Cap8 Ley de Faraday

1. Cuaderno de Actividades: Física II
8) LEY DE FARADAY
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2. Cuaderno de Actividades: Física II
8,1) Ley de inducción de Faraday
En 1830 M Faraday demuestra experimentalmente la simetría de inducción de
IE debido a IM, esto es , como los cambios temporales del φB son capaces
r
de inducir una ε en un circuito.
ˆ
B = B (t ) k
y
A
Z x
ε ind
C
d φB
ε ind ←
dt
* Diversas formas de inducción
I ind
B
B
A Bind
ε ind
I Iind
ε ind
S G
ε
ii)
B
A ε inducida
I
G
ε
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3. Cuaderno de Actividades: Física II
iii) r
B
S N ε inducida
G
iv) B
v I ind I ind
Bind Bind
I II III
ε ind ε ind
v)
y B = B (t )
x A Bind
z
ε ind
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4. Cuaderno de Actividades: Física II
vi)
B
ε ind I ind
Bind
ε ind
vii)
I ind ε inducida
Bind
A I µ0 I
B B=
2r
r
ε ind
Q
8,2) Ley de Lenz
Lo inducido siempre se opone a la causa inductora.
dφB dφ
ε ind = − N =− B
dt dt
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5. Cuaderno de Actividades: Física II
8,3) fems de movimiento
A’ A B
+
Fe
r r
v v
L e−
r
E
Fm
-
B’ B
r r r r r
Fm = qv × B Fe = qE
La polarización de la barra no finaliza hasta que Fm = Fe ,
qvB = qE ; ∆V = EL
∆V
→ vB = ⇒ VAB = vBL
L
Por otro lado, usando inducción Faraday en el circuito A’ABB’,
d φB d d
ε ind = = ( BA( x)) = ( BLx)
dt dt dt
dx
ε ind = BL = BvL
dt
ε ind = BvL
Como explicamos esta coincidencia…¿?
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6. Cuaderno de Actividades: Física II
8,4) Aplicaciones de la IF
i) Teóricas
d
1830 M. Faraday φB simetría (ε ind )
dt
Traslado de energía
IEM
qne
1) Ñ .da =
∫E ε0 Predicción OEM
IM SG
H Hertz
1865 IEM 2) ÑB.ds = 0
∫
IE
3) Ñ .dl = µ I
∫B 0
d φB
4) ε ind = N
dt
1865 Fenómenos EM
1888 Luz → OEM
Resolución de las ecuaciones de JCM
r r E
OEM : E + B ; ≈ c
B
E = E ( x, t )
∂2E 1 ∂2E
= 2
∂x 2
c ∂t
c ≈ 3 ×108
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7. Cuaderno de Actividades: Física II
1905 Relatividad
1923 Onda-partícula
1965 Big Bang
2003 Telescopio WMAP
2009 …¿?
ii) Tecnológicas
dφB
ε ind = − N
dt
→ Aplicaciones tecnológicas→ 85% Inducción
Cuántica
Transferencia de energía
→ Hace que la energía sea transportable
Culinaria ( hornilla )
Telecomunicaciones
Sensor
→ Teléfono, máquinas dispensadoras
→ Interruptor eléctrico
→ Medidores de consumo de corriente
→ Densidad de grasa corporal
Transporte
→ Levitación magnética
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8. Cuaderno de Actividades: Física II
Medicina
→ Terapia
S4P13) ¿Cuál es la importancia del efecto Hall? Hacer un breve resumen.
Un segmento conductor de plata de espesor de 1mm y anchura de 1,5
cm transporta una corriente de 2,5 A en una región donde existe un
campo magnético de magnitud 1,25 T perpendicular al segmento. En
consecuencia se produce un voltaje de 0,334 µV.
a) Calcular la densidad numérica de los portadores de carga.
b) Comprobar la respuesta de a) con la densidad numérica de átomos
en la plata (densidad ρ = 10,5 g/cm3) y masa molecular M = 107,9
g/mol.
SOLUCION:
A = ad a
E ⊗B
I
V- Fm e- Fe V+
•
- +
- v +
- +
d - +
a
a) Para calcular la densidad de portadores de carga, partimos de la condición
de equilibrio de polarización,
Fm ≡ Fe
VH
qvB ≡ qE ≡ q ← VH ≡ V+ − V−
a
por lo tanto, el VH , VH ≡ avB .
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9. Cuaderno de Actividades: Física II
Ahora, introduciendo la I,
r r r I
I ≡ ∫ J .da ≡ J A ≡ JA → J ≡ ≡ Nqvd
A
A
I I
→ vd ≡ v ≡ ≡ .
ANq adNq
Regresando al VH ,
I IB
VH ≡ avB ≡ aB →N≡ ,
adNq dqVH
N≡
IB
≡
( 2,5) ( 1, 25)
dqVH ( 10−3 ) ( 1, 6 ×10−19 ) ( 0,334 ×10−6 )
Calculando,
portadores
→ N ≡ 5,9 ×1028 .
m3
b) Usando la composición de la plata, o sea, M = 107,9 g/mol y ρ = 10,5 g/cm3,
1 mol → 107,9 g ,
1
1g → mol ,
107,9
1 mol → N A atomos ,
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10. Cuaderno de Actividades: Física II
 10,5  23 atomos
ρ ≡  ( 6, 023 ×10 ) cm3 ,
 107,9 
atomo → 1 portador ,
 10,5 
N ≡  ( 6, 023 ×1023 ) portadores
cm3
,
 107,9 
 10,5 
N ≡  ( 6, 023 ×1023 ) ( 106 ) portadores ,
m3
 107,9 
portadores
N ≡ 5,9 ×1028 .
cm3
S5P7) En la figura, la barra posee una B hacia dentro
a
resistencia R y los rieles son de resistencia
despreciable. Una batería de fem ε y
resistencia interna despreciable se conecta
R
entre los puntos a y b de tal modo que la l
corriente en la barra está dirigida hacia abajo.
La barra se encuentra en reposo en el instante
b
t = 0.
a) Determine la fuerza que actúa sobre la
barra en función de la velocidad v y escriba la segunda ley de
Newton para la barra cuando su velocidad es v.
b) Demuestre que la barra alcanza una velocidad límite y determine la
expresión correspondiente.
c) ¿Cuál es el valor de la intensidad de corriente cuando la barra
alcanza su velocidad límite?
SOLUCION: Debido a IF se establece la corriente i, tal como indica la figura,
B hacia dentro
a
Fmi i
R m
l
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo I FmI 163
b
0 x X

