UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
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Solucionquiz3 Cvusta2009 02

  1. 1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS ´ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ´ AREA DE MATEMATICAS ´ CALCULO VECTORIAL QUIZ III Nombre: C´digo: o Fecha: Grupo: Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 30 Minutos o Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta seleccionada o ´ a es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es sustentada completamente con procesos que lleven a ella el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es sustentada el valor es de 0. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado por [ ]. No se permite el intercambio de objetos. 1. [1] a) Sea w = f (x, y) una funci´n donde x y y son funciones de dos variables r y θ. Dar la regla de la cadena para o ∂w ∂w hallar ∂r y ∂θ . ∂w ∂w y b) Encuentre ∂r y ∂θ si w = arctan x , con x = r cos θ y y = r sin θ. 2. [1] El radio de un cilindro circular recto se incrementa a raz´n de 6 pulgadas por minuto, y la altura decrece a o raz´n de 4 pulgadas por minuto. La velocidad o ritmo de cambio del volumen cuando el radio es 12 pulgadas y la o altura es 36 pulgadas, es: 4608π a) 4608π pul3 /min b) 2304π pul3 /min c) 3 pul3 /min d) 1202π pul3 /min x 3. [1] Sea f (x, y) = x2 +y 2 . 1 a) Encuentre un vector normal a la curva de nivel k = 2 en el punto P (1, 1). 1 b) Gr´fique la curva de nivel k = a 2 y en el punto P (1, 1) gr´fique el vector normal que encuentra en a). a 4. [1] La superficie de una monta˜a se modela mediante la ecuaci´n h(x, y) = 5000−0,001x2 −0,004y 2 . Un monta˜ista n o n se encuentra en el punto (500, 300, 4390). La direcci´n en que debe moverse para ascender con la mayor rapidez o es: a) 5i − 12j b) −i + 2,4j c) i − 2,4j d) −5i − 12j 5. [1] Las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie xy − z = 0 en el punto (−2, −3, 6) son: a) −3x − 2y + z = −6 b) 3x − 2y + z = −6 c) 3x + 2y + z = −6 d) 3x + 2y − z = −6 x+2 y+3 x+2 y+3 x+2 y+3 x+2 y+3 −3 = −2 = z − 6 3 = −2 = z − 6 3 = 2 =z−6 3 = 2 =6−z
  2. 2. 1. a) w ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂r = ∂x ∂r + ∂y ∂r ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂θ = ∂x ∂θ + ∂y ∂θ x y r θ r θ y b) Como w = arctan x , y x = r cos θ, y = r sin θ tenemos: ∂w 1 −y = 2 ∂x 1+ xy x2 x2 −y = 2 + y2 x x2 y =− 2 x + y2 ∂w 1 1 = y 2 ∂y 1+ x x x2 1 = x2 + y 2 x x = 2 x + y2 ∂x = cos θ ∂r ∂x = −r sin θ ∂θ ∂y = sin θ ∂r ∂y = r cos θ ∂θ As´ ı ∂w y x = − cos θ + sin θ ∂r x2 +y 2 x2 + y2 r sin θ r cos θ = − 2 cos θ + sin θ r r2 sin θ cos θ sin θ cos θ =− + r r =0 ∂w y x = − (−r sin θ) + r cos θ ∂θ x2 + y 2 x2 + y 2 r sin θ r cos θ = − 2 (−r sin θ) + r cos θ r r2 = sin2 θ + cos2 θ =1
  3. 3. ∂r ∂h ∂V ∂V 2. Tenemos V (r, h) = πr2 h, ∂t = 6, ∂t = −4, ∂r = 2πrh, ∂h = πr2 ∂V ∂V ∂r ∂V ∂h = + ∂t ∂r ∂t ∂h ∂t = 12πrh − 4πr2 , como r = 12 y h = 36 = 12π(12)(36) − 4π(12)2 = 5184π − 576π = 4608π x 3. Sea f (x, y) = x2 +y 2 y 2 −x2 a) ∇f (x, y) = (x2 +y 2 )2 , − (x22xy2 )2 +y 1 en (1, 1), tenemos ∇f (1, 1) = 0, − 2 b) 1 x = 2 2 x + y2 x2 + y 2 = 2x x2 + y 2 − 2x = 0 x2 − 2x + 1 + y 2 = 1 (x − 1)2 + y 2 = 1 y 2 1 −2 −1 1 2 x −1 −2 4. h(x, y) = 5000 − 0,001x2 − 0,004y 2 entonces ∇h(x, y) = (−0,002x, −0,008y) en el punto (500, 300), tenemos ∇h(500, 300) = (−0,002(500), −0,008(300)) = (−1, 2.4), como u es paralelo a ∇h(500, 300) tomemos u = −5i−12j 5. Sea f (x, y, z) = xy − z = 0, entonces ∇f (x, y, z) = (y, x, −1) en el punto (−2, −3, 6), tenemos ∇f (−2, −3, 6) = (−3, −2, −1). Encontremos el plano tangente y la recta normal. ∇f (−2, −3, 6) · (x + 2, y + 3, z − 6) = 0 −3(x + 2) − 2(y + 3) − (z − 6) = 0 −3x − 6 − 2y − 6 − z + 6 = 0 −3x − 2y − z − 6 = 0 3x + 2y + z = −60 Asi x+2 y+3 = =z−6 3 2

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