Desarrollo y aplicación de la Forma inversa del teorema de traslación

1. Carrera: Ingenierías
Asignatura: Matemática III
Grupo: 2
Proyecto No. 8
Tema: Forma Inversa del Teorema de Traslación
Realizado por: Andrea Alvarado Mendoza
Fecha: 21/02/2019

2. Forma Inversa del Teorema de Traslación
Para calcular la inversa de 𝐹(𝑠 − 𝑎):
1. Se debe reconocer 𝐹(𝑠), para
encontrar 𝑓 (𝑡) obteniendo la
transformada de Laplace inversa de
𝐹(𝑠)
2. Después multiplicar 𝑓(𝑡) por la
función exponencial 𝑒 𝑎𝑡
.

3. 3. Este procedimiento se resume
con símbolos de la siguiente
manera:
ℒ−1 𝐹 𝑠 − 𝑎 = ℒ−1 𝐹 𝑠 𝑠 ⟶ 𝑠 − 𝑎 = 𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)
donde 𝑓 𝑡 = ℒ−1
{𝐹(𝑠)}.

4. Ejemplo
Fracciones parciales: factores lineales repetidos
ℒ−1 2𝑠+5
(𝑠−3)2

5. Solución
O Un factor lineal repetido es un término
(𝑠 − 𝑎) 𝑛
, donde 𝑎 es un número real y 𝑛
es un entero positivo ≥ 2.
O Si (𝑠 − 𝑎) 𝑛 aparece en el denominador de
una expresión racional:
O se supone que la descomposición
contiene 𝑛 fracciones parciales con
numeradores y denominadores
constantes 𝑠 − 𝑎, (𝑠 − 𝑎)2 , . . . , (𝑠 − 𝑎) 𝑛 .

6. O Por tanto, con 𝑎 = 3 y 𝑛 = 2 se escribe
2𝑠 + 5
(𝑠 − 3)2
=
𝐴
𝑠 − 3
+
𝐵
(𝑠 − 3)2
O Colocando los dos términos del lado derecho con
un denominador común, se obtiene el numerador:
2𝑠 + 5 = 𝐴 𝑠 − 3 + 𝐵
O Esta identidad produce:
𝐴 = 2 𝑦 𝐵 = 11

7. O Por tanto:
2𝑠 + 5
(𝑠 − 3)2
=
2
𝑠 − 3
+
11
(𝑠 − 3)2
O Aplicamos ℒ−1
ℒ−1 2𝑠+5
(𝑠−3)2 = 2 ℒ−1 1
(𝑠−3)
+ 11 ℒ−1 1
(𝑠−3)2

8. O Ahora
1
(𝑠−3)2 es 𝐹 𝑠 =
1
𝑠2 desplazada tres unidades
a la derecha.
O Ya que ℒ−1 1
𝑠2 = 𝑡 , se tiene que:
ℒ−1
1
(𝑠 − 3)2
= ℒ−1 1
𝑠2 𝑠 ⟶ 𝑠 − 3 = 𝑒3𝑡 𝑡

9. O Como resultado tenemos:
ℒ−1
2𝑠 + 5
(𝑠 − 3)2
= 2𝑒3𝑡
+ 11𝑒3𝑡
𝑡

10. Referencias
O Zill, Dennis G. (2009). Ecuaciones
diferenciales con aplicaciones de modelado,
novena edición. ISBN-13: 978-607-481-313-5