1. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES
Hugo Eduardo Ramirez

2. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Secci´n 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
o
Empezaremos recordando que en el plano cartesiano una ecuaci´n lineal es una ecuaci´n de la forma
o o
a1 x + a2 y = c (1)
y hace referencia a la gr´fica de una funci´n que es una l´
a o ınea recta, La cual tambi´n puede ser vista de la forma
e
a1 c
y=− x+ , S´ a2 = 0
ı
a2 a2
a1 c
La recta con pendiente m=− y con corte b = .
a2 a2
y
y = mx + b
x
En un marco m´s amplio una ecuaci´n lineal puede tener m´s de dos inc´gnitas y en este caso se ver´ as´
a o a o ıa ı:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn = b (2)
Esta es una ecuaci´n lineal, en la cual se identifican n 1 letras a1 , a2 , . . . , an que representan los coeficientes de las n inc´gnitas
o o
x1 , x2 , . . . , xn cuya suma da como resultado b.
Un sistema lineal es un conjunto de una o m´s ecuaciones lineales; un sistema lineal de n ecuaciones con m inc´gnitas se
a o
ver´ en una forma gen´rica as´
ıa e ı:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1m xm = b1 (3)
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2m xm = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3m xm = b3
.
. = .
.
. .
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + anm xm = bn
Donde aij determina el coeficiente de la i−esima ecuaci´n y j−esima inc´gnita.
o o
Note en el sistema de arriba que no necesariamente el n´mero n coincide con el n´mero m, es decir, que el n´mero de
u u u
inc´gnitas no necesariamente coincide con el n´mero de ecuaciones.
o u
Se llama una soluci´n del sistema a un conjunto de n´meros que son asignados a cada una de las inc´gnitas y que reducen
o u o
cada una de las ecuaciones a una igualdad num´rica.
e
Ejemplo. El sistema lineal de dos ecuaciones con tres inc´gnitas que se presenta a continuaci´n
o o
3x1 + 2x2 − x3 = 3
x1 − x2 + 3x3 = 1
1n representa un n´mero arbitrario pero fijo de R
u
1

3. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Tiene como soluci´n la tripla de n´meros (0, 2, 1) donde el significado es que x1 = 0, x2 = 2 y x3 = 1, y verificamos que es
o u
una soluci´n de la siguiente manera, reemplazando el valor de cada una de las inc´gnitas.
o o
3·0+2·2−1=0+4−1 = 3
0−2+3·1=0−2+3 = 1
Pero para este sistema esa no es la unica soluci´n; el estudiante puede verificar que (1, 0, 0) es tambi´n una soluci´n.
´ o e o
Para encontrar soluciones a los sistemas lineales, vamos a resaltar los detalles en el siguiente ejemplo de un sistema de tres
ecuaciones con tres inc´gnitas
o
3x − 2y − z = −1 (1)
2x + 2y − 2z = 0 (2)
x − y + 2z = 4 (3)
La metodolog´ usada se llama eliminaci´n y se trata, como su nombre lo indica, de eliminar inc´gnitas de las ecuaciones.
ıa o o
2
Empezaremos eliminando la inc´gnita x de la ecuaci´n (2); para esto podemos multiplicar la ecuaci´n (1) por − , sumar las
o o o
3
ecuaciones y guardar el resultado en la ecuaci´n (2). As´
o ı:
2 4 2 2
−3× 3x − 2y − z = −1 ≡ −2x + y + z =
3 3 3
haciendo la suma
4 2 2
−2x + y + z =
3 3 3
+
2x + 2y − 2z = 0
10 4 2
0+ y− z =
3 3 3
y as´ el sistema queda
ı
3x − 2y − z = −1 (1)
10 4 2
y− z = (2)
3 3 3
x − y + 2z = 4 (3)
1
Ahora eliminamos la inc´gnita x de la ecuaci´n (3); para esto podemos multiplicar la ecuaci´n (1) por − , sumar las
o o o
3
ecuaciones y guardar el resultado en la ecuaci´n (3). As´
o ı:
3x − 2y − z = −1 (1)
10 4 2
y− z = (2)
3 3 3
1 7 13
− y+ z = (3)
3 3 3
Notamos que la nueva ecuaci´n (3) no tiene ninguna x puesto que la eliminamos, por lo que ahora entre las ecuaciones (2)
o
1
y (3) podemos eliminar la y de la ecuaci´n (3), para esto multiplicamos por
o la ecuaci´n (2), sumamos y guardando el
o
10
resultado en la ecuaci´n (3) obtenemos:
o
3x − 2y − z = −1 (1)
10 4 2
y− z = (2)
3 3 3
66 132
z = (3)
30 30
2

4. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
La ultima ecuaci´n se soluciona despejando z de la ecuaci´n (3), obtenemos z = 2.
´ o o
Ahora reemplazamos el valor de z en la ecuaci´n (2) para despejar y, obtenemos y = 1.
o
Y reemplazamos los valores de y y z en la ecuaci´n (1) para finalmente despejar x, obteniendo x = 1.
o
As´ la soluci´n de este sistema es (1, 1, 2), pero seg´n lo visto en el ejemplo pasado un sistema puede tener m´s soluciones
ı o u a
¿Ser´ que este sistema tiene m´s soluciones? y en general ¿podr´ pasar que un sistema no tenga soluci´n?
a a ıa o
Estas preguntas se solucionar´n a continuaci´n, pero para poder explicar esto, debemos adquirir los siguientes conceptos.
a o
Definici´n. Una matriz es un arreglo bidimensional de objetos, en nuestro caso las dimensiones de la matriz son filas y
o
columnas, y los objetos n´meros. La dimensi´n de una matriz de n filas con m columnas es n × m.
u o
A cada sistema de ecuaciones se le puede asignar una matriz que, si incluye los resultados, se llama aumentada. La matriz
asociada a un sistema de ecuaciones es la matriz que tiene los coeficientes de las variables donde cada rengl´n de la matriz
o
representa una ecuaci´n y cada columna una inc´gnita. As´ el sistema (3) tiene representaci´n matricial:
o o ı o
 
a11 a12 a13 ··· a1m | b1
 a21
 a22 a23 ··· a2m | b2 

 a31
 a32 a33 ··· a3m | b3 

 .
. .
. .
.
 . . | .
an1 an2 an3 ··· anm | bn
Veamos c´mo se usan las matrices para solucionar los sistemas, para esto vamos a poner unas reglas b´sicas a seguir y estas
o a
son las operaciones de rengl´n:
o
1. Ri → kRi significa que el rengl´n i se multiplica por la constante k = 0
o
2. Ri ↔ Rj Intercambiar los renglones i y j
3. Ri → Ri + kRj Sumar un m´ltiplo del rengl´n j al rengl´n i y guardar el resultado en el rengl´n i
u o o o
Podemos ver que estas operaciones tienen similitud a las que usamos al resolver el anterior sistema por eliminaci´n; estas
o
operaciones son las unicas que pueden efectuarse en el proceso de soluci´n de un sistema en forma matricial.
´ o
Definici´n. Un pivote es la primera entrada diferente de 0 de una fila de la matriz en la que debajo tiene solo ceros y
o
cuya primera entrada diferente de 0 de la fila superior est´ estrictamente a la izquierda.
a
Ejemplo. Consideremos el siguiente sistema
x + 2y − z = −1
3x + 2y + z = 5
x+y+z = 2
tiene forma matricial
 
1 2 −1 | −1
3 2 1 | 5
1 1 1 | 2
En la primera fila el primer 1 que aparece es un pivote, pero en las otras filas no hay pivote porque en las filas superiores el
primer n´mero diferente de 0 no est´ estrictamente a la izquierda.
u a
Como nuestro objetivo es resolver el sistema lo que vamos a hacer es replicar el m´todo de eliminacion pero con escritura
e
matricial, primero eliminando las inc´gnitas x de la segunda y tercera ecuaci´n.
o o
   