11. Cuaderno de Actividades: Física II
De la segunda Ley,
FR ≡ ma
FR ≡ FI − Fi ≡ ma
ε  ε  dv
LIB − LiB ≡ L   B − L  ind B ≡ m
R  R  dt
 ε   LvB  dv
L  B − L B ≡
 mR   mR  dt
 Lε B   L B 
2 2
dv
  −  v ≡ ...α
 mR   mR  dt
 Lε B   L B   L2 B 2  dv du
2 2
Si  − v ≡ u → −  ≡ ,
 mR   mR   mR  dt dt
dv  mR  du
→ ≡ − 2 2 
dt  L B  dt
Regresando a α,
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12. Cuaderno de Actividades: Física II
 mR  du du  L2 B 2 
u ≡ − 2 2  → ≡ − u
 L B  dt dt  mR 
du  L2 B 2 
≡ −  dt...β ,
u  mR 
integrando β,
du  L2 B 2  L2 B 2
∫ u ≡ −  mR  ∫ dt → ln u ≡ − Rm t + c1
 
L2 B 2
− t Lε B Lε B
u ≡ ce Rm
→ t ≡ 0:u ≡ →c≡
mR mR
L2 B 2
Lε B − t
u≡ e Rm
mR
Regresando a v,
 ε 
LB  2 2
 −
Rm 
t
v≡  1 − e 
 LB  
 

ε   L2 B 2  dv
a) F (v) R ≡ L   B −   v ≡ ma ≡ m
R  R  dt
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13. Cuaderno de Actividades: Física II
 ε 
b) vLIM ≡  
 LB 
 ε 
L B
c) ε  LB  ≡ 0
I LIM ≡ −
R R
S5P9) Una espira circular de radio R consta de N
vueltas de alambre y es penetrada por un
campo magnético externo dirigido
perpendicularmente al plano de la espira. La
magnitud del campo en el plano de la espira
es B = B0 (1-r/2R) cos wt, donde R es el
radio de la espira y donde r es medida desde
el centro de la espira, como se muestra en la
figura. Determine la fem inducida en la B = B  1 − r  cos( wt )
0 
espira.  2R 
SOLUCION: r
R
 r 
B ( r , t ) ≡ B0 1 −  cos { wt}
 2R  N vueltas
Determinando el flujo del B,
r r R  r 
φB ≡ ∫ B ⋅ ds ≡ ∫ B0 1 −  cos { wt} { 2π rdr}
s
0
 2R 
 R r2  
≡ 2π B0 cos { wt}  ∫  r − dr 
 
