despejando x de la primera ecuación: 2
3
6
x ==
Sustituyendo en la 2º: 3y12y442y42·15 =⇒=⇒=+
La solución es x = 2, y = 3.



−−=−
−=−
3yx5y
8x3y
Solución:



−=+−
−=+−
3y2x5
8yx3
Despejando y de la primera ecuación:



−=+−
+−=
3y2x5
x38y
Sustituyendo en la 2ª y resolviendo: ( ) 13x163x6x538x32x5 =⇒+−=+−⇒−=−+−
Se calcula y: 31y813·3y =⇒−=
( )
( )


−−=−−
−=+
2y2x215x
8y45x3
Solución:
Quitando paréntesis:



+−=−−
−=+
4y2x215x
8y415x3




=+−
−=−
19y2x3
23y4x3
Sumando:
2y4y2
19y2x3
23y4x3
=⇒−=−



=+−
−=−
Se calcula x: 5x15x3232·4x3 −=⇒−=⇒−=−
La solución es x =− 5, y = 2
( )
( )


−=+−
=+−
6y21x5
42y3x
Solución:



−=+−
=−−
6y25x5
46y3x



−=+
=−
1y2x5
10y3x
Despejando x de la primera ecuación:



−=+
+=
1y2x5
y310x
Sustituyendo en la segunda: ( ) 3y51y17501y2y151y2y3105 −=⇒=⇒−−=+⇒−=++
Se calcula x: ( ) 1x3·310x =⇒−+=
La solución es x = 1, y = −3



−=
−=+
y32x2
4x2y4x3
Solución:



=+
−=+
2y3x2
4y4x
Despejando x en la 1ª ecuación:



=+
−−=
2y3x2
y44x
Sustituyendo en la 2ª se calcula y: ( ) 2y10y582y3y82y34y42 −=⇒=−⇒+=+−⇒=+−−
Se halla x: ( ) 442·4x =−−−=





−=−
−
=−
6
4
y3
2
x3
8
2
y
3
x5

Solución:



−=−−
=−
12y3x6
48y3x10
Multiplicando por −1 la 2ª ecuación y sumando:
4
15
x
16
60
x60x16
12y3x6
48y3x10
=⇒=⇒=



=+
=−
Se calcula y:
6
7
4
42
y
4
42
y3
4
90
12y312y3
4
15
·6
−
=
−
=⇒
−
=⇒−=⇒=+
La solución es x =
4
15
, y =
6
7−







=−
=−
11
4
y
2
x5
3
2
y
3
x4
Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3, y la 2ª por 4, para eliminar los denominadores:




=−
=−
44yx10
2y3x4
Multiplicamos la segunda por -3, para aplicar el método de reducción:




−=+−
=−
132y3x30
2y3x4
Sumamos las ecuaciones: -26x = -130 → x = 5
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación:
3
2
y
3
20
=− → y = 6. Solución: (5, 6)
( )


−=−+
−=−−
12y2y3x4
4y33x
Solución:



−=−+
−=−−
12y2y12x4
4y33x




−=−
−=−−
24y3x4
1y3x
5
23
x23x5
24y3x4
1y3x
−
=⇒−=



−=−
=+
Se calcula y:
15
28
y
5
28
y3
5
23
1y31y3
5
23
=⇒=⇒+=⇒=+
−
La solución es x =
5
23−
, y =
15
28
( )
( )


=+−−
++=−−
49yx12
4y3x418x2
Solución:



=+−−
++=−−
49y12x12
4y12x418x2



−=−−
=−−
5y12x12
22y12x6
Sumando:
18
17
x17x18
5y12x12
22y12x6
−
=⇒=−



−=−−
=−−
Se calcula y:
36
49
16
294
y
18
294
y2
18
204
5y125y12
18
17
·12
−
=
−
=⇒
−
=⇒−−=⇒−=+
−
−
La solución es x =
18
17−
, y =
36
49−




=+
−=
−
−
+
3y2x4
1
2
1y
3
1x
Solución:



=+
−=+−+
3y2x4
63y32x2



=+
−=−
3y2x4
11y3x2
8
25
y25y8
3y2x4
22y6x4
=⇒=



=+
=+−

Se calcula x:
16
13
x
4
13
x4
4
25
3x43
8
25
·2x4
−
=⇒
−
=⇒−=⇒=+
La solución es x =
16
13−
, y =
8
25




=−
=−
2y15x15
15
1
3
x
5
y2
Solución:
Quitamos paréntesis:



=−
=−
2y15x15
1x5y6
Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando:
3
5
y5y3
2y15x15
3y18x15
=⇒=



=−
=+−
Sustituyendo en la 2ª ecuación se calcula x:
5
9
15
27
x252x152
3
5
·15x15 ==⇒+=⇒=−
La solución es x =
3
5
, y =
5
9





=+
−=−
4
5
y2
3
x2
2y
4
x
Solución:



=−
−=−
60y6x10
8y4x
Despejando x de la primera ecuación:



=−
+−=
60y6x10
y48x
Sustituyendo en la 2ª: ( )
17
70
34
140
y140y348060y6y4060y6y4810 ==⇒=⇒+=−⇒=−+−
Se calcula x:
17
144
x
17
70
·48x =⇒+−=
La solución es x =
17
144
, y =
17
70