1 2 −1 | −1 1 2 −1 | −1
3 2 1 | 5 R2 → R2 − 3R1 0 −4 4 | 8
−− − − − −
− − − − −→
1 1 1 | 2 1 1 1 | 2
 
1 2 −1 | −1
R3 → R3 − R1 0 −4 4 | 8
−− − − −→
−−−−−
0 −1 2 | 3
3

5. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
En la ultima matriz vemos que el −4 es un pivote.
´
Ahora eliminemos la variable y de la tercera ecuaci´n.
o
   
1 2 −1 | −1 1 2 −1 | −1
0 −4 1 
4 | 8 R3 → R3 − R1 0 −4 4 | 8
4
0 −1 2 | 3 −− − − − −→ 0
−−−−−− 0 1 | 1
En la ultima matriz tenemos tres pivotes, uno en cada columna.
´
A estas alturas el sistema es muy f´cil de resolver, pues
a
x + 2y − z = −1
−4y + 4z = 8
z = 1
Y reemplazando el valor de z en la segunda ecuaci´n tenemos y = −1 y reemplazando los valores en la primera ecuaci´n
o o
x = 2.
Los sistemas pueden ser consistentes (con soluci´n) o inconsistentes (sin soluci´n), los sistemas consistentes pueden tener
o o
unica soluci´n si el n´mero de pivotes es igual al n´mero de inc´gnitas y pueden tener infinitas soluciones (como se ver´ m´s
´ o u u o a a
adelante) si el n´mero de pivotes es menor que el n´mero de inc´gnitas.
u u o
Ejemplo. (Un sistema sin soluci´n)
o
x − 2y = 5
x − 2y = 1
vemos que la misma expresi´n esta igualada a dos resultados diferentes, lo que genera un error, veamos que si restamos las
o
dos ecuaciones nos queda
0 = 4
(4)
pero 0 no es igual que 4 por eso no se puede solucionar; cualquier pareja de n´meros que solucione una de las ecuaciones no
u
puede solucionar la otra. Este sistema no tiene soluci´n y por eso es inconsistente.
o
Definici´n.
o Una matriz se dice en forma escalonada si
1. Todos los pivotes tienen el n´mero 1.
u
2. Todas las entradas que est´n debajo de un pivote son ceros.
a
3. Si hay filas de ceros, ´stas se encuentran en la parte m´s inferior de la matriz.
e a
Definici´n. Una matriz se dice en forma escalonada reducida si es una matriz escalonada y adem´s todas las entradas
o a
encima de un pivote son ceros.
Ejemplo. La primera matriz representa una matriz escalonada (no escalonada reducida) y la segunda una matriz escalonada
reducida.
   
0 1 2 6 1 0 5 0
0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
M´todo de reducci´n de Gauss.
e o
1. Formar la matriz aumentada.
2. Por medio de operaciones de fila obtener la forma escalonada
3. Resolver el sistema por reemplazo
4

6. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Este m´todo es muy util para conocer el tipo de soluciones que tiene el sistema, es decir, unica soluci´n, infinitas soluciones
e ´ ´ o
o inconsistente.
M´todo de reducci´n de Gauss-Jordan.
e o
1. Formar la matriz aumentada.
2. Por medio de operaciones de fila obtener la forma escalonada reducida
3. Resolver con cada ecuaci´n; y poner como par´metros las inc´gnitas que no tienen pivote en su columna.
o a o
Este m´todo es muy util para conocer con exactitud cu´les son las soluciones de un sistema.
e ´ a
Ejemplo. Resolver el siguiente sistema por el m´todo de Gauss-Jordan
e
3x − 2y + z + w = 1
x+y+z+w = 2
2x − y + 2z − w = −1
5x − 3y + 3z = 0
(5)
Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada
 
3 −2 1 1 | 1
1
 1 1 1 | 2

2 −1 2 −1 | −1
5 −3 3 0 | 0
Note que el primer pivote es 3, como yo quiero que sea uno para la matriz en forma escalonada puedo multiplicar la primera
1
fila por o intercambiar las filas 1 y 2. El intercambio lo podemos hacer as´
ı:
3
   