0 2R  
1442443
 r 2 r3  R R2 R 3 2 R2
 −
 2 6R   0
≡ − ≡
  2 6R 3
2π 2
→ φB ≡ R B0 cos { wt} (para 1 espira)
3
Determinación de la ε inducida,
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14. Cuaderno de Actividades: Física II
d φB d  2π  2π 2
ε ≡ −N ≡ − N  R 2 B0 cos { wt}  ≡ R B0 Nw s en { wt}
dt dt  3  3
Determinación de la i inducida,
ε IND %
iIND ( t ) ≡ , R : resistencia de la bobina,
R%
2π R 2 Bo Nw 2π R 2 Bo Nw
iIND ( t ) ≡ sen { wt} ≡ I M sen { wt} , I M ≡
3R % 3R %
Grafica de i-t,
iIND
0 1 t(T≡2π/w)
r
w
S5P17) Una varilla de Cu de L m de longitud gira con una
r r
velocidad w , tal como indica la figura, x x x C x B
a) Determine la diferencia de potencial entre A y C. x x x x
b) Esta ∆VAC es producida por inducción Faraday,
explique. x x x x
A
x x x x
SOLUCION:
r
w
L A
r
l v
dl
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
0
167

15. Cuaderno de Actividades: Física II
La energía mecánica empleada en hacer girar la varilla se convierte, por la
conservación de la energía, en energía eléctrica.
a) ∆v0 A = ??
La varilla se polariza debido a la fuerza magnética que obra sobre los
r
portadores debido a v ,
Podemos “pensar” en un elemento dl de la varilla,
∆VELEMENTO dl = B V dl =dV
↓
wl
∆VELEMENTO = Bw ldl = dV
dl
L L 1
∆V0 A ≡ ∫ dV ≡ ∫ Bwldl ≡ BwL2
0 0 2
∆V0A ≡ B w L2
b)…¿?
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16. Cuaderno de Actividades: Física II
S5P)Una espira rectangular conductora de lados “a” y “b” se aleja con una
r
velocidad constante v de un alambre recto muy largo con una corriente I.
Determine la corriente inducida en la espira, I IND ≡ I IND ( t ) , si para cuando
t ≡ 0, r ≡ r0.
SOLUCION:
t≡0 t
a B(r)
I
r’
b
r
v
r dr
r0
µ0 I
B≡
2π r
d φB
ε IND ≡ −
dt
r +a
r r r '+ a  µ0 I 
t :φ ≡ ∫ B.ds ≡ ∫   ( bdr )
espira
2π r 
B
r r' 
r '+ a
µ b dr  µ0b   r '+ a 
≡ 0 
 2π 
∫
r'
≡ ln 
r  2π   r ' 


Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 169

17. Cuaderno de Actividades: Física II
d  µ0b   r '+ a  
ε IND ≡ −  ln  
dt  2π   r '  
 
En el tiempo t,
r '(t ) ≡ r0 + vt
d  µ0b   r '+ a   d  µ0b   r '+ a   dr '
ε IND ≡ −   ln   ≡−   ln  
dt  2π   r '   dr '  2π   r '   dt
 µ b  r '  a  
ε IND ≡ −  0    − 2   { v}
 2π   r '+ a  r '  
 µ abv   1  1 
ε IND ≡  0    → ε IND ≡ RI IND
 2π   r0 + a + vt  r0 + vt 
 µ abv   1  1 
iIND ≡  0   
 2π R   r0 + a + vt  r0 + vt 
S5P28) Una barra metálica de longitud L está situada cerca de un alambre
recto y largo que lleva una corriente rI, la barra se desplaza hacia la
derecha con una velocidad constante v paralela al alambre y formando
siempre un ángulo θ con la perpendicular al alambre. Calcule la fem
inducida en los extremos de la barra.
SOLUCION:
I
C
r
θ L v
y
r r
B = B( r)
z x
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo D
170

18. Cuaderno de Actividades: Física II
d ( ∆V ) ≡ ?
r r r
{F m = qv×B }
r
v = vi
( )
r
( ) ˆ
dFm = q vi × B (r )  − k 
ˆ
 
FE dv
dl
r
dr θ B q q<0
r
v
r r
Fm F 'm
r
E
Hasta que momento se efectúa el proceso de la polarización
′
FE ≡ Fm ≡
qE ≡ q v B cos θ
dV
= vB cos θ → dV = v B { dl cos θ }
dl
µI µI
dV ≡ v  0  dr →
 2π r 
∫ : dV ≡ v  0  dr
 2π r 
 µ Iv  a + L cosθ dr  µ0 Iv   a + L cos θ 
∆VCD ≡  0  ∫ ≡ ln  
 2π  a r  2π  
  a 
µ 0 Iv  L 
∆ vCD ≡ ln 1 + cosθ 
2π  a 
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 171