=+
=+
7
5
y
3
x
11
3
y
2
x
Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 6, y la 2ª por 15, para eliminar los denominadores:




=+
=+
105y3x5
66y2x3
Multiplicamos en el último sistema la 1ª ecuación por 5, y la 2ª por 3:




=+
=+
315y9x15
330y10x15
Ahora, aplicamos método de reducción. Restamos las ecuaciones: y = 15
115
2
x
=+ → x = 12. Solución: (12, 15)





=−
=+
1
2
y
3
x2
2
2
y
3
x
Solución:



=−
=+
6y3x4
12y3x2
Sumando:
3x18x6
6y3x4
12y3x2
=⇒=



=−
=+
Se calcula y: 2y6y312y33·2 =⇒=⇒=+
( )



−=+
=−+−
x1yx2
3y51x2
Solución:

2x 2 5y 3
4x 3y 1 x
− − − =

− = −
2x 5y 5
3x y 1
− − =

+ =
Despejando y de la segunda ecuación:
2x 5y 5
y 1 3x
− − =

= −
Sustituyendo en la primera: ( )
10
2x 5 1 3x 5 -2x+15x=5+5 13x=10 x=
13
− − − = ⇒ ⇒ ⇒
Se calcula y:
10 -17
y 1 3· y=
13 13
= − ⇒
La solución es x =
10
13
, y =
17
13
−




−=−
−
=
+
14y4x7
5
y
3
2x
Solución:



−=−
−=+
14y4x7
y310x5



−=−
−=+
14y4x7
10y3x5
Multiplicando por 4 la 1ª ecuación y la 2ª por 3 y sumando:
2x82x41
42y12x21
40y12x20
−=⇒−=



−=−
−=+
Se calcula y: ( ) 0y0y310y32·5 =⇒=⇒−=+−
La solución es x = −2, y = 0



−=−
=−
2y2x
5yx2
Solución:
Se despeja x en la segunda ecuación: 2y2x −=
Se sustituye en la primera y se resuelve la ecuación que resulta:
( ) 3y9y35y4y45y2y22 =⇒=⇒=−−⇒=−−
Se calcula x: 423·2x =−=



=+
=+
0yx
4yx3

Solución:
Se despeja y en la primera ecuación: x34y −=
Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuación que resulta:
2x4x24x3x0x34x =⇒−=−⇒−=−⇒=−+
Se calcula y: 22·34y −=−=
La solución es x = 2, y = −2.
35 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:



=+
=−
1y3x2
4y2x7
Solución:
Multiplicando la 1ª ecuación por 3 y la 2ª por 2 y sumando los resultados:
25
14
x14x25
2y6x4
12y6x21
=⇒=



=+
=−
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y:
25
1
75
3
y
25
3
y3
25
28
1y31y3
25
14
·2
−
=
−
=⇒
−
=⇒−=⇒=+
La solución es x =
25
14
, y =
25
1−



−=−
=+−
10y2x4
0yx3
Solución:
Multiplicando la 1ª ecuación por 2 y sumando el resultado se obtiene:
5x10x2
10y3x4
0y2x6
−=⇒=−



=−
=+−
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y: 35y0y35 =⇒=+−
37 Resuelve por el método que prefieras el siguiente sistema de ecuaciones:



=+
=−
3y2x5
5yx3
Solución:
Se despeja y en la primera ecuación: 5x3y −=
Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuación:

( )
11
13
x13*x11103x6x535x432x5 =⇒⇒+=+⇒=−+
Se calcula y:
11
16
11
55
11
39
5
11
13
·3y
−
=−=−=
La solución es x =
11
13
, y =
11
16−
.



=+
=−
7yx
4y3x2
Solución:
Multiplicando la 2ª ecuación por 3 y sumando el resultado se obtiene:
5x255x
21y3x3
4y3x2
=⇒=



=+
=−
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y: 2y7y5 =⇒=+







=+
=−
6
2
y9
x4
8y
3
x2
Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3, y la 2ª por 2:




=+
=−
12y9x8
24y3x2
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3 para aplicar el método de reducción:




=+
=−
12y9x8
72y9x6
Sumamos las dos ecuaciones: 14x = 84 → x = 6
4 - y = 8 → y = -4. Solución: (6, -4)






=−
=+
10y2x3
7
5
y
2
x
Solución:
Multiplicamos por 10 la 1ª ecuación:




=−
=+
10y2x3
70y2x5
Sumamos las dos ecuaciones: 8x = 80 → x = 10
Sustituyendo el valor hallado en la segunda ecuación:
30-2y = 10 → y = 10. Solución: (10, 10)



−=+
=−
6y9x4
28y5x6
Solución:
Se despeja x en las dos ecuaciones:






−−
=
+
=
4
y96
x
6
y528
x
Se igualan los resultados:
( ) ( )
2y148y74
11236y54y20y5436y20112y966y5284
4
y96
6
y528
−=⇒−=
⇒−−=+⇒−−=+⇒−−=+⇒
−−
=
+
Se calcula x:
( ) 3
6
2·528
x =
−+
=



=−
=+
40y5x6
4y3x2
Solución:
Multiplicando la 1ª ecuación por −3 y sumando el resultado:
2y28y14
40y5x6
12y9x6
−=⇒=−



=−
−=−−
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula x: ( ) 5x10x242·3x2 =⇒=⇒=−+

La solución es x =5, y = − 2

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