3 −2 1 1 | 1 1 1 1 1 | 2
1 1 1 1 | 2R ↔ R 
3 −2 1 1 | 1
2 −1 | −1 −1 − − 2 2 −1 2 −1
 
2 −1 − −→
− | −1
5 −3 3 0 | 0 5 −3 3 0 | 0
ahora, si resuelvo el sistema
   
1 1 1 1 | 2 1 1 1 1 | 2
3 −2 1 1 | 1 0 −5 −2 −2 | −5
 R → R2 − 3R 
−1 −2− − − − − 1 2 −1
 
2 −1 2 −1 | − − − − −→ 2 −1 | −1
5 −3 3 0 | 0 5 −3 3 0 | 0
   
1 1 1 1 | 2 1 1 1 1 | 2
0 −5 −2 −2 | −5 0 −5 −2 −2 | −5
R → R3 − 2R   R → R4 − 5R 
−3− − − − − 1 0 −3 −5 −4− − − − − 1 0 −3

− − − − −→ 0 −3 | − − − − −→ 0 −3 | −5
5 −3 3 0 | 0 0 −8 −2 −5 | −10
En este punto cabe notar que todos los elementos hasta ahora se eliminaron con el elemento de la primera fila que ahora es
pivote, y contin´o.
u
   
1 1 1 1 | 2 1 1 1 1 | 2
 2 2   2 2 
1
0 1 5 5 | 1 0 1 5 5 | 1
R2 → − 5 R2   R3 → − 3− − → 
R + 3R2  
− − − − → 0 −3
−−−− 0 −3 | −5 − − − − − − 0
−− 0 6
−9 | −2
 
5 5
−8 −2 −5
0 | −10 0 −8 −2 −5 | −10
 
1 1 1 1 | 2
 2 2 
0 1 5 5 | 1
R4 → R4 + 8R2  
− − − − − − 0 0 6 − 9
− − − − − → | −2

5 5
6
0 0 5 −9
5 | −2
5

7. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Ya tengo el segundo pivote, y note que elimin´ todos los elementos de esta ronda con el segundo elemento de la segunda fila,
e
contin´o 
u   
1 1 1 1 | 2 1 1 1 1 | 2
 2 2   2 2 
0 1 5 | 1 R → R4 − 6 R3 0 1
 | 1
R3 → 5 R3 
6
5
5 4 5
5 5 
− − − − 0 0 1 − 3
− − −→ 2 | − 3  − − − − − − 0 0
− − − − − → 1 3
−2 | −5
3

6
0 0 5 −9
| −2
5 0 0 0 0 | 0
Esta matriz est´ en forma escalonada y puedo observar que tiene 3 pivotes, es decir que la inc´gnita z no tiene pivote en su
a o
columna, lo que quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones; para saber cu´les son debemos terminar el proceso para
a
llegar a una matriz escalonada reducida. Contin´o eliminando los elementos arriba de los pivotes.
u
   5 8

1 1 1 1 | 2 1 1 0 2 | 3
 2  2
2
0 1 0 1 | 3
 0 1 0 1 | 3

R2 = R2 − 5 R3   R → R1 − R3
5  −1− − − − → 

− − − − − − 0 0 1 − 2 | − 3 
− − − − −→ 3 − − − − − 0 0 1 − 3 | − 5 
2 3
0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 0
 3

1 0 0 2 | 2
 2
0 1 0 1 | 3

R1 → R1 − R2 
− − − − − → 0
−−−−−  0 1 −3 5
| −3
2
0 0 0 0 | 0
En este punto la matriz est´ en la forma escalonada reducida y para solucionar el sistema tenemos que las inc´gnitas x, y, z
a o
tienen pivote pero como la inc´gnita w no la llamaremos par´metro (esto quiere decir que puede tomar cualquier valor); as´
o a ı,
para decir cu´les son las infinitas soluciones de las que hablamos, escribimos el sistema de la ultima matriz.
a ´
3
x+ w = 2
2
2
y+w =
3
3 5
z− w=−
2 3
Ahora la ultima ecuaci´n tiene puros ceros, por lo cual no la escribimos; pero retomando que w es un par´metro, w puede
´ o a
tomar cualquier valor real y lo escribimos as´
ı:
w = t, t ∈ R (6)
3
x=2− t
2
2
y = −t
3
5 3
z=− + t
3 2
y en esta relaci´n se obtienen los resultados para x, y, z, w reemplazando t por un n´mero cualquiera. Por ejemplo si t = 0
o u
2
obtenemos los resultados x = 2, y = 3 , z = − 5 , w = 0 que es una soluci´n, y de la misma forma puedo obtener otra soluci´n.
3 o o
S´ t = 1 obtenemos los resultados x = 1 , y = − 1 , z = − 1 , w = 1 que es otra soluci´n. Por esta raz´n en (6) quedan descritas
ı 2 3 6 o o
todas las soluciones.
Ejemplo. Determinar valores de α para que el sistema
x + 2y + z = 3
x + 3y − z = 4
2
x + 2y + (α − 8)z = α
tenga
6

8. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Unica soluci´n
o
2. Infinitas soluciones
3. Ninguna soluci´n
o
´
SOLUCION. Primero escribimos el sistema en forma matricial, con su matriz aumentada y hacemos el proceso eliminaci´n o
de Gauss (solamente hasta matriz escalonada).
     
1 2 1 | 3 1 2 1 | 3 1 2 1 | 3
1 3 −1 | 4 R2 → R2 − R1 0 1 −2 | 1 R3 → R3 − R1 0 1 −2 | 1
2 −− − − −→
−−−−− 2 −− − − −→
−−−−− 2
1 2 α −8 | α 1 2 α −8 | α 0 0 α −9 | α−3
Hasta este punto el proceso es el mismo para las tres preguntas, ahora vamos a solucionarlas analizando la matriz escalonada
 
1 2 1 | 3
0 1 −2 | 1
0 0 α2 − 9 | α − 3
1. Para poder concluir que el sistema tiene unica solici´n la matriz debe tener tres pivotes (para tres inc´gnitas) y el valor
´ o o
en la ultima fila α2 − 9 debe ser diferente de 0, es decir
´
α2 − 9 = 0
(α − 3)(α + 3) = 0
α−3=0 y α+3=0
α=3 y α = −3
Si α es diferente de 3 y −3 el sistema tiene unica soluci´n.
´ o
2. Para tener infinitas soluciones debe cumplir dos condiciones, tener menos pivotes que inc´gnitas y ser consistente. Como
o
ya tiene dos pivotes (en x y en y), entonces debe cumplir α2 − 9 = 0 pero a su vez para mantenerse consistente debe
cumplir que α − 3 = 0 para tener 0 0 0 | 0 , entonces si α = 3 el sistema tiene infinitas soluciones.
3. Para que no tenga soluci´n se debe llegar a una inconsistencia, usualmente de tipo 0 = k con k diferente de 0, para
o
lograr esto debemos tener α2 − 9 = 0 y α − 3 = 0, por lo que el sistema no tiene soluci´n s´ α = −3 ya que la ultima
o ı ´
fila se convierte en 0 0 0 | −6 .
5
Ejemplo. Una aplicaci´n del c´lculo, en el cual a veces se requiere partir una expresi´n como lo es
o a o en
(x − 1)(x2 + 4)
Z W
una suma de fracciones sin la multiplicaci´n en el denominador, as´
o ı + 2 . Para hacer esto vamos a usar una
x−1 x +4
t´cnica llamada fracciones parciales, donde en el numerador de cada factor lineal ponemos una constante (no conocida) y en
e
el numerador de cada factor cuadr´tico irreducible ponemos un factor lineal, por la fracci´n vamos a expresar de la siguiente
a o
manera
5 A Bx + C
2 + 4)
= + 2
(x − 1)(x x−1 x +4
Donde A, B, C son las constantes que queremos hallar; resolviendo la suma de fraccionaros tenemos
5 Ax2 + 4A + Bx2 − Bx + Cx − C
=
(x − 1)(x2 + 4) (x − 1)(x2 + 4)
Para que estas fracciones sean iguales los numeradores deben ser iguales y haciendo comparaci´n de polinomios (por potencias
o
de x) tenemos
5 + 0x + 0x2 = (4A − C) + (C − B)x + (A + B)x2
Obteniendo
0=A+B En x2
0=C −B En x
5 = 4A − C En 1
7

9. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES EJERCICIOS PROPUESTOS
Lo que es un sistema de tres ecuaciones con tres inc´gnitas A, B, C, el cual resolvemos con Gauss- Jordan
   o   
1 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0 | 0
0 −1 1 | 0 R3 → R3 − 4R1 0 −1 1 | 0 R2 → −R2 0 1 −1 | 0 R3 → R3 + 4R2
−− − − − −
− − − − −→ −−−−
−−−→ −− − − − −
− − − − −→
4 0 −1 | 5 0 −4 −1 | 5 0 −4 −1 | 5
     
1 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0 | 0
0 1 −1 | 0 R3 → −1 R3 0 1 −1 | 0 R2 → R2 + R3 0 1 0 | −1 R1 → R1 − R2
5 −− − − −→
−−−−− −−−−−→
−−−−−
0 0 −5 | 5 − − − − → 0 0
−−−− 1 | −1 0 0 1 | −1
 
1 0 0 | 1
0 1 0 | −1
0 0 1 | −1
Entonces la soluci´n del sistema es A = 1, B = −1, C = −1 es decir que
o
5 1 x+1
= −
(x − 1)(x2 + 4) x − 1 x2 + 4
Secci´n 2: SISTEMAS HOMOGENEOS
o
Definici´n.
o Un sistema homog´neo es un sistema en el que todos los resultados son 0. Es decir un sistema de la forma
e
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1m xm = 0 (7)
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2m xm = 0
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3m xm = 0
.
. = .
.
. .
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + anm xm = 0
Los sistemas homog´neos son importantes porque siempre tienen soluci´n y esa soluci´n es poner todas las inc´gnitas iguales
e o o o
a 0.
Ejemplo. el sistema
2x1 + 2x2 + x3 = 0
x1 − 2x2 − x3 = 0
Es un sistema homog´neo de 3 inc´gnitas con dos ecuaciones, como sabemos que no es inconsistente, podemos afirmar que
e o
tiene infinitas soluciones porque m´ximo tiene dos pivotes y son tres inc´gnitas.
a o
Secci´n 3: EJERCICIOS PROPUESTOS
o
1. Solucione el siguiente sistema
3x + 2y + z = 7
x−y−z =5
x + y − 2z = −1
8

10. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES EJERCICIOS PROPUESTOS
2. Solucione el siguiente sistema
x + 2y = 0
x−y =3
x − 2y = 4
3. Determine los valores de α para que el sistema:
αx + y + z = 1
x + αy + z = 1
x + y + αz = 1
Tenga:
(a) Unica soluci´n
o
(b) No tenga soluci´n
o
4. Dadas dos rectas:
λ1 : y = ax + b
λ2 : y = cx + d
Utilice sistemas de ecuaciones para expresar condiciones para que las rectas sean paralelas y diferentes, y para que las
rectas no sean paralelas.
5. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana $500 diarios menos que el segundo, pero ha
trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero s´lo 24. Si el primero ha ganado $33.000 m´s que el segundo,
o a
calcula el salario diario de cada obrero.
6. Dado el siguiente sistema:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
Determine condiciones sobre los aij para que el sistema tenga unica soluci´n.
´ o
7. Puede un sistema con mas inc´gnitas que ecuaciones tener:
o
´
(a) Unica soluci´n
o
(b) Infinitas soluciones
(c) Ninguna soluci´n
o
Explique claramente y escriba por lo menos un ejemplo
8. Puede un sistema con m´s ecuaciones que inc´gnitas tener:
a o
´
(a) Unica soluci´n
o
(b) Infinitas soluciones
(c) Ninguna soluci´n
o
Explique claramente y escriba por lo menos un ejemplo.
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